QCM : Différentielle et règle de la chaîne en maths spé (MP)

Réponse A.

On dérive par rapport à \(x\) en gardant \(y\) fixe : \(\partial_x f=2xy+y\,e^{xy}\), soit \(4+2e^2\) au point \((1,2)\). La réponse \(4+e^2\) oublie le facteur \(y\) issu de la dérivée de \(xy\) par rapport à \(x\). Le résultat \(1+e^2\) est en fait la dérivée partielle par rapport à \(y\). Enfin, \(4+2e\) évalue l’exponentielle en \(x\) au lieu de \(xy\).

Réponse D.

Comme \(f\) est différentiable, cette dérivée vaut \(\mathrm{d}f(1,1)(v)=\langle\nabla f(1,1),v\rangle\). Or \(\nabla f=(y^2,\,2xy)\) vaut \((1,2)\) en \((1,1)\), donc on obtient \(2-2=0\). La valeur \(4\) oublie le signe de la seconde coordonnée de \(v\). Le piège \(-2\) ne garde que la contribution de \(y\). Enfin, \(2\) ne garde que celle de \(x\).

Réponse B.

Des dérivées partielles définies et continues partout sur \(U\) font de \(f\) une fonction de classe \(C^1\) : c’est le théorème fondamental, qui donne la différentiabilité. En revanche, l’existence des dérivées partielles au seul point \(a\) ne suffit pas : \(\frac{xy}{x^2+y^2}\), prolongée par \(0\), en possède en l’origine sans y être continue. Même toutes les dérivées directionnelles ne suffisent pas. Enfin, ajouter la continuité ne règle rien, comme le montre \(\sqrt{|xy|}\).

Réponse D.

Les lignes de la jacobienne sont \((2u,\,-2v)\) et \((2v,\,2u)\). Le déterminant vaut donc \(2u\cdot2u-(-2v)\cdot2v=4u^2+4v^2\). La réponse \(4(u^2-v^2)\) oublie le signe moins de \(-2v\) dans le terme soustrait. Le facteur \(2\) seul ne compte qu’une des deux dérivées par ligne. Enfin, \(4u^2\) se limite au produit diagonal et néglige le terme croisé.

Réponse C.

L’accroissement \(q(x+h)-q(x)\) se développe en trois termes : \(\langle Ax,h\rangle\), \(\langle Ah,x\rangle\) et le reste quadratique \(\langle Ah,h\rangle\). La partie linéaire en \(h\) vaut \(\langle Ax+A^{\top}x,\,h\rangle\), d’où le gradient. La formule \(2Ax\), souvent apprise, n’est juste que pour \(A\) symétrique. Les réponses \(Ax\) et \(A^{\top}x\) ne gardent chacune qu’un des deux termes croisés du développement.

Réponse C.

On développe \((M+H)^2=M^2+MH+HM+H^2\). Le terme \(H^2\) est un \(o(\|H\|)\), et la partie linéaire en \(H\) est donc \(MH+HM\). Les réponses \(2MH\) et \(2HM\) traitent \(M\) et \(H\) comme des matrices qui commutent, hypothèse qui tombe dès que \(n\geqslant2\). Enfin, garder \(H^2\) donne une expression non linéaire en \(H\), qui ne peut pas être une différentielle.

Réponse D.

On dérive l’identité \(M\,g(M)=I_n\) : il vient \(H\,M^{-1}+M\,\mathrm{d}g(M)(H)=0\), d’où \(\mathrm{d}g(M)(H)=-M^{-1}HM^{-1}\). Les réponses \(-M^{-2}H\) et \(-HM^{-2}\) recopient la dérivée réelle \(-1/x^2\) en faisant commuter \(H\) avec \(M^{-1}\), ce qui est faux en général. Quant à \(M^{-1}HM^{-1}\), elle perd le signe moins, pourtant déjà présent pour \(n=1\).

Réponse B.

On développe \(\det(I_n+tH)\) : seuls les termes diagonaux produisent une contribution d’ordre \(1\) en \(t\), et le coefficient de \(t\) vaut \(\sum h_{ii}\). La différentielle est donc la trace. La réponse \(\det H\) n’est pas linéaire en \(H\) pour \(n\geqslant2\). Le facteur \(n\) confond avec la dérivée de \(t^n\). Enfin, \((\operatorname{tr}H)\,I_n\) est une matrice, alors que le déterminant est à valeurs réelles.

Réponse A.

La règle de la chaîne le long d’un arc donne \(\langle\nabla f(\gamma(0)),\gamma^{\prime}(0)\rangle\). Ici, \(\nabla f(1,0)=(2,3)\) et \(\gamma^{\prime}(0)=(0,1)\), ce qui donne \(3\). La valeur \(2\) utilise la mauvaise coordonnée du gradient. La valeur \(5\) additionne les composantes du gradient sans tenir compte de la vitesse. Enfin, \(0\) prend \(\gamma(0)\) à la place de \(\gamma^{\prime}(0)\) dans le produit scalaire.

Réponse C.

La règle de la chaîne s’écrit \(\partial_u h=\partial_1 f\cdot\partial_u(u+v)+\partial_2 f\cdot\partial_u(uv)\). Or \(\partial_u(u+v)=1\) et \(\partial_u(uv)=v\), d’où le résultat. Le facteur \(u\) correspond en fait à la dérivée par rapport à \(v\). La somme sans facteur oublie de dériver la seconde composante. Enfin, placer \(v\) devant \(\partial_1 f\) attribue la dérivée intérieure à la mauvaise composante.

Réponse B.

L’intégrande est la dérivée de \(t\mapsto f(\gamma(t))\). Par conséquent, l’intégrale vaut \(f(2,3)-f(0,0)=4\times3=12\), quel que soit le tracé. La valeur \(6\) oublie le carré sur \(x\). La valeur \(0\) confond avec une intégrale le long d’un arc fermé. Enfin, l’idée que le résultat dépend du chemin vaut pour une forme différentielle quelconque, pas pour la différentielle d’une fonction.

Réponse A.

Une différentielle nulle donne une fonction constante sur un ouvert connexe par arcs, grâce à l’intégrale de \(\mathrm{d}f\) le long d’un arc. Or \(U\) se compose de deux demi-plans disjoints, chacun connexe par arcs. Ainsi, la fonction qui vaut \(1\) pour \(x>0\) et \(-1\) pour \(x<0\) convient sans être constante. L’ouverture de \(U\) ne suffit donc pas. Enfin, rien n’impose la valeur \(0\), puisque toute constante a une différentielle nulle.