Urnes, dénombrement et formule de Bayes : contrôle de maths en MPSI

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Ce qu’évalue le contrôle : urnes, dénombrement et formule de Bayes

Le sujet du contrôle : urnes, dénombrement et formule de Bayes

Exercice 1 – Quatre façons de compter dans un laboratoire (4 points)

Un laboratoire de biologie emploie onze chercheurs : six femmes et cinq hommes. Pour chaque question, précisez le modèle de dénombrement choisi (liste, arrangement, combinaison, permutation avec répétition) et justifiez-le en une phrase.

1. Le badge d’accès à la salle blanche affiche une suite de quatre pastilles, chacune choisie parmi sept couleurs. Combien de badges différents peut-on fabriquer ? Combien en reste-t-il si les quatre couleurs doivent être distinctes ? (1 point)
2. On forme un comité d’éthique de trois chercheurs. Dénombrer les comités possibles, puis ceux qui comptent au moins une femme. Si le comité est tiré au sort de façon équiprobable, quelle est la probabilité qu’il contienne exactement deux femmes ? (1,5 point)
3. Combien de façons y a-t-il de désigner un directeur, un trésorier et un secrétaire, ces trois fonctions étant occupées par des personnes distinctes ? (0,5 point)
4. Le mot de passe du serveur est une anagramme du mot PARALLELE. Déterminer le nombre de mots de passe possibles, en expliquant pourquoi on divise \(9!\) par un certain produit. (1 point)

Exercice 2 – Chemins dans une grille et double comptage (4 points)

Un chemin de la grille est une suite de pas unitaires, chacun vers la droite (de \((x, y)\) à \((x + 1, y)\)) ou vers le haut (de \((x, y)\) à \((x, y + 1)\)). La figure montre un tel chemin de \(O(0, 0)\) à \(A(6, 4)\), qui passe par le point \(M(2, 1)\).

1. Soient \(a\) et \(b\) deux entiers naturels. Montrer que le nombre de chemins de \(O\) au point \((a, b)\) vaut \(\binom{a + b}{a}\). (1 point)
2. Calculer le nombre de chemins de \(O\) à \(A\), puis le nombre de ceux qui passent par \(M\). On choisit un chemin de \(O\) à \(A\) au hasard, de façon équiprobable : quelle est la probabilité qu’il passe par \(M\) ? (1 point)
3. Soient \(p\) et \(q\) deux entiers naturels. En classant les chemins de \(O\) à \((p, q + 1)\) selon l’abscisse \(k\) de leur dernier pas vers le haut, démontrer que
   \[\binom{p + q + 1}{q + 1} = \sum_{k = 0}^{p} \binom{k + q}{q}.\] (1,5 point)
4. En déduire la valeur de \(\sum_{k = 0}^{6} \binom{k + 2}{2}\), puis contrôler le résultat par un calcul direct. (0,5 point)

Exercice 3 – Une boule change de boîte (4 points)

La boîte \(A\) contient quatre boules bleues et deux boules orange ; la boîte \(B\) contient une boule bleue et cinq boules orange. On tire au hasard une boule de \(A\) et on la place dans \(B\). Ensuite, on tire simultanément deux boules de \(B\). Tous les tirages sont équiprobables.

On note \(T_b\) l’événement « la boule transférée est bleue », \(T_o\) l’événement « la boule transférée est orange » et \(N\) l’événement « les deux boules tirées dans \(B\) sont orange ».

1. Justifier que \((T_b, T_o)\) est un système complet d’événements et donner les probabilités de \(T_b\) et de \(T_o\). (0,5 point)
2. Calculer \(P_{T_b}(N)\) et \(P_{T_o}(N)\), puis en déduire \(P(N)\) en citant la formule utilisée. (1,5 point)
3. On constate qu’au moins une des deux boules tirées est bleue. Quelle est alors la probabilité que la boule transférée ait été bleue ? (1 point)
4. Les événements \(T_b\) et \(N\) sont-ils indépendants ? Interpréter la réponse. (1 point)

Exercice 4 – Problème : fiabilité d’un dépistage (8 points)

Une maladie touche une proportion \(p\) d’une population, appelée prévalence, avec \(0 < p < 1\). Un test de dépistage présente deux caractéristiques : quand la personne est malade, il est positif avec probabilité \(0{,}9\) (sensibilité) ; quand elle est saine, il est négatif avec probabilité \(0{,}95\) (spécificité). Un patient est tiré au sort dans cette population ; \(M\) désigne alors l’événement « il est atteint » et \(T\) l’événement « son test revient positif ».

Un premier dépistage. Dans les questions 1 à 5, la prévalence vaut \(p = 0{,}02\).

1. Traduire les données de l’énoncé à l’aide de probabilités et de probabilités conditionnelles. (0,5 point)
2. On se donne \(m\) événements \(H_1, \ldots, H_m\), tous de probabilité strictement positive, qui forment une partition de l’univers, ainsi qu’un événement \(E\) vérifiant \(P(E) > 0\). Énoncer puis démontrer la formule de Bayes qui exprime \(P_E(H_k)\), en partant de la définition du conditionnement. (1,5 point)
3. Calculer ensuite \(P(T)\). (1 point)
4. Pour un patient testé positif, quelle est la probabilité d’être atteint ? Donner une valeur approchée à \(10^{-2}\) près, puis commenter ce résultat. (1 point)
5. De même, quelle est la probabilité d’être sain pour un patient testé négatif ? (0,5 point)

Influence de la prévalence. La prévalence \(p\) est désormais quelconque dans \(]0, 1[\). La courbe ci-dessous représente la probabilité \(P_T(M)\) en fonction de \(p\).

6. Démontrer que \(P_T(M) = f(p)\), où \(f\) est la fonction définie sur \([0, 1]\) par \(f(x) = \frac{18x}{1 + 17x}\). (1 point)
7. Étudier les variations de \(f\), puis déterminer la valeur exacte de la plus petite prévalence pour laquelle un test positif rend la maladie au moins aussi probable que son absence. Confronter ce résultat à la courbe. (1 point)

Un second test. On revient à \(p = 0{,}02\). Une personne passe deux fois le même test ; on note \(T_1\) et \(T_2\) les événements « le premier test est positif » et « le second test est positif ». On suppose que \(T_1\) et \(T_2\) sont indépendants pour la probabilité \(P_M\), mais aussi pour la probabilité \(P_{\overline{M}}\).

8. Sachant que les deux résultats sont positifs, déterminer la probabilité que le patient soit atteint. Donner d’abord sa valeur exacte, puis une valeur approchée à \(10^{-2}\) près. (1 point)
9. Enfin, \(T_1\) et \(T_2\) sont-ils indépendants pour la probabilité \(P\) ? Justifier, car la réponse peut surprendre. (0,5 point)

Réviser urnes, dénombrement et formule de Bayes avant le contrôle

Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours dénombrer et calculer des probabilités conditionnelles ; entraînez-vous sur les exercices dénombrer et calculer des probabilités conditionnelles avant de retenter le sujet.

La page contrôles de maths en MPSI regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.

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