Variance, écart type et jeux de hasard : contrôle de maths en première
Voici un contrôle de maths en première sur le thème « variance, écart type et jeux de hasard », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce sujet évalue la dispersion d’une variable aléatoire : après l’espérance, tu mesures maintenant l’écart moyen des gains autour de leur valeur moyenne. D’abord, tu calcules une variance de deux façons, par la définition puis par la formule de König-Huygens. Ensuite, tu utilises les propriétés de \(aX + b\) sur un bénéfice commercial.
La suite du contrôle porte sur des jeux de hasard : tu cherches la mise qui rend un jeu équitable, puis tu compares deux stratégies de même espérance grâce à leur écart type. Enfin, tu complètes une fonction Python qui simule un jeu de dé. Fais-le à la fin du chapitre sur les variables aléatoires, quand l’espérance est bien maîtrisée.
Ce qu’évalue le contrôle : variance, écart type et jeux de hasard
L’essentiel du sujet
- Niveaupremière
- Durée1 heure 30 minutes
- Calculatriceautorisée
- Barèmesur 20
Chapitre : Variables aléatoires (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Calculer la variance d’une variable aléatoire par la définition puis par la formule de König-Huygens
- Déterminer l’espérance, la variance et l’écart type d’une variable aléatoire de la forme aX + b
- Choisir la mise qui rend un jeu de hasard équitable à l’aide de l’espérance du gain
- Comparer deux variables aléatoires de même espérance grâce à leur écart type
- Compléter une fonction Python qui simule un jeu et interpréter la moyenne obtenue
Avant de commencer le devoir
Commence toujours par écrire la loi de probabilité dans un tableau, puis vérifie que la somme des probabilités vaut 1. Calcule ensuite l’espérance avant la variance, car la formule de König-Huygens en a besoin. Attention au carré : \(E(X)^2\) n’est pas \(E(X^2)\). Pour \(aX + b\), souviens-toi que b ne change pas la variance et que a y apparaît au carré. Enfin, relie chaque résultat au jeu par une phrase.
Le sujet du contrôle : variance, écart type et jeux de hasard
Exercice 1 – Une loi à étudier en détail (4 points)
Une variable aléatoire \(X\) prend les valeurs \(-2\), \(0\), \(1\) et \(4\). Sa loi de probabilité est donnée dans le tableau suivant.
| \(x_i\) | \(-2\) | \(0\) | \(1\) | \(4\) |
| \(P(X = x_i)\) | \(0{,}2\) | \(0{,}3\) | \(0{,}4\) | \(0{,}1\) |
- Calcule d’abord l’espérance \(E(X)\).
- Détermine ensuite la variance \(V(X)\) en utilisant sa définition, c’est-à-dire la moyenne pondérée des carrés des écarts à l’espérance.
- Retrouve ce résultat avec la formule de König-Huygens \(V(X) = E(X^2) – E(X)^2\).
- Donne enfin l’écart type \(\sigma(X)\), arrondi au centième.
Exercice 2 – Le bénéfice du stand de crêpes (3 points)
Lors d’un marché nocturne, Timéo tient un stand de crêpes. Le nombre \(X\) de crêpes vendues en une heure est une variable aléatoire d’espérance \(E(X) = 12\) et de variance \(V(X) = 9\). Chaque crêpe lui rapporte 3 € de bénéfice, mais la location du stand lui coûte 5 € par heure. Ainsi, son bénéfice horaire, en euros, est \(B = 3X – 5\).
- Calcule l’espérance \(E(B)\), puis interprète ce nombre.
- Détermine la variance \(V(B)\), puis l’écart type \(\sigma(B)\).
- L’année suivante, la location passe à 8 € par heure, alors que le reste ne change pas. L’écart type du bénéfice horaire est-il modifié ? Justifie.
Exercice 3 – La mise de la kermesse (5 points)
À la kermesse du lycée, Salomé organise un jeu. Le joueur paie d’abord une mise de \(m\) euros, puis il tire au hasard une boule dans une urne. Selon la couleur de la boule, il reçoit la somme indiquée ci-dessous.
On note \(G\) le gain algébrique du joueur, en euros, c’est-à-dire la somme reçue diminuée de la mise.
- Dans cette question, la mise vaut 4 €. Donne la loi de probabilité de \(G\), puis calcule \(E(G)\). Le jeu est-il favorable au joueur ?
- Dans le cas général, exprime \(E(G)\) en fonction de \(m\). Déduis-en la mise qui rend le jeu équitable.
- Pour cette mise équitable, calcule la variance de \(G\), puis son écart type arrondi au centième.
- Salomé veut finalement gagner en moyenne 0,50 € par partie pour financer une sortie. Quelle mise doit-elle fixer ? Quel bénéfice peut-elle alors espérer pour 200 parties ?
Exercice 4 – Deux stratégies, une même espérance (4 points)
Dans un jeu de société, Yanis peut choisir entre deux stratégies à chaque tour. On note \(A\) le nombre de points gagnés avec la stratégie A et \(B\) celui obtenu avec la stratégie B. Par ailleurs, un gain négatif correspond à une perte de points. Les diagrammes en barres ci-dessous représentent les lois de \(A\) et de \(B\).
- Lis sur les diagrammes les lois de \(A\) et de \(B\), puis montre que \(E(A) = E(B)\).
- Calcule les variances \(V(A)\) et \(V(B)\), puis les écarts types arrondis au centième.
- Yanis ne veut surtout pas perdre de points. Quelle stratégie lui conseilles-tu ? Justifie avec les écarts types, puis avec une probabilité.
Exercice 5 – Simuler une partie de dé (4 points)
Inès lance un dé équilibré à six faces. Si elle obtient 6, elle gagne 12 points. Quand elle obtient 4 ou 5, elle gagne 3 points. Sinon, elle perd 4 points. On note \(X\) le nombre de points gagnés en une partie.
- Donne la loi de probabilité de \(X\).
- Calcule \(E(X)\), puis \(V(X)\) et \(\sigma(X)\), cet écart type étant arrondi au centième.
Pour vérifier ses calculs, Inès écrit le programme Python ci-dessous : la fonction partie simule une partie, et la fonction moyenne renvoie la moyenne des points gagnés sur \(n\) parties.
- Recopie puis complète les lignes 7, 10 et 15.
- Inès exécute
moyenne(10000). Autour de quelle valeur le résultat devrait-il se situer ? Explique pourquoi.
Réviser variance, écart type et jeux de hasard avant le contrôle
Si un exercice t’a bloqué, relis la leçon variable aléatoires ; entraîne-toi sur la fiche probabilités et variables aléatoires avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en première regroupe les 25 sujets de l’année, et la rubrique contrôles corrigés du CP à la terminale permet de changer de niveau.
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