QCM : Continuité et valeurs intermédiaires en maths sup (MPSI)

Réponse A.

Pour \(x\in[2,3[\), la partie entière vaut constamment \(2\). La limite à gauche en \(3\) est donc \(2\). Le piège \(3\) donne la valeur en \(3\), qui est aussi la limite à droite. Ainsi, la fonction n’a pas de limite en \(3\) au sens bilatéral, mais ses limites unilatérales existent. Enfin, la moyenne \(\frac52\) ne correspond à aucune définition.

Réponse D.

Pour \(x>0\), on a \(\frac{x-1}{x+2}\le\frac{x+\cos x}{x+2}\le\frac{x+1}{x+2}\). Les deux bornes tendent vers \(1\), donc le théorème d’encadrement conclut. Le piège de l’oscillation oublie que \(\cos x\) reste borné, si bien qu’il devient négligeable devant \(x\). Le piège \(\frac12\) remplace le dénominateur par \(2\). Enfin, \(0\) néglige le terme \(x\) du numérateur.

Réponse A.

On écrit le quotient comme \(\frac{e^{3x}-1}{3x}\cdot\frac{2x}{\sin2x}\cdot\frac{3x}{2x}\). Les deux premiers facteurs tendent vers \(1\), d’après les limites usuelles. Il reste donc \(\frac32\). Le piège \(\frac23\) inverse le rapport des coefficients. Le piège \(1\) oublie ces coefficients. Enfin, \(3\) néglige le facteur \(2\) du sinus.

Réponse C.

Les deux suites tendent vers \(0\), mais leurs images valent constamment \(1\) et \(0\). Si une limite existait, la caractérisation séquentielle imposerait la même valeur. Le couple en \(\frac{1}{n\pi}\) et \(\frac{1}{2n\pi}\) donne deux fois l’image \(0\) : il ne prouve rien. Celui en \(2n\pi+\frac{\pi}{2}\) tend vers l’infini, pas vers \(0\). Enfin, les images \(\sin n\) et \(-\sin n\) n’ont pas de limite connue.

Réponse B.

Par définition de la partie entière, \(\frac1x-1<\left\lfloor\frac1x\right\rfloor\le\frac1x\). En multipliant par \(x>0\), on obtient \(1-x<f(x)\le1\). Par encadrement, \(f(x)\to1\) quand \(x\to0^+\). Le piège « non » oublie que le facteur \(x\) compense l’explosion. Celui en \(0\) croit que ce même facteur l’emporte.

Réponse C.

En un point \(c\) intérieur, les valeurs à gauche sont majorées par \(f(c)\), et celles de droite minorées par \(f(c)\). Les deux limites existent donc et encadrent \(f(c)\). Cependant, elles peuvent différer : la partie entière est croissante sans être continue. En \(b\), la limite peut être \(+\infty\), comme pour \(\tan\) en \(\frac{\pi}{2}\). Enfin, une fonction monotone peut avoir une infinité dénombrable de sauts.

Réponse D.

C’est exactement le théorème des valeurs intermédiaires. Les autres hypothèses ne suffisent pas, car elles tolèrent un saut. Ainsi, la fonction qui vaut \(-1\) sur \([0,\frac12[\) et \(1\) ailleurs est bornée sans s’annuler. De même, \(x\mapsto x-1\) sur \([0,\frac12[\) puis \(x\) ensuite est strictement croissante et ne passe pas par \(0\). Par ailleurs, une dérivabilité sur l’ouvert laisse les bornes libres.

Réponse A.

On a \(P(0)=1\) et \(P(1)=-1\) : le changement de signe et la continuité donnent une racine dans \(]0,1[\). En revanche, \(P(-1)=3\) et \(P(0)=1\) sont tous deux positifs, donc le TVI ne dit rien sur \(]-1,0[\). De même, \(P(2)=27\) et \(P(3)=235\) sont positifs. Enfin, \(P(-3)=-233\) et \(P(-2)=-25\) sont négatifs.

Réponse B.

Sur \([0,1[\), la borne supérieure vaut \(1\), mais aucun point de l’intervalle ne la réalise. Le théorème des bornes atteintes exige un segment, fermé et borné. Au contraire, \(x(1-x)\) est continue sur un segment et atteint \(\frac14\). Par ailleurs, les deux fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) atteignent leur maximum, en \(0\) et en \(\frac{\pi}{2}\) : l’hypothèse de segment est suffisante, pas nécessaire.

Réponse D.

L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle, conséquence du TVI. Or la fonction \(x\mapsto\sin(2\pi x)\) envoie \(]0,1[\) sur \([-1,1]\) : un intervalle ouvert peut donc avoir une image fermée. Les trois autres parties ne sont pas des intervalles. En effet, la réunion présente un trou entre \(1\) et \(2\), les rationnels manquent les irrationnels, et la paire n’atteint aucune valeur intermédiaire.

Réponse B.

Une fonction continue non monotone sur un intervalle prendrait deux fois une même valeur, d’après le TVI. Les deux hypothèses sont nécessaires. Sans continuité, la fonction égale à \(x\) sur \([0,1[\) et à \(3-x\) sur \([1,2]\) est injective sans être monotone. Sans intervalle, \(x\mapsto\frac1x\) est continue et injective sur \(\mathbb{R}^*\), mais pas monotone. Enfin, une fonction strictement croissante peut présenter un saut.

Réponse C.

La fonction est continue et strictement croissante, avec des limites \(-\infty\) et \(+\infty\). Elle réalise donc une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\), de réciproque continue. De plus, \(f(0)=1\), d’où \(f^{-1}(1)=0\). Le piège \(]0,+\infty[\) retient l’image de l’exponentielle seule. Quant à \(1+e\), c’est \(f(1)\) et non \(f^{-1}(1)\).