Matrices de passage en L1 de maths : cours et méthodes

Soit \(f \in \mathcal{L}(E, F)\). On appelle matrice de \(f\) relativement à \(\mathcal{B}\) et \(\mathcal{C}\), et l’on note \(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}, \mathcal{C}}(f)\), le tableau à \(n\) lignes et \(p\) colonnes construit ainsi : pour chaque indice \(j\), sa colonne numéro \(j\) range, de haut en bas, les composantes de \(f(e_j)\) sur \(f_1, \dots, f_n\). Autrement dit, son coefficient \(a_{ij}\) est défini par \(f(e_j) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} f_i\).

Considérons \(f : \mathbb{R}_2[X] \to \mathbb{R}^2\) définie par \(f(P) = \left(P(3), P^{\prime}(-1)\right)\). Elle est linéaire, car l’évaluation et la dérivation le sont. L’espace de départ reçoit sa base usuelle \((1, X, X^2)\), et \(\mathbb{R}^2\) garde ses deux vecteurs canoniques.

1. On calcule \(f(1) = (1, 0)\), puis \(f(X) = (3, 1)\), enfin \(f(X^2) = (9, -2)\) car la dérivée de \(X^2\) vaut \(2X\).
2. On range ces images en colonnes, dans l’ordre de la base de départ.

On obtient \(\mathrm{Mat}(f) = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 9 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}\), qui possède 2 lignes car l’arrivée est de dimension 2.

Si \(A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}, \mathcal{C}}(f)\), alors pour tout \(x \in E\), on a \(Y = AX\).

Écrivons \(x = \sum_{j} x_j e_j\). Par linéarité, \(f(x) = \sum_{j} x_j f(e_j) = \sum_{j} x_j \sum_{i} a_{ij} f_i\). On échange les deux sommes finies : la coordonnée de \(f(x)\) sur \(f_i\) vaut \(\sum_{j} a_{ij} x_j\). C’est exactement le \(i\)-ième coefficient du produit \(AX\).

Les bases étant fixées, l’application \(\Phi\) qui associe à \(f\) sa matrice réalise une bijection linéaire de \(\mathcal{L}(E, F)\) sur l’espace \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\) des tableaux à \(n\) lignes et \(p\) colonnes. Par conséquent, \(\dim \mathcal{L}(E, F) = np = \dim E \times \dim F\).

La linéarité vient du calcul \((\lambda f + g)(e_j) = \lambda f(e_j) + g(e_j)\) : les coordonnées s’ajoutent colonne par colonne. Ensuite, \(\Phi\) est injective, car une matrice nulle signifie que \(f\) s’annule sur une base, donc partout. Enfin, \(\Phi\) est surjective : pour une matrice \(A\) donnée, on définit \(f\) sur la base \(\mathcal{B}\) en imposant \(f(e_j) = \sum_i a_{ij} f_i\), ce qui est toujours possible.

Soient \(f \in \mathcal{L}(E, F)\) et \(g \in \mathcal{L}(F, G)\). Alors \(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}, \mathcal{D}}(g \circ f) = \mathrm{Mat}_{\mathcal{C}, \mathcal{D}}(g) \times \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}, \mathcal{C}}(f)\).

Appelons \(A\) la matrice associée à \(f\) et \(B\) celle associée à \(g\). Un vecteur \(x\) de \(E\), repéré par sa colonne \(X\), a une image \(f(x)\) repérée par \(AX\). Ensuite, appliquer \(g\) multiplie cette colonne par \(B\), ce qui produit \(B(AX) = (BA)X\). Ainsi, la matrice \(BA\) calcule les images par \(g \circ f\). Appliquée à la colonne de \(e_j\), elle fournit la \(j\)-ième colonne de la matrice de \(g \circ f\), qui est donc \(BA\).

Soit \(f \in \mathcal{L}(E, F)\) avec \(\dim E = \dim F\), et \(A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}, \mathcal{C}}(f)\). La bijectivité de \(f\) équivaut à l’inversibilité de \(A\). Lorsqu’elles ont lieu, la réciproque \(f^{-1}\), lue de \(\mathcal{C}\) vers \(\mathcal{B}\), a pour matrice \(A^{-1}\).

Si \(f\) est bijective, notons \(B\) la matrice de \(f^{-1}\). Les égalités \(f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_E\) et \(f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_F\) donnent \(BA = I_n\) et \(AB = I_n\). Réciproquement, supposons \(A\) inversible et construisons \(g\) de \(F\) vers \(E\) en lui donnant \(A^{-1}\) pour matrice, avec \(\mathcal{C}\) au départ et \(\mathcal{B}\) à l’arrivée. Les produits \(A^{-1}A\) et \(AA^{-1}\) valent \(I_n\), donc \(g \circ f\) et \(f \circ g\) sont les identités, et \(f\) est bijective.

Pour établir la bijectivité de \(f\) lorsque départ et arrivée ont la même dimension :

1. on choisit des bases simples et on écrit la matrice \(A\) de \(f\) ;
2. on prouve que \(A\) est inversible, par le pivot de Gauss ou parce qu’elle est triangulaire à diagonale sans zéro ;
3. on calcule \(A^{-1}\) si l’on veut expliciter \(f^{-1}\), puis on traduit ses colonnes en vecteurs.

On note \(\mathrm{P}_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}^{\prime}}\) et l’on appelle matrice de passage de \(\mathcal{B}\) vers \(\mathcal{B}^{\prime}\) la matrice carrée d’ordre \(n\) obtenue en écrivant, colonne après colonne, chaque vecteur de \(\mathcal{B}^{\prime}\) à l’aide de ses composantes sur \(\mathcal{B}\). Une autre lecture, plus profonde, en fait la matrice de l’identité : \(\mathrm{P}_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}^{\prime}}\) représente \(\mathrm{id}_E\) avec \(\mathcal{B}^{\prime}\) au départ et \(\mathcal{B}\) à l’arrivée.

Une matrice de passage est toujours inversible, et son inverse est la matrice du trajet retour : \(\mathrm{P}_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}^{\prime}}^{-1} = \mathrm{P}_{\mathcal{B}^{\prime} \to \mathcal{B}}\). Par ailleurs, prenons un vecteur \(x\) quelconque et appelons \(X\) sa colonne relative à \(\mathcal{B}\), puis \(X^{\prime}\) celle relative à \(\mathcal{B}^{\prime}\). En posant \(P = \mathrm{P}_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}^{\prime}}\), ces deux colonnes sont liées par \(X = P X^{\prime}\).

L’identité est un isomorphisme, donc sa matrice est inversible. Son inverse est la matrice de \(\mathrm{id}_E^{-1} = \mathrm{id}_E\) lue dans les bases échangées, c’est-à-dire \(\mathrm{P}_{\mathcal{B}^{\prime} \to \mathcal{B}}\). Enfin, la relation \(Y = AX\) appliquée à l’identité, avec \(\mathcal{B}^{\prime}\) au départ et \(\mathcal{B}\) à l’arrivée, donne exactement \(X = PX^{\prime}\).

Le plan \(\mathbb{R}^2\) est d’abord muni de sa base canonique \(\mathcal{B}\). On lui donne ensuite une base plus pentue, formée de \(a_1 = (1, 2)\) et \(a_2 = (1, 3)\). Quelles sont, dans ce nouveau repère, les composantes de \(v = (3, 7)\) ?

1. La matrice de passage vaut \(P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\), avec un déterminant égal à \(3 – 2 = 1\).
2. Son inverse s’écrit donc \(P^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}\).
3. Ensuite, \(X^{\prime} = P^{-1} X\) fournit \((9 – 7, \, -6 + 7) = (2, 1)\).

Enfin, on contrôle : \(2a_1 + a_2 = (2 + 1, \, 4 + 3) = (3, 7)\). La figure montre la décomposition de \(v\) suivant le nouveau repère.

Si \(A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}, \mathcal{C}}(f)\) et \(A^{\prime} = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}^{\prime}, \mathcal{C}^{\prime}}(f)\), alors \(A^{\prime} = Q^{-1} A P\).

On écrit \(f = \mathrm{id}_F \circ f \circ \mathrm{id}_E\) et l’on choisit les bases avec soin. Au départ, \(\mathrm{id}_E\) va de \(\mathcal{B}^{\prime}\) vers \(\mathcal{B}\), de matrice \(P\). Ensuite, \(f\) va de \(\mathcal{B}\) vers \(\mathcal{C}\), de matrice \(A\). Enfin, \(\mathrm{id}_F\) va de \(\mathcal{C}\) vers \(\mathcal{C}^{\prime}\), de matrice \(Q^{-1}\). Le théorème de composition donne alors \(A^{\prime} = Q^{-1} A P\).

Si \(u\) est un endomorphisme de \(E\), de matrice \(A\) dans \(\mathcal{B}\) et \(A^{\prime}\) dans \(\mathcal{B}^{\prime}\), alors \(A^{\prime} = P^{-1} A P\), où \(P\) désigne \(\mathrm{P}_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}^{\prime}}\).

Pour représenter un endomorphisme \(u\) dans une base \(\mathcal{B}^{\prime}\) qui remplace \(\mathcal{B}\) :

1. on remplit \(P\) colonne par colonne avec les composantes, sur \(\mathcal{B}\), des vecteurs de \(\mathcal{B}^{\prime}\) ;
2. soit on calcule \(P^{-1}AP\), soit on calcule directement l’image de chaque nouveau vecteur et on l’exprime dans la nouvelle base ;
3. on contrôle le résultat sur un vecteur, ou bien par la trace, qui ne doit pas changer.

Considérons l’endomorphisme \(u\) de \(\mathbb{R}^2\) représenté canoniquement par \(A = \begin{pmatrix} -7 & 3 \\ -18 & 8 \end{pmatrix}\). Nous gardons la base \((a_1, a_2)\) de l’exemple précédent.

1. D’abord, \(A a_1 = (-7 + 6, \, -18 + 16) = (-1, -2) = -a_1\). Ensuite, \(A a_2 = (-7 + 9, \, -18 + 24) = (2, 6) = 2a_2\).
2. Par conséquent, dans \((a_1, a_2)\), la matrice de \(u\) devient \(D = \mathrm{diag}(-1, 2)\).
3. La formule confirme ce résultat : \(AP = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 6 \end{pmatrix}\), puis \(P^{-1}(AP) = \begin{pmatrix} -3 + 2 & 6 – 6 \\ 2 – 2 & -4 + 6 \end{pmatrix} = D\).

Cette nouvelle base simplifie tout. Par exemple, \(A^k = P D^k P^{-1}\) pour tout entier \(k\), et \(D^k\) se calcule terme à terme.

On dit que \(B\) est équivalente à \(A\), toutes deux de taille \(n \times p\), lorsque \(B = Q^{-1} A P\) pour un choix de \(Q\) inversible d’ordre \(n\) et de \(P\) inversible d’ordre \(p\). Pour des matrices carrées d’ordre \(n\), on dit que \(B\) est semblable à \(A\) lorsque \(B = P^{-1} A P\) pour une seule et même \(P\) inversible.

Le rang de \(A\) vaut \(r\) exactement lorsque \(A\) se ramène à \(J_r\) par un changement de bases au départ et à l’arrivée. Ainsi, pour deux tableaux de même format, l’équivalence se lit sur un seul nombre : leur rang commun.

Travaillons avec \(f : X \mapsto AX\), dont le rang vaut \(r\). Son noyau occupe alors \(p – r\) dimensions. Nous prenons un supplémentaire \(S\) de ce noyau, de base \((s_1, \dots, s_r)\), puis nous ajoutons à la suite une base \((k_1, \dots, k_{p-r})\) du noyau. Ensuite, la restriction de \(f\) à \(S\) est injective et atteint toute l’image, donc les \(f(s_i)\) engendrent \(\mathrm{Im} f\) et sont libres. Il reste à leur adjoindre \(n – r\) vecteurs pour remplir \(\mathbb{K}^n\). Dans ces deux bases, la matrice de \(f\) vaut exactement \(J_r\). Réciproquement, le rang ne change pas quand on multiplie par une matrice inversible, donc une matrice équivalente à \(J_r\) est de rang \(r\).

Comparons \(I_2\) avec \(N = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\). Chacune est inversible, donc de rang 2 : elles sont équivalentes. Leurs diagonales coïncident, si bien que leurs traces valent toutes deux 2. Pourtant, quelle que soit \(P\) inversible, le produit \(P^{-1} I_2 P\) redonne \(I_2\). Aucune autre matrice que \(I_2\) ne lui est donc semblable, et \(N\) en particulier ne l’est pas.

Pour décider si deux matrices carrées \(A\) et \(B\) sont semblables :

1. on compare d’abord les invariants simples (trace, rang) : s’ils diffèrent, la réponse est non ;
2. s’ils coïncident, on cherche une base \((v_1, \dots, v_n)\) dans laquelle l’endomorphisme associé à \(A\) a pour matrice \(B\) ;
3. on peut aussi montrer que \(A\) et \(B\) sont toutes deux semblables à une même matrice simple, par exemple diagonale, puis conclure par transitivité.

Transposer une matrice ne modifie pas son rang : \(\mathrm{rg}\left(A^{\top}\right) = \mathrm{rg}(A)\). En d’autres termes, une matrice possède autant de lignes indépendantes que de colonnes indépendantes.

Soit \(r = \mathrm{rg}(A)\). D’après le théorème d’équivalence, il existe \(Q\) et \(P\) inversibles telles que \(A = Q J_r P^{-1}\). On transpose : \(A^{\top} = \left(P^{-1}\right)^{\top} J_r^{\top} Q^{\top}\). Or la transposée d’une matrice inversible est inversible. Ainsi, \(A^{\top}\) est équivalente à \(J_r^{\top}\), qui est visiblement de rang \(r\). Donc \(\mathrm{rg}(A^{\top}) = r\).

Pour calculer un rang, on peut donc travailler indifféremment sur les lignes ou sur les colonnes. Par exemple, dans \(\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 4 & -2 & 6 \end{pmatrix}\), la seconde ligne est le double de la première : le rang vaut 1, sans examiner les trois colonnes.

À toute matrice carrée \(A\) d’ordre \(n\), on associe le nombre \(\mathrm{tr}(A) = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn}\), appelé trace de \(A\) : on additionne les \(n\) termes situés sur la diagonale principale.

Si \(A\) a \(n\) lignes et \(p\) colonnes, et \(B\) au contraire \(p\) lignes et \(n\) colonnes, les deux produits \(AB\) et \(BA\) existent et \(\mathrm{tr}(BA) = \mathrm{tr}(AB)\). Il en découle que la trace ne varie pas d’une matrice à une matrice semblable.

Sur la diagonale de \(AB\), à la place \(i\), on lit \(\sum_{k=1}^{p} a_{ik} b_{ki}\). Donc \(\mathrm{tr}(AB) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{p} a_{ik} b_{ki}\). De même, \(\mathrm{tr}(BA) = \sum_{k=1}^{p} \sum_{i=1}^{n} b_{ki} a_{ik}\). Les deux sommes doubles portent sur les mêmes termes, donc elles sont égales. Enfin, si \(B = P^{-1}AP\), on écrit \(\mathrm{tr}(P^{-1}(AP)) = \mathrm{tr}((AP)P^{-1}) = \mathrm{tr}(A)\).

Dans \(\mathbb{R}^2\), notons \(p\) le projecteur d’image \(D = \mathrm{Vect}(1, 3)\) et de noyau \(\Delta = \mathrm{Vect}(1, -1)\).

1. Prenons d’abord la base \(\left((1, 3), (1, -1)\right)\), adaptée à \(D\) et \(\Delta\). La matrice de \(p\) y vaut \(\mathrm{diag}(1, 0)\), donc sa trace vaut 1.
2. Passons à la base canonique. On résout \((x, y) = a(1, 3) + b(1, -1)\) : en ajoutant les deux équations, \(4a = x + y\). Ainsi, \(p(x, y) = a(1, 3) = \left(\frac{x + y}{4}, \frac{3(x + y)}{4}\right)\).
3. La matrice canonique s’écrit donc \(\frac{1}{4}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}\), et sa diagonale donne \(\frac{1 + 3}{4} = 1\).

Les deux calculs concordent, comme prévu. Plus généralement, pour tout projecteur, trace et rang coïncident.

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