Lois géométriques et minimum de variables : contrôle de maths en MP

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Ce qu’évalue le contrôle : lois géométriques et minimum de variables

Le sujet du contrôle : lois géométriques et minimum de variables

Exercice 1 – Une urne vidée jusqu’à la boule rouge (3,5 points)

Une urne contient 2 boules rouges et 3 boules blanches. Margaux tire une boule, note sa couleur puis la remet, et recommence jusqu’à obtenir une boule rouge. On note \(T\) le rang du tirage qui donne la première boule rouge, et l’on admet que les tirages sont mutuellement indépendants.

1. Déterminer la loi de \(T\) en décrivant l’événement \((T = k)\), puis vérifier que \(T\) est presque sûrement finie. (1 point)
2. Calculer \(P(T > k)\) pour tout entier \(k \geq 0\). (0,5 point)
3. Quelle est la probabilité que la première boule rouge sorte à un rang pair ? (1 point)
4. Prouver que \(P(T > m + n \mid T > m) = P(T > n)\) pour tous entiers naturels \(m\) et \(n\), puis interpréter ce résultat. (1 point)

Exercice 2 – Deux machines et leur première panne (4 points)

Un atelier fait tourner deux machines \(A\) et \(B\). Chaque jour, indépendamment des autres jours et de l’autre machine, \(A\) tombe en panne avec probabilité \(\frac{1}{4}\) et \(B\) avec probabilité \(\frac{1}{3}\). On note \(X\) et \(Y\) les jours de la première panne de \(A\) et de \(B\). Ainsi \(X\) et \(Y\) sont indépendantes, de lois géométriques de paramètres \(\frac{1}{4}\) et \(\frac{1}{3}\), représentées sur la figure.

1. Soit \(M = \min(X, Y)\), jour où l’atelier connaît sa première panne. Calculer \(P(M > k)\) pour \(k \in \mathbb{N}\), puis reconnaître la loi de \(M\). (1,5 point)
2. Calculer \(P(X = Y)\). (1 point)
3. Déterminer \(P(X < Y)\), puis en déduire \(P(Y < X)\). (1 point)
4. Calculer enfin la probabilité que les deux machines aient connu leur première panne au bout de 2 jours exactement, c’est-à-dire \(P\big(\max(X, Y) = 2\big)\). (0,5 point)

Exercice 3 – Les appels d’une assistance téléphonique (5,5 points)

Pendant une minute donnée, une assistance reçoit \(X\) appels sur la facturation et \(Y\) appels techniques. On suppose que \(X\) et \(Y\) sont indépendantes, avec \(X\) de loi de Poisson de paramètre 2 et \(Y\) de loi de Poisson de paramètre 1. On note \(S = X + Y\) le nombre total d’appels.

1. Plus généralement, soit \(X_1\) et \(Y_1\) deux variables indépendantes de lois de Poisson de paramètres \(a > 0\) et \(b > 0\). Montrer que \(X_1 + Y_1\) suit la loi de Poisson de paramètre \(a + b\). Que dire alors de \(S\) ? (1,5 point)
2. Calculer \(P(S = 3)\) et \(P(S \geq 2)\), sous forme exacte. (1 point)
3. Soit \(n \in \mathbb{N}\). Déterminer la loi conditionnelle de \(X\) sachant \((S = n)\) et la reconnaître. Calculer ensuite \(P(X = 2 \mid S = 3)\). (1,5 point)
4. Dans un autre centre, \(n\) clients appellent chacun, indépendamment, avec probabilité \(\frac{3}{n}\) pendant la minute, où \(n \geq 3\). Le nombre \(N_n\) d’appels suit donc la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(\frac{3}{n}\). Pour \(k\) fixé, prouver que \(P(N_n = k)\) tend vers \(\mathrm{e}^{-3} \dfrac{3^k}{k!}\) quand \(n \to +\infty\). (1 point)
5. La figure compare la loi de Poisson de paramètre 3 à deux lois binomiales de même produit \(np = 3\). Expliquer pourquoi l’une est bien plus proche que l’autre. (0,5 point)

Exercice 4 – Problème : minimum et écart de deux premiers succès (7 points)

Lors d’un entraînement, Yanis et Clémence lancent chacun des fléchettes, en même temps, jusqu’à toucher le centre de la cible. À chaque lancer, chacun touche le centre avec la même probabilité \(p \in \,]0, 1[\), indépendamment de tous les autres lancers. On pose \(q = 1 – p\), et l’on note \(X\) et \(Y\) les rangs des premiers succès de Yanis et de Clémence. On étudie \(U = \min(X, Y)\) et \(V = X – Y\). La figure place les couples \((X, Y)\) qui donnent \(U = 3\), puis ceux qui donnent \(V = 2\).

1. Justifier que \(X\) et \(Y\) suivent la loi géométrique de paramètre \(p\) et qu’elles sont indépendantes. (1 point)
2. Pour \(u \in \mathbb{N}^*\) et \(v \in \mathbb{Z}\), établir que \(P(U = u, V = v) = p^2 q^{2u – 2 + \lvert v \rvert}\), en séparant les cas \(v \geq 0\) et \(v < 0\). (1,5 point)
3. En déduire la loi marginale de \(U\), puis la reconnaître. (1 point)
4. Déterminer de même la loi marginale de \(V\), et vérifier que la somme de ses valeurs vaut 1. (1 point)
5. Étudier l’indépendance du couple \((U, V)\), en comparant sa loi au produit des marginales. (1 point)
6. Exprimer \(P(X = Y)\) en fonction de \(p\). Dans le cas \(p = \frac{1}{2}\), calculer ensuite la probabilité que les deux premiers succès soient séparés d’au moins deux lancers, soit \(P(\lvert V \rvert \geq 2)\). (1,5 point)

Réviser lois géométriques et minimum de variables avant le contrôle

Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours lois discrètes usuelles ; entraînez-vous sur les exercices lois discrètes usuelles avant de retenter le sujet.

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