Vecteurs de l’espace : exercices de maths en terminale corrigés à télécharger en PDF

\(ABCDE\) est une pyramide de sommet \(A\) dont la base est un parallélogramme \(BCDE\) de centre \(I\).

1. Exprimer le vecteur \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\) en fonction de \(\overrightarrow{AI}\).
2. Démontrer que : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AE}\).

\(ABCDA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}\) est le parallélépipède rectangle ci-contre.

\(I\) et \(J\) sont les milieux respectifs de \([AB]\) et \([C^{\prime}D^{\prime}]\).

1. Justifier que : \(\overrightarrow{AD^{\prime}} + \overrightarrow{AC^{\prime}} = 2\overrightarrow{AJ}\) et \(\overrightarrow{BD^{\prime}} + \overrightarrow{BC^{\prime}} = 2\overrightarrow{BJ}\).
2. Démontrer que : \(\overrightarrow{AD^{\prime}} + \overrightarrow{BD^{\prime}} + \overrightarrow{AC^{\prime}} + \overrightarrow{BC^{\prime}} = 4\overrightarrow{IJ}\).

\(ABCDEFGH\) est le cube représenté ci-dessous.

Démontrer que :

\[\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CF} = \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{CB}.\]

\(I\) est le milieu de l’arête \([FG]\).
Quel est le point \(M\) tel que :

\[\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{FI} = \overrightarrow{AM}\ ?\]

Quel est le vecteur \(\vec{u}\) tel que :

\[\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{HE} + \overrightarrow{FB} + \vec{u} = \vec{0}\ ?\]

\(J\) et \(K\) sont les milieux respectifs des arêtes \([AB]\) et \([AE]\).
Quel est le point \(M\) tel que :

\[\overrightarrow{AJ} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{KB}\ ?\]

Soit \(ABCD\) un tétraèdre régulier et \(I\) le milieu de \([BC]\).

1. Démontrer que la droite \((BC)\) est orthogonale au plan \((ADI)\).
2. En déduire que \((BC) \perp (AD)\).
   Le plan \((ADI)\) est le plan orthogonal au segment \([BC]\) et passant par son milieu. Il est appelé plan médiateur du segment \([BC]\). Tous les points de ce plan sont équidistants de \(B\) et de \(C\).

\(ABCDEFGH\) est un cube et \(I\) ; \(J\) et \(K\) les points tels que : \(I \in [AD]\) et \(AI = \dfrac{1}{3}AD\) ; \(J \in [AB]\) et \(AJ = \dfrac{1}{3}AB\).

Les propositions sont-elles vraies ou fausses ? Le démontrer.

1. \((IJ)\) est orthogonale à \((EC)\) ;
2. \((IJ)\) est orthogonale à \((BG)\) ;
3. \((IJ)\) est orthogonale à \((HB)\) ;
4. \((IJ)\) est orthogonale à \((HC)\).

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé \((O\,;\vec{i},\vec{j},\vec{k})\), on considère les points \(A(1\,;0\,;0)\), \(B(0\,;1\,;0)\), \(C(0\,;0\,;1)\) et \(I\) le milieu de \([AB]\).

1. Construire la figure à l’aide d’un logiciel de géométrie dans l’espace.
2. Placer un point \(M\) du segment \([AC]\) et \(\wp\) le plan passant par \(I\) et orthogonal à la droite \((IM)\).
3. Construire le point \(N\) intersection de \(\wp\) et de la droite \((OB)\).
4. Conjecturer la position du point \(M\) pour laquelle la distance \(MN\) est minimale.
5. Démonstration
   1. Soit \(t\) le réel tel que \(\overrightarrow{AM} = t\overrightarrow{AC}\). Exprimer les coordonnées de \(M\) en fonction de \(t\). On admet que \(N(0\,;t\,;0)\).
   2. Exprimer la longueur \(MN\) en fonction de \(t\).
   3. Déterminer la valeur de \(t\) pour laquelle cette longueur est minimale.

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé \((O\,;\vec{i},\vec{j},\vec{k})\), soit \(\Delta\) la droite de représentation paramétrique :

\[\left\{\begin{array}{l}x = 3 - t\\y = 2 + 4t\\z = -2t\end{array}\right.\ ,\ t \in \mathbb{R}\]

1. Les points \(A(5\,;2\,;6)\) et \(B(5\,;-6\,;4)\) appartiennent-ils à la droite \(\Delta\) ?
2. Déterminer les valeurs des réels \(a\) et \(b\) tels que le point \(C(4\,;a\,;b)\) appartienne à \(\Delta\).
3. Soit \(M(x\,;y\,;z) \in \Delta\). Exprimer \(AM^{2}\) en fonction de \(t\).
4. Déterminer les coordonnées du point \(M\) tel que la distance \(AM\) soit minimale.

Soient \(A(-2\,;0\,;1)\), \(B(1\,;2\,;-1)\) et \(C(-2\,;2\,;2)\) trois points de l’espace muni d’un repère \((O\,;\vec{i},\vec{j},\vec{k})\).

1. Vérifier que les points \(A\), \(B\) et \(C\) définissent un plan.
2. Soit \(D(-2\,;-1\,;0)\) et \(E(-2\,;5\,;2)\). Démontrer que la droite \((DE)\) et le plan \((ABC)\) sont sécants en un point \(I\) dont on déterminera les coordonnées.

On considère le pavé droit \(ABCDEFGH\) ci-dessous, pour lequel \(AB = 6\), \(AD = 4\) et \(AE = 2\).

\(I\), \(J\) et \(K\) sont les points tels que : \(\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{6}\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AJ} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{AK} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AE}\).

On se place dans le repère orthonormé \((A\,;\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AJ},\overrightarrow{AK})\).

1. Déterminer une représentation paramétrique du plan \((IJG)\).
2. Déterminer les coordonnées du point d^{\prime}intersection \(L\) du plan \((IJG)\) et de la droite \((BF)\).
3. Reproduire la figure et tracer la section du pavé \(ABCDEFGH\) par le plan \((IJG)\). On ne demande pas de justification.

Soit \(\Delta\) la droite de représentation paramétrique :

\[\left\{\begin{array}{l}x = 1 - t\\y = -2 + 3t\\z = -1 + t\end{array}\right.\ ,\ t \in \mathbb{R}\]

Dans chacun des cas suivants, étudier la position de la droite \(\Delta\) avec la droite \(d\) de représentation paramétrique :

1. \(\left\{\begin{array}{l}x = -k\\y = 3 + 2k\\z = 4 - k\end{array}\right.\ ,\ k\in\mathbb{R}\)
2. \(\left\{\begin{array}{l}x = 1 + k\\y = -2k\\z = 3 - k\end{array}\right.\ ,\ k\in\mathbb{R}\)
3. \(\left\{\begin{array}{l}x = k - 2\\y = 7 - 3k\\z = 2 - k\end{array}\right.\ ,\ k\in\mathbb{R}\)

Soit \(\wp\) le plan de représentation paramétrique :

\[\left\{\begin{array}{l}x = t - 2t^{\prime}\\y = 1 + 3t + t^{\prime}\\z = 2 - 5t\end{array}\right.\ \ t \in \mathbb{R},\ t^{\prime} \in \mathbb{R}\]

Déterminer la nature de \(\wp \cap \wp^{\prime}\) dans chacun des cas suivants où \(\wp^{\prime}\) est définie par une représentation paramétrique :

1. \(\left\{\begin{array}{l}x = -2 - 3t - t^{\prime}\\y = 2 - 2t + 4t^{\prime}\\z = 2 + 5t - 5t^{\prime}\end{array}\right.\ \ t \in \mathbb{R},\ t^{\prime} \in \mathbb{R}\)
2. \(\left\{\begin{array}{l}x = 4 - 3t + 5t^{\prime}\\y = -2t + t^{\prime}\\z = 5 + 5t - 5t^{\prime}\end{array}\right.\ \ t \in \mathbb{R},\ t^{\prime} \in \mathbb{R}\)
3. \(\left\{\begin{array}{l}x = -3 + 2t + t^{\prime}\\y = 2 - t + 2t^{\prime}\\z = 1 + t\end{array}\right.\ \ t \in \mathbb{R},\ t^{\prime} \in \mathbb{R}\)

Soit \(\wp\) le plan de représentation paramétrique :

\[\left\{\begin{array}{l}x = 4 - t + 3t^{\prime}\\y = 1 - t + 5t^{\prime}\\z = t - t^{\prime}\end{array}\right.\ \ t \in \mathbb{R},\ t^{\prime} \in \mathbb{R}\]

Dans chacun des cas suivants, déterminer l^{\prime}intersection de \(\wp\) avec la droite \(d\) donnée par une représentation paramétrique :

1. \(\left\{\begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 3 + 3t\\z = 5 - t\end{array}\right.\ ,\ t\in\mathbb{R}\)
2. \(\left\{\begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 10t\\z = -3t\end{array}\right.\ ,\ t\in\mathbb{R}\)
3. \(\left\{\begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = -2\\z = -3 + t\end{array}\right.\ ,\ t\in\mathbb{R}\)

Pour les exercices suivants, \(ABCDEFGH\) est un cube et \(I\) ; \(J\) ; \(K\) et \(L\) les milieux respectifs de \([BC]\), \([GH]\), \([AD]\) et \([EH]\).

Compléter les égalités vectorielles suivantes :

1. \(\overrightarrow{A\ldots} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\)
2. \(\overrightarrow{KJ} = \overrightarrow{AE} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{E\ldots}\)
3. \(\overrightarrow{AK} + \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{A\ldots}\)

Compléter les égalités vectorielles suivantes :

1. \(\overrightarrow{\ldots} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)
2. \(\overrightarrow{L\ldots} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{FE} + \overrightarrow{AI}\)
3. \(\overrightarrow{A\ldots} = \overrightarrow{GJ} + 3\overrightarrow{AK} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{JL}\)

Dans un repère \((O\,;\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) de l’espace, on considère les points \(A(-3\,;2\,;4)\), \(B(-1\,;1\,;0)\) et \(C(2\,;-3\,;5)\). Déterminer les coordonnées des points \(M\), \(N\) et \(P\) définis par :

1. \(\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA}\)
2. \(\overrightarrow{NB} = 4\overrightarrow{CA} - 3\overrightarrow{CB}\)
3. \(2\overrightarrow{PA} - 3\overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = \vec{0}\)

Dans un repère \((O\,;\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) de l’espace, on considère les points \(A(-4\,;2\,;3)\), \(B(1\,;5\,;2)\), \(C(0\,;5\,;4)\) et \(D(-6\,;-1\,;-2)\).

1. Démontrer que \(\overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AC}\).
2. Que peut-on en déduire concernant les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) ?

Dans un repère \((O\,;\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) de l’espace, on considère les points \(A(0\,;3\,;-1)\), \(B(2\,;-2\,;0)\), \(C(4\,;1\,;5)\) et \(D(2\,;21\,;12)\).

1. Montrer que les points \(A\), \(B\) et \(C\) définissent un plan.
2. Le point \(D\) appartient-il à ce plan ?

Dans un repère \((O\,;\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) de l’espace, on considère les points \(A(1\,;-1\,;-1)\), \(B(5\,;0\,;-3)\), \(C(2\,;-2\,;-2)\) et \(D(0\,;5\,;-2)\).

1. Montrer que les points \(A\), \(B\) et \(C\) définissent un plan.
2. Le point \(D\) appartient-il à ce plan ?

On reprend l’énoncé de l’exercice 42 en se plaçant dans le repère \((A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})\).

1. Écrire les coordonnées des points de la figure. On écrira les coordonnées de \(M\) en fonction de \(t\).
2. Démontrer à l’aide des coordonnées que \(D\), \(M\) et \(I\) sont alignés si et seulement si \(t = \dfrac{4}{5}\).

On considère les points \(A(-3\,;2\,;4)\) et \(B(-1\,;1\,;0)\). Écrire une représentation paramétrique de la droite \((AB)\).

Soit \(\Delta\) la droite de représentation paramétrique :

\[\left\{\begin{array}{l}x = 1 - 4t\\y = 3 + t\\z = 1 - t\end{array}\right.\ ,\ t \in \mathbb{R}\]

1. Donner un vecteur directeur de la droite \(\Delta\) et un point de \(\Delta\).
2. Le point \(M(-3\,;4\,;1)\) appartient-il à la droite \(\Delta\) ?
3. Donner les coordonnées de trois points de la droite \(\Delta\).
4. Déterminer une autre représentation paramétrique de \(\Delta\).

Soit \(\Delta\) la droite de représentation paramétrique :

\[\left\{\begin{array}{l}x = t - 2\\y = 4\\z = 2t - 1\end{array}\right.\ ,\ t \in \mathbb{R}\]

1. Donner un vecteur directeur de la droite \(\Delta\) et un point de \(\Delta\).
2. Le point \(M(-3\,;4\,;-3)\) appartient-il à la droite \(\Delta\) ?
3. Donner les coordonnées de trois points de \(\Delta\).
4. Déterminer une autre représentation paramétrique de la droite \(\Delta\).

Soient \(A(-4\,;1\,;2)\) et \(B(-1\,;2\,;5)\). Donner une représentation paramétrique de chacun des objets géométriques suivants :

1. La droite \((AB)\) ;
2. Le segment \([AB]\) ;
3. La demi-droite \([AB)\).

Soit \(\wp\) le plan de représentation paramétrique :

\[\left\{\begin{array}{l}x = 3 - t + 5t^{\prime}\\y = 1 + t^{\prime}\\z = -5t + 3t^{\prime}\end{array}\right.\ \ t \in \mathbb{R},\ t^{\prime} \in \mathbb{R}\]

1. Donner les coordonnées d^{\prime}un couple de vecteurs directeurs de \(\wp\) et un point de \(\wp\).
2. Le point \(M(6\,;2\,;-6)\) appartient-il à \(\wp\) ?
3. Donner les coordonnées de trois points de \(\wp\).
4. Déterminer une autre représentation paramétrique de \(\wp\).

\(ABCDEFGH\) est le parallélépipède rectangle représenté ci-contre.

\(I\) est le milieu de l’arête \([FG]\) et \(J\) le milieu de l’arête \([CD]\).

Dire si chacune des égalités vectorielles suivantes est vraie ou fausse. Justifier.

1. \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FH}\)
2. \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{DG} + \overrightarrow{ED}\)
3. \(\overrightarrow{FI} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}\)
4. \(\overrightarrow{FE} = -2\overrightarrow{JC}\)

\(ABCDEFGH\) est le cube représenté ci-contre.

Réaliser la figure et construire les points \(P\), \(Q\), \(R\) et \(S\) tels que :

1. \(\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{CG}\)
2. \(\overrightarrow{BQ} = \overrightarrow{CG} + \overrightarrow{AD} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{HD}\)
3. \(\overrightarrow{BR} = \overrightarrow{CD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}\)
4. \(\overrightarrow{HS} = \overrightarrow{DB} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow{DA}\)

\(SABCD\) est une pyramide de base le parallélogramme \(ABCD\). \(K\) est le milieu de l’arête \([SC]\).

Exprimer le vecteur \(\overrightarrow{AK}\) comme combinaison linéaire des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{SC}\).

Dans un repère de l’espace, on donne les points \(A(1\,;-1\,;2)\), \(B(0\,;3\,;-4)\) et les vecteurs \(\vec{u}(1\,;0\,;1)\), \(\vec{v}(0\,;3\,;5)\), \(\vec{w}(1\,;3\,;6)\), \(\vec{t}(2\,;-3\,;-3)\).

On note \(\mathcal{P}\) le plan \((A\,;\vec{u},\vec{v})\), \(\mathcal{Q}\) le plan \((B\,;\vec{w},\vec{t})\) et \(d\) une droite de vecteur directeur \(\vec{w}\).

1. Démontrer que la droite \(d\) est parallèle au plan \(\mathcal{P}\).
2. Déterminer la position relative des plans \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{Q}\).

On donne le point \(A(2\,;-1\,;-3)\) et les vecteurs \(\vec{u}(2\,;1\,;0)\) et \(\vec{v}(-1\,;4\,;5)\).

\(\mathcal{P}\) désigne le plan \((A\,;\vec{u},\vec{v})\).

1. 1. Le point \(B(-2\,;6\,;7)\) appartient-il au plan \(\mathcal{P}\) ?
   2. \(M\) est le point tel que \(B\) soit le milieu de \([AM]\). Justifier que \(M\) appartient au plan \(\mathcal{P}\).
2. On donne le point \(C(12\,;-8\,;-11)\).
   1. Ce point appartient-il au plan \(\mathcal{P}\) ?
   2. Déterminer la position relative de la droite \((MC)\) et du plan \(\mathcal{P}\).

\(ABCD\) est un tétraèdre.

\(I\), \(J\), \(K\), \(L\), \(M\) et \(N\) sont les milieux respectifs des arêtes \([AB]\), \([CD]\), \([BC]\), \([DA]\), \([BD]\) et \([AC]\).

1. Démontrer que les segments \([IJ]\), \([KL]\) et \([MN]\) ont le même milieu \(E\).
2. En déduire que \(\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{EC} + \overrightarrow{ED} = \vec{0}\).
3. Quelles sont les coordonnées du point \(E\) dans le repère \((A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})\) ?
4. 1. Décomposer chacun des vecteurs \(\overrightarrow{EI}\), \(\overrightarrow{EK}\), \(\overrightarrow{EM}\) dans la base \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})\).
   2. Vérifier que \((E\,;\overrightarrow{EI},\overrightarrow{EK},\overrightarrow{EM})\) est un repère de l^{\prime}espace.
5. Quelles sont, dans ce repère, les coordonnées de chacun des sommets \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) du tétraèdre ?