Variation de la constante et EDL en L1 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Équations homogènes à coefficient variable

Résoudre les équations suivantes sur l’intervalle indiqué.

1. \(y^{\prime} – (2x + 1)y = 0\) sur \(\mathbb{R}\), puis déterminer la solution telle que \(y(0) = 2\).
2. \(y^{\prime} + \frac{1}{x\ln x}\,y = 0\) sur \(]1, +\infty[\).
3. \(y^{\prime} = y\sin x\) sur \(\mathbb{R}\).

Exercice 2 – Refroidissement d’une tasse de thé

Un thé servi à \(80\) degrés est posé dans une pièce à \(20\) degrés. D’après la loi de Newton, sa température \(\theta(t)\), en degrés, \(t\) en minutes, vérifie \(\theta^{\prime} = -k(\theta – 20)\), où \(k > 0\) est une constante. Au bout de \(5\) minutes, le thé est à \(50\) degrés.

1. Exprimer \(\theta(t)\) en fonction de \(k\) et \(t\).
2. Calculer \(k\).
3. Déterminer l’instant où le thé atteint \(25\) degrés, à la seconde près.
4. Déterminer la limite de \(\theta(t)\) quand \(t\) tend vers \(+\infty\).

Exercice 3 – Trois équations caractéristiques

Déterminer les solutions réelles sur \(\mathbb{R}\) de chacune des équations suivantes.

1. \(y^{\prime\prime} – y^{\prime} – 6y = 0\).
2. \(4y^{\prime\prime} + 4y^{\prime} + y = 0\).
3. \(y^{\prime\prime} + 2y^{\prime} + 5y = 0\).

Exercice 4 – Racine double et conditions initiales

On considère l’équation \(y^{\prime\prime} – 4y^{\prime} + 4y = 0\).

1. Déterminer la solution \(y\) telle que \(y(0) = 1\) et \(y^{\prime}(0) = 0\).
2. Étudier le signe de \(y\) sur \(\mathbb{R}\).
3. Déterminer les limites de \(y\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\).

Exercice 5 – Second membre polynomial

On considère \((E) : y^{\prime\prime} + y^{\prime} – 2y = 2x^2 – 3\).

1. Déterminer une solution particulière polynomiale de \((E)\).
2. Résoudre \((E)\) sur \(\mathbb{R}\).
3. Déterminer la solution \(y\) telle que \(y(0) = 1\) et telle que \(y(x) + x^2 + x\) reste bornée sur \([0, +\infty[\).

Exercice 6 – Deux suites récurrentes linéaires d’ordre deux

1. Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\), \(u_1 = 4\) et \(u_{n+2} = 4u_{n+1} – 4u_n\). Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
2. Soit \((v_n)\) définie par \(v_0 = v_1 = 1\) et \(v_{n+2} = v_{n+1} – v_n\). Exprimer \(v_n\) à l’aide de \(\cos\left(\frac{n\pi}{3}\right)\) et \(\sin\left(\frac{n\pi}{3}\right)\).
3. Montrer que \((v_n)\) est périodique et préciser sa période.

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Variation de la constante et argument sinus hyperbolique

On considère \((E) : (1 + x^2)y^{\prime} + xy = 1\) sur \(\mathbb{R}\).

1. Résoudre l’équation homogène associée.
2. Résoudre \((E)\) par variation de la constante. On rappelle qu’une primitive de \(x \mapsto \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}\) est \(\operatorname{argsh}\).
3. Déterminer la solution telle que \(y(0) = 1\).
4. Montrer que toutes les solutions tendent vers 0 en \(+\infty\).

Exercice 8 – Condition initiale et logarithme

Résoudre sur \(]0, +\infty[\) le problème de Cauchy \(xy^{\prime} – y = x^2\ln x\), \(y(1) = 0\). Vérifier ensuite le résultat en le réinjectant dans l’équation.

Exercice 9 – Superposition au premier ordre

On considère \((E) : y^{\prime} + y = 2\cos x + e^{-x}\) sur \(\mathbb{R}\).

1. Trouver une solution de \(y^{\prime} + y = 2\cos x\) de la forme \(a\cos x + b\sin x\).
2. Trouver une solution de \(y^{\prime} + y = e^{-x}\) par variation de la constante.
3. En déduire toutes les solutions de \((E)\), puis celle qui s’annule en 0.

Exercice 10 – Exponentielle et racine double

Résoudre \(y^{\prime\prime} – 6y^{\prime} + 9y = e^{3x}\) sur \(\mathbb{R}\), puis déterminer la solution vérifiant \(y(0) = 0\) et \(y^{\prime}(0) = 1\).

Exercice 11 – Exponentielles résonantes et non résonantes

Pour chaque équation, déterminer une solution particulière, puis la solution générale réelle sur \(\mathbb{R}\).

1. \(y^{\prime\prime} + y^{\prime} = 6x\).
2. \(y^{\prime\prime} – y^{\prime} – 2y = 3e^{-x}\).

Exercice 12 – Régime permanent sinusoïdal

On considère \((E) : y^{\prime\prime} + 2y^{\prime} + 2y = 5\sin x\).

1. En passant par l’équation \(z^{\prime\prime} + 2z^{\prime} + 2z = 5e^{ix}\), trouver une solution particulière réelle de \((E)\).
2. Résoudre \((E)\) sur \(\mathbb{R}\).
3. Déterminer la solution telle que \(y(0) = 0\) et \(y^{\prime}(0) = 0\).
4. Montrer que toutes les solutions ont le même comportement quand \(x\) tend vers \(+\infty\), à une fonction de limite nulle près.

Exercice 13 – Masse, ressort et frottement

Une masse de \(1\) kg, accrochée à un ressort de raideur \(25\) N/m, subit un frottement fluide de coefficient \(h \geqslant 0\). Son écart \(x(t)\) à l’équilibre, en mètres, vérifie \(x^{\prime\prime} + hx^{\prime} + 25x = 0\). On lâche la masse sans vitesse depuis \(x(0) = 0{,}1\).

1. Déterminer la valeur de \(h\) qui donne le régime critique.
2. On prend \(h = 6\). Déterminer \(x(t)\), puis la pseudo-période.
3. Pour \(h = 6\), calculer le rapport \(\frac{x(t + T)}{x(t)}\), où \(T\) est la pseudo-période, et en donner une valeur approchée.
4. On prend \(h = 26\). Déterminer \(x(t)\) et montrer que la masse ne repasse jamais par la position d’équilibre.

Exercice 14 – Retrouver l’équation à partir de solutions

1. Déterminer les réels \(p\) et \(q\) tels que \(x \mapsto e^{x}\cos(2x)\) soit solution de \(y^{\prime\prime} + py^{\prime} + qy = 0\).
2. Déterminer les réels \(p\), \(q\) et \(c\) tels que les fonctions \(x \mapsto 2 + e^{-x}\) et \(x \mapsto 2 + xe^{-x}\) soient toutes deux solutions de \(y^{\prime\prime} + py^{\prime} + qy = c\).

Exercice 15 – Suite récurrente avec terme constant

Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = u_1 = 0\) et \(u_{n+2} = 5u_{n+1} – 6u_n + 2\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

1. Trouver une suite constante vérifiant la relation de récurrence.
2. En s’inspirant du théorème de structure, exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
3. Donner un équivalent de \(u_n\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).

Pour approfondir

Exercice 16 – Recollement en un point singulier

On considère \((E) : xy^{\prime} – 2y = x^3\).

1. Résoudre \((E)\) sur \(]0, +\infty[\) et sur \(]-\infty, 0[\).
2. Déterminer toutes les solutions de \((E)\) sur \(\mathbb{R}\).
3. Combien de solutions sur \(\mathbb{R}\) vérifient \(y(0) = 0\) ? Et \(y(0) = 1\) ? Expliquer pourquoi le théorème de Cauchy n’est pas contredit.
4. Décrire les solutions sur \(\mathbb{R}\) telles que \(y(1) = 3\).

Exercice 17 – Équation d’Euler par changement de variable

On cherche les fonctions \(y\) deux fois dérivables sur \(]0, +\infty[\) telles que \(x^2y^{\prime\prime} – 2xy^{\prime} + 2y = x^3\). On pose \(z(t) = y(e^{t})\) pour \(t \in \mathbb{R}\).

1. Exprimer \(z^{\prime}(t)\) et \(z^{\prime\prime}(t)\) à l’aide de \(y^{\prime}(e^t)\) et \(y^{\prime\prime}(e^t)\).
2. Montrer que \(y\) est solution si et seulement si \(z^{\prime\prime} – 3z^{\prime} + 2z = e^{3t}\).
3. Résoudre cette équation, puis en déduire toutes les solutions \(y\).

Exercice 18 – Problème du parachutiste et schéma d’Euler

Un parachutiste de masse \(m = 80\) kg se lance d’un avion et tombe, parachute encore fermé, avec une vitesse verticale initiale nulle. Sa vitesse \(v(t)\), en m/s, vérifie \(mv^{\prime} = mg – hv\), avec \(g = 9{,}8\) m/s² et \(h = 16\) kg/s.

Partie A : résolution exacte.

1. Mettre l’équation sous la forme \(v^{\prime} + \frac{v}{\tau} = g\) et donner \(\tau\).
2. Déterminer \(v(t)\) et la vitesse limite \(v_L\).
3. Au bout de combien de temps la vitesse atteint-elle \(95\,\%\) de \(v_L\) ? Donner une valeur approchée au dixième de seconde.
4. Déterminer la distance \(x(t)\) parcourue depuis l’instant 0.

Partie B : schéma d’Euler. On approche \(v\) aux instants \(t_n = n\delta\), avec \(\delta = 0{,}5\) s, par la suite définie par \(w_0 = 0\) et \(w_{n+1} = w_n + \delta\left(g – \frac{w_n}{\tau}\right)\).

5. Montrer que \(w_{n+1} = 0{,}9\,w_n + 4{,}9\), puis exprimer \(w_n\) en fonction de \(n\).
6. Montrer que \((w_n)\) converge vers \(v_L\).
7. Comparer \(w_{10}\) et \(v(5)\) numériquement.
8. Montrer que \(w_n \geqslant v(t_n)\) pour tout \(n\), en utilisant l’inégalité \(1 – u \leqslant e^{-u}\), valable pour tout réel \(u\).

Exercice 19 – Problème de l’oscillateur forcé et des battements

Un oscillateur sans frottement, de pulsation propre \(2\), est soumis à une excitation \(\cos(\omega t)\), avec \(\omega > 0\). Il part du repos : on étudie \(y^{\prime\prime} + 4y = \cos(\omega t)\), \(y(0) = 0\), \(y^{\prime}(0) = 0\).

1. On suppose \(\omega \neq 2\). Trouver une solution particulière de la forme \(a\cos(\omega t)\).
2. En déduire que la solution du problème est \(y_\omega(t) = \frac{\cos(\omega t) – \cos(2t)}{4 – \omega^2}\).
3. On suppose \(\omega = 2\). Déterminer la solution du problème.
4. Pour \(t\) fixé, montrer que \(y_\omega(t)\) tend vers la solution de la question 3 quand \(\omega\) tend vers \(2\).
5. On prend \(\omega = 1{,}8\). Écrire \(y_\omega(t)\) comme produit de deux sinus et expliquer le phénomène de battements observé sur la figure.

Pour aller plus loin

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