Convexité et inégalités classiques en maths sup (MPSI) : cours et méthodes
Ce chapitre rassemble les outils de la convexité MPSI qui servent à prouver des inégalités. Nous partons de la définition par les cordes, puis nous passons à l’inégalité de Jensen et à la croissance des pentes. Ensuite, nous relions la convexité à la dérivée et à la dérivée seconde, ce qui donne des critères très rapides.
La dernière partie est un recueil commenté : exponentielle et logarithme face à leurs tangentes, inégalité de Jordan pour le sinus, et inégalité arithmético-géométrique. Pour chacune, nous montrons comment la retrouver avec une tangente ou une corde, plutôt que de l’apprendre par cœur.
Ce chapitre suit l’étude de la dérivation au premier semestre. Il prépare les développements limités, les intégrales et les probabilités, où les mêmes inégalités reviennent. Vous y trouverez donc des réflexes directement utiles en colle comme à l’écrit.
Ce que vous saurez faire
- Démontrer qu’une fonction est convexe ou concave, par la définition ou par une dérivée.
- Exploiter la croissance des pentes pour encadrer une fonction convexe connue en quelques points.
- Placer une courbe convexe par rapport à ses cordes, à ses sécantes et à ses tangentes.
- Appliquer l’inégalité de Jensen, avec des poids égaux ou quelconques.
- Retrouver en une minute les inégalités classiques sur l’exponentielle, le logarithme et le sinus.
- Démontrer l’inégalité arithmético-géométrique et l’utiliser pour optimiser un produit ou une somme.
1. Fonctions convexes : la définition par les cordes
Dans tout le chapitre, \(I\) désigne un intervalle de \(\mathbb{R}\) non réduit à un point. Toutes les fonctions sont à valeurs réelles. L’idée est simple : entre deux points de sa courbe, une fonction convexe reste sous le segment qui les relie. Nous traduisons d’abord cette image en une inégalité exploitable.
Une fonction \(f : I \to \mathbb{R}\) est convexe sur \(I\) si, pour tous \(a, b\) de \(I\) et tout \(t \in [0, 1]\),
\[ f\big((1-t)a + tb\big) \leq (1-t)f(a) + t f(b). \]
Elle est concave sur \(I\) si \(-f\) est convexe, autrement dit si l’inégalité a lieu dans l’autre sens.
Quand \(t\) parcourt \([0,1]\), le réel \((1-t)a + tb\) parcourt tout le segment d’extrémités \(a\) et \(b\). Le membre de droite est alors l’ordonnée du point de la corde situé à la même abscisse. Ainsi, la définition dit exactement que la courbe est sous chacune de ses cordes.
Remarque :
Les fonctions affines sont à la fois convexes et concaves, car l’inégalité devient une égalité. Réciproquement, une fonction à la fois convexe et concave sur \(I\) est affine sur \(I\). En effet, sa courbe coïncide alors avec chacune de ses cordes.
Montrons que la valeur absolue est convexe sur \(\mathbb{R}\). Soit \(a, b\) réels et \(t \in [0, 1]\). Les réels \(1-t\) et \(t\) sont positifs. Par conséquent, l’inégalité triangulaire donne
\[ |(1-t)a + tb| \leq (1-t)|a| + t|b|. \]
C’est précisément l’inégalité de convexité. Notons que la valeur absolue n’est pas dérivable en \(0\) : la convexité n’exige donc aucune régularité.
1.1 Opérations qui conservent la convexité
Avant de dériver, il vaut souvent mieux reconnaître une structure. Plusieurs opérations simples préservent la convexité, et leurs preuves tiennent en une ligne à partir de la définition.
Soit \(f\) et \(g\) convexes sur \(I\) et \(\lambda \geq 0\).
- La somme \(f + g\) et le produit \(\lambda f\) sont convexes sur \(I\).
- La fonction \(\max(f, g)\) est convexe sur \(I\).
- Si \(h\) est convexe et croissante sur un intervalle contenant \(f(I)\), alors \(h \circ f\) est convexe sur \(I\).
Pour la composée, on écrit d’abord \(f((1-t)a + tb) \leq (1-t)f(a) + tf(b)\). Ensuite, la croissance de \(h\) conserve cette inégalité. Enfin, la convexité de \(h\) majore le résultat par \((1-t)h(f(a)) + t\,h(f(b))\). Par exemple, \(x \mapsto e^{x^2}\) est convexe sur \(\mathbb{R}\), car l’exponentielle est convexe et croissante.
Piège à éviter :
Le produit de deux fonctions convexes n’est pas convexe en général. Prenons \(u(x) = x\) et \(v(x) = x^2\), toutes deux convexes sur \(\mathbb{R}\). Leur produit \(x^3\) n’est pas convexe sur \(\mathbb{R}\). En effet, au point \(-1\), la courbe vaut \(-1\), alors que la corde entre \(-2\) et \(0\) y vaut \(-4\). De même, une composée sans hypothèse de croissance peut perdre la convexité.
2. L’inégalité de Jensen
La définition compare la fonction en un barycentre de deux points. L’inégalité de Jensen étend cette comparaison à un nombre quelconque de points. C’est l’outil central pour les inégalités entre moyennes.
2.1 Énoncé et démonstration
Soit \(f\) convexe sur \(I\), \(n \geq 1\), des points \(x_1, \dots, x_n\) de \(I\) et des poids \(\lambda_1, \dots, \lambda_n\) positifs de somme \(1\). Alors \(\sum \lambda_k x_k\) appartient à \(I\) et
\[ f\Big(\sum_{k=1}^{n} \lambda_k x_k\Big) \leq \sum_{k=1}^{n} \lambda_k f(x_k). \]
Pour \(f\) concave, l’inégalité est renversée.
On raisonne par récurrence sur \(n\). Le cas \(n = 1\) est une égalité, et le cas \(n = 2\) est la définition. Supposons le résultat vrai au rang \(n\) et prenons \(n + 1\) points avec des poids de somme \(1\).
Si \(\lambda_{n+1} = 1\), les autres poids sont nuls et tout est clair. Sinon, on pose \(\mu = 1 – \lambda_{n+1} > 0\) et \(y = \sum_{k=1}^{n} (\lambda_k / \mu)\, x_k\). Les poids \(\lambda_k / \mu\) sont positifs de somme \(1\), donc \(y \in I\) par hypothèse de récurrence. De plus, \(\sum_{k=1}^{n+1} \lambda_k x_k = \mu y + \lambda_{n+1} x_{n+1}\).
La définition, appliquée à \(y\) et \(x_{n+1}\), donne ensuite \(f(\mu y + \lambda_{n+1} x_{n+1}) \leq \mu f(y) + \lambda_{n+1} f(x_{n+1})\). Enfin, l’hypothèse de récurrence majore \(\mu f(y)\) par \(\sum_{k=1}^{n} \lambda_k f(x_k)\). Cela conclut.
2.2 Mise en œuvre avec des poids égaux ou non
Le cas le plus utilisé est celui des poids égaux à \(1/n\). Il s’énonce ainsi : l’image de la moyenne est inférieure à la moyenne des images.
Soit \(x_1, \dots, x_6\) des réels de somme \(9\). Cherchons un minorant de \(\sum x_k^2\). La fonction carré est convexe sur \(\mathbb{R}\). Ainsi, Jensen avec les poids \(1/6\) donne
\[ \Big(\frac{9}{6}\Big)^2 \leq \frac{1}{6} \sum_{k=1}^{6} x_k^2, \quad \text{donc} \quad \sum_{k=1}^{6} x_k^2 \geq \frac{27}{2}. \]
La borne est atteinte quand tous les \(x_k\) valent \(3/2\). Elle est donc optimale.
Des poids inégaux apparaissent dès que les termes n’ont pas le même rôle. Voici un cas typique, où les coefficients de la contrainte deviennent les poids.
Soit \(u\) et \(v\) deux réels. Comparons \(e^{(u + 3v)/4}\) et \(\frac{1}{4}e^u + \frac{3}{4}e^v\). Les poids \(\frac{1}{4}\) et \(\frac{3}{4}\) sont positifs de somme \(1\). De plus, l’exponentielle est convexe sur \(\mathbb{R}\). Par conséquent, Jensen donne directement
\[ e^{\frac{1}{4}u + \frac{3}{4}v} \leq \frac{1}{4}e^u + \frac{3}{4}e^v. \]
Par exemple, avec \(u = 0\) et \(v = 4\), on obtient \(e^3 \leq \frac{1 + 3e^4}{4}\). Numériquement, cela donne \(20{,}1 \leq 41{,}2\) environ.
Pour appliquer Jensen à une inégalité donnée :
- repérer une somme de la forme \(\sum f(x_k)\) et une contrainte sur \(\sum x_k\) ;
- choisir la fonction \(f\) et vérifier sa convexité (ou sa concavité) sur un intervalle qui contient tous les \(x_k\) ;
- choisir les poids : égaux si la somme est symétrique, proportionnels aux coefficients sinon ;
- écrire l’inégalité, puis l’isoler, et vérifier le cas d’égalité pour juger de l’optimalité.
3. Croissance des pentes et sécantes
Nous reformulons maintenant la convexité à l’aide des taux d’accroissement. Cette version est la plus maniable en exercice. Elle explique aussi les liens avec la dérivée.
3.1 Le lemme des trois pentes
Pour \(u \neq v\) dans \(I\), on note \(p(u, v) = \dfrac{f(v) – f(u)}{v – u}\) la pente de la sécante passant par les points d’abscisses \(u\) et \(v\). Cette quantité est symétrique : \(p(u, v) = p(v, u)\).
Soit \(f\) convexe sur \(I\) et \(a < x < b\) trois points de \(I\). Alors
\[ p(a, x) \leq p(a, b) \leq p(x, b). \]
On écrit \(x = (1-t)a + tb\) avec \(t = \frac{x-a}{b-a} \in \,]0,1[\). La convexité donne \(f(x) – f(a) \leq t\,(f(b) – f(a))\). Or \(t = \frac{x-a}{b-a}\). En divisant par \(x – a > 0\), on obtient \(p(a, x) \leq p(a, b)\).
De même, \(f(x) – f(b) \leq (1-t)(f(a) – f(b))\) avec \(1 – t = \frac{b-x}{b-a}\). En divisant par \(-(b – x) < 0\), l’inégalité change de sens : \(p(x, b) \geq p(a, b)\).
On en déduit une caractérisation complète. Elle sert dès qu’on connaît la fonction en quelques points seulement.
Une fonction \(f : I \to \mathbb{R}\) est convexe sur \(I\) si et seulement si, pour tout \(a \in I\), la fonction \(x \mapsto p(a, x)\) est croissante sur \(I \setminus \{a\}\).
Le sens direct résulte du lemme, en distinguant la position de \(a\) par rapport aux deux autres points. Pour la réciproque, on part de \(a < x < b\). La croissance de \(p(a, \cdot)\) donne \(p(a, x) \leq p(a, b)\). Or c’est exactement l’inégalité de convexité au point \(x\), d’après le calcul de la preuve précédente.
3.2 Position par rapport aux sécantes
La croissance des pentes dit aussi ce qui se passe hors du segment \([a, b]\). La sécante passant par \(a\) et \(b\) est la droite d’équation \(y = f(a) + p(a, b)(x – a)\).
Soit \(f\) convexe sur \(I\) et \(a < b\) dans \(I\). Alors la courbe de \(f\) est sous la sécante sur \([a, b]\) et au-dessus d’elle sur \(I\) privé de \(]a, b[\).
Par exemple, pour \(x > b\), on a \(p(a, x) \geq p(a, b)\). En multipliant par \(x – a > 0\), on trouve \(f(x) \geq f(a) + p(a, b)(x – a)\). Le cas \(x < a\) se traite de la même façon, avec un changement de signe.
Soit \(f\) convexe sur \(\mathbb{R}\) avec \(f(-1) = 5\) et \(f(2) = -1\). La pente de la sécante vaut \(p(-1, 2) = -2\). D’abord, sur \([-1, 2]\), la fonction est sous la droite \(y = 3 – 2x\) : par exemple, \(f(0) \leq 3\). Ensuite, hors de cet intervalle, elle est au-dessus. Ainsi \(f(4) \geq -5\) et \(f(-3) \geq 9\). Aucune autre information n’est nécessaire.
Piège à éviter :
Une sécante ne majore pas une fonction convexe partout. Elle la majore seulement entre les deux points. Au-delà, l’inégalité s’inverse, et c’est souvent cette inversion qui fournit la minoration cherchée.
3.3 Une conséquence utile : les pentes depuis l’origine
Quand \(0 \in I\), on applique souvent la croissance des pentes au point \(a = 0\). On obtient alors une information sur le quotient \(f(x)/x\), très fréquente en concours.
Soit \(f\) convexe sur \(\mathbb{R}_+\) avec \(f(0) = 0\). D’abord, la pente \(p(0, x) = f(x)/x\) est croissante sur \(\mathbb{R}_+^*\). Soit ensuite \(x, y > 0\). Comme \(x \leq x + y\), on a \(\frac{f(x)}{x} \leq \frac{f(x+y)}{x+y}\), donc \(f(x) \leq \frac{x}{x+y}f(x+y)\). De même, \(f(y) \leq \frac{y}{x+y}f(x+y)\). En additionnant, on trouve
\[ f(x) + f(y) \leq f(x + y). \]
Ainsi, une fonction convexe nulle en \(0\) est sur-additive sur \(\mathbb{R}_+\). Avec \(f(x) = x^2\), on retrouve \(x^2 + y^2 \leq (x + y)^2\).
4. Convexité des fonctions dérivables
En pratique, on démontre rarement la convexité par la définition. Quand \(f\) est dérivable, la croissance des pentes se lit sur la dérivée. Nous obtenons ainsi deux critères très rapides.
4.1 Caractérisation par la croissance de la dérivée
Soit \(f\) dérivable sur \(I\). Alors \(f\) est convexe sur \(I\) si et seulement si \(f^{\prime}\) est croissante sur \(I\).
Supposons \(f\) convexe et prenons \(a < b\) dans \(I\). Pour \(a < x < b\), le lemme des trois pentes donne \(p(a, x) \leq p(a, b) \leq p(x, b)\). On fait tendre \(x\) vers \(a\) à gauche de l’encadrement, puis vers \(b\) à droite. On obtient \(f^{\prime}(a) \leq p(a, b) \leq f^{\prime}(b)\). Donc \(f^{\prime}\) est croissante.
Réciproquement, supposons \(f^{\prime}\) croissante et prenons \(a < x < b\). Le théorème des accroissements finis fournit \(c \in \,]a, x[\) et \(d \in \,]x, b[\) tels que \(p(a, x) = f^{\prime}(c)\) et \(p(x, b) = f^{\prime}(d)\). Comme \(c < d\), on a \(p(a, x) \leq p(x, b)\). Or cette inégalité équivaut à la convexité au point \(x\) : en effet, \(p(a,b)\) est une moyenne pondérée de \(p(a,x)\) et \(p(x,b)\).
4.2 Caractérisation par le signe de la dérivée seconde
Soit \(f\) deux fois dérivable sur \(I\). Alors \(f\) est convexe sur \(I\) si et seulement si \(f^{\prime\prime} \geq 0\) sur \(I\). De même, \(f\) est concave si et seulement si \(f^{\prime\prime} \leq 0\) sur \(I\).
Ce critère donne immédiatement les exemples de référence. D’abord, \(\exp\) est convexe sur \(\mathbb{R}\). Ensuite, \(\ln\) est concave sur \(\mathbb{R}_+^*\), car sa dérivée seconde vaut \(-1/x^2\). De plus, \(x \mapsto x^\alpha\) est convexe sur \(\mathbb{R}_+^*\) pour \(\alpha \geq 1\) ou \(\alpha \leq 0\), et concave pour \(0 \leq \alpha \leq 1\). Enfin, \(\sin\) est concave sur \([0, \pi]\).
Un point où \(f^{\prime\prime}\) s’annule en changeant de signe s’appelle un point d’inflexion. La courbe y traverse sa tangente.
Étudions \(h(x) = x \ln x – x\) sur \(\mathbb{R}_+^*\). On calcule \(h^{\prime}(x) = \ln x\), puis \(h^{\prime\prime}(x) = 1/x > 0\). Donc \(h\) est convexe. Autre voie : \(h^{\prime} = \ln\) est croissante, ce qui suffit sans dériver deux fois.
La fonction \(x \mapsto 1/x\) a une dérivée seconde \(2/x^3\), positive sur \(\mathbb{R}_+^*\). Pourtant, elle n’est pas convexe sur \(\mathbb{R}^*\). En effet, \(\mathbb{R}^*\) n’est pas un intervalle, et la corde entre \(-1\) et \(1\) passe par l’origine alors que la fonction n’est même pas définie en \(0\). Les critères différentiels ne valent que sur un intervalle.
Pour démontrer qu’une fonction est convexe :
- reconnaître une somme, un maximum ou une composée de fonctions convexes de référence ;
- sinon, montrer que \(f^{\prime}\) est croissante (souvent plus court que \(f^{\prime\prime}\)) ;
- sinon, étudier le signe de \(f^{\prime\prime}\) en factorisant au maximum ;
- en dernier recours, si \(f\) n’est pas dérivable, revenir à la définition ou aux pentes.
4.3 Position par rapport aux tangentes
Une fonction convexe est sous ses cordes. En contrepartie, elle est au-dessus de ses tangentes. C’est le résultat qui produit le plus d’inégalités.
Soit \(f\) convexe et dérivable sur \(I\) et \(a \in I\). Alors, pour tout \(x \in I\),
\[ f(x) \geq f(a) + f^{\prime}(a)(x – a). \]
Pour \(f\) concave, la courbe est au-dessous de chacune de ses tangentes.
On pose \(\varphi(x) = f(x) – f(a) – f^{\prime}(a)(x – a)\). Elle est dérivable, et \(\varphi^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) – f^{\prime}(a)\). Comme \(f^{\prime}\) est croissante, \(\varphi^{\prime}\) est négative avant \(a\) et positive après. Ainsi \(\varphi\) admet un minimum en \(a\), où elle vaut \(0\). Donc \(\varphi \geq 0\) sur \(I\).
Remarque :
Pour une fonction dérivable, la réciproque est vraie : si la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes, la fonction est convexe. Nous l’admettons ici ; elle se démontre en comparant deux tangentes au point \(x\).
5. Inégalités de convexité classiques
Les inégalités qui suivent reviennent sans cesse en colle et aux concours. Il ne faut pas les apprendre comme une liste. Il faut plutôt savoir les retrouver : une fonction de référence, une tangente ou une corde bien choisie, et le dessin.
5.1 Exponentielle et logarithme
Pour tout réel \(x\) et tout réel \(y > -1\), et tout \(z > 0\) :
\[ e^x \geq 1 + x, \qquad \ln(1 + y) \leq y, \qquad \ln z \leq z – 1. \]
Chaque fois, l’égalité n’a lieu qu’en un seul point : \(x = 0\), \(y = 0\), \(z = 1\).
La première inégalité exprime que l’exponentielle, convexe, est au-dessus de sa tangente en \(0\). Les deux autres expriment que le logarithme, concave, est au-dessous de sa tangente en \(1\). D’ailleurs, ce sont la même droite \(y = 1 + x\) et sa symétrique par rapport à la première bissectrice.
Ces trois inégalités s’adaptent par changement de variable. Par exemple, en remplaçant \(x\) par \(-x\), on obtient \(e^{-x} \geq 1 – x\). De même, en remplaçant \(z\) par \(1/z\), on trouve \(\ln z \geq 1 – 1/z\). Ainsi, pour tout \(z > 0\), le logarithme est encadré par \(1 – 1/z \leq \ln z \leq z – 1\).
5.2 Tangente ou corde : la méthode générale
Une inégalité entre une fonction et une droite se lit presque toujours comme une position par rapport à une tangente ou à une corde. Il suffit d’identifier laquelle.
Pour établir \(f(x) \geq\) (ou \(\leq\)) une expression affine sur un intervalle \(J\) :
- tracer l’allure de \(f\) et de la droite pour savoir s’il s’agit d’une tangente ou d’une corde ;
- déterminer la convexité ou la concavité de \(f\) sur \(J\) ;
- tangente : vérifier que la droite touche la courbe en un point avec la même pente, puis appliquer le théorème des tangentes ;
- corde : vérifier que la droite passe par les deux points extrêmes de \(J\), puis appliquer la définition.
Montrons que \(\cos x \geq 1 – \dfrac{2x}{\pi}\) pour \(x \in [0, \pi/2]\). Sur cet intervalle, la dérivée seconde de \(\cos\) vaut \(-\cos x \leq 0\), donc \(\cos\) est concave. Or la droite \(y = 1 – 2x/\pi\) passe par \((0, 1)\) et \((\pi/2, 0)\) : c’est la corde. Par conséquent, la courbe est au-dessus de cette corde sur \([0, \pi/2]\), ce qui donne l’inégalité.
Avec le même raisonnement pour le sinus, on obtient l’inégalité de Jordan : \(\frac{2x}{\pi} \leq \sin x \leq x\) sur \([0, \pi/2]\). La minoration vient de la corde, et la majoration vient de la tangente en \(0\).
5.3 L’inégalité arithmético-géométrique
Pour des réels \(x_1, \dots, x_n\) strictement positifs, on compare leur moyenne arithmétique \(\frac{1}{n}\sum x_k\) et leur moyenne géométrique \(\big(\prod x_k\big)^{1/n}\). La concavité du logarithme suffit à les ranger.
Pour tous réels \(x_1, \dots, x_n\) strictement positifs,
\[ \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} \leq \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}, \]
avec égalité si et seulement si tous les \(x_k\) sont égaux.
Le logarithme est concave sur \(\mathbb{R}_+^*\). L’inégalité de Jensen avec les poids \(1/n\) donne donc
\[ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln x_k \leq \ln\Big(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} x_k\Big). \]
Le membre de gauche vaut \(\ln\) de la moyenne géométrique. Comme l’exponentielle est croissante, on conclut. Pour le cas d’égalité, on note \(m\) la moyenne arithmétique et on applique \(\ln z \leq z – 1\) à \(z = x_k/m\). En sommant, on obtient \(\sum \ln(x_k/m) \leq 0\), avec égalité seulement si chaque \(x_k/m\) vaut \(1\).
La figure montre le cas \(n = 2\) avec \(a = 1\) et \(b = 7\). Le milieu de la corde a pour ordonnée \(\ln\sqrt{7}\), qui est plus petite que \(\ln 4\). Ainsi \(\sqrt{7} \leq 4\), ce qu’on vérifie aussi directement.
Remarque :
Avec des poids \(\lambda_k\) positifs de somme \(1\), la même preuve donne la version pondérée : \(\prod x_k^{\lambda_k} \leq \sum \lambda_k x_k\). Par exemple, pour \(p, q > 1\) tels que \(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\), elle fournit l’inégalité de Young \(ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}\) pour \(a, b > 0\).
5.4 Optimiser sans dériver
L’inégalité arithmético-géométrique remplace souvent une étude de fonction. Elle donne à la fois la valeur du minimum et le point où il est atteint, grâce au cas d’égalité.
Cherchons le minimum de \(F(x) = 3x + \dfrac{4}{x^3}\) sur \(\mathbb{R}_+^*\), sans dériver. On découpe \(3x\) en trois termes égaux à \(x\) et on garde \(4/x^3\). Les quatre nombres \(x, x, x, 4/x^3\) ont pour produit \(4\). L’inégalité arithmético-géométrique donne alors
\[ \frac{x + x + x + 4/x^3}{4} \geq \sqrt[4]{4} = \sqrt{2}, \quad \text{donc} \quad F(x) \geq 4\sqrt{2}. \]
L’égalité exige \(x = 4/x^3\), soit \(x = \sqrt{2}\). Le minimum vaut donc \(4\sqrt{2}\). L’astuce consiste à découper les termes pour rendre le produit constant.
Les erreurs fréquentes
- Appliquer le critère \(f^{\prime\prime} \geq 0\) sur une réunion d’intervalles, comme \(\mathbb{R}^*\), et conclure à tort à la convexité.
- Confondre corde et tangente : une fonction convexe est sous ses cordes, mais au-dessus de ses tangentes.
- Utiliser Jensen avec des poids qui ne sont pas de somme \(1\), ou des points hors de l’intervalle de convexité.
- Oublier l’hypothèse de croissance pour la composée \(h \circ f\).
- Appliquer l’inégalité arithmético-géométrique à des réels de signe quelconque, alors qu’elle exige des réels positifs.
- Conclure à un minimum sans vérifier que le cas d’égalité est réalisable.
Fiche mémo
- Convexe : \(f((1-t)a + tb) \leq (1-t)f(a) + tf(b)\) ; la courbe est sous ses cordes.
- Concave : \(-f\) convexe ; les fonctions affines sont les deux à la fois.
- Jensen : \(f(\sum \lambda_k x_k) \leq \sum \lambda_k f(x_k)\) pour des poids positifs de somme \(1\).
- Pentes : \(f\) convexe si et seulement si chaque \(x \mapsto p(a, x)\) est croissante.
- Sécante : la courbe est dessous entre les deux points, dessus en dehors.
- Dérivable : convexe si et seulement si \(f^{\prime}\) croissante ; deux fois dérivable : \(f^{\prime\prime} \geq 0\), sur un intervalle.
- Tangentes : une fonction convexe dérivable est au-dessus de chacune d’elles.
- Classiques : \(e^x \geq 1 + x\), \(\ln(1+y) \leq y\), \(\ln z \leq z – 1\), \(\frac{2x}{\pi} \leq \sin x \leq x\) sur \([0, \pi/2]\).
- Arithmético-géométrique : moyenne géométrique inférieure à moyenne arithmétique, égalité si les nombres sont égaux.
Questions fréquentes
Comment savoir s'il faut utiliser une tangente ou une corde ?
Tracez la fonction et la droite proposée. Si la droite touche la courbe en un seul point avec la même pente, c’est une tangente ; si elle relie les deux extrémités de l’intervalle, c’est une corde. Une fonction convexe est au-dessus de ses tangentes et sous ses cordes, et c’est l’inverse pour une fonction concave.
Une fonction convexe est-elle forcément dérivable ?
Non. La valeur absolue est convexe sur R mais n’est pas dérivable en 0. En revanche, une fonction convexe sur un intervalle ouvert admet en chaque point une dérivée à gauche et une dérivée à droite, ce qui découle de la croissance des pentes.
Peut-on conclure à la convexité avec une dérivée seconde positive sur R privé de 0 ?
Non, car les critères par la dérivée ne valent que sur un intervalle. On peut seulement dire que la fonction est convexe sur chacun des deux intervalles séparément. La fonction inverse en est l’exemple typique.
Faut-il savoir démontrer l'inégalité de Jensen ?
Oui, la preuve par récurrence sur le nombre de points est un classique de colle. Elle consiste à regrouper les n premiers points en un seul barycentre, puis à appliquer la définition à deux points.
Pour aller plus loin
- S’exercer : exercices corrigés de maths sup (MPSI) sur convexité et inégalités classiques
- Bases utiles : Dérivabilité, Rolle et accroissements finis
- Chapitre d’avant : Dérivabilité, Rolle et accroissements finis
- Chapitre d’après : PGCD, Bézout, Gauss et nombres premiers dans Z
- Vérifier ses acquis : QCM de maths sup (MPSI) sur convexité et inégalités classiques
- Contrôle corrigé en temps limité : Inégalités par Rolle et par convexité : contrôle de maths en MPSI
- Tous les chapitres : le sommaire de maths sup (MPSI)
- Après le bac : les maths post-bac, de la MPSI à la L3
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