Colinéarité et alignement de points : corrigé du contrôle de maths en seconde

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Voici le corrigé du contrôle de maths en seconde sur le thème « colinéarité et alignement de points », question par question.

Cette correction rédige chaque démonstration comme on l’attend en seconde. Pour les questions en repère, elle donne d’abord les coordonnées des vecteurs, puis le calcul du déterminant sur une ligne, et enfin la conclusion. Dans le triangle, chaque étape de la relation de Chasles est écrite, afin que tu repères l’endroit exact où ton calcul a pu dévier.

Deux figures complétées montrent l’alignement obtenu dans le triangle et l’allée tracée dans le jardin. Compare ta copie question par question, puis compte tes points avec le barème placé sous chaque exercice. Les pièges signalés portent surtout sur les signes, car une seule erreur de signe change la conclusion. Refais ensuite les questions manquées sans regarder la solution.

L’énoncé complet se trouve ici : Colinéarité et alignement de points : contrôle de maths en seconde.

Barème du contrôle corrigé : colinéarité et alignement de points

Exercice Points
1. Déterminants et colinéarité 3 points
2. Coordonnées et norme 3 points
3. Cinq points dans un repère 5 points
4. Un alignement dans le triangle 5 points
5. Les allées du jardin 4 points
Total 20 points

Le corrigé détaillé : colinéarité et alignement de points

Exercice 1 – Déterminants et colinéarité (3 points)

  1. On calcule le déterminant :
    \(\det(\vec{u}, \vec{v}) = 4 \times 9 – (-6) \times (-6) = 36 – 36 = 0\).
    Le déterminant est nul, donc \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires. On peut d’ailleurs vérifier que \(\vec{v} = -\dfrac{3}{2}\vec{u}\).
  2. De la même façon :
    \(\det(\vec{w}, \vec{t}) = 3 \times 8 – 5 \times 5 = 24 – 25 = -1\).
    Ce déterminant n’est pas nul, par conséquent \(\vec{w}\) et \(\vec{t}\) ne sont pas colinéaires.
  3. Les vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul :
    \(m \times 6 – 3 \times 8 = 0\).
    Ainsi \(6m – 24 = 0\), donc \(6m = 24\).
    On obtient \(m = 4\). Vérification : \(\vec{b}(8 \,;\, 6) = 2\vec{a}\) avec \(\vec{a}(4 \,;\, 3)\).

Barème : Q1 : 1 point (0,5 pour le calcul, 0,5 pour la conclusion) ; Q2 : 1 point (même partage) ; Q3 : 1 point (0,5 pour l’équation, 0,5 pour la valeur de \(m\)).

Piège classique : à la question 1, écrire \((-6) \times (-6) = -36\). En effet, le produit de deux nombres négatifs est positif, et une erreur de signe donnerait un déterminant de 72.

Exercice 2 – Coordonnées et norme (3 points)

  1. On soustrait les coordonnées de l’origine à celles de l’extrémité :
    \(\overrightarrow{AB}\left(4 – (-2) \,;\, -7 – 1\right)\).
    Donc \(\overrightarrow{AB}(6 \,;\, -8)\).
  2. Le repère est orthonormé, alors :
    \(\left\| \overrightarrow{AB} \right\| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\).
    La longueur \(AB\) vaut 10 unités.
  3. D’abord, on calcule le déterminant :
    \(\det(\overrightarrow{AB}, \vec{u}) = 6 \times 4 – (-8) \times (-3) = 24 – 24 = 0\).
    Les deux vecteurs sont donc colinéaires. De plus, \(-2 \times (-3) = 6\) et \(-2 \times 4 = -8\), c’est pourquoi \(\overrightarrow{AB} = -2\vec{u}\).
    Le coefficient \(-2\) est négatif : \(\overrightarrow{AB}\) et \(\vec{u}\) sont colinéaires et de sens contraires.

Barème : Q1 : 1 point ; Q2 : 1 point (0,5 pour la formule, 0,5 pour le résultat) ; Q3 : 1 point (0,5 pour la colinéarité, 0,5 pour le sens justifié).

Piège classique : calculer \(A – B\) au lieu de \(B – A\). On obtient alors \(\overrightarrow{BA}\), et le sens trouvé à la question 3 est faux.

Exercice 3 – Cinq points dans un repère (5 points)

  1. On calcule \(\overrightarrow{AB}(1 – (-3) \,;\, 0 – (-2))\), soit \(\overrightarrow{AB}(4 \,;\, 2)\).
    Puis \(\overrightarrow{AC}(5 – (-3) \,;\, 2 – (-2))\), soit \(\overrightarrow{AC}(8 \,;\, 4)\).
    Ensuite, \(\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 4 \times 4 – 2 \times 8 = 16 – 16 = 0\).
    Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires, donc les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.
  2. On calcule \(\overrightarrow{DE}(7 – (-1) \,;\, 8 – 4)\), soit \(\overrightarrow{DE}(8 \,;\, 4)\).
    Alors \(\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{DE}) = 4 \times 4 – 2 \times 8 = 0\) : les droites \((AB)\) et \((DE)\) sont parallèles.
    Pour savoir si elles sont confondues, on teste le point \(D\). On a \(\overrightarrow{AD}(2 \,;\, 6)\) et \(\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}) = 4 \times 6 – 2 \times 2 = 20\).
    Ce déterminant n’est pas nul, donc \(D\) n’appartient pas à \((AB)\). Les droites \((AB)\) et \((DE)\) sont strictement parallèles.
  3. On a \(\overrightarrow{DC}(5 – (-1) \,;\, 2 – 4)\), soit \(\overrightarrow{DC}(6 \,;\, -2)\), et \(\overrightarrow{DF}(3 \,;\, y – 4)\).
    Les points \(D\), \(C\) et \(F\) sont alignés quand ces vecteurs sont colinéaires :
    \(6 \times (y – 4) – (-2) \times 3 = 0\).
    Ainsi \(6y – 24 + 6 = 0\), donc \(6y = 18\).
    On trouve \(y = 3\), c’est-à-dire \(F(2 \,;\, 3)\). Vérification : \(\overrightarrow{DF}(3 \,;\, -1)\) et \(\overrightarrow{DC} = 2\overrightarrow{DF}\).

Barème : Q1 : 1,5 point (0,5 pour les deux vecteurs, 0,5 pour le déterminant, 0,5 pour la conclusion) ; Q2 : 1,5 point (1 pour le parallélisme, 0,5 pour le point \(D\) hors de la droite) ; Q3 : 2 points (0,5 pour les vecteurs, 1 pour l’équation, 0,5 pour la valeur de \(y\)).

Piège classique : conclure que deux droites sont parallèles avec des points qui ne définissent pas ces droites. Il faut bien comparer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DE}\), pas \(\overrightarrow{AD}\).

Exercice 4 – Un alignement dans le triangle (5 points)

  1. Le point \(M\) est sur \([AB]\), au tiers de la longueur en partant de \(A\). Le point \(N\) est au milieu de \([AC]\). Enfin, \(\overrightarrow{BP} = 2\overrightarrow{BC}\) signifie que \(C\) est le milieu de \([BP]\) : on prolonge \([BC]\) au-delà de \(C\) d’une longueur égale à \(BC\).
    Triangle ABC avec M au tiers de AB, N milieu de AC, P symétrique de B par rapport à C, et la droite passant par M, N et P
  2. D’après la relation de Chasles :
    \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN}\).
    Or \(\overrightarrow{MA} = -\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\), car \(N\) est le milieu de \([AC]\).
    Donc \(\overrightarrow{MN} = -\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\).
  3. On passe par le point \(B\) :
    \(\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BP} = \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{BC}\).
    Puis on décompose \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\).
    Alors \(\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AB} – 2\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}\).
    Ainsi \(\overrightarrow{AP} = -\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}\).
  4. De nouveau avec la relation de Chasles :
    \(\overrightarrow{MP} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AP} = -\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}\).
    Donc \(\overrightarrow{MP} = -\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}\).
  5. On multiplie \(\overrightarrow{MN}\) par 4 :
    \(4\overrightarrow{MN} = -\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{MP}\).
    Les vecteurs \(\overrightarrow{MN}\) et \(\overrightarrow{MP}\) sont donc colinéaires, et ils ont le point \(M\) en commun. Par conséquent, les points \(M\), \(N\) et \(P\) sont alignés.

Barème : Q1 : 1 point (0,5 pour \(M\) et \(N\), 0,5 pour \(P\)) ; Q2 : 1 point ; Q3 : 1 point (0,5 pour la décomposition de \(\overrightarrow{BC}\), 0,5 pour la réduction) ; Q4 : 1 point ; Q5 : 1 point (0,5 pour \(\overrightarrow{MP} = 4\overrightarrow{MN}\), 0,5 pour la conclusion).

Piège classique : écrire \(\overrightarrow{MA} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\). Or \(\overrightarrow{MA}\) va de \(M\) vers \(A\), donc il est de sens contraire à \(\overrightarrow{AB}\) et le signe moins est indispensable.

Exercice 5 – Les allées du jardin (4 points)

  1. On calcule \(\overrightarrow{PF}(2 – (-4) \,;\, 3 – 0)\), soit \(\overrightarrow{PF}(6 \,;\, 3)\), puis \(\overrightarrow{PK}(14 \,;\, 7)\).
    Ensuite, \(\det(\overrightarrow{PF}, \overrightarrow{PK}) = 6 \times 7 – 3 \times 14 = 42 – 42 = 0\).
    Les points \(P\), \(F\) et \(K\) sont donc alignés. Oui, une allée rectiligne peut relier le portail au kiosque en passant par la fontaine.
  2. Le point \(T\) a pour coordonnées \((x \,;\, 3)\), donc \(\overrightarrow{BT}(x – 4 \,;\, 5)\).
    L’allée \([BT]\) est parallèle à \((PK)\) lorsque \(\overrightarrow{PK}\) et \(\overrightarrow{BT}\) sont colinéaires :
    \(14 \times 5 – 7 \times (x – 4) = 0\).
    Ainsi \(70 – 7x + 28 = 0\), donc \(7x = 98\).
    L’abscisse de \(T\) est 14, ainsi \(T(14 \,;\, 3)\). Vérification : \(\overrightarrow{BT}(10 \,;\, 5) = \dfrac{5}{7}\overrightarrow{PK}\).
    Plan du jardin avec l'allée orange de P à K passant par F et l'allée violette parallèle du banc B au point T
  3. Le repère est orthonormé, donc :
    \(BT = \sqrt{10^2 + 5^2} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}\).
    Avec la calculatrice, \(5\sqrt{5} \approx 11{,}18\).
    L’allée mesure \(5\sqrt{5}\) m, soit environ \(11{,}2\) m.

Barème : Q1 : 1,5 point (0,5 pour les vecteurs, 0,5 pour le déterminant, 0,5 pour la réponse à la question) ; Q2 : 1,5 point (0,5 pour les coordonnées de \(\overrightarrow{BT}\), 0,5 pour l’équation, 0,5 pour l’abscisse) ; Q3 : 1 point (0,5 pour la valeur exacte, 0,5 pour l’arrondi).

Piège classique : à la question 2, oublier de distribuer le signe moins devant \(7(x – 4)\). Quand on développe, \(-7 \times (-4)\) donne bien \(+28\).

À retenir de ce contrôle

  • Deux vecteurs de coordonnées (x ; y) et (x’ ; y’) sont colinéaires si et seulement si leur déterminant xy’ – yx’ est nul.
  • Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires.
  • Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires.
  • Pour démontrer un alignement sans repère, on exprime les deux vecteurs avec les deux mêmes vecteurs de base, puis on cherche un coefficient commun.
  • Dans un repère orthonormé, la norme d’un vecteur de coordonnées (x ; y) vaut la racine carrée de x² + y².

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