Barycentres et applications affines en L2 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Barycentre de trois points pondérés

Dans le plan muni d’un repère, on considère \(A(1, 2)\), \(B(4, -1)\) et \(C(-2, 5)\).

1. Calculer les coordonnées du barycentre \(G\) de \((A, 3)\), \((B, 2)\) et \((C, -1)\).
2. Calculer ensuite les coordonnées de l’isobarycentre \(H\) de \(A\), \(B\), \(C\).
3. Montrer que le vecteur \(\overrightarrow{MA} – \overrightarrow{MB}\) ne dépend pas du point \(M\). Que dire du « barycentre » de \((A, 1)\) et \((B, -1)\) ?

Exercice 2 – Un sous-espace affine de polynômes

Soit \(\mathcal{F}\) l’ensemble des polynômes \(P \in \mathbb{R}_2[X]\) tels que \(P(1) = 3\) et \(P^{\prime}(0) = 1\).

1. Montrer que \(\mathcal{F}\) est un sous-espace affine de \(\mathbb{R}_2[X]\) et en donner un point.
2. Déterminer ensuite sa direction et sa dimension.

Exercice 3 – Équation d’un plan et parallélisme

Dans l’espace, on considère \(A(2, -1, 0)\), \(B(1, 1, 1)\) et \(C(3, 0, 2)\).

1. Vérifier que ces points ne sont pas alignés et déterminer une équation cartésienne du plan \(\mathcal{P} = (ABC)\).
2. Soit \(\mathcal{D}\) la droite passant par \(E(0, 0, -1)\) et dirigée par \(u = (1, 0, 1)\). Montrer que \(\mathcal{D}\) est contenue dans \(\mathcal{P}\).
3. Enfin, soit \(\mathcal{D}^{\prime}\) la droite passant par l’origine et dirigée par \(u\). Montrer que \(\mathcal{D}^{\prime}\) est faiblement parallèle à \(\mathcal{P}\) mais ne la rencontre pas.

Exercice 4 – Homothétie et translation composées

Dans le plan, soit \(h\) l’homothétie de centre \(\Omega(1, -2)\) et de rapport 3, et \(t\) la translation de vecteur \(u = (2, 1)\).

1. Donner l’expression analytique de \(h\).
2. Déterminer \(h \circ t\) et \(t \circ h\). Montrer que ce sont deux homothéties dont on précisera le rapport et le centre.
3. Par conséquent, ces deux applications sont-elles égales ?

Exercice 5 – Reconnaître une application affine

Soit \(f\) l’application du plan définie par \(f(x, y) = (x + 2y – 1, 3 – y)\).

1. Justifier que \(f\) est affine. Donner sa partie linéaire et l’image de l’origine.
2. Montrer que \(f\) est bijective et déterminer l’image de la droite d’équation \(y = x\).
3. Prouver que \(f\) n’a aucun point fixe.
4. Ensuite, calculer \(f \circ f\) et reconnaître cette application.
5. Enfin, montrer que \(g(x, y) = (xy, x)\) n’est pas affine.

Pour s’entraîner

Exercice 6 – Alignement par barycentres partiels

Soit \(ABC\) un triangle. On note \(I\) le milieu de \([BC]\), \(J\) le barycentre de \((A, 1)\) et \((C, 2)\), et \(K\) le barycentre de \((A, 1)\) et \((B, -2)\).

1. Justifier l’existence de \(K\) et le placer par rapport à \(A\) et \(B\).
2. Montrer que \(I\) est le barycentre de \((J, 3)\) et \((K, 1)\), puis conclure que \(I\), \(J\), \(K\) sont alignés.
3. Enfin, retrouver ce résultat avec le théorème de Ménélaüs.

Exercice 7 – Centre de gravité d’un tétraèdre

Soit \(ABCD\) un tétraèdre et \(G\) l’isobarycentre de ses quatre sommets.

1. Soient \(I\) le milieu de \([AB]\) et \(J\) le milieu de \([CD]\). Montrer que \(G\) est le milieu de \([IJ]\). En déduire que les trois segments joignant les milieux d’arêtes opposées sont concourants.
2. Soit \(G_A\) le centre de gravité de la face \(BCD\). Montrer que \(\overrightarrow{AG} = \frac{3}{4} \overrightarrow{AG_A}\).
3. Enfin, vérifier ces résultats avec \(A(0, 0, 0)\), \(B(4, 0, 0)\), \(C(0, 4, 0)\) et \(D(0, 0, 8)\).

Exercice 8 – Coordonnées barycentriques dans un triangle

On considère \(A(0, 0)\), \(B(4, 0)\), \(C(0, 2)\) et les points \(M(1, 1)\) et \(N(3, 1)\), placés sur la figure.

1. Montrer qu’un point de coordonnées \((x, y)\) a pour coordonnées barycentriques \(\big(1 – \frac{x}{4} – \frac{y}{2}, \frac{x}{4}, \frac{y}{2}\big)\) dans le repère affine \((A, B, C)\).
2. Ainsi, donner les coordonnées barycentriques de \(M\) et de \(N\).
3. Montrer qu’un point est intérieur au triangle si et seulement si ses trois coordonnées barycentriques sont strictement positives. Situer \(M\) et \(N\).

Exercice 9 – Composée de deux homothéties

Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts du plan, \(h_1\) l’homothétie de centre \(A\) et de rapport \(k\), \(h_2\) celle de centre \(B\) et de rapport \(k^{\prime}\), avec \(k, k^{\prime}\) non nuls.

1. Exprimer \(h_2 \circ h_1(M)\) comme barycentre de \(M\), \(A\) et \(B\).
2. On suppose \(k k^{\prime} \neq 1\). Montrer que \(h_2 \circ h_1\) est une homothétie dont le centre appartient à la droite \((AB)\).
3. On suppose \(k k^{\prime} = 1\). Montrer que \(h_2 \circ h_1\) est la translation de vecteur \((1 – k^{\prime}) \overrightarrow{AB}\).
4. Par exemple, on prend \(A(0, 0)\), \(B(4, 0)\), \(k = 2\) et \(k^{\prime} = 3\). Déterminer le centre de \(h_2 \circ h_1\) puis celui de \(h_1 \circ h_2\).

Exercice 10 – Projection et symétrie dans l’espace

Soit \(\mathcal{P}\) le plan d’équation \(x – y + 2z = 1\) et \(w = (1, 1, 1)\).

1. Justifier que la droite vectorielle \(\operatorname{Vect}(w)\) est un supplémentaire de la direction de \(\mathcal{P}\).
2. Écrire en coordonnées la projection \(p\) sur \(\mathcal{P}\) dont la direction est \(\operatorname{Vect}(w)\).
3. Ensuite, écrire la symétrie \(s\) associée. Calculer \(s(0, 0, 0)\) puis \(s(1, 1, 1)\).
4. Enfin, écrire l’affinité de rapport 3 qui fixe les points de \(\mathcal{P}\) et agit parallèlement à \(w\).

Exercice 11 – Une application affine idempotente

Soit \(f\) l’application du plan définie par \(f(x, y) = (2x – y + 1, 2x – y + 2)\).

1. Montrer que \(f \circ f = f\).
2. Déterminer l’ensemble \(\mathcal{D}\) des points fixes de \(f\) et le noyau de sa partie linéaire.
3. En déduire que \(f\) est une projection, dont on précisera la base et la direction.
4. Enfin, montrer que \(f_1(x, y) = (2x – y – 1, 2x – y – 1)\) a la même partie linéaire, mais n’est pas une projection.

Exercice 12 – Thalès dans un trapèze

Soit \(ABCD\) un trapèze tel que \(\overrightarrow{DC} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}\), avec \(AB = 6\). Ses diagonales se coupent en \(O\). La parallèle à \((AB)\) passant par \(O\) coupe \((AD)\) en \(M\) et \((BC)\) en \(N\).

1. Montrer qu’il existe une homothétie de centre \(O\) qui envoie \(A\) sur \(C\) et \(B\) sur \(D\). Préciser son rapport.
2. En déduire \(\frac{\overline{OD}}{\overline{OB}}\) puis \(\frac{\overline{DO}}{\overline{DB}}\).
3. Enfin, calculer \(OM\) et \(ON\) par le théorème de Thalès. Que représente \(O\) pour le segment \([MN]\) ?

Exercice 13 – Ménélaüs et rapport sur une médiane

Soit \(ABC\) un triangle, \(I\) le milieu de \([BC]\) et \(E\) le point de \([AB]\) tel que \(\overrightarrow{AE} = \frac{1}{4} \overrightarrow{AB}\). La droite \((CE)\) coupe la médiane \((AI)\) en \(F\).

1. Calculer \(\frac{\overline{CB}}{\overline{CI}}\) et \(\frac{\overline{EA}}{\overline{EB}}\).
2. Appliquer le théorème de Ménélaüs au triangle \(ABI\) et en déduire \(\frac{AF}{FI}\).
3. Enfin, vérifier le résultat en coordonnées avec \(A(0, 0)\), \(B(4, 0)\) et \(C(0, 4)\).

Exercice 14 – Céva et point de concours

Soit \(ABC\) un triangle. On place \(P \in [BC]\) tel que \(BP = 2 PC\) et \(Q \in [CA]\) tel que \(CQ = 3 QA\).

1. Calculer les rapports \(\frac{\overline{PB}}{\overline{PC}}\) et \(\frac{\overline{QC}}{\overline{QA}}\).
2. Déterminer le point \(R\) de \((AB)\) tel que \((AP)\), \((BQ)\) et \((CR)\) soient concourantes, en utilisant le théorème de Céva.
3. Enfin, exprimer le point de concours \(M\) comme barycentre de \(A\), \(B\), \(C\). Calculer ses coordonnées si \(A(0, 0)\), \(B(9, 0)\) et \(C(0, 9)\).

Exercice 15 – Une isométrie indirecte du plan

Dans le plan euclidien rapporté à un repère orthonormé, soit \(g(x, y) = \big( \frac{-5x + 12y}{13} + 1, \ \frac{12x + 5y}{13} + 2 \big)\).

1. Justifier que \(g\) est une isométrie affine et préciser s’il s’agit d’un déplacement.
2. Prouver ensuite que la partie linéaire de \(g\) est une réflexion vectorielle et déterminer son axe.
3. Montrer que \(g\) n’a aucun point fixe.
4. En déduire que \(g\) est une symétrie glissée. Déterminer enfin son axe et son vecteur.

Pour approfondir

Exercice 16 – Les isométries sont affines

Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\) et \(f : E \to E\) une application telle que \(\|f(x) – f(y)\| = \|x – y\|\) pour tous \(x, y\). On pose \(g = f – f(0)\).

1. Montrer que \(g\) conserve les distances, que \(g(0) = 0\) et que \(\|g(x)\| = \|x\|\).
2. En déduire, par polarisation, que \(\langle g(x), g(y) \rangle = \langle x, y \rangle\) pour tous \(x, y\).
3. Soit \((e_1, \dots, e_n)\) une base orthonormée. Montrer que \((g(e_1), \dots, g(e_n))\) est une base orthonormée, puis que \(g(x) = \sum_{i=1}^{n} \langle x, e_i \rangle g(e_i)\).
4. Conclure que \(f\) est affine de partie linéaire orthogonale. Établir la réciproque.

Exercice 17 – Points fixes d’une application affine

Soit \(f\) une application affine de \(\mathcal{E}\) dans lui-même, de partie linéaire \(\varphi\).

1. On suppose que 1 n’est pas valeur propre de \(\varphi\). Montrer que \(f\) admet un unique point fixe \(\Omega\), et que \(f(M) = \Omega + \varphi(\overrightarrow{\Omega M})\).
2. Par exemple, déterminer le point fixe de \(g(x, y) = (2x + y – 1, x + 3)\).
3. Soit \(f(x, y) = (3x – 2y + 1, x + 4)\). Montrer que \(f\) n’a pas de point fixe et que 1 est valeur propre de sa partie linéaire.
4. Pour cette application \(f\), déterminer la droite \(\mathcal{D}\) de direction \((1, 1)\) stable par \(f\), et montrer que \(f\) agit sur \(\mathcal{D}\) comme une translation.

Exercice 18 – Problème : théorème de Pappus par les homothéties

Soient \(\mathcal{D}\) et \(\mathcal{D}^{\prime}\) deux droites sécantes en \(O\). On place \(A\), \(B\), \(C\) sur \(\mathcal{D}\) et \(A^{\prime}\), \(B^{\prime}\), \(C^{\prime}\) sur \(\mathcal{D}^{\prime}\), tous distincts de \(O\). De plus, \((AB^{\prime}) \parallel (BA^{\prime})\) et \((BC^{\prime}) \parallel (CB^{\prime})\). Le but est donc de prouver que \((AC^{\prime}) \parallel (CA^{\prime})\).

1. Montrer que deux homothéties de même centre \(O\) commutent.
2. Soit \(h\) l’homothétie de centre \(O\) telle que \(h(A) = B\). Montrer que \(h(B^{\prime}) = A^{\prime}\).
3. Soit \(k\) l’homothétie de centre \(O\) telle que \(k(B) = C\). Montrer que \(k(C^{\prime}) = B^{\prime}\).
4. Calculer \(k \circ h(A)\) et \(h \circ k(C^{\prime})\). En déduire le théorème de Pappus.
5. Vérification numérique : on prend \(O\) pour origine, \(\mathcal{D}\) l’axe des abscisses, \(\mathcal{D}^{\prime}\) l’axe des ordonnées, \(A(1, 0)\), \(B(2, 0)\), \(C(4, 0)\) et \(B^{\prime}(0, 1)\). Déterminer \(A^{\prime}\) et \(C^{\prime}\), puis vérifier la conclusion.

Pour aller plus loin

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