Recouvrements finis et parties connexes : contrôle de maths en L3
Voici un contrôle de maths en L3 sur le thème « recouvrements finis et parties connexes », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure trente porte sur le quatrième chapitre de topologie du semestre 5. Il commence par la propriété de Borel-Lebesgue, utilisée sans passer par les suites, puis vous demande d’établir la compacité d’une ellipse pleine de R². La compacité séquentielle sert ensuite à démontrer le théorème de Heine, avant une fonction qui échappe à la continuité uniforme. Le quatrième exercice étudie la connexité par arcs d’un ensemble de matrices. Enfin, le problème prouve que R et R² ne sont pas homéomorphes, puis étend l’argument à d’autres espaces. Le calcul différentiel n’intervient nulle part.
Ce qu’évalue le contrôle : recouvrements finis et parties connexes
L’essentiel du sujet
- NiveauL3
- Durée1 heure 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Borel-Lebesgue, compacité séquentielle et connexité (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Utiliser la propriété de Borel-Lebesgue pour prouver ou réfuter la compacité d’une partie
- Établir la compacité d’une partie de R² et en déduire qu’une fonction continue y atteint ses bornes
- Démontrer le théorème de Heine par compacité séquentielle et reconnaître une fonction non uniformément continue
- Prouver la connexité par arcs d’un ensemble de matrices et dénombrer ses composantes
- Exploiter la connexité pour montrer que deux espaces ne sont pas homéomorphes
Avant de commencer le devoir
Commencez par repérer, dans chaque question, la définition de la compacité qui convient : les recouvrements quand on veut un nombre fini d’objets, les suites quand on raisonne par l’absurde. Quand une partie est fermée et bornée, précisez toujours que l’espace est de dimension finie. Pour la connexité, retenez deux outils : l’image continue d’un connexe, puis une fonction continue qui prend deux valeurs sans prendre une valeur intermédiaire.
Le sujet du contrôle : recouvrements finis et parties connexes
Exercice 1 – Recouvrements et sous-recouvrements finis (3 points)
Dans cet exercice, la compacité est prise au sens de Borel-Lebesgue : toute famille d’ouverts qui recouvre la partie contient une sous-famille finie qui la recouvre encore. Aucune suite ne doit donc intervenir dans vos preuves. Par ailleurs, chaque question est indépendante des autres.
![Partie ]0, 1] de la droite réelle recouverte par les intervalles ouverts U_n = ]1/n, 2[ pour n allant de 1 à 6](https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/controles-maths-pdf/sup/recouvrements-finis-parties-connexes-controle-maths-l3-ex1-recouvrement.png)
- Pour tout entier \(n \geq 1\), on pose \(U_n = \left]\frac{1}{n}, 2\right[\). Vérifier que la famille \((U_n)_{n \geq 1}\) recouvre \(]0, 1]\), puis montrer qu’aucune sous-famille finie ne la recouvre. Conclure.
- Soit \((K, d)\) un espace métrique compact et \((F_n)_{n \in \mathbb{N}}\) une suite décroissante de fermés non vides de \(K\). En considérant les complémentaires \(K \setminus F_n\), montrer que \(\bigcap_{n \in \mathbb{N}} F_n\) est non vide.
- Avec le même espace \(K\), soit \(f : K \to \mathbb{R}\) continue et strictement positive en tout point. À l’aide des ouverts \(V_n = \left\{x \in K : f(x) > \frac{1}{n}\right\}\), prouver qu’il existe un réel \(c > 0\) tel que \(f \geq c\) sur \(K\).
Exercice 2 – Une ellipse pleine et une boule qui ne l’est pas (4 points)
Le plan \(\mathbb{R}^2\) étant normé par la norme euclidienne, on étudie la partie \(E = \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + xy + y^2 \leq 3\right\}\), représentée ci-dessous avec le cercle de centre \(O\) et de rayon \(\sqrt{6}\).
- Établir l’inégalité \(x^2 + xy + y^2 \geq \frac{1}{2}\left(x^2 + y^2\right)\) pour tous réels \(x\) et \(y\). En déduire que \(E\) est compacte.
- Justifier que \(g : (x, y) \mapsto x – y\) admet un maximum sur \(E\). Puis, avec les variables \(u = x – y\) et \(v = x + y\), calculer ce maximum et le point où il est atteint.
- On se place maintenant dans \(C([0, 1], \mathbb{R})\), muni de la norme \(\|\cdot\|_{\infty}\), et l’on pose \(f_n(t) = t^n\). Montrer qu’aucune suite extraite de \((f_n)\) ne converge pour cette norme. Que peut-on alors en déduire pour la boule unité fermée de cet espace ?
Exercice 3 – Continuité uniforme et théorème de Heine (4 points)
Dans tout l’exercice, \((K, d)\) désigne un espace métrique compact, tandis que \((F, \delta)\) est un espace métrique quelconque.
- Énoncer puis démontrer le théorème de Heine pour une application continue \(f : K \to F\). On raisonnera par l’absurde, à l’aide de la compacité séquentielle.
- Justifier que la racine carrée est uniformément continue sur \([0, 1]\). Montrer cependant qu’elle n’y est pas lipschitzienne.
- On pose \(g(x) = x \sin x\) pour \(x \in \mathbb{R}\). Avec \(x_n = 2n\pi + \frac{1}{n}\) et \(y_n = 2n\pi\), prouver que \(g\) n’est pas uniformément continue sur \(\mathbb{R}\), alors qu’elle l’est sur tout segment.
![Courbe de g(x) = x sin x sur [0, 6π] entre les droites y = x et y = -x, avec ses tangentes de plus en plus raides en 2π, 4π et 6π](https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/controles-maths-pdf/sup/recouvrements-finis-parties-connexes-controle-maths-l3-ex3-courbe.png)
Exercice 4 – Les matrices dont le carré vaut -I (4 points)
L’espace \(\mathrm{M}_2(\mathbb{R})\) des matrices réelles carrées de taille 2 est muni d’une norme quelconque. On s’intéresse à l’ensemble \(J\) des matrices \(M\) telles que \(M^2 = -I_2\). Les coefficients d’une matrice \(M\) sont notés \(a\) et \(b\) sur la première ligne, puis \(c\) et \(d\) sur la seconde.
- Grâce au polynôme caractéristique et au théorème de Cayley-Hamilton, établir que \(M\) appartient à \(J\) exactement quand \(\operatorname{tr} M = 0\) et \(\det M = 1\). En déduire que, pour \(M \in J\), on a \(d = -a\) et \(bc = -\left(1 + a^2\right)\).
- On pose \(J_+ = \{M \in J : b > 0\}\). Construire une application continue du demi-plan \(H = \mathbb{R} \times \mathbb{R}_+^*\) sur \(J_+\), puis en déduire que \(J_+\) est connexe par arcs.
- Montrer que \(J\) n’est pas connexe.
- Soit \(J_- = \{M \in J : b < 0\}\). Établir que \(J_-\) est connexe par arcs, puis que \(J\) possède exactement deux composantes connexes par arcs. Peut-on relier \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}\) à \(B = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\) par un chemin continu tracé dans \(J\) ?
Exercice 5 – Problème : retirer un point pour distinguer deux espaces (5 points)
Deux résultats du cours seront utiles : les connexes de \(\mathbb{R}\) sont ses intervalles, et une application continue transforme toute partie connexe en partie connexe. Pour \(p\) dans le plan, on note \(\Omega_p\) le plan \(\mathbb{R}^2\) privé du point \(p\). Enfin, \(\mathcal{C}\) désigne le cercle de centre 0 et de rayon 1 du plan complexe.
Partie A : la droite et le plan privés d’un point
- Soit \(m\) un réel. Montrer que la droite réelle privée de \(m\) n’est pas connexe.
- Soit \(u\) et \(v\) deux points de \(\Omega_p\). Lorsque \(p\) appartient au segment \([u, v]\), on choisit un point \(w\) hors de la droite \((uv)\), comme sur la figure. Montrer que \(\Omega_p\) est connexe par arcs.
![Point p retiré sur le segment [u, v] du plan, et chemin brisé de u à v passant par un point w hors de la droite (uv)](https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/controles-maths-pdf/sup/recouvrements-finis-parties-connexes-controle-maths-l3-ex5-chemin.png)
Partie B : conséquences
- Déduire alors des questions précédentes qu’il n’existe aucun homéomorphisme de \(\mathbb{R}^2\) sur \(\mathbb{R}\).
- Plus fort : montrer qu’aucune application continue de \(\mathbb{R}^2\) dans \(\mathbb{R}\) n’est injective.
- Par un argument du même type, prouver que le cercle \(\mathcal{C}\) n’est pas homéomorphe au segment \([0, 1]\).
Réviser recouvrements finis et parties connexes avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours borel-lebesgue, compacité séquentielle et connexité ; entraînez-vous sur les exercices borel-lebesgue, compacité séquentielle et connexité avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en L3 regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
Sujets proches à faire ensuite
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