Interpolation de Lagrange et Viète : corrigé du contrôle de maths en MPSI

Télécharger en PDF Le livre des 25 contrôles corrigés en MPSI PDF à imprimer Voir le livre ›

Barème du contrôle corrigé : interpolation de Lagrange et Viète

Le corrigé détaillé : interpolation de Lagrange et Viète

Exercice 1 – Une racine d’ordre élevé (4 points)

1. D’abord, \(P(1) = 1 – 3 + 2 + 2 – 3 + 1 = 0\), donc \(1\) est racine de \(P\). On dérive ensuite successivement :
   \(P^{\prime} = 5X^4 – 12X^3 + 6X^2 + 4X – 3\), d’où \(P^{\prime}(1) = 5 – 12 + 6 + 4 – 3 = 0\) ;
   \(P^{\prime\prime} = 20X^3 – 36X^2 + 12X + 4\), d’où \(P^{\prime\prime}(1) = 20 – 36 + 12 + 4 = 0\) ;
   \(P^{(3)} = 60X^2 – 72X + 12\), d’où \(P^{(3)}(1) = 60 – 72 + 12 = 0\) ;
   \(P^{(4)} = 120X – 72\), d’où \(P^{(4)}(1) = 48 \neq 0\).

   D’après la caractérisation de la multiplicité par les dérivées, valable sur \(\mathbb{R}\), \(1\) est racine de \(P\) d’ordre de multiplicité exactement \(4\).

2. Ainsi \((X – 1)^4\) divise \(P\). Comme \(P\) est unitaire de degré \(5\), il existe un réel \(c\) tel que \(P = (X – 1)^4 (X – c)\). En comparant les coefficients constants, on obtient \(1 = (-1)^4 \times (-c)\), donc \(c = -1\). Par conséquent, \(P = (X – 1)^4 (X + 1)\), produit de facteurs de degré 1, donc irréductibles.

3. Imposer une racine double

   Le polynôme \((X – 1)^2\) divise \(Q\) si et seulement si \(1\) est racine au moins double de \(Q\), c’est-à-dire si \(Q(1) = 0\) et \(Q^{\prime}(1) = 0\). Or \(Q(1) = 4 + a + b\) et \(Q^{\prime} = 4X^3 + 2aX + b\), donc \(Q^{\prime}(1) = 4 + 2a + b\). La différence des deux équations donne \(a = 0\), puis \(b = -4\). Ainsi \(a = 0\) et \(b = -4\).

   On effectue alors la division de \(X^4 – 4X + 3\) par \(X^2 – 2X + 1\) : le quotient vaut \(X^2 + 2X + 3\), et le reste est nul. Or ce quotient a pour discriminant \(4 – 12 = -8 < 0\), donc il est irréductible sur \(\mathbb{R}\). Finalement, \(Q = (X – 1)^2 (X^2 + 2X + 3)\).

Barème : 1) chaque dérivée correctement évaluée vaut 0,4 ; conclusion sur l’ordre 4, 0,4. 2) Forme \((X – 1)^4(X – c)\), 0,5 ; valeur de \(c\), 0,5. 3) Système en \(a\) et \(b\), 0,5 ; factorisation de \(Q\), 0,5.

Piège classique : s’arrêter à la première dérivée non calculée et conclure trop tôt. L’ordre de multiplicité est fixé par la première dérivée qui ne s’annule pas en \(1\), et il faut l’exhiber.

Exercice 2 – Sommes de puissances des racines d’un cubique (4 points)

1. La fonction \(x \mapsto R(x)\) est continue sur \(\mathbb{R}\). De plus, \(R(-2) = -5\), \(R(-1) = 5\), \(R(1) = 1\), \(R(2) = -1\) et \(R(3) = 5\). Le théorème des valeurs intermédiaires fournit donc une racine dans chacun des intervalles \(]-2, -1[\), \(]1, 2[\) et \(]2, 3[\). Ces intervalles sont disjoints, et \(R\) est de degré 3, donc il n’a pas d’autre racine. Ainsi \(R\) a trois racines réelles distinctes, situées dans \(]-2, -1[\), \(]1, 2[\) et \(]2, 3[\).

2. Pour un polynôme unitaire \(X^3 – \sigma_1 X^2 + \sigma_2 X – \sigma_3\), on a \(\sigma_1 = x_1 + x_2 + x_3\), \(\sigma_2 = x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3\) et \(\sigma_3 = x_1 x_2 x_3\). Ici, \(\sigma_1 = 2\), \(\sigma_2 = -3\) et \(\sigma_3 = -5\).

   On en déduit \(S_1 = \sigma_1 = 2\). Ensuite, en développant le carré de la somme, \(S_2 = \sigma_1^2 – 2\sigma_2 = 4 + 6\). Donc \(S_1 = 2\) et \(S_2 = 10\).

3. Aucune racine n’est nulle, car \(\sigma_3 \neq 0\). On réduit alors au même dénominateur : \(\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \dfrac{1}{x_3} = \dfrac{x_2 x_3 + x_1 x_3 + x_1 x_2}{x_1 x_2 x_3} = \dfrac{\sigma_2}{\sigma_3}\). Ainsi cette somme vaut \(\frac{3}{5}\).

4. Abaisser le degré pour obtenir les sommes de puissances

   Chaque \(x_i\) est racine de \(R\), donc \(x_i^3 – 2x_i^2 – 3x_i + 5 = 0\), ce qui donne bien \(x_i^3 = 2x_i^2 + 3x_i – 5\). En sommant sur \(i\), on obtient \(S_3 = 2S_2 + 3S_1 – 15 = 20 + 6 – 15\), soit \(S_3 = 11\).

   De même, on multiplie la relation par \(x_i\) : \(x_i^4 = 2x_i^3 + 3x_i^2 – 5x_i\). Par sommation, \(S_4 = 2S_3 + 3S_2 – 5S_1 = 22 + 30 – 10\). Donc \(S_4 = 42\).

Barème : 1) valeurs de \(R\) et théorème cité, 0,5 ; argument de degré pour exclure une quatrième racine, 0,5. 2) Relations de Viète, 0,5 ; \(S_2\), 0,5. 3) Réduction au même dénominateur, 0,5 ; valeur, 0,25. 4) Relation abaissant le degré, 0,25 ; \(S_3\), 0,5 ; \(S_4\), 0,5.

Piège classique : se tromper de signe dans les relations de Viète. Pour un polynôme unitaire de degré 3, les coefficients sont \(-\sigma_1\), \(+\sigma_2\) et \(-\sigma_3\) : ici le produit des racines vaut donc \(-5\), et non \(5\).

Exercice 3 – Les racines huitièmes de l’unité (4,5 points)

1. Un complexe \(z\) vérifie \(z^8 = 1\) si et seulement si \(z = \mathrm{e}^{2ik\pi/8} = \omega^k\) avec \(k \in \{0, \ldots, 7\}\). Ces huit nombres sont distincts, et \(X^8 – 1\) est unitaire de degré 8. Par conséquent, \(X^8 – 1 = \prod_{k=0}^{7} (X – \omega^k)\).

2. Parmi ces racines, \(\omega^0 = 1\) et \(\omega^4 = -1\) sont réelles. Les autres se regroupent par paires conjuguées : \(\omega^2 = i\) avec \(\omega^6 = -i\), puis \(\omega\) avec \(\omega^7 = \overline{\omega}\), et enfin \(\omega^3\) avec \(\omega^5 = \overline{\omega^3}\).

   Pour \(\theta\) réel, \((X – \mathrm{e}^{i\theta})(X – \mathrm{e}^{-i\theta}) = X^2 – 2\cos(\theta) X + 1\). Comme \(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) et \(\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\), on obtient :

   \(X^8 – 1 = (X – 1)(X + 1)(X^2 + 1)(X^2 – \sqrt{2}X + 1)(X^2 + \sqrt{2}X + 1)\).

   Les trois facteurs de degré 2 ont un discriminant strictement négatif (\(-4\), puis \(2 – 4 = -2\) deux fois), donc ils sont irréductibles dans \(\mathbb{R}[X]\).

3. On a \(X^8 – 1 = (X – 1)(1 + X + X^2 + \cdots + X^7)\), d’où \(T = \sum_{k=0}^{7} X^k\). Par ailleurs, la question 1 donne \(X^8 – 1 = (X – 1)\prod_{k=1}^{7}(X – \omega^k)\). Comme \(\mathbb{R}[X]\) est intègre, on peut simplifier par \(X – 1\), ce qui donne \(T = \prod_{k=1}^{7} (X – \omega^k)\). En évaluant en \(1\), on trouve alors \(\prod_{k=1}^{7}(1 – \omega^k) = T(1) = 8\).

4. Du produit des écarts au produit de sinus

   Posons \(\theta = \frac{k\pi}{4}\). On factorise par l’angle moitié : \(1 – \mathrm{e}^{i\theta} = \mathrm{e}^{i\theta/2}\left(\mathrm{e}^{-i\theta/2} – \mathrm{e}^{i\theta/2}\right) = -2i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\mathrm{e}^{i\theta/2}\). Donc \(|1 – \omega^k| = 2\left|\sin\left(\frac{k\pi}{8}\right)\right|\). Or \(\frac{k\pi}{8} \in ]0, \pi[\) pour \(1 \leq k \leq 7\), donc ce sinus est positif, et \(|1 – \omega^k| = 2\sin\left(\frac{k\pi}{8}\right)\).

   En prenant le module dans la question 3, on obtient \(2^7 \prod_{k=1}^{7}\sin\left(\frac{k\pi}{8}\right) = 8\), donc ce produit vaut \(\frac{1}{16}\). De plus, \(\sin\left(\frac{(8 – k)\pi}{8}\right) = \sin\left(\frac{k\pi}{8}\right)\), \(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)^2 = \frac{1}{2}\) et \(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\). Le produit s’écrit ainsi \(\frac{1}{2}\left(\sin\left(\frac{\pi}{8}\right)\sin\left(\frac{3\pi}{8}\right)\right)^2 = \frac{1}{16}\). Ce produit de sinus positifs vaut donc \(\frac{1}{\sqrt{8}}\), soit \(\sin\left(\frac{\pi}{8}\right)\sin\left(\frac{3\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2}}{4}\).

Barème : 1) racines, 0,5 ; factorisation dans \(\mathbb{C}[X]\), 0,5. 2) Regroupement des conjuguées, 0,75 ; facteurs de degré 2 exacts et irréductibilité, 0,75. 3) Expression de \(T\), 0,5 ; simplification et évaluation en 1, 0,5. 4) Module par l’angle moitié, 0,5 ; produit de sinus, 0,5.

Piège classique : évaluer directement \(X^8 – 1\) en \(1\), ce qui donne \(0 = 0\). Il faut d’abord diviser par \(X – 1\), puis seulement évaluer le quotient.

Exercice 4 – Problème : interpoler la fonction puissance de 2 (7,5 points)

1. Unicité. Soient \(P\) et \(\tilde{P}\) deux polynômes de \(\mathbb{R}_3[X]\) qui prennent les valeurs \(y_i\) aux quatre abscisses. Alors \(P – \tilde{P}\) est de degré au plus 3 et possède quatre racines distinctes \(x_0, x_1, x_2, x_3\). Un polynôme non nul de degré au plus 3 a au plus trois racines, donc \(P – \tilde{P} = 0\).

   Valeurs de \(L_i\). Le produit \(L_i\) contient le facteur \(X – x_j\) pour chaque \(j \neq i\), donc \(L_i(x_j) = 0\). En revanche, en \(x_i\), chaque quotient \(\frac{x_i – x_j}{x_i – x_j}\) vaut \(1\), d’où \(L_i(x_i) = 1\).

   Existence. Posons \(P = \sum_{i=0}^{3} y_i L_i\). Chaque \(L_i\) est de degré 3, donc \(P \in \mathbb{R}_3[X]\), et \(P(x_j) = \sum_i y_i L_i(x_j) = y_j\). Ainsi il existe un unique polynôme de \(\mathbb{R}_3[X]\) qui prend les valeurs \(y_i\) aux points \(x_i\).

2. Les polynômes de Lagrange des quatre abscisses

   On calcule chaque dénominateur à partir des écarts entre abscisses :
   \(L_0 = \dfrac{X(X – 1)(X – 2)}{(-1)(-2)(-3)} = -\dfrac{1}{6}X(X – 1)(X – 2)\) ;
   \(L_1 = \dfrac{(X + 1)(X – 1)(X – 2)}{1 \times (-1) \times (-2)} = \dfrac{1}{2}(X + 1)(X – 1)(X – 2)\) ;
   \(L_2 = \dfrac{(X + 1)X(X – 2)}{2 \times 1 \times (-1)} = -\dfrac{1}{2}(X + 1)X(X – 2)\) ;
   \(L_3 = \dfrac{(X + 1)X(X – 1)}{3 \times 2 \times 1} = \dfrac{1}{6}(X + 1)X(X – 1)\).

   Ce sont les quatre polynômes de Lagrange, chacun de degré exactement 3.

3. Le polynôme qui interpole \(x \mapsto 2^x\)

   Par la question 1, \(P = \frac{1}{2}L_0 + L_1 + 2L_2 + 4L_3\). On développe chaque terme sur le dénominateur commun \(12\) :
   \(\frac{1}{2}L_0 = \frac{-X^3 + 3X^2 – 2X}{12}\) ;
   \(L_1 = \frac{6X^3 – 12X^2 – 6X + 12}{12}\) ;
   \(2L_2 = \frac{-12X^3 + 12X^2 + 24X}{12}\) ;
   \(4L_3 = \frac{8X^3 – 8X}{12}\).

   En additionnant, on obtient \(P = \dfrac{X^3 + 3X^2 + 8X + 12}{12}\).

   Contrôlons ce résultat. D’une part, \(P(-1) = \frac{-1 + 3 – 8 + 12}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\). D’autre part, \(P(2) = \frac{8 + 12 + 16 + 12}{12} = \frac{48}{12} = 4\). Les deux valeurs attendues sont donc retrouvées.

   

4. Trois identités par unicité

   Le polynôme \(L_0 + L_1 + L_2 + L_3\) appartient à \(\mathbb{R}_3[X]\) et vaut \(1\) en chaque \(x_j\), d’après la question 1. Or le polynôme constant \(1\) a les mêmes valeurs, donc l’unicité donne \(L_0 + L_1 + L_2 + L_3 = 1\). De même, \(\sum_i x_i L_i\) et \(X\) sont dans \(\mathbb{R}_3[X]\) et valent tous deux \(x_j\) en \(x_j\), d’où \(\sum_{i=0}^{3} x_i L_i = X\).

   Posons enfin \(D = X^4 – \sum_{i} x_i^4 L_i\). Ce polynôme est unitaire de degré 4, car la somme est de degré au plus 3. De plus, \(D(x_j) = x_j^4 – x_j^4 = 0\) pour chaque \(j\). Il est donc divisible par \((X + 1)X(X – 1)(X – 2)\), unitaire de même degré, ce qui impose l’égalité. Ainsi \(\sum_{i=0}^{3} x_i^4 L_i = X^4 – (X + 1)X(X – 1)(X – 2)\).

5. On calcule \(P\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{12}\left(\frac{1}{8} + \frac{3}{4} + 4 + 12\right) = \frac{1}{12} \times \frac{135}{8}\), donc \(P\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{45}{32}\).

   D’abord, \(\left(\frac{45}{32}\right)^2 = \frac{2025}{1024} < \frac{2048}{1024} = 2\), donc \(\frac{45}{32} < \sqrt{2}\) : l’approximation est par défaut. Ensuite, \(\left(\frac{283}{200}\right)^2 = \frac{80089}{40000} > \frac{80000}{40000} = 2\), donc \(\sqrt{2} < \frac{283}{200}\). Par conséquent, \(0 < \sqrt{2} – \frac{45}{32} < \frac{283}{200} – \frac{45}{32} = \frac{1132 – 1125}{800} = \frac{7}{800}\). Or \(\frac{7}{800} < \frac{8}{800} = \frac{1}{100}\). Ainsi \(\frac{45}{32}\) approche \(\sqrt{2}\) par défaut à moins de \(10^{-2}\) près, ce que confirme la figure, où les deux courbes sont presque confondues entre \(-1\) et \(2\).

Barème : 1) unicité par le nombre de racines, 0,5 ; valeurs \(L_i(x_j)\), 0,5 ; existence, 0,5. 2) Chaque polynôme de Lagrange exact rapporte 0,375. 3) Combinaison des \(L_i\), 0,5 ; développement, 0,75 ; double contrôle, 0,25. 4) Somme des \(L_i\), 0,5 ; somme des \(x_i L_i\), 0,25 ; identité de degré 4, 0,75. 5) Fraction \(\frac{45}{32}\), 0,5 ; approximation par défaut, 0,5 ; majoration de l’erreur, 0,5.

Piège classique : oublier les signes des dénominateurs de \(L_0\) et de \(L_2\). Un contrôle simple consiste à vérifier que \(L_0(-1) = 1\) et \(L_2(1) = 1\) avant de poursuivre.

Revenir à l’énoncé du contrôle

Consolider interpolation de Lagrange et Viète après ce corrigé

Pour ne plus perdre de points sur ce thème, relisez le cours polynômes ; entraînez-vous sur les exercices polynômes.

D’autres évaluations corrigées vous attendent sur la page contrôles de maths en MPSI.

Télécharger en PDF Le livre des 25 contrôles corrigés en MPSI PDF à imprimer Voir le livre ›

Télécharger ou imprimer cette fiche «interpolation de Lagrange et Viète : corrigé du contrôle de maths en MPSI» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

 Maths PDF c'est 16 224 411 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 4 250 exercices.