QCM : Exponentielle de matrice en maths spé (MP)

Réponse A.

La majoration \(\|A^k\|\le\|A\|^k\) rend la série absolument convergente, par comparaison avec la série de \(e^{\|A\|}\). Comme \(M_n(\mathbb{K})\) est de dimension finie, donc complet, la série converge. De plus, la convergence est normale sur toute boule, ce qui donne la continuité de l’exponentielle. Le piège \(\|A\|<1\) confond avec la série \(\sum A^k\), sans factorielle. Enfin, toutes les matrices ne sont pas diagonalisables.

Réponse A.

Les puissances d’une matrice diagonale s’obtiennent coefficient diagonal par coefficient diagonal. Ainsi, la série donne \(e^{1}\) et \(e^{-2}\) sur la diagonale, et des zéros ailleurs. La réponse avec des \(1\) hors de la diagonale applique l’exponentielle aux coefficients nuls, ce qui est faux. Le piège \(-e^{2}\) sort le signe de l’exponentielle. Enfin, la matrice \(I_2+A\) ne garde que le début de la série.

Réponse D.

On a \(N^2=0\), donc la série s’arrête après deux termes : \(\exp(N)=I_2+N\). La réponse avec \(e^{3}\) prend l’exponentielle de chaque coefficient, ce qui n’a aucun sens pour une matrice. La matrice avec des \(e\) correspond à \(\exp(I_2+N)\), pas à \(\exp(N)\). Quant à \(\frac92\), il ajoute un terme \(\frac{N^2}{2}\) en croyant à tort que \(N^2\) n’est pas nul.

Réponse B.

On a \(A^k=PD^kP^{-1}\) pour tout \(k\). Par linéarité et continuité de \(M\mapsto PMP^{-1}\), cette égalité passe aux sommes partielles puis à la limite. Le piège \(P^{-1}\exp(D)P\) inverse le sens du changement de base. L’écriture avec \(\exp(P)\) n’est justifiée par rien, car l’exponentielle ne transforme pas un produit en produit. Enfin, \(\exp(A)\) et \(\exp(D)\) sont semblables, mais pas égales en général.

Réponse A.

Les valeurs propres de \(\exp A\) sont \(e^{1}\), \(e^{-1}\) et \(e^{2}\), car l’exponentielle transporte le spectre. Leur produit vaut \(e^{1-1+2}=e^{\mathrm{tr}A}=e^{2}\). Le piège \(e^{-2}\) calcule \(e^{\det A}\) au lieu de \(e^{\mathrm{tr}A}\). De même, \(-2\) est le déterminant de \(A\) lui-même. Enfin, \(2\) est la trace, sans exponentielle.

Réponse B.

Les matrices \(A\) et \(-A\) commutent, donc \(\exp(A)\exp(-A)=\exp(0)=I_n\). Ainsi, \(\exp(A)\) est toujours inversible, même pour \(A=0\) : c’est pourquoi l’inversibilité de \(A\) n’est pas requise. Le piège \(\exp(A^{T})\) est la transposée de \(\exp(A)\), égale à l’inverse seulement si \(A\) est antisymétrique. Par ailleurs, une matrice nilpotente n’est jamais inversible.

Réponse C.

On dérive la série terme à terme : \(\frac{d}{dt}\frac{t^kA^k}{k!}=\frac{t^{k-1}A^k}{(k-1)!}\), ce qui donne \(A\exp(tA)\). De plus, \(A\) commute avec \(\exp(tA)\), donc l’ordre du produit est indifférent. Le piège \(\exp(tA)\) oublie la dérivée de \(tA\). La forme \(tA\exp\big((t-1)A\big)\) imite à tort la dérivée d’une puissance \(x^t\).

Réponse C.

La matrice \(S=A+B\) vérifie \(S^2=I_2\). Par conséquent, les puissances paires donnent \(I_2\) et les impaires donnent \(S\), d’où \(\exp(S)=\mathrm{ch}(1)I_2+\mathrm{sh}(1)S\). Le piège \(\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\) calcule \(\exp(A)\exp(B)\), invalide car \(AB\ne BA\). De son côté, la version en cosinus suppose \(S^2=-I_2\).

Réponse D.

On écrit \(A=2I_2+N\) avec \(N^2=0\). Ces deux matrices commutent, donc \(\exp(tA)=e^{2t}(I_2+tN)\). Ainsi \(X(t)=\exp(tA)X(0)\) donne la première composante \(t\,e^{2t}\). La réponse avec un \(0\) oublie le couplage entre les deux équations. De même, \(t\,e^{t}\) perd le facteur \(2\) dans l’exponentielle.

Réponse C.

Le vecteur \((1,1)\) est propre pour la valeur \(3\), et \((1,-1)\) pour la valeur \(-1\). Dans la base propre, le système se découple, donc chaque mode évolue avec sa propre exponentielle. Le piège qui échange les vecteurs associe chaque valeur propre au mauvais vecteur. La version en \(e^{-3t}\) change le signe des valeurs propres. Enfin, \(e^{t}\) prend la valeur \(1\) au lieu de \(-1\).

Réponse B.

Les composantes des solutions sont des combinaisons de \(e^{-t}\cos2t\) et \(e^{-t}\sin2t\). La partie réelle \(-1\) donne la décroissance, tandis que la partie imaginaire \(2\) donne l’oscillation. Ainsi, toute solution tend vers \(0\). Le piège périodique ignore la partie réelle, qui ne serait sans effet que si elle était nulle. Quant à la divergence, elle exigerait une partie réelle positive.

Réponse D.

La matrice \(A=\begin{pmatrix}0&-2\pi\\2\pi&0\end{pmatrix}\) a pour exponentielle la rotation d’angle \(2\pi\), c’est-à-dire \(I_2\). L’exponentielle n’est donc pas injective, et ce même contre-exemple invalide la conclusion « diagonale ». Par ailleurs, cette matrice n’est pas nilpotente : ses valeurs propres \(\pm2i\pi\) sont non nulles. En effet, seul le spectre de \(\exp(A)\), fait de \(1\), est contraint.