Probabilités conditionnelles et arbres : corrigé du contrôle de maths en seconde
Voici le corrigé du contrôle de maths en seconde sur le thème « probabilités conditionnelles et arbres », question par question.
Cette correction suit l’ordre des cinq exercices. Pour chaque fréquence, elle précise d’abord la population de référence, puis elle pose la division. Ainsi, tu distingues nettement une fréquence conditionnelle d’une fréquence calculée sur l’effectif total.
Les deux arbres pondérés sont dessinés en entier, avec les probabilités de chaque branche. Tu y trouveras aussi le calcul de la probabilité totale, chemin par chemin. Compare ensuite ta copie à cette rédaction, puis compte tes points avec le barème placé sous chaque exercice. Lis enfin les pièges signalés, car la confusion entre \(P_A(B)\) et \(P(A \cap B)\) coûte souvent des points.
L’énoncé complet se trouve ici : Probabilités conditionnelles et arbres : contrôle de maths en seconde.
Barème du contrôle corrigé : probabilités conditionnelles et arbres
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Le club sportif du lycée | 4 points |
| 2. Les spectateurs du cinéma | 4 points |
| 3. Les trajets vers le lycée | 4 points |
| 4. Vrai ou faux | 3 points |
| 5. Le test de dépistage | 5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : probabilités conditionnelles et arbres
Exercice 1 – Le club sportif du lycée (4 points)
- La population de référence est le lycée entier : \(\frac{184}{500} = 0{,}368\). La fréquence des inscrits au club est donc 0,368, soit 36,8 %.
- Ici, on divise par l’effectif des secondes : \(\frac{72}{180} = 0{,}4\). Ainsi, 40 % des élèves de seconde sont inscrits au club.
- Cette fois, on divise par l’effectif des inscrits : \(\frac{48}{184} \approx 0{,}26\). Environ 26 % des inscrits au club sont en terminale.
- On calcule la fréquence des inscrits dans chaque niveau :
seconde : \(\frac{72}{180} = 0{,}4\) ;
première : \(\frac{64}{160} = 0{,}4\) ;
terminale : \(\frac{48}{160} = 0{,}3\).
C’est donc en terminale que la fréquence des inscrits est la plus faible (30 %).
Piège classique : comparer les effectifs 72, 64 et 48 au lieu des fréquences. En effet, les niveaux n’ont pas tous le même nombre d’élèves.
Exercice 2 – Les spectateurs du cinéma (4 points)
- On complète par différences : plein tarif en VO \(320 – 120 = 200\) ; total VF \(800 – 320 = 480\) ; réduit en VF \(360 – 120 = 240\) ; plein tarif en VF \(480 – 240 = 240\) ; total plein tarif \(800 – 360 = 440\). On vérifie enfin que \(200 + 240 = 440\).
Tarif réduit Plein tarif Total VO 120 200 320 VF 240 240 480 Total 360 440 800 - Le spectateur est choisi au hasard, donc on est en situation d’équiprobabilité.
\(P(R) = \frac{360}{800} = 0{,}45\) et \(P(R \cap V) = \frac{120}{800} = 0{,}15\).
Ainsi, \(P(R) = 0{,}45\) et \(P(R \cap V) = 0{,}15\). - Sachant \(V\), la référence est l’ensemble des 320 spectateurs en VO : \(P_V(R) = \frac{120}{320} = 0{,}375\).
Sachant \(R\), la référence devient les 360 tarifs réduits : \(P_R(V) = \frac{120}{360} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333\).
Donc \(P_V(R) = 0{,}375\) et \(P_R(V) = \frac{1}{3}\). - \(P_V(R)\) est la probabilité qu’un spectateur ait payé un tarif réduit sachant qu’il a vu un film en VO. En revanche, \(P(R \cap V)\) est la probabilité qu’un spectateur pris parmi les 800 ait à la fois vu un film en VO et payé un tarif réduit.
Piège classique : diviser 120 par 800 pour calculer \(P_V(R)\). Pourtant, la condition « sachant \(V\) » restreint l’univers aux 320 spectateurs en VO.
Exercice 3 – Les trajets vers le lycée (4 points)
- Les branches issues d’un même nœud ont pour somme 1 : \(P(V) = 1 – 0{,}7 = 0{,}3\), \(P_B(\overline{R}) = 1 – 0{,}15 = 0{,}85\), \(P_V(R) = 0{,}05\) et \(P_V(\overline{R}) = 0{,}95\). L’arbre complété est dessiné ci-dessous.
- On multiplie le long du chemin \(B\) puis \(R\) : \(P(B \cap R) = 0{,}7 \times 0{,}15 = 0{,}105\). La probabilité cherchée vaut 0,105.
- Deux chemins mènent à \(R\), donc on les additionne :
\(P(R) = P(B \cap R) + P(V \cap R)\)
\(P(R) = 0{,}105 + 0{,}3 \times 0{,}05 = 0{,}105 + 0{,}015 = 0{,}12\).
On a bien \(P(R) = 0{,}12\). - On cherche \(P_R(B) = \frac{P(B \cap R)}{P(R)} = \frac{0{,}105}{0{,}12} = 0{,}875\). La probabilité que Maxime soit venu en bus vaut 0,875.
Piège classique : répondre 0,15 à la dernière question. Or 0,15 est \(P_B(R)\), alors qu’ici la condition connue est le retard.
Exercice 4 – Vrai ou faux (3 points)
- On sait que \(P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) = 0{,}4 \times 0{,}5 = 0{,}2\). L’affirmation est vraie.
- Dans l’exercice 2, on a trouvé \(P_V(R) = 0{,}375\) mais \(P_R(V) = \frac{1}{3}\) : ces deux nombres sont différents. L’affirmation est donc fausse, car un seul contre-exemple suffit.
- Sachant \(A\), l’événement \(B\) et son contraire se partagent toutes les issues. Ainsi, \(P_A(B) + P_A(\overline{B}) = \frac{P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B})}{P(A)} = \frac{P(A)}{P(A)} = 1\). L’affirmation est vraie : c’est d’ailleurs pourquoi les branches issues d’un même nœud ont pour somme 1.
Exercice 5 – Le test de dépistage (5 points)
- D’après l’énoncé, \(P(M) = 0{,}02\), \(P_M(T) = 0{,}95\) et \(P_{\overline{M}}(T) = 0{,}03\). On complète ensuite chaque nœud à 1 : \(P(\overline{M}) = 0{,}98\), \(P_M(\overline{T}) = 0{,}05\) et \(P_{\overline{M}}(\overline{T}) = 0{,}97\). L’arbre est dessiné ci-dessous.
- \(P(M \cap T) = 0{,}02 \times 0{,}95 = 0{,}019\). La probabilité cherchée vaut 0,019.
- Deux chemins mènent à \(T\) :
\(P(T) = P(M \cap T) + P(\overline{M} \cap T)\)
\(P(T) = 0{,}019 + 0{,}98 \times 0{,}03 = 0{,}019 + 0{,}0294 = 0{,}0484\).
On a donc bien \(P(T) = 0{,}0484\). - \(P_T(M) = \frac{P(M \cap T)}{P(T)} = \frac{0{,}019}{0{,}0484} \approx 0{,}393\). La probabilité que Clémence soit malade vaut environ 0,393. Ainsi, moins de 4 personnes positives sur 10 sont réellement malades, car la maladie est rare : les faux positifs, pris parmi les 98 % de non-malades, sont plus nombreux que les vrais positifs. Un test positif doit donc être confirmé par un second examen.
- On calcule \(10\,000 \times P(\overline{M} \cap T) = 10\,000 \times 0{,}0294 = 294\). On peut s’attendre à environ 294 personnes non malades avec un test positif. Par comparaison, seulement \(10\,000 \times 0{,}019 = 190\) personnes sont malades et positives.
Piège classique : croire que la probabilité d’être malade avec un test positif vaut 0,95. En réalité, 0,95 est \(P_M(T)\), et non \(P_T(M)\).
À retenir de ce contrôle
- Une fréquence conditionnelle se calcule en divisant par l’effectif de la sous-population indiquée par « parmi », et non par l’effectif total.
- La probabilité conditionnelle de B sachant A vaut la probabilité de A et B divisée par la probabilité de A.
- Sur un arbre pondéré, la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités portées par ses branches.
- La probabilité totale d’un événement est la somme des probabilités de tous les chemins qui y aboutissent.
- En général, la probabilité de B sachant A est différente de celle de A sachant B : il faut toujours lire la condition.
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