Angles orientés et trigonométrie : exercices de maths en 1ère corrigés à télécharger en PDF

Donner plusieurs nombres réels qui ont même point-image que :

1) \(\dfrac{2\pi}{3}\)

2) \(-\dfrac{\pi}{5}\)

3) \(-\dfrac{27\pi}{4}\)

4) \(\dfrac{3\pi}{10}\)

Donner tous les nombres réels qui ont même point-image que :

1) \(\dfrac{\pi}{3}\)

2) \(-\dfrac{3\pi}{5}\)

1) Convertir les mesures des angles orientés suivants en degré :

\[\dfrac{5\pi}{6},\ \dfrac{3\pi}{4},\ \dfrac{\pi}{5},\ \dfrac{5\pi}{8}\ \text{et}\ \dfrac{2\pi}{3}.\]

2) Placer sur le cercle trigonométrique les points-images des nombres réels précédents.

1) Convertir les mesures des angles orientés suivants en degré :

\[\dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{3\pi}{10},\ \dfrac{2\pi}{5},\ \dfrac{7\pi}{8}\ \text{et}\ \dfrac{\pi}{4}.\]

2) Placer sur le cercle trigonométrique les points-images des nombres réels précédents.

Placer sur le cercle trigonométrique les points-images des nombres réels suivants :

\[-\dfrac{\pi}{3},\ -\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{11\pi}{8},\ -\dfrac{5\pi}{8}\ \text{et}\ \dfrac{17\pi}{6}.\]

Représenter en rouge sur le cercle trigonométrique, orienté dans le sens direct, l’arc de cercle correspondant aux points-images des nombres réels compris dans :

1) \(\left[-\dfrac{\pi}{4}\ ;\ 0\right]\)

2) \(\left[\dfrac{\pi}{2}\ ;\ \dfrac{3\pi}{4}\right]\)

3) \(\left[\dfrac{\pi}{2}\ ;\ \dfrac{5\pi}{4}\right] \cup \left[\dfrac{7\pi}{4}\ ;\ 2\pi\right]\)

4) \(\left[-\dfrac{2\pi}{3}\ ;\ -\dfrac{\pi}{6}\right] \cup \left[0\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right]\)

On considère les points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) et \(E\), respectivement point-images des nombres suivants :

\(\dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{2\pi}{3},\ \dfrac{5\pi}{6},\ -\dfrac{3\pi}{4}\) et \(-\dfrac{\pi}{4}\).

Donner une mesure des angles orientés suivants :

1) \((\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OA})\)

2) \((\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})\)

3) \((\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OA})\)

4) \((\overrightarrow{OD},\overrightarrow{OB})\)

5) \((\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OE})\)

6) \((\overrightarrow{OE},\overrightarrow{OD})\)

\(ABCD\) est un carré de centre \(O\).

Donner une mesure des angles orientés suivants :

1) \((\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})\)

2) \((\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC})\)

3) \((\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OA})\)

4) \((\overrightarrow{AO},\overrightarrow{AD})\)

5) \((\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CD})\)

6) \((\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})\)

Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants :

1) \(-\dfrac{7\pi}{5}\)

2) \(\dfrac{18\pi}{4}\)

3) \(\dfrac{4\pi}{3}\)

4) \(\dfrac{7\pi}{10}\)

Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants :

1) \(-\dfrac{21\pi}{4}\)

2) \(\dfrac{37\pi}{7}\)

3) \(-\dfrac{2\pi}{3}\)

4) \(\dfrac{23\pi}{10}\)

Soit \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs non nuls tels que : \((\vec{u},\vec{v}) = \dfrac{\pi}{6}\).

Donner la mesure principale des angles orientés suivants :

1) \((-\vec{u},-\vec{v})\)

2) \((\vec{v},\vec{u})\)

3) \((-\vec{v},-\vec{v})\)

4) \((-\vec{v},\vec{u})\)

Soit \(A\), \(B\) et \(C\) trois points tels que : \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) = -\dfrac{\pi}{5}\).

Donner la mesure principale des angles orientés suivants :

1) \((\overrightarrow{BA},\overrightarrow{AC})\)

2) \((\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BA})\)

3) \((\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB})\)

4) \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA})\)

Soit \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) des points du plan tels que \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) = \dfrac{\pi}{6}\) et \((\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}) = \dfrac{\pi}{3}\).

Démontrer que le triangle \(ABD\) est rectangle en \(A\).

\(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) sont des points tels que : \((\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CA}) = \dfrac{\pi}{3}\), \(BCA\) est rectangle en \(B\) et direct (c’est-à-dire \((\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}) = \dfrac{\pi}{2}\)) et \((\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AB}) = \dfrac{5\pi}{6}\).

Montrer que les points \(A\), \(C\) et \(D\) sont alignés.

Soit \(A\), \(B\) et \(C\) trois points d’un cercle \((\Gamma)\) de centre \(O\). Soit \(D\) le point diamétralement opposé à \(A\) sur \((\Gamma)\).

1. 1. Montrer en utilisant la relation de Chasles que \(\left(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OD}\right)=\pi-\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)\).
   2. Exprimer que la somme des angles du triangle \(AOB\) est égale à \(\pi\).
   3. En déduire que \(\left(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OD}\right)=2\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AO}\right)\).
2. On peut montrer de même que : \(\left(\overrightarrow{OD},\overrightarrow{OC}\right)=2\left(\overrightarrow{AO},\overrightarrow{AC}\right)\).
   En déduire que \(\left(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\right)=2\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\).
3. Compléter l’énoncé du théorème : « L’angle au …… est égal au double de l’angle inscrit interceptant le même …………………… »

Problème de construction

Soit \(A\) et \(B\) deux points du plan tels que \(AB=4\,\text{cm}\).

1. Construire le point \(C\) tel que \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{\pi}{4}\) et \(AB=AC\).
2. Construire le point \(D\) tel que \(ACD\) soit un triangle équilatéral et \(\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CD}\right)=-\dfrac{\pi}{3}\).
3. Construire le point \(E\) tel que \(\left(\overrightarrow{DE},\overrightarrow{DC}\right)=\dfrac{11\pi}{12}\) et \(DE=3\,\text{cm}\).
4. Démontrer que les droites \((AB)\) et \((DE)\) sont parallèles.
5. Construire \(F\) tel que \(A\), \(F\) et \(C\) soient alignés et \(\left(\overrightarrow{BF},\overrightarrow{CD}\right)=\dfrac{5\pi}{12}\).
6. Démontrer que les droites \((AB)\) et \((BF)\) sont perpendiculaires.

Déterminer dans chaque cas, s’il existe, le nombre réel \(x\) tel que :

1. \(\sin x=-0{,}8\) et \(x\in\left]-\dfrac{\pi}{2}\,;\,0\right[\)
2. \(\sin x=1{,}2\) et \(x\in\left]0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right[\)

Résoudre dans \(\left]-\pi\,;\,\pi\right]\) le système d’inéquations suivant :

\[\begin{cases}\cos x\geq \dfrac{1}{2}\\ \sin x\leq \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{cases}\]

Préciser la mesure de l’angle géométrique correspondant en degré.

Donner une mesure en radian des angles géométriques suivants.

Vrai ou Faux

Ces nombres ont le même point-image sur le cercle trigonométrique.

1. \(\dfrac{\pi}{5}\) et \(-\dfrac{4\pi}{5}\)
2. \(\dfrac{\pi}{5}\) et \(\dfrac{21\pi}{5}\)
3. \(-\dfrac{3\pi}{5}\) et \(\dfrac{7\pi}{5}\)
4. \(-\dfrac{3\pi}{5}\) et \(-\dfrac{18\pi}{5}\)

Donner la mesure principale des angles suivants.

1. \(15\pi,\ -3\pi,\ -6\pi,\ 28\pi\) et \(-\pi\)
2. \(-\dfrac{3\pi}{2},\ -\dfrac{7\pi}{2},\ -\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{8\pi}{2}\) et \(\dfrac{26\pi}{2}\)

Soit \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs non nuls tels que : \(\left(\vec{u},\vec{v}\right)=\dfrac{\pi}{4}\). Donner une mesure de :

1. \(\left(\vec{v},\vec{u}\right)\)
2. \(\left(\vec{u},-\vec{v}\right)\)
3. \(\left(-\vec{u},-\vec{v}\right)\)
4. \(\left(\vec{v},-\vec{u}\right)\)

Soit \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) quatre points du plan tels que \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right)=\dfrac{2\pi}{3}\). Donner une mesure de :

1. \(\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{DC}\right)\)
2. \(\left(\overrightarrow{CD},\overrightarrow{AB}\right)\)
3. \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC}\right)\)
4. \(\left(\overrightarrow{DC},\overrightarrow{AB}\right)\)

Soit \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\), \(\vec{r}\) et \(\vec{t}\) des vecteurs non nuls.

Compléter.

1. \(\left(\vec{u},\vec{v}\right)+\left(\vec{v},\vec{w}\right)=\ldots\)
2. \(\left(\ldots,\vec{w}\right)+\left(\ldots,\vec{t}\right)=\left(\vec{v},\vec{t}\right)\)
3. \(\left(\vec{t},\vec{w}\right)+\left(\ldots,\vec{t}\right)=\left(\vec{v},\vec{w}\right)\)

Compléter.

1. \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)+\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right)=\ldots\)
2. \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)+\left(\overrightarrow{\ldots C},\overrightarrow{A\ldots}\right)=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)\)
3. \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CB}\right)=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A\ldots}\right)+\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{\ldots B}\right)\)

Compléter le tableau.

Les points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\), \(G\) et \(H\) sont placés sur le cercle trigonométrique ci-dessous.

1. À l’aide d’un rapporteur, associer à chaque point (de \(A\) à \(F\)) le nombre réel de l’intervalle \(\left]-\pi\,;\,\pi\right]\) dont il est le point-image :
   \(\dfrac{2\pi}{3},\ -\dfrac{\pi}{18},\ \dfrac{5\pi}{6},\ -\dfrac{\pi}{4},\ -\dfrac{5\pi}{6},\ \dfrac{\pi}{6},\ -\dfrac{6\pi}{10}\) et \(\dfrac{9\pi}{10}\).
2. Donner les nombres réels dont les points-images sont les points précédents (de \(A\) à \(F\)), cette fois, dans l’intervalle \(\left[0\,;\,2\pi\right[\).

Soit \((\text{O}\,;\,\text{I},\,\text{J})\) un repère orthonormé du plan.

Si \(\text{M}\) est un point du cercle trigonométrique tel que :

1. \(\widehat{\text{IOM}}=72^{\circ}\), alors \(\text{M}\) est le point image de \(\dfrac{\pi}{5}\).
2. \(\widehat{\text{IOM}}=260^{\circ}\), alors \(\text{M}\) est le point image de \(\dfrac{10\pi}{9}\).
3. \(\widehat{\text{IOM}}=126^{\circ}\), alors \(\text{M}\) est le point image de \(\dfrac{7\pi}{10}\).
4. \(\widehat{\text{IOM}}=60^{\circ}\), alors \(\text{M}\) est le point image de \(\dfrac{\pi}{6}\).

Dans la liste des nombres réels ci-dessous, un seul nombre n’admet pas le même point image que les autres sur un cercle trigonométrique. Lequel ?

1. \(\dfrac{29\pi}{6}\)
2. \(\dfrac{125\pi}{6}\)
3. \(\dfrac{-31\pi}{6}\)
4. \(\dfrac{-85\pi}{6}\)

Soit \(a=\dfrac{-\pi}{4}\). Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?

1. \(\sin(a)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\)
2. \(\sin(a)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
3. \(\cos(a)=-\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\)
4. \(\cos(a)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

Le réel \(\dfrac{7\pi}{12}\) admet :

1. un cosinus positif et un sinus positif.
2. un cosinus positif et un sinus négatif.
3. un cosinus négatif et un sinus positif.
4. un cosinus négatif et un sinus négatif.

Sur le cercle trigonométrique ci-dessous, \(\text{A}\) est le point image de :

1. \(-\dfrac{5\pi}{6}\)
2. \(\dfrac{11\pi}{6}\)
3. \(\dfrac{47\pi}{6}\)
4. \(-\dfrac{\pi}{6}\)

\(\sin\left(\dfrac{-21\pi}{6}\right)\) est égal à :

1. \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\)
2. \(\dfrac{\pi}{2}\)
3. \(1\)
4. \(-1\)

Dans la figure ci-dessous :

1. \(\widehat{\text{BCA}}=30^{\circ}\)
2. \(\widehat{\text{BAC}}=30^{\circ}\)
3. \(\text{BA}=2\sqrt{3}\)
4. \(\text{BA}=\sqrt{12}\)

On s’intéresse à un triangle \(\text{ABC}\) rectangle et isocèle en \(\text{B}\) tel que \(\text{AB}=\text{BC}=a\).

1. Déterminer, en justifiant, la mesure de \(\widehat{\text{BAC}}\).
2. En utilisant les formules de trigonométrie dans le triangle rectangle, déterminer les valeurs exactes de \(\cos\left(\widehat{\text{BAC}}\right)\) et de \(\sin\left(\widehat{\text{BAC}}\right)\).

On s’intéresse à un triangle équilatéral \(\text{ABC}\) de côté \(a\).

On appelle \(\text{D}\) le pied de la hauteur issue de \(\text{C}\).

1. Déterminer, en justifiant, la mesure de \(\widehat{\text{ACD}}\).
2. En utilisant les formules de trigonométrie dans le triangle rectangle, déterminer les valeurs exactes de \(\cos\left(\widehat{\text{ACD}}\right)\) et de \(\sin\left(\widehat{\text{ACD}}\right)\).

On considère ci-contre le triangle \(\text{EAU}\) rectangle en \(\text{A}\).

1. Déterminer la longueur de tous les côtés de ce triangle, arrondie au dixième près.
2. Déterminer la mesure de tous les angles de ce triangle en radian arrondie à \(10^{-2}\) près.

Pour chacun des réels suivants, dire dans quel quadrant il se trouvera lors de l’enroulement de la droite numérique.

1. \(\dfrac{2\pi}{3}\)
2. \(\dfrac{\pi}{8}\)
3. \(\dfrac{5\pi}{4}\)
4. \(-\dfrac{2\pi}{3}\)

En utilisant la figure ci-dessous, donner les points du cercle qui correspondent aux réels suivants.

1. \(-\dfrac{4\pi}{3}\)
2. \(\dfrac{7\pi}{2}\)
3. \(-\dfrac{11\pi}{6}\)
4. \(13\pi\)

Dans chacune des listes suivantes, il y a un intrus. Le trouver en justifiant.

1. \(\dfrac{3\pi}{2}\ ;\ \dfrac{9\pi}{2}\ ;\ \dfrac{-\pi}{2}\ ;\ \dfrac{-5\pi}{2}\).
2. \(\dfrac{\pi}{3}\ ;\ \dfrac{14\pi}{3}\ ;\ \dfrac{-8\pi}{6}\ ;\ \dfrac{-10\pi}{3}\).
3. \(\dfrac{7\pi}{4}\ ;\ \dfrac{-\pi}{4}\ ;\ \dfrac{-9\pi}{4}\ ;\ \dfrac{-19\pi}{4}\).
4. \(\pi\ ;\ -\pi\ ;\ \pi\sqrt{9}\ ;\ 0\).

On s’intéresse à la grande aiguille de l’horloge Big Ben de Londres. On prend la longueur de cette aiguille comme unité de mesure. Quelle distance a parcouru la pointe de la grande aiguille entre :

1. 12 h et 12 h 20 ?
2. 15 h 15 et 16 h 30 ?
3. 20 h 30 et 22 h 50 ?
4. 14 h 50 et 17 h 22 ?

On dispose de cette roue de loterie. Le point de départ est toujours la flèche noire. On fait tourner la roue dans le sens horaire. Sur quel secteur s’arrête-t-elle si on la fait tourner de l’angle donné ?

1. \(\dfrac{\pi}{2}\)
2. \(\dfrac{19\pi}{10}\)
3. \(\dfrac{-5\pi}{4}\)
4. \(\dfrac{34\pi}{3}\)

La tangente d’un réel \(x\) est définie par \(\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\) pour toutes les valeurs de \(x\in\mathcal{D}_{\mathrm{T}}\) où \(\cos(x)\neq 0\).

Montrer que pour tous les réels \(x\in\mathcal{D}_{\mathrm{T}}\), on a : \(\tan^{2}(x)=\dfrac{1}{\cos^{2}(x)}-1\).

On souhaite savoir si, quels que soient les réels \(\alpha\) et \(\beta\), \(\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)+\cos(\beta)\). Pour cela, on teste la formule sur quelques valeurs.

1. Recopier et compléter le tableau ci-dessous.
   

   	\(\alpha=\dfrac{3\pi}{2}\ ;\ \beta=-\dfrac{\pi}{4}\)	\(\alpha=\dfrac{2\pi}{3}\ ;\ \beta=\dfrac{7\pi}{6}\)
   \(\alpha+\beta\)
   \(\cos(\alpha+\beta)\)
   \(\cos(\alpha)\)
   \(\cos(\beta)\)
   \(\cos(\alpha)+\cos(\beta)\)

2. La formule de l’énoncé est-elle vérifiée ? Justifier.
3. Faire une recherche pour déterminer comment calculer \(\cos(\alpha+\beta)\).

Des ingénieurs de l’Office national des forêts veulent estimer la hauteur d’un pin en plaçant leur tachéomètre au point O. Ils ont relevé les données suivantes : \(\text{OA}=15\,\text{m}\), \(\widehat{\text{SOA}}=45^{\circ}\) et \(\widehat{\text{AOP}}=25^{\circ}\).

Calculer la hauteur \(h\) de l’arbre arrondie au mètre.

La surface de la Lune présente de nombreux cratères, presque tous formés par impacts.

Le schéma ci-dessous représente un de ces cratères où B est un point d’affleurement et D est à la verticale de B. C est un point du fond du cratère supposé plat et horizontal.

Calculer la profondeur du cratère ci-contre. Arrondir au dixième de kilomètre près.

On considère le triangle ABC ci-dessous.

Avec les notations de la figure, on admet la formule suivante appelée la loi des sinus :

\[\dfrac{a}{\sin(\alpha)}=\dfrac{b}{\sin(\beta)}=\dfrac{c}{\sin(\gamma)}\]

On appelle \(\mathcal{S}\) l’aire du triangle ABC.

1. Montrer que : \(\dfrac{a}{\sin(\alpha)}=\dfrac{b}{\sin(\beta)}=\dfrac{c}{\sin(\gamma)}=\dfrac{abc}{2\mathcal{S}}\). On pourra utiliser une hauteur du triangle.
2. On suppose que : \(a=4\,\text{cm}\), \(c=7\,\text{cm}\) et \(\beta=50^{\circ}\). Déterminer une valeur approchée de \(\mathcal{S}\).

1. Sachant que : \(\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)\), montrer que : \(\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)\) et en déduire que : \(\cos^2(x)=\dfrac{1+\cos(2x)}{2}\).
2. À l^{\prime}aide de cette formule, déterminer la valeur exacte de \(\cos^2\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\).
3. En déduire la valeur exacte de \(\cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\) puis de \(\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\).