QCM : EDL du premier et du second ordre en maths sup (MPSI)

Réponse C.

Pour \(y^{\prime}+a(x)y=0\), les solutions s’écrivent \(Ce^{-A(x)}\), où \(A\) est une primitive de \(a\). Ici, \(A(x)=x^3\), d’où le résultat. Le piège \(Ce^{x^3}\) oublie le signe moins. Ensuite, \(Ce^{-3x^2}\) met le coefficient lui-même au lieu de sa primitive. Enfin, la constante est multiplicative : une constante ajoutée ne vérifie pas l’équation homogène.

Réponse C.

Les solutions s’obtiennent en ajoutant à une solution particulière toutes les solutions homogènes. Or \(y^{\prime}=2y\) a pour solutions \(Ce^{2x}\). Le piège \(Ce^{-2x}\) se trompe de signe en isolant \(y^{\prime}\). De même, multiplier la solution particulière par \(C\) est faux : \(Cx\) ne vérifie l’équation que pour \(C=1\). Ainsi, la constante ne porte que sur la partie homogène.

Réponse B.

Par linéarité, \(4\times\frac12e^x-3\times1=2e^x-3\) convient. On vérifie : la dérivée vaut \(2e^x\), et la somme donne bien \(4e^x-3\). Le piège \(4e^x-3\) recopie le second membre sans passer par les solutions données. Ensuite, \(2e^x+3\) perd le signe. Enfin, la réponse avec \(\frac12e^x\) oublie de multiplier la première solution par 4.

Réponse D.

Les solutions homogènes de \(y^{\prime}=y/x\) sont les \(Kx\). On pose \(y=K(x)\,x\) : il reste \(xK^{\prime}(x)\cdot x=x^2\), donc \(K^{\prime}=1\) et \(K(x)=x+K\). Le piège \(\frac12x^3\) oublie le coefficient \(x\) devant \(y^{\prime}\), ce qui mène à \(K^{\prime}=x\). Par ailleurs, \(x^2+K\) ajoute la constante au lieu de la multiplier par la solution homogène \(x\).

Réponse C.

La constante \(-\frac32\) est une solution particulière, et la solution générale s’écrit donc \(Ce^{2x}-\frac32\). La condition \(y(0)=1\) impose ensuite \(C=\frac52\). Le piège \(e^{2x}-\frac32\) fixe \(C\) sans utiliser la condition initiale. Quant à \(\frac32-\frac12e^{2x}\), elle vérifie \(y(0)=1\), mais repose sur une solution particulière de mauvais signe.

Réponse A.

L’équation caractéristique \(r^2+r-6=0\) se factorise en \((r-2)(r+3)=0\). Les racines distinctes 2 et \(-3\) donnent donc deux exponentielles indépendantes. Le piège \(Ae^{-2x}+Be^{3x}\) prend les opposés des racines, comme si on lisait \(r^2-r-6\). Ensuite, la forme \((Ax+B)e^{2x}\) est réservée au cas d’une racine double, ce qui n’est pas le cas ici.

Réponse D.

L’équation caractéristique \(r^2-6r+9=(r-3)^2\) a une racine double \(r=3\). Une seule exponentielle ne fournit qu’une droite de solutions ; il faut donc ajouter \(xe^{3x}\) pour obtenir un plan. Le piège \(Ae^{3x}\) oublie ce second vecteur de base. Par ailleurs, \(Be^{-3x}\) suppose à tort que \(-3\) est aussi racine. Enfin, le signe de l’exposant suit la racine, soit \(+3\).

Réponse B.

Le discriminant vaut \(4-20=-16\), donc les racines sont \(-1\pm2i\). La partie réelle \(-1\) donne le facteur \(e^{-x}\), et la partie imaginaire 2 la pulsation. Le piège \(e^{x}\) oublie le signe de \(-b/2\). Ensuite, la version avec \(e^{-2x}\) échange partie réelle et partie imaginaire. Enfin, la pulsation 4 prend \(\sqrt{16}\) sans diviser par 2.

Réponse A.

Le nombre 1 est racine simple de \(r^2-3r+2\), donc on cherche \(y=axe^x\). On a \(y^{\prime}=a(x+1)e^x\) et \(y^{\prime\prime}=a(x+2)e^x\). En remplaçant, il reste \(a\big((x+2)-3(x+1)+2x\big)=-a\), donc \(a=-1\). Le piège \(-e^x\) ignore la résonance : \(e^x\) est solution homogène et donne 0. De son côté, \(x^2\) serait la forme adaptée à une racine double.

Réponse D.

Les racines \(\pm2i\) coïncident avec la pulsation du second membre : c’est un cas de résonance. On cherche donc \(y=x(a\cos2x+b\sin2x)\). Avec \(y=\frac x4\sin2x\), on calcule \(y^{\prime\prime}=\cos2x-x\sin2x\), et \(y^{\prime\prime}+4y=\cos2x\). Le piège \(\frac18\cos2x\) ignore la résonance ; en effet, \(4y+y^{\prime\prime}\) vaut alors 0. Ensuite, \(\frac x2\) oublie de diviser par la dérivée de l’argument.

Réponse B.

Le second membre est un polynôme de degré 1 multiplié par \(e^{2x}\). Or 2 n’est pas racine de \(r^2+1\), donc on prend un polynôme de même degré, complet. Le piège \(axe^{2x}\) oublie le terme constant, qui est indispensable en général. Par ailleurs, le facteur \(x\) supplémentaire ne sert qu’en cas de racine. Enfin, les fonctions trigonométriques viennent des solutions homogènes, pas du second membre.

Réponse A.

Les racines de \(r^2-1\) sont \(\pm1\), d’où \(y=Ae^x+Be^{-x}\). Les conditions donnent \(A+B=1\) et \(A-B=3\), donc \(A=2\) et \(B=-1\). Le piège \(-e^x+2e^{-x}\) échange les deux coefficients et donne \(y^{\prime}(0)=-3\). Ensuite, \(3e^x-2e^{-x}\) vérifie \(y(0)=1\) mais pas la dérivée. Enfin, cos et sin résolvent \(y^{\prime\prime}+y=0\).