QCM : Cauchy linéaire et wronskien en maths spé (MP)

Réponse B.

Pour \(t_0\in I\) fixé, le théorème de Cauchy linéaire rend bijective l’application \(X\mapsto X(t_0)\), de l’espace des solutions vers \(\mathbb{K}^n\). Comme elle est linéaire, c’est un isomorphisme : la dimension vaut donc \(n\). Le piège \(n^2\) compte les coefficients de la matrice \(A\), pas les inconnues. Par ailleurs, la conclusion vaut sur tout intervalle où \(A\) est continue.

Réponse A.

Toute solution s’écrit comme une solution particulière plus une solution de l’équation homogène. Or l’équation homogène d’ordre 2 a un espace de solutions de dimension 2. On obtient donc un plan affine. Le piège « plan vectoriel » oublie le second membre : la fonction nulle n’est solution que si \(c=0\). De même, la dimension 3 ajoute à tort une constante liée à \(c\).

Réponse D.

Le théorème de Cauchy linéaire porte sur la position et la vitesse au même instant. Ainsi, une seule valeur laisse une droite de solutions. Le piège des deux instants est un problème aux limites : pour \(y^{\prime\prime}+y=0\), les conditions \(y(0)=0\) et \(y(\pi)=0\) admettent tous les \(\lambda\sin\). Enfin, \(y^{\prime\prime}(t_0)\) est imposée par l’équation et n’apporte rien.

Réponse A.

En intégrant l’équation entre \(t_0\) et \(t\), on obtient la forme intégrale, et la réciproque découle du théorème fondamental. La version sans \(B\) oublie le second membre. En revanche, la formule exponentielle n’est valable que si les matrices \(A(s)\) commutent entre elles et si \(B=0\). Enfin, l’absence de \(X_0\) imposerait \(X(t_0)=0\).

Réponse B.

La première ligne traduit \(y^{\prime}=y^{\prime}\), donc elle vaut \((0\ \ 1)\). La seconde exprime \(y^{\prime\prime}=-e^ty-ty^{\prime}\) : le coefficient de \(y\) vient en premier. Le piège sans signes moins oublie de passer les termes de l’autre côté. Ensuite, la matrice avec \(-t\) en premier échange les coefficients de \(y\) et de \(y^{\prime}\).

Réponse D.

L’opérateur \(L\) est linéaire. Par conséquent, \(L(2y_1-3y_2)=2L(y_1)-3L(y_2)=2\cos t-3t\). C’est le principe de superposition. La réponse \(2y_1+3y_2\) perd le signe du coefficient de \(t\). De son côté, \(y_1-y_2\) ne garde que les signes. Quant à \(3y_1-2y_2\), elle associe chaque coefficient au mauvais second membre.

Réponse B.

En dérivant \(W=y_1y_2^{\prime}-y_1^{\prime}y_2\), puis en remplaçant les dérivées secondes, on trouve \(W^{\prime}=-a(t)W\) avec \(a(t)=-2t\). Ainsi, \(W^{\prime}=2tW\), d’où \(W(t)=W(0)e^{t^2}\). Le piège \(e^{-t^2}\) oublie le signe moins de la relation. De plus, le wronskien n’est constant que si le coefficient de \(y^{\prime}\) est nul.

Réponse C.

Le wronskien vaut \(W(t_0)\) multiplié par une exponentielle, donc il est nul partout ou nulle part. De plus, \(W(t_0)=0\) signifie que les vecteurs \((y_k(t_0),y_k^{\prime}(t_0))\) sont liés ; par unicité dans le théorème de Cauchy, la même relation lie les solutions sur tout \(I\). Cependant, ce résultat est faux pour des fonctions quelconques : \(t^3\) et \(|t|^3\) ont un wronskien nul sans être liées.

Réponse A.

Sur chaque demi-droite, les solutions sont les \(\lambda t^2\). Ensuite, la fonction égale à \(\lambda t^2\) pour \(t\geq0\) et à \(\mu t^2\) pour \(t<0\) est dérivable en 0 de dérivée nulle, et vérifie l’équation en ce point. Les constantes \(\lambda\) et \(\mu\) sont donc indépendantes. Le piège 1 applique à tort le théorème de Cauchy, inutilisable car le coefficient dominant s’annule.

Réponse C.

L’équation s’écrit \((ty)^{\prime}=0\), donc \(y=c/t\) sur chaque demi-droite. Or une telle fonction n’a de limite finie en 0 que si \(c=0\). Par conséquent, seule la fonction nulle se raccorde. Les fonctions \(\lambda/t\) ne sont pas définies en 0. De même, \(t\mapsto t\) vérifie \(ty^{\prime}-y=0\) et non l’équation proposée.

Réponse C.

Les termes \(xy^{\prime\prime}\) et \(y^{\prime}\) donnent \(\sum\big(n(n+1)+(n+1)\big)a_{n+1}x^n\), soit \((n+1)^2a_{n+1}\) devant \(x^n\). En identifiant avec \(a_n\), on obtient la relation, puis \(a_n=a_0/(n!)^2\) et un rayon infini. Le piège \(n(n+1)\) oublie la contribution de \(y^{\prime}\). Ensuite, le décalage vers \(a_{n-1}\) traite \(xy^{\prime\prime}\) comme s’il était multiplié par \(x^2\).

Réponse D.

On pose \(y=\lambda\cos t+\mu\sin t\) avec \(\lambda^{\prime}\cos t+\mu^{\prime}\sin t=0\) et \(-\lambda^{\prime}\sin t+\mu^{\prime}\cos t=1/\cos t\). On en tire \(\lambda^{\prime}=-\tan t\) et \(\mu^{\prime}=1\), donc \(\lambda=\ln(\cos t)\) et \(\mu=t\). Le piège avec un signe moins devant le logarithme vient d’une primitive de \(-\tan\) mal signée. Enfin, \(t\cos t+\dots\) échange les rôles de \(\lambda\) et \(\mu\).