Triangles semblables et Pythagore : corrigé du contrôle de maths en 4ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 4ème sur le thème « triangles semblables et Pythagore », question par question.
Cette correction suit les cinq exercices du devoir et montre, pour chacun, la rédaction complète attendue en 4ème. Tu y trouveras la manière de présenter la réciproque de Pythagore en deux calculs séparés, la justification de la similitude par deux paires d’angles égaux, et l’écriture du coefficient entre deux triangles avec la correspondance des sommets. Le cosinus est traité avec la formule écrite avant le calcul et un arrondi au degré. Sous chaque exercice, le barème précise ce qui rapporte des points : la méthode compte autant que le résultat. La figure du premier exercice est complétée avec les longueurs trouvées.
L’énoncé complet se trouve ici : Triangles semblables et Pythagore : contrôle de maths en 4ème.
Barème du contrôle corrigé : triangles semblables et Pythagore
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Deux triangles emboîtés | 5 points |
| 2. Rectangle ou pas ? | 3 points |
| 3. La rampe de skate | 4 points |
| 4. Le toit de la cabane | 4 points |
| 5. Le pont-levis | 4 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : triangles semblables et Pythagore
Exercice 1 – Deux triangles emboîtés (5 points)
- Dans le triangle ADE, le plus grand côté est [DE], donc on compare son carré à la somme des deux autres.
D’une part : \(DE^2 = 5^2 = 25\).
D’autre part : \(AD^2 + AE^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25\).
Ainsi, on a \(DE^2 = AD^2 + AE^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ADE est rectangle en A. - Les triangles ADE et ABC ont l’angle \(\widehat{A}\) en commun, et \(\widehat{ADE} = \widehat{ABC}\). Ils ont deux angles respectivement égaux, donc ils sont semblables, avec la correspondance A avec A, D avec B, E avec C.
- Les côtés [AD] et [AB] se correspondent, donc le coefficient vaut \(\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{10}{4} = 2{,}5\).
\(AC = 2{,}5 \times AE = 2{,}5 \times 3 = 7{,}5\text{ cm}\)
\(BC = 2{,}5 \times DE = 2{,}5 \times 5 = 12{,}5\text{ cm}\)
Le coefficient est 2,5 ; AC = 7,5 cm et BC = 12,5 cm. - En effet, l’angle \(\widehat{BAC}\) est le même que \(\widehat{DAE}\), donc il est droit : ABC est rectangle en A. D’après le théorème de Pythagore :
\(BC^2 = AB^2 + AC^2 = 10^2 + 7{,}5^2 = 100 + 56{,}25 = 156{,}25\)
\(BC = \sqrt{156{,}25} = 12{,}5\text{ cm}\).
On retrouve bien BC = 12,5 cm.
Piège classique : associer AE à AB parce qu’ils se ressemblent sur la figure. Seule la correspondance des angles égaux (D avec B) indique quels côtés vont ensemble.
Exercice 2 – Rectangle ou pas ? (3 points)
- Tout d’abord, le plus grand côté est [RT].
D’une part : \(RT^2 = 29^2 = 841\).
D’autre part : \(RS^2 + ST^2 = 20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841\).
Puis, l’égalité \(RT^2 = RS^2 + ST^2\) est vérifiée. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, RST est rectangle en S. - Ensuite, le plus grand côté est [UW].
D’une part : \(UW^2 = 9{,}8^2 = 96{,}04\).
D’autre part : \(UV^2 + VW^2 = 6{,}5^2 + 7{,}2^2 = 42{,}25 + 51{,}84 = 94{,}09\).
Or \(96{,}04 \neq 94{,}09\). Si le triangle était rectangle, l’égalité de Pythagore serait vraie. UVW n’est donc pas rectangle.
Piège classique : écrire \(UW^2 = UV^2 + VW^2\) dès la première ligne. On ne sait pas encore si c’est vrai : on calcule les deux membres séparément, puis on compare.
Exercice 3 – La rampe de skate (4 points)
- Le triangle STH est rectangle en H, donc [ST] est son hypoténuse. D’après le théorème de Pythagore :
\(ST^2 = SH^2 + TH^2 = 2{,}4^2 + 0{,}7^2 = 5{,}76 + 0{,}49 = 6{,}25\)
\(ST = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5\).
La rampe mesure 2,5 m. - Dans le triangle STH rectangle en H, [SH] est le côté adjacent à l’angle \(\widehat{TSH}\) :
\(\cos\widehat{TSH} = \dfrac{SH}{ST} = \dfrac{2{,}4}{2{,}5} = 0{,}96\).
Ensuite, à la calculatrice, \(\widehat{TSH} \approx 16{,}26^\circ\).
L’angle \(\widehat{TSH}\) mesure environ \(16^\circ\). - Les triangles SQP et SHT sont semblables (S avec S, Q avec H, P avec T). Puis le coefficient de réduction vaut \(\dfrac{SP}{ST} = \dfrac{1{,}5}{2{,}5} = 0{,}6\).
\(PQ = 0{,}6 \times TH = 0{,}6 \times 0{,}7 = 0{,}42\).
Le poteau mesure 0,42 m, soit 42 cm.
Exercice 4 – Le toit de la cabane (4 points)
- Le plus grand côté est [PQ], donc on commence par lui. D’une part \(PQ^2 = 5^2 = 25\) ; d’autre part \(PR^2 + QR^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25\). L’égalité est vérifiée : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, PQR est rectangle en R.
- Les triangles PHR et PRQ ont l’angle \(\widehat{P}\) en commun. De plus, \(\widehat{PHR} = 90^\circ\) car (RH) est perpendiculaire à (PQ), et \(\widehat{PRQ} = 90^\circ\) d’après la question 1. Ainsi, deux angles respectivement égaux : les triangles PHR et PRQ sont semblables (P avec P, H avec R, R avec Q).
- Avec cette correspondance, on en déduit que [PR] dans PHR correspond à [PQ] dans PRQ. Coefficient : \(\dfrac{PR}{PQ} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8\).
[HR] correspond à [RQ] : \(RH = 0{,}8 \times QR = 0{,}8 \times 3 = 2{,}4\).
La poutre mesure 2,4 m. - Le triangle PHR est rectangle en H, donc [PR] est son hypoténuse. D’après le théorème de Pythagore :
\(PH^2 = PR^2 – RH^2 = 4^2 – 2{,}4^2 = 16 – 5{,}76 = 10{,}24\)
\(PH = \sqrt{10{,}24} = 3{,}2\).
PH mesure 3,2 m. (On retrouve \(0{,}8 \times PR = 0{,}8 \times 4 = 3{,}2\).)
Exercice 5 – Le pont-levis (4 points)
- La tour est verticale et le tablier horizontal, donc le triangle TAB est rectangle en A, d’hypoténuse [TB]. D’après le théorème de Pythagore :
\(TB^2 = AT^2 + AB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\)
\(TB = \sqrt{100} = 10\).
La chaîne mesure 10 m. - Ensuite, dans le triangle TAB rectangle en A, [AB] est le côté adjacent à \(\widehat{ABT}\) :
\(\cos\widehat{ABT} = \dfrac{AB}{TB} = \dfrac{8}{10} = 0{,}8\).
Puis, à la calculatrice, \(\widehat{ABT} \approx 36{,}87^\circ\).
L’angle mesure environ \(37^\circ\). - Les triangles TMN et TAB ont l’angle \(\widehat{T}\) en commun et un angle droit (en M, car la barre est horizontale et la tour verticale ; en A). Ils sont donc semblables (T avec T, M avec A, N avec B).
Ensuite, le coefficient est \(\dfrac{TN}{TB} = \dfrac{2{,}5}{10} = 0{,}25\).
\(MN = 0{,}25 \times AB = 0{,}25 \times 8 = 2\).
La barre de renfort mesure 2 m.
Piège classique : prendre le coefficient \(\dfrac{TN}{AT}\). Les côtés [TN] et [AT] ne se correspondent pas : [TN] est l’hypoténuse du petit triangle, il faut la comparer à l’hypoténuse [TB] du grand.
À retenir de ce contrôle
- Pour appliquer la réciproque de Pythagore, on compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres côtés.
- Deux triangles qui ont deux angles respectivement égaux sont semblables, et leurs côtés correspondants sont proportionnels.
- Le coefficient entre deux triangles semblables se calcule avec deux côtés qui se correspondent, en respectant l’ordre des sommets.
- Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est le quotient du côté adjacent par l’hypoténuse.
- Si l’égalité de Pythagore n’est pas vérifiée, le triangle n’est pas rectangle : on le justifie par la contraposée du théorème.
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