Somme de vecteurs et règle de Chasles : corrigé du contrôle de maths en seconde

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Barème du contrôle corrigé : somme de vecteurs et règle de Chasles

Le corrigé détaillé : somme de vecteurs et règle de Chasles

Exercice 1 – Le parallélogramme ABCD (4 points)

1. ABCD est un parallélogramme, donc \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\). De plus, ses diagonales se coupent en leur milieu : O est le milieu de [AC], d’où \(\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{OC}\). \(\overrightarrow{DC}\) est égal à \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{OC}\) est égal à \(\overrightarrow{AO}\).
2. Comme \(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}\), la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\) envoie D sur C. Par ailleurs, O est aussi le milieu de [BD], donc \(\overrightarrow{BO} = \overrightarrow{OD}\) : la translation de vecteur \(\overrightarrow{OD}\) envoie alors B sur O. L’image de D est C, et l’image de B est O.
3. Dans le parallélogramme ABCD, on a \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\). Ainsi :
   \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\), d’après la relation de Chasles. C’est la règle du parallélogramme.
4. O est le milieu de [AC], donc \(\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{AO} = -\overrightarrow{OA}\). Par conséquent, \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \vec{0}\).
   Ensuite, \(\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{CB}\), car \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\). On obtient donc :
   \(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{DB}\).
   \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \vec{0}\) et \(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DB}\).

Barème : Q1 : 0,5 point par vecteur ; Q2 : 0,5 point par image ; Q3 : 1 point (0,5 pour l’égalité \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\), 0,5 pour Chasles) ; Q4 : 0,5 point par somme.

Piège classique : répondre \(\overrightarrow{CD}\) comme vecteur égal à \(\overrightarrow{AB}\). Pourtant, ces deux vecteurs ont la même direction et la même longueur mais des sens contraires : ils sont opposés.

Exercice 2 – Sommes sur quadrillage (4 points)

Sur la figure corrigée, les vecteurs sont placés bout à bout en pointillés, puis la somme est tracée en violet.

1. On place \(\vec{u}\) à partir de A, puis \(\vec{v}\) à partir de l’extrémité obtenue. Le vecteur \(\vec{u} + \vec{v}\) va de A au point situé 4 carreaux à droite et 2 carreaux plus bas.
2. Soustraire \(\vec{w}\) revient à ajouter son opposé \(-\vec{w}\), qui correspond à 2 carreaux vers la droite et 2 vers le bas. Ainsi, on enchaîne \(\vec{u}\) puis \(-\vec{w}\). Le vecteur \(\vec{u} – \vec{w}\) part de B et va 5 carreaux à droite et 1 carreau plus bas.
3. On enchaîne enfin \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) à partir de C. Le vecteur \(\vec{u} + \vec{v} + \vec{w}\) est horizontal et mesure 2 carreaux vers la droite.
4. On lit \(\vec{u}(3 \,;\, 1)\), \(\vec{v}(1 \,;\, -3)\) et \(\vec{w}(-2 \,;\, 2)\). On calcule alors :
   \(\vec{u} + \vec{v}\) a pour coordonnées \((3 + 1 \,;\, 1 – 3) = (4 \,;\, -2)\) ;
   \(\vec{u} – \vec{w}\) a pour coordonnées \((3 + 2 \,;\, 1 – 2) = (5 \,;\, -1)\) ;
   \(\vec{u} + \vec{v} + \vec{w}\) a pour coordonnées \((3 + 1 – 2 \,;\, 1 – 3 + 2) = (2 \,;\, 0)\).
   Les calculs confirment donc les trois constructions.

Barème : Q1, Q2 et Q3 : 1 point par construction juste (0,5 si l’enchaînement est correct mais la somme mal tracée) ; Q4 : 0,5 point pour les lectures, 0,5 point pour les calculs.

Piège classique : pour \(\vec{u} – \vec{w}\), tracer \(\vec{w}\) dans son propre sens. En réalité, il faut retourner la flèche avant de la placer au bout de \(\vec{u}\).

Exercice 3 – Simplifier avec Chasles (4 points)

1. Les lettres se suivent, donc on applique deux fois la relation de Chasles : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}\). La somme vaut \(\overrightarrow{AD}\).
2. On remplace d’abord \(-\overrightarrow{PN}\) par \(\overrightarrow{NP}\) : \(\overrightarrow{MN} – \overrightarrow{PN} = \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{MP}\). On obtient \(\overrightarrow{MP}\).
3. On réordonne les termes pour que les lettres s’enchaînent :
   \(\overrightarrow{GE} + \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FG} = \overrightarrow{GF} + \overrightarrow{FG} = \overrightarrow{GG}\).
   La somme est égale au vecteur nul \(\vec{0}\).
4. D’une part, \(-\overrightarrow{TU} = \overrightarrow{UT}\). D’autre part, on regroupe \(\overrightarrow{TR} + \overrightarrow{RS} = \overrightarrow{TS}\). Il reste alors :
   \(\overrightarrow{UT} + \overrightarrow{TS} = \overrightarrow{US}\).
   L’expression se réduit à \(\overrightarrow{US}\).
5. On décompose \(\overrightarrow{AB}\) en passant par D : \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB}\). Par conséquent :
   \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{CD}\)
   \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DB}\)
   \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB}\).
   L’égalité est vraie pour tous points A, B, C et D.

Barème : Q1 : 0,5 point ; Q2 : 0,5 point ; Q3 : 1 point (0,5 pour le réordonnement, 0,5 pour le vecteur nul) ; Q4 : 1 point (0,5 pour l’opposé, 0,5 pour le résultat) ; Q5 : 1 point pour une démonstration complète.

Piège classique : écrire \(\overrightarrow{MN} – \overrightarrow{PN} = \overrightarrow{MP}\) sans étape, ou pire \(\overrightarrow{PM}\). En effet, seule la transformation en somme permet d’appliquer Chasles sans erreur de sens.

Exercice 4 – Vecteurs dans un repère (4 points)

1. On calcule extrémité moins origine :
   \(\overrightarrow{AB}(3 – (-2) \,;\, 4 – 1)\), soit \(\overrightarrow{AB}(5 \,;\, 3)\) ;
   \(\overrightarrow{AC}(1 – (-2) \,;\, -2 – 1)\), soit \(\overrightarrow{AC}(3 \,;\, -3)\).
   \(\overrightarrow{AB}(5 \,;\, 3)\) et \(\overrightarrow{AC}(3 \,;\, -3)\).
2. On additionne les coordonnées terme à terme : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\) a pour coordonnées \((5 + 3 \,;\, 3 – 3) = (8 \,;\, 0)\).
   Puis \(2\overrightarrow{AB}(10 \,;\, 6)\) et \(3\overrightarrow{AC}(9 \,;\, -9)\), donc \(2\overrightarrow{AB} – 3\overrightarrow{AC}\) a pour coordonnées \((10 – 9 \,;\, 6 + 9) = (1 \,;\, 15)\).
   \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}(8 \,;\, 0)\) et \(2\overrightarrow{AB} – 3\overrightarrow{AC}(1 \,;\, 15)\).
3. Notons \(D(x \,;\, y)\). Alors \(\overrightarrow{AD}(x + 2 \,;\, y – 1)\) doit être égal à \((8 \,;\, 0)\), donc \(x + 2 = 8\) et \(y – 1 = 0\), d’où \(x = 6\) et \(y = 1\).
   Vérifions ensuite : \(\overrightarrow{CD}(6 – 1 \,;\, 1 + 2)\), soit \(\overrightarrow{CD}(5 \,;\, 3)\), donc \(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}\). D a pour coordonnées \((6 \,;\, 1)\) et ABDC est un parallélogramme, car \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\).
4. On a \(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}(2{,}5 \,;\, 1{,}5)\). Si \(E(x \,;\, y)\), alors \(x – 1 = 2{,}5\) et \(y + 2 = 1{,}5\), donc \(x = 3{,}5\) et \(y = -0{,}5\). E a pour coordonnées \((3{,}5 \,;\, -0{,}5)\).

Barème : Q1 : 0,5 point par vecteur ; Q2 : 0,5 point par calcul ; Q3 : 0,5 point pour D, 0,5 point pour la nature justifiée ; Q4 : 1 point (0,5 pour la méthode, 0,5 pour le résultat).

Piège classique : calculer origine moins extrémité, ce qui donne \(\overrightarrow{AB}(-5 \,;\, -3)\). Or ce vecteur est \(\overrightarrow{BA}\), l’opposé de celui demandé.

Exercice 5 – Le trajet du drone (4 points)

1. D’après la relation de Chasles, \(\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} = \vec{d_1} + \vec{d_2} + \vec{d_3}\).
   Ses coordonnées sont donc \((4 + 2 – 3 \,;\, 3 – 5 – 2) = (3 \,;\, -4)\).
   \(\overrightarrow{OP}(3 \,;\, -4)\) : le point P est à 300 m à l’est et 400 m au sud de la base.
2. Le retour direct correspond au vecteur \(\overrightarrow{PO} = -\overrightarrow{OP}\). Le vecteur du retour a pour coordonnées \((-3 \,;\, 4)\).
3. Le repère est orthonormé, donc on applique le théorème de Pythagore :
   \(OP = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\).
   Puisque l’unité vaut 100 m, on a \(5 \times 100 = 500\). Le drone se trouve à 500 m de la base.
4. On veut \(2\vec{a} + \vec{t} = \overrightarrow{OP}\), donc \(\vec{t} = \overrightarrow{OP} – 2\vec{a}\). Or \(2\vec{a}(2 \,;\, 2)\), d’où \(\vec{t}(3 – 2 \,;\, -4 – 2)\). Le vecteur \(\vec{t}\) a pour coordonnées \((1 \,;\, -6)\).

Barème : Q1 : 1,5 point (0,5 pour Chasles cité, 0,5 pour l’écriture de la somme, 0,5 pour les coordonnées) ; Q2 : 0,5 point ; Q3 : 1 point (0,5 pour le calcul, 0,5 pour la conversion) ; Q4 : 1 point.

Piège classique : additionner les longueurs des trois déplacements pour trouver la distance OP. Cependant, cette somme donne la distance parcourue, qui est bien plus grande que la distance à vol d’oiseau.

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