Couples et loi des grands nombres en L2 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Compléter un tableau de loi conjointe

Un couple \((X, Y)\) a pour valeurs \(X \in \{0, 1, 2\}\) et \(Y \in \{-1, 1\}\). Sa loi conjointe est donnée par le tableau ci-dessous, où \(a\) est un réel inconnu.

1. Déterminer \(a\).
2. Déterminer les lois marginales de \(X\) et de \(Y\).
3. Calculer \(P(X \geq 1, Y = 1)\).
4. Déterminer la loi conditionnelle de \(X\) sachant \((Y = 1)\).
5. Les variables \(X\) et \(Y\) sont-elles indépendantes ?

Exercice 2 – Reconnaître un tableau produit

Un couple \((X, Y)\) à valeurs dans \(\{1, 2\} \times \{0, 1, 2\}\) a la loi suivante : \(P(X = 1, Y = 0) = 0{,}06\), \(P(X = 1, Y = 1) = 0{,}18\), \(P(X = 1, Y = 2) = 0{,}16\), \(P(X = 2, Y = 0) = 0{,}09\), \(P(X = 2, Y = 1) = 0{,}27\) et \(P(X = 2, Y = 2) = 0{,}24\).

1. Déterminer les lois marginales de \(X\) et de \(Y\).
2. Montrer que \(X\) et \(Y\) sont indépendantes.
3. Calculer \(E(XY)\) de deux façons différentes.

Exercice 3 – Covariance d’un couple à trois points

Le couple \((X, Y)\) prend les valeurs \((0, 0)\), \((1, 2)\) et \((2, 1)\), chacune avec probabilité \(1/3\).

1. Calculer \(E(X)\), \(E(Y)\), \(V(X)\) et \(V(Y)\).
2. Calculer \(\operatorname{Cov}(X, Y)\) et le coefficient de corrélation \(\rho(X, Y)\).
3. En déduire \(V(X + Y)\) et \(V(X – Y)\), puis vérifier ces deux résultats directement à partir des valeurs prises par \(X + Y\) et \(X – Y\).

Exercice 4 – Génératrice d’un dé à trois faces truqué

Un dé à trois faces donne 1 avec probabilité \(1/2\), 2 avec probabilité \(1/3\) et 3 avec probabilité \(1/6\). On note \(X\) le résultat d’un lancer.

1. Écrire la fonction génératrice \(G_X\).
2. En déduire \(E(X)\) et \(V(X)\), puis contrôler par un calcul direct.
3. On lance deux fois ce dé de façon indépendante et on note \(S\) la somme des résultats. Déterminer la loi de \(S\) à l’aide de \(G_S\).

Exercice 5 – Tchebychev pour un dé à huit faces

Soit \(X\) uniforme sur \(\{1, 2, \dots, 8\}\).

1. Calculer \(E(X)\) et \(V(X)\).
2. Majorer \(P(|X – E(X)| \geq 3)\) par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
3. Calculer la valeur exacte de cette probabilité et commenter.

Pour s’entraîner

Exercice 6 – Minimum et maximum de deux tirages avec remise

Une urne contient quatre boules numérotées de 1 à 4. On tire successivement deux boules avec remise et on note \(X_1\), \(X_2\) les numéros obtenus. On pose \(U = \min(X_1, X_2)\) et \(V = \max(X_1, X_2)\).

1. Déterminer la loi conjointe de \((U, V)\).
2. En déduire les lois de \(U\) et de \(V\).
3. Justifier que \(U + V = X_1 + X_2\) et \(UV = X_1 X_2\).
4. En déduire \(E(V)\) à partir de \(E(U)\), puis \(\operatorname{Cov}(U, V)\) sans nouveau calcul de somme double.

Exercice 7 – Colis abîmés et loi de Poisson filtrée

Le nombre \(N\) de colis livrés un jour dans un relais suit la loi de Poisson de paramètre 6. Chaque colis est abîmé avec probabilité \(1/10\), indépendamment des autres et de \(N\). On note \(X\) le nombre de colis abîmés : sachant \((N = n)\), la variable \(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(n, 1/10)\).

1. Calculer \(P(N = n, X = k)\) pour \(0 \leq k \leq n\).
2. Montrer que \(X\) suit la loi de Poisson de paramètre \(0{,}6\).
3. Déterminer la loi conditionnelle de \(N\) sachant \((X = k)\). Interpréter.
4. Calculer \(E(NX)\) puis \(\operatorname{Cov}(N, X)\).

Exercice 8 – Quatre points du cercle et covariance nulle

Soit \(\Theta\) uniforme sur \(\{0, \pi/2, \pi, 3\pi/2\}\). On pose \(X = \cos \Theta\) et \(Y = \sin \Theta\). Le couple \((X, Y)\) prend donc l’une des quatre valeurs marquées sur la figure.

1. Déterminer les lois de \(X\) et de \(Y\).
2. Calculer \(\operatorname{Cov}(X, Y)\).
3. Montrer que \(X\) et \(Y\) ne sont pas indépendantes.
4. Calculer \(V(X + Y)\) de deux façons.

Exercice 9 – Boîtes vides et somme d’indicatrices

On lance trois balles, l’une après l’autre, dans quatre boîtes numérotées. Chaque balle tombe dans une boîte choisie uniformément, indépendamment des autres. On note \(N\) le nombre de boîtes restées vides et \(A_i\) l’événement « la boîte \(i\) reste vide ».

1. Calculer \(P(A_i)\) et \(P(A_i \cap A_j)\) pour \(i \neq j\).
2. Écrire \(N\) comme une somme d’indicatrices et en déduire \(E(N)\).
3. Calculer \(\operatorname{Cov}(\mathbf{1}_{A_i}, \mathbf{1}_{A_j})\) pour \(i \neq j\), puis \(V(N)\).
4. Vérifier les résultats en déterminant directement la loi de \(N\).

Exercice 10 – Sommes de binomiales et contre-exemple

1. Soient \(X \sim \mathcal{B}(5, p)\) et \(Y \sim \mathcal{B}(7, p)\) indépendantes. Déterminer la loi de \(X + Y\) par les fonctions génératrices.
2. Soient \(X \sim \mathcal{B}(1/2)\) et \(Y \sim \mathcal{B}(1/3)\) indépendantes. Déterminer la loi de \(S = X + Y\).
3. Montrer que \(S\) ne suit aucune loi binomiale.

Exercice 11 – Somme de deux lois géométriques différentes

Soient \(X \sim \mathcal{G}(1/2)\) et \(Y \sim \mathcal{G}(1/3)\) indépendantes, à valeurs dans \(\mathbb{N}^*\).

1. Pour \(n \geq 2\), calculer \(P(X + Y = n)\) par la formule de convolution.
2. Retrouver ce résultat à l’aide des fonctions génératrices et d’une décomposition en éléments simples.
3. Vérifier que ces probabilités totalisent 1 et calculer \(E(X + Y)\) à partir de la loi trouvée.

Exercice 12 – Combinaison de variance minimale

Deux variables \(X\) et \(Y\) vérifient \(V(X) = 4\), \(V(Y) = 9\) et \(\operatorname{Cov}(X, Y) = -3\).

1. Calculer \(\rho(X, Y)\), \(V(X + Y)\) et \(V(2X – Y)\).
2. Pour \(a \in \mathbb{R}\), exprimer \(V\big(aX + (1 – a)Y\big)\) en fonction de \(a\).
3. Déterminer la valeur de \(a\) qui rend cette variance minimale, et la variance minimale obtenue.

Exercice 13 – Taille d’un échantillon par la loi faible

Un dé est peut-être truqué. On note \(p\) la probabilité inconnue d’obtenir 6. On lance le dé \(n\) fois de façon indépendante et on note \(F_n\) la fréquence des 6 obtenus.

1. Calculer \(E(F_n)\) et \(V(F_n)\).
2. Déterminer un entier \(n\) qui garantit \(P(|F_n – p| \geq 0{,}02) \leq 0{,}05\) quelle que soit la valeur de \(p\).
3. Reprendre la question sachant de plus que \(p \leq 0{,}2\).

Exercice 14 – Somme de deux lois de Poisson et loi conditionnelle

Soient \(X \sim \mathcal{P}(2)\) et \(Y \sim \mathcal{P}(3)\) indépendantes. On pose \(S = X + Y\).

1. Déterminer la loi de \(S\).
2. Pour \(n \in \mathbb{N}\), déterminer la loi conditionnelle de \(X\) sachant \((S = n)\).
3. Calculer \(P(X = 1 \mid S = 3)\).

Pour approfondir

Exercice 15 – Loi faible sans loi commune

Soit \((X_k)_{k \geq 1}\) une suite de variables deux à deux indépendantes admettant une variance. On suppose qu’il existe \(C > 0\) tel que \(V(X_k) \leq C\) pour tout \(k\). On pose \(S_n = X_1 + \dots + X_n\).

1. Montrer que pour tout \(\varepsilon > 0\), \(P\big(|S_n – E(S_n)| \geq n\varepsilon\big) \leq \dfrac{C}{n \varepsilon^2}\).
2. On suppose ici que \(X_k \sim \mathcal{B}\big(1/(k+1)\big)\). Montrer que \(E(S_n) \leq \ln(n + 1)\).
3. Dans ce cas, montrer que \(P(S_n \geq n\varepsilon) \to 0\) pour tout \(\varepsilon > 0\).
4. Soit \(X_1 \sim \mathcal{B}(1/2)\) et \(X_k = X_1\) pour tout \(k\). Montrer que \(S_n / n\) ne converge pas en probabilité vers \(1/2\). Quelle hypothèse manque ?

Exercice 16 – Marche aléatoire biaisée

Un pion part de 0 sur une droite graduée. À chaque étape, il avance d’une unité avec probabilité \(2/3\) et recule d’une unité avec probabilité \(1/3\), indépendamment des étapes précédentes. On note \(\varepsilon_k \in \{-1, 1\}\) le pas numéro \(k\) et \(S_n = \varepsilon_1 + \dots + \varepsilon_n\) la position après \(n\) étapes.

1. Calculer \(E(S_n)\) et \(V(S_n)\).
2. Exprimer \(S_n\) à l’aide du nombre \(B_n\) de pas en avant, et donner la loi de \(B_n\). Calculer \(P(S_4 = 0)\) et \(P(S_4 = 4)\).
3. Montrer que \(P(S_n \leq 0) \leq 8/n\).
4. Pour \(n \leq m\), calculer \(\operatorname{Cov}(S_n, S_m)\).
5. Montrer que \(S_n / n\) converge en probabilité vers une limite à préciser.

Exercice 17 – Tirage en deux temps

Soit \(n \geq 2\). On choisit un entier \(X\) uniformément dans \(\{1, \dots, n\}\), puis un entier \(Y\) uniformément dans \(\{1, \dots, X\}\).

1. Déterminer la loi conjointe du couple \((X, Y)\).
2. Exprimer la loi de \(Y\) à l’aide d’une somme. Expliciter cette loi pour \(n = 3\).
3. Montrer que \(E(Y) = \dfrac{n + 3}{4}\).
4. Calculer \(E(XY)\), puis montrer que \(\operatorname{Cov}(X, Y) = \dfrac{n^2 – 1}{24}\).
5. Les variables \(X\) et \(Y\) sont-elles indépendantes ?

Exercice 18 – Problème : polynômes de Bernstein et loi faible

Soit \(f\) une fonction continue sur \([0, 1]\). Pour \(n \geq 1\) et \(x \in [0, 1]\), on pose

\[ B_n f(x) = \sum_{k=0}^{n} f\Big( \frac{k}{n} \Big) \binom{n}{k} x^k (1 – x)^{n-k}. \]

On fixe \(x \in [0, 1]\) et on considère \(S_n \sim \mathcal{B}(n, x)\).

1. Montrer que \(B_n f(x) = E\big( f(S_n / n) \big)\).
2. Calculer \(B_n f\) pour \(f(t) = t\) puis pour \(f(t) = t^2\). Que constate-t-on quand \(n \to +\infty\) ?
3. Montrer que pour tout \(\delta > 0\), \(P\big(|S_n / n – x| \geq \delta\big) \leq \dfrac{1}{4 n \delta^2}\).
4. Soit \(\varepsilon > 0\). On note \(M = \max_{[0,1]} |f|\). Justifier l’existence de \(\delta > 0\) tel que \(|u – v| < \delta\) entraîne \(|f(u) – f(v)| \leq \varepsilon\). En découpant selon l’événement \(\big(|S_n / n – x| < \delta\big)\), montrer que \(|B_n f(x) – f(x)| \leq \varepsilon + \dfrac{M}{2 n \delta^2}\).
5. En déduire que \(B_n f\) converge uniformément vers \(f\) sur \([0, 1]\). Conclure que toute fonction continue sur \([0, 1]\) est limite uniforme de polynômes.
6. Pour \(f(t) = |t – 1/2|\), calculer \(B_4 f(1/2)\).

Pour aller plus loin

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