Forme exponentielle et linéarisation : contrôle de maths en L1
Voici un contrôle de maths en L1 sur le thème « forme exponentielle et linéarisation », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure trente porte sur le chapitre des nombres complexes du premier semestre. Vous passerez d’abord de la forme algébrique à la forme exponentielle, puis vous utiliserez les formules d’Euler pour la linéarisation d’un cube de cosinus. Ensuite, deux exercices font travailler les racines n-ièmes et une équation du second degré à coefficients complexes, avec une rotation à interpréter.
Le problème final relie la factorisation par l’angle moitié au binôme de Newton. Faites ce sujet dès que le cours sur l’exponentielle complexe est terminé, car il prépare directement le partiel.
Ce qu’évalue le contrôle : forme exponentielle et linéarisation
L’essentiel du sujet
- NiveauL1
- Durée1 h 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Complexes : forme exponentielle, racines et géométrie (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Écrire un nombre complexe sous forme exponentielle et calculer une puissance ou un quotient
- Linéariser le cube d’un cosinus avec les formules d’Euler, puis l’exploiter dans une intégrale
- Calculer les racines quatrièmes d’un complexe et les représenter sur un cercle
- Résoudre une équation du second degré à coefficients complexes et interpréter une rotation
- Factoriser par l’angle moitié pour calculer une somme trigonométrique pondérée
Avant de commencer le devoir
Commencez par l’exercice 1, qui fixe les réflexes sur le module et l’argument. Dans la linéarisation, développez avec soin le cube, puis regroupez les termes conjugués avant de conclure. Pour les racines quatrièmes, écrivez d’abord le second membre sous forme exponentielle, ensuite seulement les quatre solutions. Enfin, vérifiez chaque racine du trinôme en calculant leur somme et leur produit, ce qui détecte la plupart des erreurs de signe.
Le sujet du contrôle : forme exponentielle et linéarisation
Exercice 1 – Deux points du plan complexe (3 points)
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct, on place les points \(M_1\) et \(M_2\) d’affixes \(z_1 = -\sqrt{3} + 3i\) et \(z_2 = 2 – 2i\).
- Déterminer le module et un argument de \(z_1\) et de \(z_2\), puis écrire ces deux nombres sous forme exponentielle.
- En utilisant ces formes exponentielles, calculer \(Q = \dfrac{z_1^3}{z_2^2}\), puis donner sa forme algébrique.
- Déterminer enfin les entiers naturels \(n\) pour lesquels \(z_1^n\) est un réel strictement positif.
Exercice 2 – Cube d’un cosinus (4 points)
- À l’aide des formules d’Euler, linéariser \(\cos^3 u\) pour tout réel \(u\).
- En déduire la valeur exacte de \(I = \displaystyle\int_0^{\pi/3} \cos^3 u \, \mathrm{d}u\).
- Exprimer \(\cos(3u)\) en fonction de \(\cos u\), puis déterminer les trois solutions réelles de l’équation \(8x^3 – 6x – 1 = 0\) sous forme de cosinus.
Exercice 3 – Pentagone et racines quatrièmes (4 points)
On pose \(\omega = \mathrm{e}^{2i\pi/5}\). La figure montre ainsi les points d’affixes \(1, \omega, \omega^2, \omega^3, \omega^4\) sur le cercle unité.
- Montrer que \(S = 1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4\) est nul.
- En considérant la partie réelle de \(S\), établir que \(c = \cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)\) vérifie \(4c^2 + 2c – 1 = 0\), puis en déduire la valeur exacte de \(c\).
- Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(z^4 = -8 + 8\sqrt{3}\,i\). Donner les solutions sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.
- Justifier alors que les images de ces quatre solutions forment un carré, puis calculer son aire.
Exercice 4 – Un trinôme complexe et une rotation (4 points)
On étudie l’équation \((E) : z^2 – (3 + i)z + 2 + 2i = 0\) d’inconnue \(z \in \mathbb{C}\).
- Déterminer, sous forme algébrique, les deux complexes \(\delta\) tels que \(\delta^2 = -2i\).
- Calculer ensuite le discriminant de \((E)\), puis résoudre \((E)\).
- On note \(A\) le point d’affixe réelle solution de \((E)\) et \(B\) le point d’affixe l’autre solution. Soit \(r\) la rotation de centre \(B\) et d’angle \(\frac{\pi}{2}\). Écrire l’expression complexe de \(r\), puis calculer l’affixe du point \(A_1 = r(A)\).
- Préciser finalement la nature du triangle \(ABA_1\).
Exercice 5 – Problème : angle moitié et sommes binomiales (5 points)
Dans tout le problème, \(n\) désigne un entier naturel non nul et \(x\) un réel.
- Soit \(a\) et \(b\) deux réels. Montrer que \(\mathrm{e}^{ia} + \mathrm{e}^{ib} = 2\cos\left(\frac{a – b}{2}\right)\mathrm{e}^{i(a+b)/2}\).
- Pour \(\theta \in \left]-\pi\,;\,\pi\right[\), donner le module et un argument de \(1 + \mathrm{e}^{i\theta}\). Que se passe-t-il lorsque \(\theta = \pi\) ?
- On pose \(C_n(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \cos(kx)\). En développant \(\left(1 + \mathrm{e}^{ix}\right)^n\) de deux façons, prouver que \(C_n(x) = 2^n \cos^n\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{nx}{2}\right)\).
- Calculer \(C_6\left(\frac{2\pi}{3}\right)\) avec cette formule, puis contrôler le résultat en calculant directement les sept termes de la somme.
- Par la même méthode, donner une expression factorisée de \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \sin(kx)\).
Réviser forme exponentielle et linéarisation avant le contrôle
La page contrôles de maths en L1 regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
Sujets proches à faire ensuite
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![Multiplicités et factorisation dans R[X]](https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/2026/10/postbac-24702-300x169.jpg)
