Applications linéaires et rang en L1 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Quatre applications à tester

Dire si chacune des applications suivantes est linéaire, en justifiant la réponse.

1. \(a : \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}\), \(M \mapsto \mathrm{tr}(AM)\), où \(A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}\).
2. \(b : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\), \((x,y) \mapsto (x – y, xy)\).
3. \(c : \mathbb{R}[X] \to \mathbb{R}[X]\), \(P \mapsto XP^{\prime} – 3P\).
4. \(d : \mathcal{C}([0,1], \mathbb{R}) \to \mathbb{R}\), \(g \mapsto g(1) + 1\).

Exercice 2 – Noyau et image d’une application de R3 dans R2

Soit \(u : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2\) définie par \(u(x,y,z) = (x – y + 2z,\ 2x + y + z)\).

1. Montrer que \(u\) est linéaire.
2. Déterminer une base de \(\mathrm{Ker}\, u\).
3. En déduire \(\mathrm{Im}\, u\). L’application \(u\) est-elle injective ? surjective ?

Exercice 3 – Évaluation en trois points

Soit \(v : \mathbb{R}_2[X] \to \mathbb{R}^3\), \(P \mapsto \big(P(0), P(1), P(3)\big)\).

1. Montrer que \(v\) est linéaire et déterminer son noyau.
2. En déduire que \(v\) est un isomorphisme.
3. Déterminer le polynôme \(P \in \mathbb{R}_2[X]\) tel que \(v(P) = (1, 0, 0)\).

Exercice 4 – Retrouver une application à partir de deux images

On cherche \(f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2, \mathbb{R}^3)\) telle que \(f(1,1) = (1,0,2)\) et \(f(1,-1) = (3,2,0)\).

1. Justifier l’existence et l’unicité de \(f\).
2. Calculer \(f(x,y)\) pour tout \((x,y) \in \mathbb{R}^2\).
3. Déterminer le rang de \(f\). L’application \(f\) est-elle injective ?

Exercice 5 – Projecteur ou symétrie du plan

On considère les endomorphismes de \(\mathbb{R}^2\) définis par \(p(x,y) = (-x + 2y,\ -x + 2y)\) et \(q(x,y) = (y, x)\).

1. Montrer que \(p\) est un projecteur et déterminer ses éléments caractéristiques.
2. Montrer que \(q\) n’est pas un projecteur, mais que c’est une symétrie dont on précisera les éléments.

Exercice 6 – Équation d’un hyperplan de R4

Dans \(\mathbb{R}^4\), on note \(H = \mathrm{Vect}(w_1, w_2, w_3)\) avec \(w_1 = (1,2,0,-1)\), \(w_2 = (0,1,1,1)\) et \(w_3 = (2,0,1,0)\).

1. Montrer que \((w_1, w_2, w_3)\) est libre.
2. Déterminer une équation de \(H\).
3. Montrer que \(\mathbb{R}^4 = H \oplus \mathrm{Vect}\big((1,1,1,1)\big)\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Endomorphisme de polynômes et base adaptée

Pour \(P \in \mathbb{R}_3[X]\), on pose \(\varphi(P) = (X – 1)P^{\prime} – 2P\).

1. Montrer que \(\varphi\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}_3[X]\).
2. Calculer \(\varphi\big((X-1)^k\big)\) pour \(k \in \{0,1,2,3\}\).
3. En déduire le noyau, l’image et le rang de \(\varphi\), et vérifier le théorème du rang.

Exercice 8 – Multiplication à gauche dans les matrices carrées d’ordre 2

Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}\) et \(g : \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \to \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\), \(M \mapsto AM\).

1. Montrer que \(g\) est un endomorphisme.
2. Déterminer une base de \(\mathrm{Ker}\, g\).
3. Déterminer une base de \(\mathrm{Im}\, g\), puis vérifier le théorème du rang.

Exercice 9 – Dérivation et primitive sur les polynômes

Sur \(\mathbb{R}[X]\), on note \(D(P) = P^{\prime}\) et \(I(P)\) l’unique primitive de \(P\) qui s’annule en \(0\).

1. Montrer que \(D\) et \(I\) sont des endomorphismes de \(\mathbb{R}[X]\).
2. Montrer que \(D\) est surjective mais pas injective, et que \(I\) est injective mais pas surjective.
3. Calculer \(D \circ I\) et \(I \circ D\). Expliquer pourquoi ce résultat est impossible en dimension finie.

Exercice 10 – Projecteur de R3 donné par ses formules

Soit \(p\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) défini par

\[p(x,y,z) = \left(\frac{-y + z}{2},\ \frac{-2x + y + z}{2},\ \frac{-2x – y + 3z}{2}\right).\]

1. Montrer que \(p \circ p = p\).
2. Déterminer \(\mathrm{Ker}\, p\) et \(\mathrm{Im}\, p\). Donner une équation de \(\mathrm{Im}\, p\).
3. Calculer \(p(1,2,0)\) et interpréter le résultat.
4. Expliciter la symétrie \(s = 2p – \mathrm{id}\) et préciser ses éléments caractéristiques.

Exercice 11 – Rang d’une application de R4 dans R3

Soit \(f : \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3\), \((x,y,z,t) \mapsto (x + y + z + t,\ x – y + 2z,\ 2x + 3z + t)\).

1. Déterminer une base de \(\mathrm{Ker}\, f\).
2. En déduire le rang de \(f\) par le théorème du rang.
3. Donner une base et une équation de \(\mathrm{Im}\, f\).

Exercice 12 – Deux formes linéaires sur les polynômes

Sur \(\mathbb{R}_2[X]\), on considère \(\alpha(P) = P^{\prime}(0)\) et \(\beta(P) = P(1) – P(-1)\).

1. Montrer que \(\alpha\) et \(\beta\) sont des formes linéaires non nulles.
2. Montrer que \(\mathrm{Ker}\, \alpha\) est un hyperplan et en donner une base.
3. Comparer \(\alpha\) et \(\beta\), puis en déduire \(\mathrm{Ker}\, \beta\).
4. On définit les mêmes formules sur \(\mathbb{R}_3[X]\). Montrer qu’elles n’ont plus le même noyau.

Exercice 13 – Endomorphismes de carré nul

Soit \(E\) un espace de dimension finie \(n\) et \(u \in \mathcal{L}(E)\).

1. Montrer que \(u \circ u = 0\) si et seulement si \(\mathrm{Im}\, u \subset \mathrm{Ker}\, u\).
2. En déduire que si \(u \circ u = 0\), alors \(\mathrm{rg}\, u \leqslant \frac{n}{2}\).
3. Dans \(\mathbb{R}^4\), on pose \(u(x,y,z,t) = (z, t, 0, 0)\). Vérifier que \(u \circ u = 0\), puis déterminer \(\mathrm{Ker}\, u\) et \(\mathrm{Im}\, u\).

Exercice 14 – Interpolation de Hermite en deux points

Soit \(\Phi : \mathbb{R}_3[X] \to \mathbb{R}^4\), \(P \mapsto \big(P(0), P^{\prime}(0), P(2), P^{\prime}(2)\big)\). La figure représente les conditions imposées à la question 3.

1. Montrer que \(\Phi\) est linéaire.
2. Déterminer \(\mathrm{Ker}\, \Phi\) et en déduire que \(\Phi\) est un isomorphisme.
3. Déterminer l’unique \(P \in \mathbb{R}_3[X]\) tel que \(\Phi(P) = (0, 0, 4, 0)\).

Exercice 15 – Matrices de trace nulle et projection

Soit \(n \geqslant 2\) et \(H = \{M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mid \mathrm{tr}\, M = 0\}\).

1. Montrer que \(H\) est un hyperplan de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et donner sa dimension.
2. Montrer que \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) = H \oplus \mathrm{Vect}(I_n)\).
3. Exprimer la projection \(\pi\) sur \(H\) parallèlement à \(\mathrm{Vect}(I_n)\).
4. Calculer \(\pi(M)\) pour \(n = 2\) et \(M = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}\).

Pour approfondir

Exercice 16 – Noyaux itérés d’un endomorphisme

Soit \(E\) de dimension finie \(n \geqslant 1\) et \(u \in \mathcal{L}(E)\). On pose \(N_k = \mathrm{Ker}\, u^k\) pour \(k \in \mathbb{N}\), avec \(u^0 = \mathrm{id}_E\).

1. Montrer que \(N_k \subset N_{k+1}\) pour tout \(k\).
2. Montrer que si \(N_m = N_{m+1}\) pour un entier \(m\), alors \(N_{m+j} = N_m\) pour tout \(j \in \mathbb{N}\).
3. En déduire qu’il existe \(m \leqslant n\) tel que la suite \((N_k)\) soit constante à partir du rang \(m\).
4. Déterminer les \(N_k\) lorsque \(u\) est la dérivation de \(\mathbb{R}_3[X]\).

Exercice 17 – Inégalités sur le rang

Les espaces \(E\), \(F\), \(G\) sont de dimension finie.

1. Pour \(u, v \in \mathcal{L}(E,F)\), montrer que \(\mathrm{rg}(u + v) \leqslant \mathrm{rg}\, u + \mathrm{rg}\, v\).
2. En déduire que \(|\mathrm{rg}\, u – \mathrm{rg}\, v| \leqslant \mathrm{rg}(u – v)\).
3. Pour \(u \in \mathcal{L}(E,F)\) et \(v \in \mathcal{L}(F,G)\), montrer que \(\mathrm{rg}(v \circ u) \leqslant \min(\mathrm{rg}\, u, \mathrm{rg}\, v)\).
4. On note \(w\) l’application obtenue en ne faisant agir \(v\) que sur les vecteurs de \(\mathrm{Im}\, u\). Étudier le noyau et l’image de \(w\), puis prouver que \(\mathrm{rg}(v \circ u) \geqslant \mathrm{rg}\, u + \mathrm{rg}\, v – \dim F\).

Exercice 18 – Somme de deux projecteurs

Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel et \(p, q\) deux projecteurs de \(E\).

1. Montrer que \(p + q\) est un projecteur si et seulement si \(p \circ q + q \circ p = 0\).
2. En composant cette égalité par \(p\) à gauche puis à droite, montrer qu’elle équivaut à \(p \circ q = q \circ p = 0\).
3. Dans ce cas, montrer que \(\mathrm{Im}(p + q) = \mathrm{Im}\, p \oplus \mathrm{Im}\, q\) et \(\mathrm{Ker}(p + q) = \mathrm{Ker}\, p \cap \mathrm{Ker}\, q\).

Exercice 19 – Problème : opérateur de différence et sommes de cubes

Soit \(n \geqslant 1\). Pour \(P \in \mathbb{R}_n[X]\), on pose \(\Delta(P) = P(X+1) – P(X)\).

1. Montrer que \(\Delta\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}_n[X]\). Montrer que si \(\deg P = d \geqslant 1\), alors \(\deg \Delta(P) = d – 1\).
2. Montrer que \(\mathrm{Ker}\, \Delta\) est l’ensemble des polynômes constants.
3. En déduire que \(\mathrm{Im}\, \Delta = \mathbb{R}_{n-1}[X]\).
4. Montrer que pour tout \(Q \in \mathbb{R}_{n-1}[X]\), il existe un unique \(P \in \mathbb{R}_n[X]\) tel que \(\Delta(P) = Q\) et \(P(0) = 0\).
5. On prend \(n = 4\) et \(Q = X^3\). Vérifier que \(P = \frac{1}{4}X^2(X-1)^2\) convient.
6. En déduire une expression de \(S_N = \sum_{k=0}^{N-1} k^3\) pour \(N \geqslant 1\), dont la figure donne les premières valeurs, puis de \(\sum_{k=1}^{N} k^3\).
7. Montrer que \(\Delta^{n+1} = 0\) et que \(\Delta^n \neq 0\).

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