Événements et calcul de probabilités : corrigé du contrôle de maths en seconde
Voici le corrigé du contrôle de maths en seconde sur le thème « événements et calcul de probabilités », question par question.
Cette correction détaille les cinq exercices dans l’ordre du sujet. Pour chaque question, l’événement est d’abord décrit par la liste de ses issues, puis sa probabilité est calculée et simplifiée. Tu verras ainsi quand utiliser l’équiprobabilité et quand passer par le contraire.
Le tableau des deux dés est donné complet, avec les cases utiles coloriées, afin que tu puisses recompter toi-même les issues. La formule de la réunion est appliquée pas à pas, puis vérifiée par un dénombrement direct. Compare ta copie avec le barème de chaque exercice et lis les pièges signalés, car ils concernent souvent l’intersection comptée deux fois.
L’énoncé complet se trouve ici : Événements et calcul de probabilités : contrôle de maths en seconde.
Barème du contrôle corrigé : événements et calcul de probabilités
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. La roue de la kermesse | 4 points |
| 2. Les jetons de Léna | 4 points |
| 3. La somme de deux dés | 4,5 points |
| 4. Sport et musique au lycée | 3,5 points |
| 5. La tombola du club de basket | 4 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : événements et calcul de probabilités
Exercice 1 – La roue de la kermesse (4 points)
- Les gains possibles sont 0 €, 1 €, 2 € et 3 €. Donc \(\Omega = \{0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\}\).
- Un tour complet mesure \(360^\circ\), alors chaque probabilité vaut l’angle du secteur divisé par 360 :
\(p(0) = \frac{90}{360} = \frac{1}{4}\) ; \(p(1) = \frac{120}{360} = \frac{1}{3}\) ; \(p(2) = \frac{90}{360} = \frac{1}{4}\) ; \(p(3) = \frac{60}{360} = \frac{1}{6}\).Gain (€) 0 1 2 3 Probabilité \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{3}\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{6}\) Vérification : \(\frac{3}{12} + \frac{4}{12} + \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{12}{12} = 1\). Le tableau ci-dessus donne la loi du gain.
- Gagner au moins 2 €, c’est gagner 2 € ou 3 €. Ces issues sont distinctes, donc on additionne :
\(p = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}\). La probabilité de gagner au moins 2 € est \(\frac{5}{12}\). - Le contraire de \(G\) est l’événement « Samir ne gagne rien », c’est-à-dire « la roue s’arrête sur 0 € ». Par conséquent, \(p(G) = 1 – \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\). Ainsi, \(p(G) = \frac{3}{4}\).
Piège classique : croire que les quatre gains sont équiprobables et répondre \(\frac{1}{4}\) partout. En effet, les secteurs n’ont pas le même angle.
Exercice 2 – Les jetons de Léna (4 points)
- Les 20 jetons sont indiscernables, donc on est dans une situation d’équiprobabilité. Il y a 10 numéros pairs, d’où \(p(A) = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}\). Ensuite, les multiples de 3 sont 3, 6, 9, 12, 15 et 18, soit 6 issues. Ainsi, \(p(A) = \frac{1}{2}\) et \(p(B) = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}\).
- L’événement \(A \cap B\) est « le numéro est pair et multiple de 3 », autrement dit multiple de 6. Ses issues sont 6, 12 et 18. Donc \(p(A \cap B) = \frac{3}{20}\).
- On applique la formule de la réunion :
\(p(A \cup B) = p(A) + p(B) – p(A \cap B) = \frac{10}{20} + \frac{6}{20} – \frac{3}{20} = \frac{13}{20}\). Ainsi, \(p(A \cup B) = \frac{13}{20}\). - « Ni pair ni multiple de 3 » est le contraire de \(A \cup B\), alors sa probabilité vaut \(1 – \frac{13}{20} = \frac{7}{20}\). Vérifions : les numéros impairs non multiples de 3 sont 1, 5, 7, 11, 13, 17 et 19, soit bien 7 issues. La probabilité cherchée est \(\frac{7}{20}\).
Piège classique : additionner \(p(A)\) et \(p(B)\) sans retirer l’intersection. Les numéros 6, 12 et 18 seraient alors comptés deux fois.
Exercice 3 – La somme de deux dés (4,5 points)
- Chaque case contient la somme du numéro de la ligne et de celui de la colonne. Les sommes égales à 7 sont en orange et celles supérieures ou égales à 10 en vert.
Il y a 6 lignes et 6 colonnes, donc \(6 \times 6 = 36\) cases. L’expérience compte 36 issues équiprobables.
- La somme 7 apparaît dans 6 cases, sur la diagonale orange. Par conséquent, \(p(S = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\). La probabilité d’obtenir 7 est \(\frac{1}{6}\).
- On compte 3 cases pour 10, 2 cases pour 11 et 1 case pour 12, soit 6 cases vertes. Donc \(p(S \geq 10) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\).
- D’abord, les sommes paires occupent 18 cases (une sur deux dans chaque ligne), donc \(p(C) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}\).
Ensuite, la ligne 6 et la colonne 6 contiennent \(6 + 6 – 1 = 11\) cases, car la case (6 ; 6) est commune. Ainsi, \(p(D) = \frac{11}{36}\).
Puis \(C \cap D\) contient (6 ; 2), (6 ; 4), (6 ; 6), (2 ; 6) et (4 ; 6), d’où \(p(C \cap D) = \frac{5}{36}\).
Enfin, \(p(C \cup D) = \frac{18}{36} + \frac{11}{36} – \frac{5}{36} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}\). On obtient \(p(C) = \frac{1}{2}\), \(p(D) = \frac{11}{36}\), \(p(C \cap D) = \frac{5}{36}\) et \(p(C \cup D) = \frac{2}{3}\).
Piège classique : compter 12 issues pour « au moins un 6 », alors que la case (6 ; 6) appartient à la fois à la ligne et à la colonne.
Exercice 4 – Sport et musique au lycée (3,5 points)
- On cherche \(p(S \cup M)\). D’après la formule de la réunion :
\(p(S \cup M) = 0{,}40 + 0{,}25 – 0{,}12 = 0{,}53\). La probabilité cherchée est \(0{,}53\), soit \(\frac{53}{100}\). - « Aucune des deux activités » est le contraire de \(S \cup M\), donc sa probabilité vaut \(1 – 0{,}53 = 0{,}47\). La probabilité est \(0{,}47\), soit \(\frac{47}{100}\).
- Parmi les \(40\,\%\) de sportifs, \(12\,\%\) des élèves jouent aussi d’un instrument. Il reste alors \(0{,}40 – 0{,}12 = 0{,}28\). La probabilité est \(0{,}28\), soit \(\frac{7}{25}\).
- Deux événements sont incompatibles quand leur intersection est vide. Or \(p(S \cap M) = 0{,}12 \neq 0\). Donc \(S\) et \(M\) ne sont pas incompatibles.
Exercice 5 – La tombola du club de basket (4 points)
- Avec \(n = 10\), la boîte contient \(4 + 6 + 10 = 20\) tickets tirés au hasard, donc équiprobables. Ainsi, \(p(\text{rouge}) = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}\), \(p(\text{bleu}) = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}\) et \(p(\text{vert}) = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}\). Les probabilités sont \(\frac{1}{5}\), \(\frac{3}{10}\) et \(\frac{1}{2}\).
- La boîte contient \(10 + n\) tickets, dont \(n\) verts. On résout donc :
\(\frac{n}{10 + n} = \frac{1}{3}\)
\(3n = 10 + n\)
\(2n = 10\), d’où \(n = 5\).
Vérification : \(\frac{5}{15} = \frac{1}{3}\). Il faut 5 tickets verts. - Cette fois, on veut \(\frac{4}{10 + n} = \frac{1}{6}\), c’est-à-dire \(10 + n = 24\), donc \(n = 14\). La boîte contient alors 24 tickets, dont 14 verts, et la probabilité de ne rien gagner vaut \(\frac{14}{24} = \frac{7}{12}\). Il faut 14 tickets verts, et la probabilité de perdre est alors \(\frac{7}{12}\).
Piège classique : écrire \(\frac{n}{10} = \frac{1}{3}\) en oubliant que les tickets verts font eux aussi partie du total.
À retenir de ce contrôle
- Dans une situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement est le nombre d’issues favorables divisé par le nombre total d’issues.
- La probabilité de l’événement contraire de A vaut 1 − p(A), ce qui simplifie les calculs avec « au moins un ».
- Pour deux événements quelconques, p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B), car l’intersection serait sinon comptée deux fois.
- Deux événements sont incompatibles quand leur intersection est vide ; la probabilité de leur réunion est alors la somme des probabilités.
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