Image et antécédent d’une fonction : corrigé du contrôle de maths en 3ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 3ème sur le thème « image et antécédent d’une fonction », question par question.
Ce corrigé détaille chaque calcul d’image en remplaçant \(x\) entre parenthèses, puis montre comment trouver un antécédent par une équation ou par lecture. Le tableau de l’exercice 2 est redonné complet, et la courbe de l’exercice 3 est redessinée avec les pointillés de lecture qui mènent à chaque réponse.
Tu y trouveras aussi la formule de tableur attendue et l’interprétation de chaque résultat du problème de potager. Le barème précise les points accordés à un antécédent oublié ou à une phrase-réponse manquante. Lis enfin les encadrés consacrés aux confusions fréquentes entre image et antécédent : ce sont elles qui coûtent le plus de points au brevet.
L’énoncé complet se trouve ici : Image et antécédent d’une fonction : contrôle de maths en 3ème.
Barème du contrôle corrigé : image et antécédent d’une fonction
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Notation et vocabulaire | 3 points |
| 2. Un tableau de valeurs à compléter | 4 points |
| 3. Lire une courbe | 5 points |
| 4. Un tableur pour calculer des images | 3 points |
| 5. Le potager de Lucas | 5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : image et antécédent d’une fonction
Exercice 1 – Notation et vocabulaire (3 points)
- \(f(4) = 3 \times 4 – 5 = 12 – 5 = 7\). L’image de 4 par \(f\) est 7.
- \(f(-2) = 3 \times (-2) – 5 = -6 – 5\) donc \(f(-2) = -11\).
- « L’image de 6 par \(g\) est 1 » s’écrit \(g(6) = 1\).
« \(-3\) a pour image 8 par \(g\) » s’écrit \(g(-3) = 8\).
« 5 est un antécédent de 0 par \(g\) » signifie que l’image de 5 est 0 : \(g(5) = 0\). - On cherche d’abord le nombre \(x\) tel que \(f(x) = 10\).
\(3x – 5 = 10\)
\(3x = 15\)
\(x = 5\)
Ensuite, on vérifie :\(f(5) = 15 – 5 = 10\). L’antécédent de 10 par \(f\) est 5.
Piège classique : inverser les rôles dans « 5 est un antécédent de 0 » et écrire \(g(0) = 5\). En effet, l’antécédent est toujours le nombre placé entre les parenthèses.
Exercice 2 – Un tableau de valeurs à compléter (4 points)
- Exemples de calculs détaillés :
\(g(-2) = (-2)^2 – 2 \times (-2) + 3 = 4 + 4 + 3 = 11\)
\(g(-1) = (-1)^2 – 2 \times (-1) + 3 = 1 + 2 + 3 = 6\)
\(g(0) = 0 – 0 + 3 = 3\)
\(g(2) = 4 – 4 + 3 = 3\)
\(g(3) = 9 – 6 + 3 = 6\)
Les images manquantes sont 11, 6, 3, 3 et 6.
- \(g(0{,}5) = 0{,}5^2 – 2 \times 0{,}5 + 3 = 0{,}25 – 1 + 3\) donc \(g(0{,}5) = 2{,}25\).
- Dans le tableau, 11 est l’image de \(-2\) et de 4 : \(-2\) et 4 sont des antécédents de 11. De même, 6 est l’image de \(-1\) et de 3 : \(-1\) et 3 sont des antécédents de 6.
Piège classique : calculer \(-2^2\) au lieu de \((-2)^2\) et trouver \(-4\). Le carré d’un nombre négatif est positif, donc il faut garder les parenthèses.
Exercice 3 – Lire une courbe (5 points)
- Le point de la courbe d’abscisse 0 a pour ordonnée 3, celui d’abscisse 3 a pour ordonnée \(-1\). \(k(0) = 3\) et \(k(3) = -1\).
- La courbe commence au point de coordonnées \((-3 \,;\, -2)\) : \(k(-3) = -2\).
- Ensuite, on observe que la courbe coupe l’axe des abscisses en trois points. Les antécédents de 0 sont \(-2\), 2 et 4.
- On trace d’abord la droite horizontale d’ordonnée 2, puis on repère qu’elle coupe la courbe en trois points. Les solutions de \(k(x) = 2\) sont \(-1\), 1 et 5.
- La droite d’ordonnée 3 ne touche la courbe qu’au point le plus haut : 3 a un seul antécédent, 0. En revanche, la droite d’ordonnée \(-0{,}5\) coupe la courbe trois fois (une fois entre \(-3\) et \(-2\), une fois entre 2 et 3, une fois entre 3 et 4) : \(-0{,}5\) a trois antécédents. La courbe ne monte jamais au-dessus de 3, donc 4 n’a aucun antécédent (tout nombre supérieur à 3 ou inférieur à \(-2\) convient).
Piège classique : confondre les axes. Une image se lit sur l’axe des ordonnées, un antécédent sur l’axe des abscisses. En effet, un nombre peut avoir plusieurs antécédents, mais une seule image.
Exercice 4 – Un tableur pour calculer des images (3 points)
- La cellule B2 doit calculer \(5 – x^2\) avec la valeur de \(x\) écrite en B1. Enzo saisit =5-B1^2 (ou =5-B1*B1).
- Comme la cellule D2 contient l’image de \(-1\), on calcule :\(f(-1) = 5 – (-1)^2 = 5 – 1 = 4\).
De même, la cellule H2 contient l’image de 3 :\(f(3) = 5 – 3^2 = 5 – 9 = -4\).
D2 affiche 4 et H2 affiche \(-4\). - On cherche les nombres \(x\) de la ligne 1 tels que \(5 – x^2 = 1\), c’est-à-dire \(x^2 = 4\).
\(f(-2) = 5 – 4 = 1\) et \(f(2) = 5 – 4 = 1\).
Les antécédents de 1 présents dans la ligne 1 sont \(-2\) et 2.
Exercice 5 – Le potager de Lucas (5 points)
- Le demi-périmètre vaut \(20 \div 2 = 10\text{ m}\), donc l’autre côté mesure \(10 – 3 = 7\text{ m}\).
\(3 \times 7 = 21\). L’autre côté mesure 7 m et l’aire du potager est \(21\text{ m}^2\). - Deux côtés consécutifs d’un rectangle mesurent ensemble la moitié du périmètre, soit 10 m. Ainsi, l’autre côté mesure \(10 – x\).
\(A(x) = x \times (10 – x) = 10x – x^2\).
On a bien \(A(x) = 10x – x^2\). - Calculons \(A(4{,}5) = 10 \times 4{,}5 – 4{,}5^2 = 45 – 20{,}25 = 24{,}75\).
Quand un côté mesure 4,5 m, l’aire du potager est \(24{,}75\text{ m}^2\). - \(A(2) = 20 – 4 = 16\) et \(A(8) = 80 – 64 = 16\).
2 et 8 sont bien des antécédents de 16. Dans les deux cas, le potager mesure 2 m sur 8 m, donc c’est le même rectangle, tourné d’un quart de tour. - \(A(4) = 40 – 16 = 24\) ; \(A(5) = 50 – 25 = 25\) ; \(A(6) = 60 – 36 = 24\).
La valeur \(x = 5\) semble donner le plus grand potager, de \(25\text{ m}^2\) : c’est un carré de 5 m de côté.
Piège classique : écrire que l’autre côté mesure \(20 – x\). En effet, le grillage fait le tour complet, mais les deux côtés différents ne se partagent que la moitié du périmètre.
À retenir de ce contrôle
- L’image de a par f se note f(a) et se calcule en remplaçant x par a dans la formule, entre parenthèses si a est négatif.
- Un nombre a toujours une seule image, mais il peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents : il faut tous les chercher.
- Sur une courbe, l’image se lit sur l’axe des ordonnées et l’antécédent sur l’axe des abscisses.
- Dans un tableur, une formule commence par le signe égal et utilise le nom de la cellule qui contient x, comme =5-B1^2.
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