Décomposition en éléments simples en maths sup (MPSI) : cours et méthodes
Ce chapitre réunit deux outils qui se complètent : l’arithmétique de K[X] et la décomposition des fractions rationnelles. Vous y verrez d’abord comment calculer un PGCD de polynômes par l’algorithme d’Euclide, puis comment en tirer une relation de Bézout. Le lemme de Gauss permet ensuite de construire proprement le corps des fractions rationnelles et leur forme irréductible.
La seconde moitié du cours traite des éléments simples MPSI sur C puis sur R. Nous insistons sur les méthodes rapides : coefficient d’un pôle simple par évaluation, passage à la limite, exploitation de la parité. Enfin, la fraction P’/P sert à calculer des sommes sur les racines sans jamais les connaître.
Ce chapitre du premier semestre prépare directement le calcul de primitives, l’étude des séries télescopiques et de nombreux exercices de colle.
Ce que vous saurez faire
- Calculer le PGCD de deux polynômes par l’algorithme d’Euclide et en tirer une relation de Bézout.
- Reconnaître deux polynômes premiers entre eux et utiliser le lemme de Gauss pour conclure à une divisibilité.
- Mettre une fraction rationnelle sous forme irréductible, lire son degré, ses zéros et ses pôles.
- Extraire la partie entière d’une fraction par division euclidienne.
- Décomposer rapidement une fraction en éléments simples sur \(\mathbb{C}\) puis sur \(\mathbb{R}\).
- Obtenir le coefficient d’un pôle simple par une seule évaluation.
- Exploiter la fraction \(P^{\prime}/P\) pour calculer une somme portant sur les racines de \(P\).
1. PGCD de polynômes et algorithme d’Euclide
Ici, la lettre \(\mathbb{K}\) vaut \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\) d’un bout à l’autre. Comme dans \(\mathbb{Z}\), on sait diviser euclidiennement dans \(\mathbb{K}[X]\). Par conséquent, toute l’arithmétique des entiers se transpose : diviseurs communs, PGCD, Bézout, Gauss. La seule différence tient à la normalisation. En effet, les éléments inversibles de \(\mathbb{K}[X]\) sont les constantes non nulles, et non plus \(\pm 1\).
1.1 Diviseurs communs et PGCD
Deux polynômes associés, c’est-à-dire égaux à une constante non nulle près, ont les mêmes diviseurs. C’est pourquoi on choisit un représentant privilégié : le polynôme unitaire.
Prenons \(A\) et \(B\) dans \(\mathbb{K}[X]\), l’un au moins étant non nul. L’idéal \(A\,\mathbb{K}[X]+B\,\mathbb{K}[X]\) est engendré par un seul polynôme unitaire \(D\). Ce polynôme \(D\) s’appelle le PGCD de \(A\) et \(B\), noté \(A\wedge B\). Ses diviseurs sont précisément les polynômes qui divisent à la fois \(A\) et \(B\). On convient enfin que \(0\wedge 0=0\).
Autrement dit, le PGCD est le diviseur commun de plus haut degré, rendu unitaire. En pratique, on ne passe presque jamais par les idéaux pour le calculer. On utilise plutôt l’algorithme qui suit.
1.2 L’algorithme d’Euclide
Le calcul repose sur une remarque simple. Si \(A=BQ+R\), alors les diviseurs communs à \(A\) et \(B\) sont ceux de \(B\) et \(R\). Ainsi, \(A\wedge B=B\wedge R\). On remplace donc le couple \((A,B)\) par \((B,R)\), dont les degrés sont plus petits.
- Poser \(R_0=A\) et \(R_1=B\), avec \(\deg B\leqslant \deg A\).
- Tant que \(R_k\neq 0\), effectuer la division \(R_{k-1}=R_kQ_k+R_{k+1}\).
- Le dernier reste non nul est un PGCD : il reste à le diviser par son coefficient dominant.
- Garder la trace de chaque quotient : ils serviront à remonter vers Bézout.
Comme les degrés des restes décroissent strictement, l’algorithme s’arrête après au plus \(\deg B+1\) divisions. Le graphique ci-dessous montre cette chute de degré sur l’exemple de \(X^5-1\) et \(X^3-1\).
Cherchons le PGCD de \(X^5-1\) et \(X^3-1\). D’abord, \(X^5-1=X^2(X^3-1)+X^2-1\). Ensuite, \(X^3-1=X(X^2-1)+X-1\). Enfin, \(X^2-1=(X+1)(X-1)\) avec un reste nul. Le dernier reste non nul vaut \(X-1\), déjà unitaire. Donc \((X^5-1)\wedge(X^3-1)=X-1\). On retrouve d’ailleurs que \(1\) est la seule racine commune, car \(5\) et \(3\) sont premiers entre eux.
1.3 Relation de Bézout
Pour tous \(A\), \(B\) de \(\mathbb{K}[X]\), il existe \(U\) et \(V\) dans \(\mathbb{K}[X]\) tels que \(AU+BV=A\wedge B\).
La preuve découle de la description par les idéaux. Cependant, la méthode utile en colle consiste à remonter l’algorithme d’Euclide. On exprime chaque reste en fonction des deux précédents, puis on substitue de proche en proche.
Soient \(A=X^4+X^3+2X^2+X+1\) et \(B=X^3+2X^2+2X+1\). La première division donne \(A=(X-1)B+2(X^2+X+1)\). Puis \(B=\tfrac{1}{2}(X+1)\cdot 2(X^2+X+1)\), avec un reste nul. Le PGCD vaut donc \(D=X^2+X+1\). Pour Bézout, on isole le reste utile :
\[X^2+X+1=\frac{1}{2}A+\frac{1-X}{2}\,B.\]
Ici, une seule étape suffit. En pratique, on vérifie toujours le résultat en développant le membre de droite.
Piège à éviter :
Le couple \((U,V)\) n’est jamais unique. En effet, on peut ajouter \(kB/D\) à \(U\) et retrancher \(kA/D\) à \(V\). En revanche, il existe un unique couple vérifiant \(\deg U<\deg B-\deg D\) et \(\deg V<\deg A-\deg D\). C’est souvent ce couple que l’énoncé réclame.
2. Polynômes premiers entre eux et lemme de Gauss
2.1 Caractérisation par Bézout
Les polynômes \(A\) et \(B\) sont premiers entre eux lorsque \(A\wedge B=1\), c’est-à-dire lorsque leurs seuls diviseurs communs sont les constantes non nulles.
\(A\) et \(B\) sont premiers entre eux si et seulement s’il existe \(U\) et \(V\) dans \(\mathbb{K}[X]\) tels que \(AU+BV=1\).
Le sens direct est le théorème de Bézout. Réciproquement, supposons \(AU+BV=1\). Tout diviseur commun \(C\) de \(A\) et \(B\) divise alors \(AU+BV\), donc divise \(1\). Par conséquent, \(C\) est une constante non nulle, et \(A\wedge B=1\).
Sur \(\mathbb{C}\), une traduction très concrète existe. Deux polynômes non nuls de \(\mathbb{C}[X]\) sont étrangers exactement quand aucun complexe ne les annule à la fois. En effet, un diviseur commun non constant posséderait une racine, d’après le théorème de d’Alembert-Gauss. Ce critère vaut aussi pour des polynômes réels, à condition de chercher les racines dans \(\mathbb{C}\).
Pour prouver que \(X^3+X+1\) et \(X^2+1\) sont premiers entre eux, on écrit \(X^3+X+1=X(X^2+1)+1\). Ainsi, \((X^3+X+1)-X(X^2+1)=1\) : la relation de Bézout se lit directement, sans aucun calcul de racine.
2.2 Lemme de Gauss et conséquences
Lemme de Gauss. Si \(A\) divise \(BC\) et si \(A\wedge B=1\), alors \(A\) divise \(C\).
Écrivons \(AU+BV=1\). En multipliant par \(C\), on obtient \(ACU+BCV=C\). D’une part, \(A\) divise \(ACU\). D’autre part, \(A\) divise \(BC\), donc \(BCV\). Finalement, \(A\) divise la somme, c’est-à-dire \(C\).
Lorsque \(A\) et \(B\), premiers entre eux, sont deux diviseurs de \(C\), leur produit \(AB\) reste un diviseur de \(C\). De même, si \(A\) est premier avec \(B\) et avec \(C\), alors \(A\) est premier avec \(BC\).
Ce corollaire sert constamment. Par exemple, pour montrer que \((X-1)^2(X+2)\) divise un polynôme \(P\), il suffit de vérifier séparément que \((X-1)^2\) et \(X+2\) le divisent. En effet, ces deux facteurs n’ont aucune racine commune.
Remarque :
Le PGCD se lit aussi sur les factorisations. Si \(A\) et \(B\) sont scindés, chaque racine commune apparaît dans \(A\wedge B\) avec la plus petite de ses deux multiplicités. Cette lecture est rapide, mais elle suppose de connaître les racines. Sinon, l’algorithme d’Euclide reste la seule voie sûre.
3. Le corps K(X) des fractions rationnelles
De même que \(\mathbb{Q}\) se construit à partir de \(\mathbb{Z}\), on construit \(\mathbb{K}(X)\) à partir de \(\mathbb{K}[X]\). Une fraction rationnelle s’écrit \(F=P/Q\), avec \(Q\neq 0\). Deux écritures \(P/Q\) et \(P_1/Q_1\) représentent la même fraction lorsque \(PQ_1=P_1Q\). Muni des opérations usuelles, \(\mathbb{K}(X)\) est un corps qui contient \(\mathbb{K}[X]\).
3.1 Forme irréductible
Toute fraction non nulle \(F\) s’écrit de façon unique \(F=P/Q\) avec \(P\wedge Q=1\) et \(Q\) unitaire. C’est la forme irréductible de \(F\).
Pour l’obtenir, on divise \(P\) et \(Q\) par leur PGCD, puis on ajuste la constante. L’unicité vient du lemme de Gauss : si \(P/Q=P_1/Q_1\) sous forme irréductible, alors \(Q\) divise \(P Q_1\) et est premier avec \(P\), donc \(Q\) divise \(Q_1\). Par symétrie, les deux dénominateurs unitaires coïncident.
3.2 Degré et partie entière
Le degré de \(F=P/Q\) est \(\deg F=\deg P-\deg Q\), dans \(\mathbb{Z}\cup\{-\infty\}\). Il ne dépend pas du représentant choisi. De plus, le degré d’un produit est la somme des degrés. En revanche, le degré d’une somme ne dépasse pas le plus grand des deux degrés.
Toute fraction \(F\) s’écrit de façon unique \(F=E+G\), où \(E\) est un polynôme et \(G\) une fraction de degré strictement négatif. On nomme \(E\) la partie entière de \(F\) ; on l’obtient comme quotient lorsqu’on divise \(P\) par \(Q\).
Le degré renseigne donc d’emblée sur la partie entière. Lorsque \(\deg F<0\), elle est nulle. Pour \(\deg F=0\), elle est constante, égale au quotient des coefficients dominants. Enfin, dès que \(\deg F\geqslant 1\), il faut effectuer la division.
Considérons \(F=\dfrac{X^3+2}{X^2-1}\). La division donne \(X^3+2=X(X^2-1)+X+2\). Ainsi, la partie entière vaut \(X\) et
\[F=X+\frac{X+2}{X^2-1}.\]
Sur le graphe de la fonction associée, cette partie entière se voit : la droite d’équation \(y=x\) est asymptote oblique en \(\pm\infty\).
3.3 Zéros, pôles et multiplicités
Soit \(F=P/Q\) sous forme irréductible. Les racines de \(P\) sont les zéros de \(F\). Les racines de \(Q\) sont les pôles de \(F\). À chaque zéro, on attache l’ordre qu’il possède dans \(P\) ; à chaque pôle, celui qu’il possède dans \(Q\).
La forme irréductible est indispensable ici. Par exemple, \(\dfrac{X^2-4}{X^2-3X+2}\) semble admettre \(2\) comme zéro et comme pôle. Pourtant, après simplification par \(X-2\), il reste \(\dfrac{X+2}{X-1}\). Ainsi, \(2\) n’est ni un zéro ni un pôle : c’est une simple valeur où l’écriture initiale n’avait pas de sens.
Piège à éviter :
On ne lit jamais les pôles sur une écriture non simplifiée. D’abord, on calcule le PGCD du numérateur et du dénominateur. Ensuite seulement, on énumère les racines restantes avec leurs multiplicités.
4. Décomposition en éléments simples sur C
Décomposer une fraction, c’est l’écrire comme une somme de termes élémentaires dont chacun ne fait intervenir qu’un seul pôle. Cette écriture rend triviaux le calcul des primitives, des dérivées successives et de nombreuses sommes télescopiques.
4.1 Le théorème
Soit \(F=P/Q\) sous forme irréductible, avec \(Q=\prod_{k=1}^{r}(X-a_k)^{m_k}\), les \(a_k\) étant des complexes distincts. Alors \(F\) s’écrit, d’une seule manière, comme sa partie entière \(E\) augmentée d’une somme double :
\[F=E+\sum_{k=1}^{r}\left(\frac{\lambda_{k,1}}{X-a_k}+\dots+\frac{\lambda_{k,m_k}}{(X-a_k)^{m_k}}\right),\]
les \(\lambda_{k,j}\) étant des complexes. De plus, \(\lambda_{k,m_k}\neq 0\) pour tout \(k\).
La somme intérieure s’appelle la partie polaire relative au pôle \(a_k\). Le théorème découle du lemme de Gauss, appliqué aux facteurs \((X-a_k)^{m_k}\), deux à deux premiers entre eux. Admettons-le, et concentrons-nous sur les méthodes de calcul.
La forme de la décomposition se lit sur le dénominateur factorisé. Un pôle de multiplicité \(m\) apporte exactement \(m\) termes, de puissances \(1\) à \(m\). On écrit d’abord cette forme avec des inconnues, puis on détermine chaque coefficient.
4.2 Coefficient d’un pôle simple
Soit \(a\) un pôle simple de \(F=P/Q\). Écrivons \(Q=(X-a)Q_1\) avec \(Q_1(a)\neq 0\). Le coefficient de \(\dfrac{1}{X-a}\) dans la décomposition vaut
\[\lambda=\frac{P(a)}{Q_1(a)}=\frac{P(a)}{Q^{\prime}(a)}.\]
Isolons le terme cherché : \(F=\dfrac{\lambda}{X-a}+G\), la fraction \(G\) regroupant tout le reste, sans pôle en \(a\). Le produit par \(X-a\) fournit l’égalité \(\lambda+(X-a)G=P/Q_1\). Évaluons ensuite en \(a\) : le second terme s’annule, d’où \(\lambda=P(a)/Q_1(a)\). Enfin, la dérivation de \(Q=(X-a)Q_1\) donne \(Q^{\prime}(a)=Q_1(a)\).
La première formule convient lorsque \(Q\) est déjà factorisé : on « cache » le facteur \(X-a\) et on évalue le reste en \(a\). La seconde est précieuse lorsque \(Q\) est donné sous forme développée, comme \(X^n-c\).
Décomposons \(G=\dfrac{2X+7}{(X-3)(X+2)}\). Le degré est négatif, donc la partie entière est nulle. En \(3\), on cache \(X-3\) : \(\lambda_3=\dfrac{2\cdot 3+7}{3+2}=\dfrac{13}{5}\). En \(-2\), on cache \(X+2\) : \(\lambda_{-2}=\dfrac{-4+7}{-2-3}=-\dfrac{3}{5}\). Ainsi,
\[G=\frac{13}{5(X-3)}-\frac{3}{5(X+2)}.\]
Contrôle : \(XG\) tend vers \(2\) à l’infini, et \(\tfrac{13}{5}-\tfrac{3}{5}=2\).
4.3 Pôles multiples
Pour un pôle \(a\) de multiplicité \(m\geqslant 2\), seul le coefficient de plus haut degré s’obtient par évaluation. On multiplie par \((X-a)^m\) et on évalue en \(a\). Les autres coefficients demandent un peu plus de travail.
- Calculer les coefficients des pôles simples et le coefficient dominant de chaque pôle multiple par évaluation.
- Pour un unique coefficient restant, multiplier \(F\) par \(X\) et faire tendre \(X\) vers l’infini : on obtient la somme des coefficients des termes en \(\tfrac{1}{X-a_k}\).
- Sinon, évaluer \(F\) en une valeur commode, par exemple \(0\), qui n’est pas un pôle.
- Pour un pôle de grande multiplicité, poser \(X=a+h\) et effectuer une division suivant les puissances croissantes de \(h\).
Soit \(H=\dfrac{X^2+1}{(X-2)^2(X+3)}\). La forme attendue est \(\dfrac{\alpha}{X-2}+\dfrac{\beta}{(X-2)^2}+\dfrac{\gamma}{X+3}\). D’abord, en cachant \((X-2)^2\), on trouve \(\beta=\dfrac{4+1}{2+3}=1\). Ensuite, en cachant \(X+3\), on obtient \(\gamma=\dfrac{9+1}{25}=\dfrac{2}{5}\). Enfin, \(XH\) tend vers \(1\) à l’infini, donc \(\alpha+\gamma=1\) et \(\alpha=\dfrac{3}{5}\).
5. Décomposition en éléments simples sur R
Lorsque \(F\) est à coefficients réels, on souhaite souvent une écriture sans nombre complexe, par exemple pour intégrer. Or le dénominateur se factorise dans \(\mathbb{R}[X]\) en facteurs de degré \(1\) et en trinômes de discriminant strictement négatif.
5.1 Éléments de première et de seconde espèce
Soit \(F=P/Q\in\mathbb{R}(X)\) sous forme irréductible, avec
\[Q=\prod_{k}(X-a_k)^{m_k}\prod_{l}(X^2+p_lX+q_l)^{n_l},\qquad p_l^2-4q_l<0.\]
Alors \(F\) s’écrit de façon unique comme la somme de sa partie entière, de termes \(\dfrac{\lambda}{(X-a_k)^j}\) avec \(1\leqslant j\leqslant m_k\), et de termes \(\dfrac{\mu X+\nu}{(X^2+p_lX+q_l)^j}\) avec \(1\leqslant j\leqslant n_l\). Tous les coefficients sont réels.
Les termes en \((X-a)^{-j}\) sont dits de première espèce, ceux qui font intervenir un trinôme sont de seconde espèce. Au programme de MPSI, les calculs pratiques se limitent essentiellement aux trinômes de multiplicité \(1\).
5.2 Méthode de calcul des éléments simples réels
- Factoriser le dénominateur dans \(\mathbb{R}[X]\) et écrire la forme de la décomposition.
- Obtenir les coefficients de première espèce par évaluation, comme sur \(\mathbb{C}\).
- Pour un terme \(\dfrac{\mu X+\nu}{X^2+pX+q}\), multiplier par le trinôme et évaluer en l’une de ses racines complexes \(z\) : l’égalité \(\mu z+\nu=c\) donne \(\mu\) et \(\nu\) par identification des parties réelle et imaginaire.
- À défaut, soustraire les termes connus et simplifier : le reste se lit directement.
Une autre voie consiste à décomposer d’abord sur \(\mathbb{C}\), puis à regrouper les pôles conjugués. En effet, si \(F\) est réelle, les coefficients relatifs à \(a\) et à \(\overline{a}\) sont conjugués. La somme de deux termes conjugués est alors réelle et de seconde espèce.
Décomposons \(K=\dfrac{1}{X^4+4}\). Ses pôles sont les quatre complexes \(\pm 1\pm i\), tous simples. Pour chacun, \(a^4=-4\), d’où le coefficient \(\dfrac{1}{4a^3}=\dfrac{a}{4a^4}=-\dfrac{a}{16}\). Regroupons \(1+i\) et \(1-i\) :
\[-\frac{1}{16}\left(\frac{1+i}{X-1-i}+\frac{1-i}{X-1+i}\right)=-\frac{X-2}{8(X^2-2X+2)}.\]
De même, les pôles \(-1\pm i\) fournissent \(\dfrac{X+2}{8(X^2+2X+2)}\). Par conséquent,
\[\frac{1}{X^4+4}=\frac{X+2}{8(X^2+2X+2)}-\frac{X-2}{8(X^2-2X+2)}.\]
5.3 Exploiter la parité
Lorsque \(F(-X)=F(X)\) ou \(F(-X)=-F(X)\), l’unicité de la décomposition impose des relations entre coefficients. On divise alors le nombre d’inconnues par deux.
Soit \(L=\dfrac{1}{X^4+X^2+1}\). On factorise \(X^4+X^2+1=(X^2+1)^2-X^2=(X^2+X+1)(X^2-X+1)\). La forme cherchée est \(\dfrac{aX+b}{X^2+X+1}+\dfrac{cX+d}{X^2-X+1}\). Comme \(L\) est paire, remplacer \(X\) par \(-X\) échange les deux termes. Par unicité, \(c=-a\) et \(d=b\). Ensuite, l’évaluation en \(0\) donne \(2b=1\). Enfin, \(XL\) tend vers \(0\), ce qui donne \(a+c=0\), déjà acquis. On évalue alors en \(1\) : \(\tfrac{1}{3}=\tfrac{a+b}{3}+\tfrac{b-a}{1}\), d’où \(a=\tfrac{1}{2}\). Finalement,
\[\frac{1}{X^4+X^2+1}=\frac{X+1}{2(X^2+X+1)}-\frac{X-1}{2(X^2-X+1)}.\]
Remarque :
Dans une décomposition sur \(\mathbb{R}\), un facteur \(X^2+c\) avec \(c>0\) reste irréductible. En revanche, \(X^2-c\) se scinde en \((X-\sqrt{c})(X+\sqrt{c})\). Il faut donc toujours contrôler le signe du discriminant avant d’écrire la forme.
6. La fraction P’/P et les sommes sur les racines
La fraction \(P^{\prime}/P\) joue le rôle d’une dérivée logarithmique. Sa décomposition est remarquablement simple, et elle transforme des sommes sur des racines inconnues en un calcul de valeurs de \(P\) et \(P^{\prime}\).
6.1 Décomposition de P’/P
Soit \(P\) un polynôme non constant de \(\mathbb{C}[X]\), de racines distinctes \(a_1,\dots,a_r\) de multiplicités \(m_1,\dots,m_r\). Alors
\[\frac{P^{\prime}}{P}=\sum_{k=1}^{r}\frac{m_k}{X-a_k}.\]
Écrivons \(P=c\prod_{k}(X-a_k)^{m_k}\). La dérivée d’un produit donne \(P^{\prime}=\sum_{k} m_k(X-a_k)^{m_k-1}\,c\prod_{l\neq k}(X-a_l)^{m_l}\). En divisant chaque terme par \(P\), il reste exactement \(\dfrac{m_k}{X-a_k}\). Cette écriture est bien la décomposition, puisque \(\deg(P^{\prime}/P)=-1\).
Ainsi, tous les pôles de \(P^{\prime}/P\) sont simples, et le coefficient de chacun est la multiplicité de la racine correspondante. Si l’on répète chaque racine selon sa multiplicité, en notant \(x_1,\dots,x_n\) les racines, on obtient la forme compacte \(\dfrac{P^{\prime}}{P}=\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{X-x_i}\).
6.2 Calcul de sommes sur les racines
- Reconnaître dans la somme cherchée une expression du type \(\sum_i \dfrac{1}{c-x_i}\).
- Évaluer la décomposition de \(P^{\prime}/P\) en \(c\), qui ne doit pas être racine : la somme vaut \(\dfrac{P^{\prime}(c)}{P(c)}\).
- Pour \(\sum_i \dfrac{1}{(c-x_i)^2}\), dériver d’abord : \(\left(\dfrac{P^{\prime}}{P}\right)^{\prime}=-\sum_i\dfrac{1}{(X-x_i)^2}\), puis évaluer en \(c\).
Soit \(P=X^3-2X+3\), de racines complexes \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\). Calculons \(S=\sum_{i}\dfrac{1}{1-x_i}\). D’une part, \(P(1)=2\). D’autre part, \(P^{\prime}=3X^2-2\), donc \(P^{\prime}(1)=1\). Par conséquent, \(S=\dfrac{P^{\prime}(1)}{P(1)}=\dfrac{1}{2}\). Ce calcul évite totalement la résolution de l’équation de degré trois.
6.3 Lecture graphique sur la droite réelle
Supposons \(P\) réel et scindé à racines simples \(x_1<\dots<x_n\). Sur chaque intervalle entre deux racines, la fonction \(x\mapsto P^{\prime}(x)/P(x)\) est une somme de fonctions strictement décroissantes. Elle décroît donc strictement de \(+\infty\) à \(-\infty\). Par le théorème des valeurs intermédiaires, elle s’annule exactement une fois. On retrouve ainsi que \(P^{\prime}\) possède une racine et une seule entre deux racines consécutives de \(P\).
Remarque :
Hors programme strict, ce raisonnement se prolonge dans \(\mathbb{C}\). Il montre que les racines de \(P^{\prime}\) sont dans l’enveloppe convexe des racines de \(P\) : c’est le théorème de Gauss-Lucas.
Les erreurs fréquentes
- Oublier de rendre le PGCD unitaire, ou confondre « un PGCD » et « le PGCD ».
- Lire les pôles sur une fraction non simplifiée, et compter ainsi un faux pôle.
- Omettre la partie entière lorsque \(\deg F\geqslant 0\) : la décomposition devient alors fausse.
- Écrire un seul terme pour un pôle double, au lieu des deux termes \(\tfrac{\alpha}{X-a}\) et \(\tfrac{\beta}{(X-a)^2}\).
- Placer une simple constante au-dessus d’un trinôme irréductible, au lieu de \(\mu X+\nu\).
- Appliquer la formule \(P(a)/Q^{\prime}(a)\) à un pôle multiple, où elle n’a aucun sens.
Fiche mémo
- \(A\wedge B=B\wedge R\) si \(A=BQ+R\) : c’est le moteur de l’algorithme d’Euclide.
- Bézout : il existe \(U\), \(V\) avec \(AU+BV=A\wedge B\), obtenus en remontant les divisions.
- \(A\wedge B=1\) si et seulement si \(AU+BV=1\) ; sur \(\mathbb{C}\), si et seulement s’il n’y a pas de racine commune.
- Gauss : \(A\mid BC\) et \(A\wedge B=1\) entraînent \(A\mid C\).
- Forme irréductible : \(P/Q\) avec \(P\wedge Q=1\) et \(Q\) unitaire ; pôles et zéros se lisent sur elle.
- Partie entière : quotient de \(P\) par \(Q\), nulle si \(\deg F<0\).
- Pôle simple \(a\) : coefficient \(\dfrac{P(a)}{Q^{\prime}(a)}\).
- Coefficient restant : multiplier par \(X\) et passer à la limite, ou évaluer en un point commode.
- Sur \(\mathbb{R}\) : termes \(\dfrac{\mu X+\nu}{X^2+pX+q}\) pour les trinômes irréductibles ; la parité réduit les inconnues.
- \(\dfrac{P^{\prime}}{P}=\sum_k \dfrac{m_k}{X-a_k}\), donc \(\sum_i \dfrac{1}{c-x_i}=\dfrac{P^{\prime}(c)}{P(c)}\).
Questions fréquentes
Faut-il toujours effectuer la division euclidienne avant de décomposer ?
Seulement si le degré de la fraction est positif ou nul. Lorsque le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur, la partie entière est nulle et la division est inutile. Dans le cas contraire, l’oublier rend toute la décomposition fausse.
Comment trouver vite le coefficient d'un pôle double ?
Le coefficient du terme de puissance 2 s’obtient en multipliant par le carré du facteur puis en évaluant au pôle. Pour le terme de puissance 1, on multiplie la fraction par X et on fait tendre X vers l’infini, ou bien on évalue en un point simple comme 0. Pour un pôle triple ou plus, le changement de variable X = a + h reste la méthode la plus sûre.
Pourquoi passer par C pour décomposer sur R ?
Sur C, tous les pôles sont de première espèce, et la formule P(a)/Q'(a) donne les coefficients des pôles simples immédiatement. Il suffit ensuite de regrouper deux à deux les pôles conjugués pour obtenir des termes réels de seconde espèce. Cette voie est souvent plus rapide que l’identification directe.
À quoi sert la fraction P'/P en pratique ?
Sa décomposition fait apparaître chaque racine de P avec sa multiplicité comme coefficient. En l’évaluant en un point c, on obtient la somme des inverses des écarts c moins racine. On calcule ainsi des sommes sur les racines d’un polynôme sans résoudre l’équation correspondante.
Pour aller plus loin
- S’exercer : exercices corrigés de maths sup (MPSI) sur décomposition en éléments simples
- Bases utiles : Polynômes : racines, multiplicité et factorisation, PGCD, Bézout, Gauss et nombres premiers dans Z
- Chapitre d’avant : Polynômes : racines, multiplicité et factorisation
- Chapitre d’après : Équivalents, petits o et grands O
- Vérifier ses acquis : QCM de maths sup (MPSI) sur décomposition en éléments simples
- Contrôle corrigé en temps limité : Primitives de fractions rationnelles : contrôle de maths en MPSI
- Tous les chapitres : le sommaire de maths sup (MPSI)
- Après le bac : les maths post-bac, de la MPSI à la L3
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