Dimension et formule de Grassmann en maths sup (MPSI) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Une famille liée de trois vecteurs

Dans \(\mathbb{R}^3\), on pose \(u=(1,2,-1)\), \(v=(0,1,3)\) et \(w=(2,3,-5)\).

1. Prouver que \(u\) et \(v\) ne sont pas proportionnels.
2. Établir que \(w\) est combinaison linéaire de \(u\) et \(v\), puis écrire la relation obtenue.
3. En déduire le rang de \((u,v,w)\) et une base de \(\mathrm{Vect}(u,v,w)\).

Exercice 2 – Une base de polynômes à degrés échelonnés

Dans \(\mathbb{R}_3[X]\), on considère \(Q_0=3\), \(Q_1=2X-1\), \(Q_2=X^2+4X\) et \(Q_3=(X-2)^3\).

1. Justifier sans calcul que \((Q_0,Q_1,Q_2,Q_3)\) est une base de \(\mathbb{R}_3[X]\).
2. Déterminer les coordonnées de \(X^2\) dans cette base.
3. Déterminer les coordonnées de \(X^3\) dans cette base.

Exercice 3 – Coordonnées dans une base non canonique du plan

On travaille dans le plan \(\mathbb{R}^2\) avec \(b_1=(3,1)\) et \(b_2=(1,2)\).

1. Justifier que \((b_1,b_2)\) est une base du plan.
2. Calculer les deux coordonnées de \((7,-1)\) relativement à \((b_1,b_2)\).
3. Exprimer, en fonction de \(x\) et \(y\), les coordonnées de \((x,y)\) relativement à \((b_1,b_2)\).

Exercice 4 – Une base de l’espace par comptage

Soit \(u=(2,0,1)\), \(v=(1,-1,0)\) et \(w=(0,3,1)\), trois vecteurs de l’espace.

1. Établir, en ne prouvant qu’une seule propriété, que \((u,v,w)\) est une base de \(\mathbb{R}^3\).
2. Calculer les composantes de \((1,1,1)\) sur \(u\), \(v\) et \(w\).

Exercice 5 – Rang de quatre vecteurs de l’espace

Dans \(\mathbb{R}^3\), on considère \(v_1=(1,2,0)\), \(v_2=(2,1,3)\), \(v_3=(3,3,3)\) et \(v_4=(0,3,-3)\).

1. Exprimer \(v_3\) et \(v_4\) en fonction de \(v_1\) et \(v_2\).
2. Déterminer le rang de la famille \((v_1,v_2,v_3,v_4)\).
3. Cette famille est-elle génératrice de \(\mathbb{R}^3\) ?

Exercice 6 – Sous-espace défini par deux équations

On considère \(F=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 : x+2y-t=0 \text{ et } y-z+t=0\}\).

1. Justifier que \(F\) est un sous-espace, en exploitant le caractère homogène des équations.
2. Déterminer une base de \(F\) et sa dimension.
3. Le vecteur \((1,1,4,3)\) appartient-il à \(F\) ? Si oui, donner ses coordonnées dans la base trouvée.

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Liberté de trois fonctions valeur absolue

On travaille dans le \(\mathbb{R}\)-espace \(\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\). Soit les trois fonctions \(f_1(x)=|x+1|\), \(f_2(x)=|x|\) et \(f_3(x)=|x-1|\).

1. Prouver que \((f_1,f_2,f_3)\) est libre en évaluant en trois points.
2. Montrer que la fonction identité \(\mathrm{id}:x\mapsto x\) n’appartient pas à \(\mathrm{Vect}(f_1,f_2,f_3)\).
3. En déduire que \((f_1,f_2,f_3,\mathrm{id})\) est libre et préciser la dimension de son Vect.

Exercice 8 – Compléter une famille libre en dimension 4

Dans \(\mathbb{R}^4\), on note \((\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon_4)\) la base canonique, et on pose \(u_1=(1,1,0,0)\), \(u_2=(0,1,1,-1)\).

1. Montrer que \((u_1,u_2)\) est libre.
2. Montrer que \((u_1,u_2,\varepsilon_1,\varepsilon_2)\) n’est pas une base de \(\mathbb{R}^4\).
3. Montrer que \((u_1,u_2,\varepsilon_3,\varepsilon_4)\) est une base de \(\mathbb{R}^4\).
4. En déduire un supplémentaire de \(\mathrm{Vect}(u_1,u_2)\) dans \(\mathbb{R}^4\).

Exercice 9 – Rang d’une famille à paramètre

Pour \(m\in\mathbb{R}\), on pose \(u=(m,1,0)\), \(v=(1,m,1)\) et \(w=(0,1,m)\) dans \(\mathbb{R}^3\).

1. Calculer le déterminant de la matrice dont les colonnes sont \(u\), \(v\), \(w\), et le factoriser.
2. Trouver les réels \(m\) tels que \((u,v,w)\) soit une base de \(\mathbb{R}^3\).
3. Pour chaque valeur exclue, calculer le rang et exhiber une relation linéaire entre \(u\), \(v\) et \(w\).

Exercice 10 – Échelonner puis trouver des équations cartésiennes

Soit \(a=(1,2,-1,3)\), \(b=(2,3,0,1)\), \(c=(0,1,-2,5)\) et \(d=(3,4,1,-1)\), quatre vecteurs de \(\mathbb{R}^4\), et \(F=\mathrm{Vect}(a,b,c,d)\).

1. Déterminer le rang de \((a,b,c,d)\) par échelonnement, et exprimer \(c\) et \(d\) en fonction de \(a\) et \(b\).
2. Extraire de \((a,b,c,d)\) une base de \(F\).
3. Déterminer un système de deux équations linéaires dont l’ensemble des solutions est \(F\).
4. Le vecteur \((1,1,1,1)\) appartient-il à \(F\) ?

Exercice 11 – Rang d’une famille de fonctions trigonométriques

Voici six fonctions de \(\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\) : \(f_1=\cos^2\), \(f_2=\sin^2\), \(f_3:x\mapsto\cos(2x)\), \(f_4:x\mapsto 1\), \(f_5:x\mapsto\sin(2x)\) et \(f_6:x\mapsto\sin x\cos x\).

1. Écrire \(f_3\), \(f_4\) et \(f_6\) comme combinaisons de \(f_1\), \(f_2\) et \(f_5\).
2. Prouver que \(f_1\), \(f_2\) et \(f_5\) forment une famille libre.
3. En déduire le rang de \((f_1,\dots,f_6)\) et une base de l’espace qu’elle engendre.

Exercice 12 – Intersection et somme de deux plans

Soit \(P\) le plan vectoriel de \(\mathbb{R}^3\) défini par \(x-y+2z=0\), et \(Q\) celui défini par \(2x+y-z=0\). Ils sont représentés ci-dessous.

1. Justifier que \(P\) et \(Q\) sont de dimension \(2\).
2. Déterminer une base de \(P\cap Q\) en résolvant un système.
3. En déduire, sans nouveau calcul, que \(P+Q=\mathbb{R}^3\). La somme est-elle directe ?
4. On pose \(p=(1,1,0)\). Montrer que \(p\in P\) et que \(\mathbb{R}^3=Q\oplus\mathrm{Vect}(p)\).

Exercice 13 – Grassmann et polynômes qui s’annulent

On note \(E=\mathbb{R}_3[X]\), puis on introduit \(F=\{P\in E : P(1)=0\}\) et \(G=\{P\in E : P(-1)=0 \text{ et } P(2)=0\}\).

1. Justifier que \(F\) et \(G\) sont stables par combinaison linéaire.
2. Établir que \((X-1,\ X(X-1),\ X^2(X-1))\) est une base de \(F\).
3. Déterminer une base de \(G\) et sa dimension.
4. Calculer \(F\cap G\), puis \(\dim(F+G)\), et identifier \(F+G\).

Exercice 14 – Base adaptée à une somme directe en dimension 4

On se place dans \(\mathbb{R}^4\) avec \(f_1=(1,0,1,0)\), \(f_2=(0,1,0,1)\), \(F=\mathrm{Vect}(f_1,f_2)\) et \(G=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 : x+y=0 \text{ et } z-t=0\}\).

1. Déterminer une base \((g_1,g_2)\) de \(G\).
2. Prouver que \(\mathbb{R}^4=F\oplus G\), puis écrire une base adaptée.
3. Décomposer le vecteur \(x=(3,1,2,0)\) sous la forme \(x=f+g\) avec \(f\in F\) et \(g\in G\).

Exercice 15 – Un hyperplan de polynômes et une droite supplémentaire

Soit \(H\) l’ensemble des \(P\in E=\mathbb{R}_3[X]\) tels que \(P(0)+P(1)=0\), et \(D\) la droite \(\mathrm{Vect}(X^2+1)\).

1. Établir que \((1-2X,\ X^2-X,\ X^3-X)\) est une base de \(H\).
2. Prouver que \(H\) et \(D\) sont supplémentaires dans \(E\).
3. Pour \(P\in E\), exprimer la composante de \(P\) sur \(D\) en fonction de \(P(0)+P(1)\).
4. Décomposer \(X^3\) sur \(H\oplus D\).

Exercice 16 – Matrices qui commutent avec une matrice donnée

On pose \(A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\), \(N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\), et \(\mathcal{C}(A)=\{M\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) : AM=MA\}\).

1. Vérifier que \(\mathcal{C}(A)\) est stable par combinaison linéaire.
2. Établir que \((I_2,N)\) est une base de \(\mathcal{C}(A)\).
3. Sans calculer de combinaison au préalable, justifier que \((I_2,A,A^2)\) est liée, puis expliciter une relation de dépendance.

Pour approfondir

Exercice 17 – Suites récurrentes linéaires et argument de dimension

Soit \(E\) formé des suites \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) à valeurs réelles qui vérifient, à chaque rang \(n\), la relation \(u_{n+2}=u_{n+1}+6u_n\).

1. Prouver que \(E\) contient la suite nulle et qu’il est stable par combinaison linéaire.
2. On définit \(a\in E\) par \(a_0=1\), \(a_1=0\), et \(b\in E\) par \(b_0=0\), \(b_1=1\). Établir que \((a,b)\) est une base de \(E\), puis en déduire \(\dim E\).
3. Trouver les réels \(r\neq0\) pour lesquels la suite géométrique \((r^n)\) est élément de \(E\).
4. En déduire, par un argument de dimension, une seconde base de \(E\) formée de suites géométriques.
5. Déterminer la suite \(u\in E\) telle que \(u_0=1\) et \(u_1=8\).

Exercice 18 – Somme de trois sous-espaces

Dans cet exercice, \(E\) est un espace de dimension finie et \(F\), \(G\), \(H\) sont trois sous-espaces de \(E\).

1. Dans \(\mathbb{R}^2\), on pose \(D_1=\mathrm{Vect}((1,0))\), \(D_2=\mathrm{Vect}((0,1))\) et \(D_3=\mathrm{Vect}((1,1))\). Calculer \(\dim(D_1+D_2+D_3)\) et la comparer à \(\dim D_1+\dim D_2+\dim D_3-\dim(D_1\cap D_2)-\dim(D_1\cap D_3)-\dim(D_2\cap D_3)+\dim(D_1\cap D_2\cap D_3)\).
2. Montrer que \(\dim(F+G+H)\leqslant\dim F+\dim G+\dim H\).
3. On suppose \(F\cap G=\{0\}\) et \((F+G)\cap H=\{0\}\). Montrer que \(\dim(F+G+H)=\dim F+\dim G+\dim H\), puis qu’en mettant bout à bout des bases de \(F\), \(G\) et \(H\), on obtient une famille libre.
4. Montrer à l’aide de la question 1 que l’hypothèse « \(F\cap G\), \(F\cap H\) et \(G\cap H\) sont réduits à \(\{0\}\) » ne suffit pas pour obtenir l’égalité de la question 3.

Exercice 19 – Problème de synthèse sur deux sous-espaces de polynômes cubiques

On note \(E=\mathbb{R}_3[X]\), puis \(A=\{P\in E : P(1)=P(-1)\}\) et \(B=\{P\in E : P(0)=0 \text{ et } P^{\prime}(0)=0\}\). On note aussi \(P_0=2-X+3X^2+5X^3\).

1. Établir que \(A\) est stable par combinaison linéaire, puis que \((1,\ X^2,\ X-X^3)\) est une base de \(A\).
2. Déterminer une base de \(B\) et sa dimension.
3. Calculer \(A\cap B\) ; que vaut alors \(A+B\) ? Cette somme est-elle directe ?
4. Montrer que \(E=A\oplus\mathrm{Vect}(X^3)\) et donner une base de \(E\) adaptée à cette somme directe.
5. Décomposer \(P_0\) sur \(A\oplus\mathrm{Vect}(X^3)\).
6. Soit \(\alpha\in\mathbb{R}\). Montrer que \((1,\ X-\alpha,\ (X-\alpha)^2,\ (X-\alpha)^3)\) est une base de \(E\), puis déterminer les coordonnées de \(P_0\) dans cette base lorsque \(\alpha=1\).

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