Limites de fonctions : exercices de maths en terminale corrigés à télécharger en PDF

Calculer les limites suivantes :

1) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)\)

2) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x^2-3x+1}{x^2-1}\)

3) \(\displaystyle\lim_{x\to 4}\dfrac{x-4}{\sqrt{x}-2}\)

Déterminer les limites suivantes.

1) \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(x^3+5\right)\)

2) \(\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\x\gt 0}}\left(\sqrt{x}+2\right)\)

3) \(\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\x\gt 0}}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}-2\right)\)

4) \(\displaystyle\lim_{x\to -1}\dfrac{2}{(x+1)^2}\)

5) \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^2(1-x)\)

6) \(\displaystyle\lim_{\substack{x\to 2\\x\gt 2}}\dfrac{x}{2-x}\)

7) \(\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\x\lt 0}}\left(1+\sqrt{-x}\right)\)

8) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\)

Déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\) et \(-\infty\).

1) \(f(x)=x^{2016}\)

2) \(f(x)=x^{2017}\)

3) \(f(x)=x^2+3x-5\)

4) \(f(x)=x^3-2x\)

5) \(f(x)=\dfrac{3}{x+5}\)

6) \(f(x)=\dfrac{x}{2}-\dfrac{2}{x}\)

7) \(f(x)=x(1-x)\)

8) \(f(x)=x(x+1)(x+2)\)

9) \(f(x)=\dfrac{x+1}{x-1}\)

10) \(f(x)=\dfrac{1-x^2}{1+x^2}\)

11) \(f(x)=\dfrac{x^2-x}{x^3-2}\)

12) \(f(x)=\dfrac{3x^3+2}{2x^2+4}\)

Étudier la limite de \(f\) en 1 à gauche et à droite.

1) \(f(x)=\dfrac{1}{(x-1)^2}\)

2) \(f(x)=\dfrac{1-x}{x}\)

3) \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x^2+6x-7}\)

4) \(f(x)=\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor}\)

Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions. Justifier par un contre-exemple que les implications suivantes sont fausses.

1) \(\displaystyle\lim_{+\infty}f(x)=\lim_{+\infty}g(x)=+\infty\Rightarrow\lim_{+\infty}\left(f(x)-g(x)\right)=0\).

2) \(\displaystyle\lim_{+\infty}f(x)=\lim_{+\infty}g(x)=+\infty\Rightarrow\lim_{+\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}=1\).

3) \(\displaystyle\lim_{+\infty}f(x)=\lim_{+\infty}\dfrac{1}{g(x)}=+\infty\Rightarrow\lim_{+\infty}f(x)g(x)=0\).

Soit un réel \(x\gt 0\). Est-il vrai ou faux que :

1) \(f(x)\geqslant x^2\Rightarrow\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) ?

2) \(f(x)\leqslant\dfrac{1}{x}\Rightarrow\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0\) ?

3) \(1\leqslant f(x)\leqslant x+1\Rightarrow\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x^2}=0\) ?

On donne une limite d’une fonction \(f\). En déduire l’équation d’une éventuelle asymptote au graphe de \(f\).

1) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\)

2) \(\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)=10^{99}\)

3) \(\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=0\)

4) \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=0\)

5) \(\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\x\lt 0}}f(x)=+\infty\)

6) \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=-10^{99}\)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\(f(x)=\sqrt{x^2+1}-1\) si \(x\in\mathbb{R}\setminus\{1\}\), et \(f(x)=\alpha\) si \(x=1\),

de graphe \(\mathscr{C}\) dans le repère ci-dessous où ● indique un point qui est sur \(\mathscr{C}\) et ○ un point qui n’est pas sur \(\mathscr{C}\).

1) Justifier que \(f\) n^{\prime}est pas continue sur \(\mathbb{R}\).

2) Donner les valeurs de \(f(1)\) et des limites de \(f\) en 1 à gauche et à droite.

3) Que doit valoir \(\alpha\) pour que \(f\) soit continue ?

Soit \(f:x\mapsto x^3\) la fonction cube.

1) Déterminer les limites de \(f\) en \(\pm\infty\).

2) Dresser le tableau de variation de \(f\).

3) Justifier l^{\prime}unique solution des équations suivantes :

a) \(f(x)=4\) sur \([1{,}5\,;\,1{,}6]\)    b) \(f(x)=-3\) sur \(\mathbb{R}\)

Soit \(x\mapsto\lfloor x\rfloor\) la fonction partie entière.

1) Représenter graphiquement cette fonction.

2) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation :

a) \(\lfloor x\rfloor=\dfrac{1}{2}\)    b) \(\lfloor x\rfloor=1\)

Soit une fonction \(f\) définie sur \(I=[-5\,;\,7]\) dont la courbe représentative \(\mathscr{C}\) est tracée ci-dessous.

1) Justifier que \(f\) est continue sur \(I\).

2) Établir le tableau de variation de \(f\) sur \(I\).

3) Dénombrer les solutions de l^{\prime}équation \(f(x)=0\) :

a) dans \([1\,;\,5]\)    b) dans \([-1\,;\,1]\)    c) dans \(I\)

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\(f(x)=x^2\left(1-\dfrac{x^2}{9}\right)\).

1) Conjecturer les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\) à partir de la représentation graphique ci-dessous obtenue à l’aide d’un logiciel.

2) Étudier les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).

3) Expliquer pourquoi la conjecture était erronée.

Soit \(g\) la fonction définie par :

\(g(x)=\dfrac{x}{\sqrt{3x^2+x+7}}\)

représentée par \(\mathscr{C}\) dans un repère.

1) Donner l^{\prime}ensemble de définition de la fonction \(g\).

2) À l^{\prime}aide d^{\prime}un logiciel de géométrie dynamique :

a) Tracer la courbe \(\mathscr{C}\).

b) Conjecturer une valeur approchée de la limite en \(+\infty\) de la fonction \(g\).

3) Déterminer par calcul la valeur exacte de la limite de \(g\) en \(+\infty\).

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{-3\,;\,3\}\) par :

\[f(x)=\dfrac{1-3x}{x^2-9}.\]

1. Déterminer la limite de \(f\) en \(-\infty\) et \(+\infty\).
   1. Sur une calculatrice, on a tracé le graphe de \(f\) ce qui a donné l’écran suivant :
      

      

   2. Expliquer pourquoi il semble apparaître une contradiction.

Soit \(h\) la fonction définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) par :

\[h(x)=\dfrac{5x-8}{2x+1}.\]

Avec une calculatrice, on a établi le tableau suivant :

1. Conjecturer la limite de \(f\) en \(+\infty\) puis, la justifier.
2. Interpréter graphiquement cette limite.

\(g\) est la fonction définie sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) par \(g(x)=\dfrac{1}{x}+1\).

a) Démontrer que, pour tout nombre réel \(\alpha\gt 0\), l’intervalle \(]1-\alpha\,;\,1+\alpha[\) contient toutes les valeurs \(g(x)\) pour \(x\) assez grand.

b) En déduire la limite de la fonction \(g\) en \(+\infty\).

c) Interpréter graphiquement cette limite.

\(h\) est la fonction définie sur l’intervalle \(]1\,;\,+\infty[\) par :

\[h(x)=\dfrac{1}{x^2-1}.\]

a) Démontrer que, pour tout nombre réel \(\alpha\gt 0\), l’intervalle \(]-\alpha\,;\,\alpha[\) contient toutes les valeurs \(h(x)\) pour \(x\) assez grand.

b) En déduire la limite de la fonction \(h\) en \(+\infty\).

c) Interpréter graphiquement cette limite.

\(f\) est la fonction définie sur l’intervalle \([0\,;\,+\infty[\) par :

\[f(x)=\sqrt{x}+2.\]

a) Démontrer que \(f(x)\gt 100\) pour \(x\) assez grand.

b) Démontrer que, pour tout nombre réel A supérieur à 2, l^{\prime}intervalle \(]\mathrm{A}\,;\,+\infty[\) contient toutes les valeurs \(f(x)\) pour \(x\) assez grand.

c) Que peut-on en déduire pour la fonction \(f\) ?

\(f\) est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[f(x)=x^2-1.\]

a) Démontrer que, pour tout nombre réel A supérieur à \(-1\), l^{\prime}intervalle \(]\mathrm{A}\,;\,+\infty[\) contient toutes les valeurs \(f(x)\) pour \(x\) assez grand.

b) Que peut-on en déduire pour la fonction \(f\) ?

c) Pour quelles valeurs de \(x\gt 0\) a-t-on :

• \(f(x)\gt 1000\) ?
• \(f(x)\gt 10^{10}\) ?

Déterminer les limites de la fonction \(f\) aux bornes de son ensemble de définition \(\mathcal{D}\).

1. \(f(x)=x^3+3x^2-6\) \(\mathcal{D}=]-\infty\,;\,+\infty[\)
2. \(f(x)=\dfrac{1}{x+2}\) \(\mathcal{D}=]-\infty\,;\,-2[\cup]-2\,;\,+\infty[\)
3. \(f(x)=1-\dfrac{1}{x-1}\) \(\mathcal{D}=]-\infty\,;\,1[\cup]1\,;\,+\infty[\)
4. \(f(x)=\dfrac{1-2x}{(x-2)^2}\) \(\mathcal{D}=]-\infty\,;\,2[\cup]2\,;\,+\infty[\)

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{2\}\) par :

\[f(x)=\dfrac{-5x+3}{x-2}.\]

1. Exprimer \(f(x)\) sous la forme \(a+\dfrac{b}{x-2}\).
2. Donner les limites aux bornes de \(\mathcal{D}\).
3. Dresser le tableau de variation \(f\).

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\) par :

\[f(x)=\dfrac{x^3-x-6}{x-2}.\]

1. Calculer \(\lim\limits_{x\to 2}(x-2)\) et \(\lim\limits_{x\to 2}\left(x^3-x-6\right)\).
   En déduire que la limite de \(f\) en 2 est indéterminée.
2. Avec la calculatrice, faire un tableau de valeurs de \(f(x)\) pour conjecturer la limite de \(f\) en 2.
3. Donner le développement de \((x-2)\left(x^2+2x+3\right)\). S^{\prime}en servir pour déterminer la limite de \(f\) en 2.

Étudier la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).

1. \(f(x)=x^2-5x+6\)
2. \(f(x)=-4x^2+6x-7\)
3. \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}\)
4. \(f(x)=\dfrac{2x^2-3x+5}{x^3+x-3}\)
5. \(f(x)=\dfrac{x^3}{x^2+1}-x\)
6. \(f(x)=\dfrac{2x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\)
7. \(f(x)=2x-\sqrt{4x^2-1}\)
8. \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x^2-2x+3}}{x}\)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}^*\) par :

\[f(x)=\dfrac{\lfloor x\rfloor}{x^2}\]

représentée dans le repère ci-dessous avec deux autres courbes d’équations \(y=\dfrac{1}{x}\) et \(y=\dfrac{x-1}{x^2}\).

1. Démontrer que, pour tout réel \(x\neq 0\) :
   \[\dfrac{x-1}{x^2}\lt f(x)\leqslant\dfrac{1}{x}.\]
2. En déduire la limite de \(f\) en \(-\infty\) et \(+\infty\).

Déduire de chaque limite l’équation d’une éventuelle asymptote au graphe de la fonction \(f\).

1. \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=3\)
2. \(\lim\limits_{x\to+3}f(x)=-\infty\)
3. \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty\)
4. \(\lim\limits_{\substack{x\to 0\\x\lt 0}}f(x)=+\infty\)
5. \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0\)
6. \(\lim\limits_{x\to 1^{\wedge}}f(x)=-\infty\)
7. \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=10^{100}\)
8. \(\lim\limits_{x\to 1}f(x)=1\)

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^*\) par :

\[f(x)=-2+\dfrac{1}{x}.\]

1. Donner les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
2. Donner les limites de \(f\) à droite et à gauche en 0.
3. Déduire de 1 et 2 les asymptotes à la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère.

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{-3\,;\,3\}\) par :

\[f(x)=\dfrac{-4x^2+1}{x^2-9}\]

et \(\mathscr{C}\) sa courbe représentative dans un repère.

1. Déterminer les limites de la fonction \(f\) aux bornes de son ensemble de définition.
2. En déduire les équations des asymptotes à \(\mathscr{C}\).
3. Étudier la position de \(\mathscr{C}\) par rapport à son asymptote horizontale.

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\) par :

\[f(x)=\dfrac{2x^3+4x-1}{x^3-1}\]

et \(\mathscr{C}\) sa courbe représentative dans un repère.

1. Déterminer les limites de la fonction \(f\) aux bornes de son ensemble de définition.
2. En déduire les équations des asymptotes à \(\mathscr{C}\).

Chacune des quatre captures d’écran représente une des quatre fonctions définies sur \(\mathbb{R}\setminus\{-2\,;\,1\}\). Sans utiliser la calculatrice ou un logiciel, associer chaque capture d’écran à sa fonction.

• \(f : x\mapsto\dfrac{x^2+4x+3}{x^2+x-2}\)
• \(f : x\mapsto\dfrac{7-x^3}{x^2+x-2}\)
• \(f : x\mapsto-\dfrac{2x}{x^2+x-2}\)
• \(f : x\mapsto\dfrac{x^4+2}{x^2+x-2}\)

a.

b.

c.

d.

\(g\) est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(g(x)=x^4\sin(x)\).

Louise a affiché la courbe représentative de \(g\) à l’écran de sa calculatrice.

Elle conjecture : « La fonction \(g\) a pour limite \(+\infty\) en \(+\infty\). »

a) \(k\) désigne un nombre entier naturel. Calculer \(g(k\pi)\).

b) Expliquer alors pourquoi Louise se trompe.

\(h\) est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(h(x)=\sqrt{x^2+5}-x^2\).

a) Utiliser la calculatrice pour conjecturer la limite de \(h\) en \(+\infty\).

b) Expliquer pourquoi pour tout réel \(x\gt 0\),

\[h(x)=x\left(\sqrt{1+\dfrac{5}{x^2}}-x\right).\]

c) En déduire la limite de \(h\) en \(+\infty\).

Voici la courbe représentative \(\mathscr{C}\) d^{\prime}une fonction \(f\) définie sur \(]-\infty\,;\,-2[\cup]-2\,;\,+\infty[\).

1. Lire sur le graphique, les limites de la fonction \(f\) en \(-\infty\), en \(+\infty\), à droite et à gauche en \(-2\).

2. \(g\) est la fonction définie pour \(x\) différent de \(-2\) et de 0 par \(g(x)=\dfrac{1}{f(x)}\).

Déterminer la limite de la fonction \(g\) en :

a) \(-\infty\) b) \(+\infty\) c) \(-2\)

d) à droite et à gauche en 0.

3. \(h\) est la fonction définie sur \(]-\infty\,;\,-2[\cup]0\,;\,+\infty[\) par \(h(x)=\sqrt{f(x)}\).

Déterminer la limite de la fonction \(h\) en :

a) \(-\infty\) b) \(+\infty\) c) \(-2\) d) 0