Suites arithmétiques et géométriques : corrigé du contrôle de maths en première
Voici le corrigé du contrôle de maths en première sur le thème « suites arithmétiques et géométriques », question par question.
Cette correction reprend chaque question avec la rédaction attendue en première. Pour la nature d’une suite, elle distingue une conjecture, tirée de quelques termes ou d’un graphique, et une démonstration, qui passe par le calcul de \(u_{n+1} – u_n\) ou du quotient.
Les sommes sont traitées avec les deux formules du cours, après avoir compté le nombre de termes. Par ailleurs, le problème final est illustré par un diagramme qui montre à quel moment la croissance doublée dépasse la croissance régulière. Corrige ta copie avec un stylo de couleur, puis additionne tes points avec le barème. Relis aussi les pièges signalés, car ils reviennent souvent dans les copies.
L’énoncé complet se trouve ici : Suites arithmétiques et géométriques : contrôle de maths en première.
Barème du contrôle corrigé : suites arithmétiques et géométriques
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Premiers termes de deux suites | 4 points |
| 2. Une suite lue dans un repère | 4 points |
| 3. Arithmétique, géométrique ou ni l’une ni l’autre | 4 points |
| 4. Trois sommes à calculer | 3,5 points |
| 5. Deux offres pour financer un projet | 4,5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : suites arithmétiques et géométriques
Exercice 1 – Premiers termes de deux suites (4 points)
- On remplace \(n\) par la valeur demandée dans la formule explicite :
\(u_0 = 0^2 – 3 \times 0 + 1 = 1\) ;
\(u_4 = 16 – 12 + 1 = 5\) ;
\(u_{10} = 100 – 30 + 1 = 71\).
Donc \(u_0 = 1\), \(u_4 = 5\) et \(u_{10} = 71\). - Ici, chaque terme se calcule à partir du précédent :
\(v_1 = 3 \times 3 – 4 = 5\) ;
\(v_2 = 3 \times 5 – 4 = 11\) ;
\(v_3 = 3 \times 11 – 4 = 29\).
Ainsi \(v_1 = 5\), \(v_2 = 11\) et \(v_3 = 29\). - On remplace \(n\) par \(n + 1\), puis on développe :
\(u_{n+1} = (n + 1)^2 – 3(n + 1) + 1\)
\(u_{n+1} = n^2 + 2n + 1 – 3n – 3 + 1\)
\(u_{n+1} = n^2 – n – 1\).
Vérification pour \(n = 0\) : on trouve \(-1\), et en effet \(u_1 = 1 – 3 + 1 = -1\). - Les trois premiers termes sont \(u_0 = 1\), \(u_1 = -1\) et \(u_2 = 4 – 6 + 1 = -1\).
D’une part \(u_1 – u_0 = -2\), d’autre part \(u_2 – u_1 = 0\).
Ces deux différences ne sont pas égales, donc la différence entre deux termes consécutifs n’est pas constante. La suite \((u_n)\) n’est pas arithmétique.
Piège classique : écrire \(u_{n+1} = n^2 – 3n + 1 + 1\), c’est-à-dire ajouter 1 au terme au lieu de remplacer \(n\) par \(n + 1\).
Exercice 2 – Une suite lue dans un repère (4 points)
- On lit l’ordonnée de chaque point : \(w_0 = 9\), \(w_1 = 7\), \(w_2 = 5\) et \(w_3 = 3\).
- Les points sont alignés et, quand \(n\) augmente de 1, l’ordonnée diminue toujours de 2. On conjecture donc que \((w_n)\) est arithmétique de raison \(r = -2\).
- Pour une suite arithmétique, \(w_n = w_0 + nr\). Ici \(w_0 = 9\) et \(r = -2\), par conséquent \(w_n = 9 – 2n\).
- D’abord, \(w_{50} = 9 – 2 \times 50 = 9 – 100\), donc \(w_{50} = -91\).
Ensuite, on résout l’inéquation \(9 – 2n < -100\) :
\(-2n < -109\)
\(n > 54{,}5\), car on divise par \(-2\), qui est négatif, et le sens de l’inégalité change.
Vérification : \(w_{54} = 9 – 108 = -99\) et \(w_{55} = 9 – 110 = -101\).
Le plus petit entier cherché est \(n = 55\).
Piège classique : garder le sens de l’inégalité en divisant par \(-2\), ce qui donne \(n < 54{,}5\) et une réponse absurde.
Exercice 3 – Arithmétique, géométrique ou ni l’une ni l’autre (4 points)
- Pour tout entier naturel \(n\) :
\(a_{n+1} – a_n = 5 – 3(n + 1) – (5 – 3n)\)
\(a_{n+1} – a_n = 5 – 3n – 3 – 5 + 3n = -3\).
La différence est constante, donc \((a_n)\) est arithmétique de raison \(-3\), de premier terme \(a_0 = 5\). - Tous les termes sont strictement positifs, alors on peut calculer le quotient :
\(\dfrac{b_{n+1}}{b_n} = \dfrac{3 \times 2^{n+2}}{3 \times 2^{n+1}} = 2\).
Ce quotient est constant, donc \((b_n)\) est géométrique de raison 2. De plus, \(b_0 = 3 \times 2^1 = 6\). - On calcule \(c_0 = 1\), \(c_1 = 2\) et \(c_2 = 5\).
Les différences valent \(c_1 – c_0 = 1\) et \(c_2 – c_1 = 3\) : elles ne sont pas égales.
Les quotients valent \(\dfrac{c_1}{c_0} = 2\) et \(\dfrac{c_2}{c_1} = 2{,}5\) : ils ne sont pas égaux non plus.
La suite \((c_n)\) n’est ni arithmétique ni géométrique. - Pour passer de \(d_1\) à \(d_3\), on multiplie deux fois par \(q\) : \(d_3 = d_1 \times q^2\).
Ainsi \(3 = 12 \times q^2\), donc \(q^2 = \dfrac{1}{4}\).
Comme les termes sont positifs, \(q\) est positif, alors \(q = \dfrac{1}{2}\).
Ensuite, \(d_0 = \dfrac{d_1}{q} = 12 \times 2\), soit \(d_0 = 24\).
Enfin, \(d_n = 24 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\). Vérification : \(d_3 = \dfrac{24}{8} = 3\).
Piège classique : à la question 4, prendre \(q = \dfrac{12 – 3}{2}\) comme pour une suite arithmétique. Or, dans une suite géométrique, on multiplie, on n’ajoute pas.
Exercice 4 – Trois sommes à calculer (3,5 points)
- Pour \(q \neq 1\), on sait que \(1 + q + … + q^n = \dfrac{1 – q^{n+1}}{1 – q}\). Avec \(q = 2\) et \(n = 9\) :
\(S = \dfrac{1 – 2^{10}}{1 – 2} = \dfrac{1 – 1024}{-1}\).
Donc \(S = 1023\). - Les nombres impairs forment une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 2 : le terme de rang \(k\) vaut \(1 + 2k\).
Puisque \(1 + 2k = 99\) donne \(k = 49\), les rangs vont de 0 à 49, soit 50 termes.
Ensuite, somme = nombre de termes \(\times\) moyenne du premier et du dernier terme :
\(T = 50 \times \dfrac{1 + 99}{2} = 50 \times 50\).
Ainsi \(T = 2500\). - On a \(g_k = 4 \times 3^k\), donc on factorise par 4 :
\(g_0 + g_1 + … + g_5 = 4 \times (1 + 3 + … + 3^5)\)
\(= 4 \times \dfrac{1 – 3^6}{1 – 3} = 4 \times \dfrac{1 – 729}{-2}\)
\(= 4 \times 364\).
La somme vaut 1456. Vérification : \(4 + 12 + 36 + 108 + 324 + 972 = 1456\).
Piège classique : à la question 2, compter 99 termes, ou 49, au lieu de 50. Il faut en effet utiliser le rang du dernier terme et ajouter 1.
Exercice 5 – Deux offres pour financer un projet (4,5 points)
- Avec l’offre A, \(a_2 = 100 + 20 = 120\) et \(a_3 = 120 + 20 = 140\). Avec l’offre B, \(b_2 = 2 \times 5 = 10\) et \(b_3 = 2 \times 10 = 20\). Les valeurs du diagramme sont justes.
- Chaque mois, on ajoute 20 € avec l’offre A : \((a_n)\) est donc arithmétique de raison 20 et de premier terme \(a_1 = 100\).
Comme le premier terme a le rang 1, \(a_n = a_1 + (n – 1) \times 20\), d’où \(a_n = 80 + 20n\).
Chaque mois, on multiplie par 2 avec l’offre B : \((b_n)\) est géométrique de raison 2 et de premier terme \(b_1 = 5\).
Par conséquent, \(b_n = b_1 \times 2^{n-1}\), soit \(b_n = 5 \times 2^{n-1}\). - On calcule les versements mois par mois :
\(n\) 1 2 3 4 5 6 7 \(a_n\) 100 120 140 160 180 200 220 \(b_n\) 5 10 20 40 80 160 320 Au mois 6, on a encore \(160 < 200\), mais au mois 7, \(320 > 220\). Le versement de l’offre B dépasse celui de l’offre A à partir du 7e mois.
- Pour l’offre A, on a \(a_8 = 80 + 160 = 240\). Il y a 8 termes, donc :
\(a_1 + … + a_8 = 8 \times \dfrac{100 + 240}{2} = 8 \times 170 = 1360\).
Pour l’offre B, on factorise par 5 :
\(b_1 + … + b_8 = 5 \times (1 + 2 + … + 2^7) = 5 \times \dfrac{1 – 2^8}{1 – 2}\)
\(= 5 \times 255 = 1275\).
Maëlys reçoit 1360 € avec l’offre A et 1275 € avec l’offre B : elle doit choisir l’offre A, qui rapporte 85 € de plus.
Pourtant, l’offre B verse davantage dès le mois 7 ; en effet, elle rattrape son retard très vite, mais 8 mois ne suffisent pas.
Piège classique : écrire \(b_n = 5 \times 2^n\) alors que le premier terme a le rang 1. Ainsi, on obtiendrait \(b_1 = 10\), ce qui contredit l’énoncé.
À retenir de ce contrôle
- Une suite est arithmétique lorsque la différence entre deux termes consécutifs est constante ; cette constante est la raison r.
- Une suite de termes non nuls est géométrique lorsque le quotient de deux termes consécutifs est constant ; ce quotient est la raison q.
- Pour une suite arithmétique, on a u_n = u_0 + nr, et pour une suite géométrique, u_n = u_0 × qⁿ.
- La somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique vaut le nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier.
- Pour q différent de 1, la somme 1 + q + q² + … + qⁿ vaut (1 − qⁿ⁺¹) divisé par (1 − q) : elle compte n + 1 termes.
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