Lois discrètes et espérance en L2 de maths : exercices corrigés

---

---

Pour démarrer

Exercice 1 – Lire une loi sur une fonction de répartition

Une variable aléatoire discrète \(X\) a la fonction de répartition représentée ci-dessous. Elle est constante sur chacun des intervalles \(]-\infty,-1[\), \([-1,1[\), \([1,4[\) et \([4,+\infty[\), où elle vaut successivement \(0\), \(\frac14\), \(\frac34\) et \(1\).

1. Déterminer \(X(\Omega)\) et la loi de \(X\).
2. Calculer \(P(X>0)\) et \(P(-1<X<4)\).
3. Calculer \(E(X)\), puis \(V(X)\).

Exercice 2 – Reconnaître cinq lois usuelles

Pour chaque variable, donner sa loi avec ses paramètres, puis son espérance.

1. \(A\) est le nombre de six obtenus en lançant quinze fois un dé équilibré à six faces.
2. \(B\) est le nombre de cartes rouges dans une main de cinq cartes tirées simultanément d’un jeu de trente-deux cartes, dont seize rouges.
3. \(C\) est le rang du premier six lorsqu’on lance indéfiniment le même dé.
4. \(D\) est le numéro d’une boule tirée au hasard dans une urne contenant vingt boules numérotées de \(1\) à \(20\).
5. \(E\) vaut \(1\) si une carte tirée au hasard dans le jeu de trente-deux cartes est un as, et \(0\) sinon.

Exercice 3 – Trouver une constante de normalisation

Dans chaque cas, déterminer le réel \(c\) pour lequel on définit une loi, reconnaître cette loi si possible, puis donner l’espérance.

1. \(P(X=k)=c\,\dfrac{3^k}{k!}\) pour tout \(k\in\mathbb{N}\).
2. \(P(Y=k)=c\left(\dfrac25\right)^k\) pour tout \(k\in\mathbb{N}^*\). Calculer aussi \(V(Y)\).
3. \(P(Z=k)=c\,k\) pour tout \(k\in[\![1,5]\!]\).

Exercice 4 – Gain affine d’une variable binomiale

Un joueur répond au hasard à vingt questions indépendantes. Chaque réponse est juste avec probabilité \(0{,}4\). Soit \(X\) le nombre de réponses justes. Le joueur gagne \(5\) euros par réponse juste, mais il a payé \(30\) euros pour participer. Son gain net est donc \(Y=5X-30\).

1. Donner la loi de \(X\), son espérance et sa variance.
2. En déduire \(E(Y)\), \(V(Y)\) et l’écart type de \(Y\).
3. Le jeu est-il favorable au joueur en moyenne ?

Exercice 5 – Moments de la loi uniforme

Soit \(n\geq1\) et \(X\) de loi uniforme sur \([\![1,n]\!]\).

1. Calculer \(E(X)\) et \(E(X^2)\), puis montrer que \(V(X)=\dfrac{n^2-1}{12}\).
2. Pour \(n=4\), calculer \(E\left(\dfrac1X\right)\) par la formule de transfert et comparer avec \(\dfrac{1}{E(X)}\).
3. Soit \(U\) de loi uniforme sur \([\![10,20]\!]\). Écrire \(U\) sous la forme \(X+b\) pour un \(n\) et un \(b\) bien choisis, puis en déduire \(E(U)\) et \(V(U)\).

Exercice 6 – Majorer un temps d’attente

Le temps d’attente \(X\), en minutes, à un guichet est une variable positive d’espérance \(12\) et de variance \(16\).

1. Majorer \(P(X\geq30)\) à l’aide de l’inégalité de Markov.
2. Majorer de nouveau \(P(X\geq30)\) à l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
3. Laquelle des deux bornes est la meilleure ? Expliquer pourquoi.

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Maximum de trois dés à huit faces

On lance trois dés équilibrés et indépendants, à huit faces numérotées de \(1\) à \(8\). Soit \(M\) le plus grand des trois numéros obtenus.

1. Pour \(k\in[\![0,8]\!]\), calculer \(P(M\leq k)\).
2. En déduire que \(P(M=k)=\dfrac{3k^2-3k+1}{512}\) pour \(k\in[\![1,8]\!]\).
3. Soit \(Z\) une variable à valeurs dans \([\![0,n]\!]\). Montrer que \(E(Z)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}P(Z\geq k)\).
4. En déduire \(E(M)\) sous forme de fraction irréductible.

Exercice 8 – Pièces défectueuses et loi hypergéométrique

Un lot contient \(40\) pièces, dont \(6\) sont défectueuses. Un contrôleur prélève simultanément \(5\) pièces au hasard. Soit \(X\) le nombre de pièces défectueuses dans l’échantillon.

1. Donner la loi de \(X\).
2. Montrer que \(P(X=0)=P(X=1)\), puis donner cette valeur commune sous forme de fraction irréductible.
3. Retrouver \(E(X)\) en écrivant \(X\) comme une somme d’indicatrices.
4. Donner \(V(X)\) à l’aide du cours.
5. On approche \(X\) par une loi binomiale de même espérance. Calculer l’approximation de \(P(X=0)\) obtenue et commenter.

Exercice 9 – Transfert pour une variable de Poisson

Soit \(\lambda>0\) et \(X\) de loi \(\mathcal{P}(\lambda)\).

1. Justifier l’existence de \(E\left(\dfrac{1}{X+1}\right)\) et montrer qu’elle vaut \(\dfrac{1-e^{-\lambda}}{\lambda}\).
2. Calculer \(E\big((-1)^X\big)\).
3. En déduire la probabilité que \(X\) soit pair.

Exercice 10 – Inverse d’une variable géométrique

Soit \(p\in\,]0,1[\), \(q=1-p\) et \(X\) de loi \(\mathcal{G}(p)\).

1. Rappeler le développement de \(-\ln(1-x)\) en série entière sur \(]-1,1[\).
2. Justifier l’existence de \(E\left(\dfrac1X\right)\) et montrer que \(E\left(\dfrac1X\right)=\dfrac{-p\ln p}{1-p}\).
3. Calculer cette valeur pour \(p=\frac12\).
4. Montrer que, pour tout \(p\in\,]0,1[\), on a \(E\left(\dfrac1X\right)>\dfrac{1}{E(X)}\).

Exercice 11 – Valeur la plus probable d’une binomiale

Soit \(X\) de loi \(\mathcal{B}(n,p)\), avec \(p\in\,]0,1[\) et \(q=1-p\).

1. Pour \(k\in[\![0,n-1]\!]\), calculer le quotient \(\dfrac{P(X=k+1)}{P(X=k)}\).
2. En déduire que \(P(X=k+1)>P(X=k)\) si et seulement si \(k<(n+1)p-1\).
3. On suppose \(n=30\) et \(p=0{,}35\). Déterminer la valeur de \(k\) qui rend \(P(X=k)\) maximale.

Exercice 12 – Coquilles dans un livre et approximation de Poisson

Un livre compte \(400\) pages. Chaque page contient une coquille avec probabilité \(0{,}005\), indépendamment des autres, et jamais plus d’une. Soit \(X\) le nombre de pages comportant une coquille.

1. Donner la loi exacte de \(X\), son espérance et sa variance.
2. Par quelle loi de Poisson peut-on approcher la loi de \(X\) ? Justifier ce choix.
3. Calculer à \(10^{-4}\) près \(P(X\leq1)\) avec la loi exacte, puis avec l’approximation.

Exercice 13 – Taille d’un sondage par Bienaymé-Tchebychev

Dans une grande population, une proportion inconnue \(p\in[0,1]\) de personnes approuve un projet. On interroge \(n\) personnes, de façon indépendante. Soit \(X_n\) le nombre de réponses favorables et \(F_n=\dfrac{X_n}{n}\) la fréquence observée.

1. Calculer \(E(F_n)\) et \(V(F_n)\).
2. Montrer que \(p(1-p)\leq\frac14\) pour tout \(p\in[0,1]\).
3. Déterminer un entier \(n\) tel que \(P\big(|F_n-p|\geq0{,}05\big)\leq0{,}1\), quelle que soit la valeur de \(p\).

Exercice 14 – La variance comme écart quadratique minimal

Soit \(X\) une variable discrète admettant un moment d’ordre 2.

1. Montrer que, pour tout réel \(a\), \(E\big((X-a)^2\big)=V(X)+\big(E(X)-a\big)^2\).
2. En déduire que \(a\mapsto E\big((X-a)^2\big)\) atteint son minimum en un unique point, à préciser.
3. On suppose ici que \(X\) suit la loi uniforme sur \(\{1,2,6\}\). Calculer ce minimum.
4. On suppose maintenant que \(X\) prend ses valeurs dans \([0,1]\). Montrer que \(V(X)\leq\frac14\), puis donner un cas d’égalité.

Exercice 15 – Boîtes vides et indicatrices

On lance \(15\) billes, une à une et indépendamment, dans \(10\) boîtes. Chaque bille tombe dans chacune des boîtes avec la même probabilité. Soit \(Y\) le nombre de boîtes restées vides.

1. Pour \(i\in[\![1,10]\!]\), calculer la probabilité que la boîte \(i\) reste vide.
2. Écrire \(Y\) comme une somme d’indicatrices, puis calculer \(E(Y)\). Donner une valeur approchée à \(10^{-3}\) près.
3. En déduire l’espérance du nombre de boîtes occupées.
4. Majorer \(P(Y\geq5)\).

Exercice 16 – Cas d’égalité dans Markov et Tchebychev

1. Soient \(a>0\) et \(m\in\,]0,a]\). Construire une variable positive \(X\), d’espérance \(m\), telle que \(P(X\geq a)=\dfrac{m}{a}\).
2. Soient \(t>0\) et \(s\in\,]0,t]\). On considère \(Y\) à valeurs dans \(\{-t,0,t\}\) avec \(P(Y=t)=P(Y=-t)=\dfrac{s^2}{2t^2}\). Vérifier que l’on définit une loi, puis calculer \(E(Y)\) et \(V(Y)\).
3. Montrer que \(Y\) réalise l’égalité dans l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour l’écart \(t\).
4. Conclure sur la possibilité d’améliorer ces inégalités sans autre hypothèse.

Pour approfondir

Exercice 17 – La loi géométrique caractérisée par l’absence de mémoire

Soit \(X\) une variable à valeurs dans \(\mathbb{N}^*\) telle que \(P(X>n)>0\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\). On suppose que, pour tous \(n,m\in\mathbb{N}\),
\[P(X>n+m\mid X>n)=P(X>m).\]
On pose \(u_n=P(X>n)\).

1. Montrer que \(u_{n+m}=u_nu_m\) pour tous \(n,m\in\mathbb{N}\), puis que \(u_n=u_1^{\,n}\).
2. Montrer que \(u_n\to0\) lorsque \(n\to+\infty\). En déduire que \(q=u_1\) appartient à \(]0,1[\).
3. Calculer \(P(X=k)\) pour \(k\geq1\) et identifier la loi de \(X\) avec son paramètre.
4. Soit \(Y\) de loi uniforme sur \([\![1,3]\!]\). Vérifier sur un exemple que \(Y\) n’a pas la propriété d’absence de mémoire.

Exercice 18 – Formule des queues et espérance infinie

Soit \(X\) une variable à valeurs dans \(\mathbb{N}\).

1. Montrer que, pour tout \(N\geq1\),
   \[\sum_{k=0}^{N}k\,P(X=k)=\sum_{k=1}^{N}P(X\geq k)-N\,P(X\geq N+1).\]
2. En déduire que \(X\) admet une espérance si et seulement si la série \(\sum P(X\geq k)\) converge, et qu’alors \(E(X)=\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}P(X\geq k)\).
3. On suppose que \(P(X\geq k)=\dfrac{2}{k(k+1)}\) pour tout \(k\geq1\). Déterminer la loi de \(X\) et son espérance. La variable \(X\) admet-elle une variance ?
4. Soit \(W\) à valeurs dans \(\mathbb{N}^*\) avec \(P(W\geq k)=\dfrac1k\) pour tout \(k\geq1\). La variable \(W\) admet-elle une espérance ?

Exercice 19 – Problème – Appels filtrés et loi de Poisson

Un standard téléphonique reçoit en une heure un nombre \(N\) d’appels qui suit la loi \(\mathcal{P}(\lambda)\), avec \(\lambda>0\). Chaque appel est une réclamation avec probabilité \(r\in\,]0,1[\), indépendamment des autres et du nombre d’appels. Soit \(X\) le nombre de réclamations reçues dans l’heure. Ainsi, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), la loi de \(X\) sachant \(\{N=n\}\) est \(\mathcal{B}(n,r)\).

1. À l’aide de la formule des probabilités totales, montrer que \(X\) suit la loi \(\mathcal{P}(\lambda r)\).
2. Montrer de même que \(N-X\), nombre d’appels qui ne sont pas des réclamations, suit la loi \(\mathcal{P}(\lambda(1-r))\).
3. Soit \(k\in\mathbb{N}\). Pour \(n\geq k\), calculer \(P(N=n\mid X=k)\). Reconnaître la loi de \(N-k\) sachant \(\{X=k\}\).
4. Application : \(\lambda=12\) et \(r=0{,}25\). Calculer \(E(X)\), \(V(X)\), puis \(P(X\geq2)\) à \(10^{-3}\) près.
5. Toujours avec ces valeurs, majorer \(P(X\geq9)\) par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Exercice 20 – Problème – Dépistage groupé d’une infection

Une infection touche chaque personne avec probabilité \(p=0{,}02\), indépendamment des autres. Pour économiser des tests, un laboratoire forme des groupes de \(k\geq2\) personnes. Il teste d’abord le mélange des \(k\) prélèvements. Si ce test est négatif, le groupe est déclaré sain avec un seul test. Sinon, il teste ensuite chaque personne du groupe. On admet que le test ne se trompe jamais. On pose \(q=1-p=0{,}98\).

1. Soit \(T\) le nombre de tests utilisés pour un groupe. Montrer que \(T=1+kB\), où \(B\) suit une loi de Bernoulli de paramètre \(1-q^k\).
2. Calculer \(E(T)\) et \(V(T)\).
3. Montrer que le nombre moyen de tests par personne vaut \(f(k)=\dfrac1k+1-q^k\). Dresser le tableau des valeurs de \(f(k)\) à \(10^{-4}\) près pour \(k\) de \(2\) à \(12\), puis en déduire la meilleure taille de groupe parmi ces entiers.
4. On dépiste \(800\) personnes en \(100\) groupes de \(8\). Soit \(G\) le nombre de groupes positifs et \(S\) le nombre total de tests. Donner la loi de \(G\), exprimer \(S\) en fonction de \(G\), puis calculer \(E(S)\) et \(V(S)\).
5. Majorer \(P(S\geq300)\) à l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Pour aller plus loin

Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF.

Télécharger ou imprimer cette fiche «lois discrètes et espérance en L2 de maths : exercices corrigés» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

---

OK

 Maths PDF c'est 16 224 762 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 4 250 exercices.