Angles et polygones : corrigés des exercices de maths en 6ème.

Exercice 1 : la grande ourse- construction géométrique
Pour reproduire la figure de la Grande Ourse, suivez ces étapes en utilisant une règle et un rapporteur :

1. Tracez le segment AB de 60 mm.
2. À partir de B, tracez BC de 44 mm en faisant un angle de 137^\circ avec AB.
3. À partir de C, tracez CD de 49 mm en faisant un angle de 174^\circ avec BC.
4. À partir de D, tracez DE de 41 mm en faisant un angle de 106^\circ avec CD.
5. À partir de E, tracez EF de 68 mm en faisant un angle de 106^\circ avec DE.
6. À partir de F, tracez FG de 49 mm en faisant un angle de 102^\circ avec EF.

Soit les étapes de construction détaillées comme suit :

\begin{array}{ll}%0D%0A1.\,%26\,Tracez\,le\,segment\,\,AB\,\,de\,longueur\,\,60\,\,mm.\,\\%0D%0A2.\,%26\,Deplacez\,le\,rapporteur\,de\,maniere\,a\,faire\,un\,angle\,de\,\,137^\circ\,\,au\,point\,\,B.\,\\%0D%0A%26\,Tracez\,le\,segment\,\,BC\,\,de\,longueur\,\,44\,\,mm.\,\\%0D%0A3.\,%26\,Deplacez\,le\,rapporteur\,de\,maniere\,a\,faire\,un\,angle\,de\,\,174^\circ\,\,au\,point\,\,C.\,\\%0D%0A%26\,Tracez\,le\,segment\,\,CD\,\,de\,longueur\,\,49\,\,mm.\,\\%0D%0A4.\,%26\,Deplacez\,le\,rapporteur\,de\,maniere\,a\,faire\,un\,angle\,de\,\,106^\circ\,\,au\,point\,\,D.\,\\%0D%0A%26\,Tracez\,le\,segment\,\,DE\,\,de\,longueur\,\,41\,\,mm.\,\\%0D%0A5.\,%26\,Deplacez\,le\,rapporteur\,de\,maniere\,a\,faire\,un\,angle\,de\,\,106^\circ\,\,au\,point\,\,E.\,\\%0D%0A%26\,Tracez\,le\,segment\,\,EF\,\,de\,longueur\,\,68\,\,mm.\,\\%0D%0A6.\,%26\,Deplacez\,le\,rapporteur\,de\,maniere\,a\,faire\,un\,angle\,de\,\,102^\circ\,\,au\,point\,\,F.\,\\%0D%0A%26\,Tracez\,le\,segment\,\,FG\,\,de\,longueur\,\,49\,\,mm.\,\\%0D%0A\end{array}

Exercice 2 : programme de contruction d’un quadrilatère.
1. Tracer un segment %5BAD%5D de longueur 6,5 cm.

2. Tracer un arc de cercle de centre A et de rayon 3,5 cm.

3. Tracer un arc de cercle de centre D et de rayon 5,6 cm (intersection avec l’arc précédent).

4. L’intersection des deux arcs de cercle donne le point B (placer ce point).

5. Tracer un segment %5BAB%5D.

6. Tracer un segment %5BBC%5D de 4 cm parallèle à %5BAD%5D.

7. Compléter le quadrilatère avec le segment %5BCD%5D.

Exercice 3 : egalité d’angles et codage

$\widehat{ABF} = \widehat{BCF}$ (angles alternes-internes formés par le parallèle $\overline{AB}$ et la droite $\overline{CF}$)
$\widehat{BED} = \widehat{DEF}$ (angles alternes-internes formés par le parallèle $\overline{EF}$ et la droite $\overline{ED}$)
$\widehat{FAB} = \widehat{FDE}$ (angles correspondants formés par la transversale $\overline{FE}$ coupant les parallèles $\overline{AF}$ et $\overline{ED}$)

Exercice 4 : recopier et complèter
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
Angle \cellcolor{green} vert \cellcolor{orange} orange \cellcolor{blue} bleu \\
\hline
Nom $\widehat{A}$ $\widehat{CO}$ $\widehat{LP}$ \\
\hline
Sommet $A$ $O$ $P$ \\
\hline
Côtés $\overline{Ax}$ et $\overline{Ay}$ $\overline{OC}$ et $\overline{Ox}$ $\overline{LP}$ et $\overline{PT}$ \\
\hline
\end{tabular}

Exercice 5 : les types d’angles
Les angles aigu sont les angles inférieurs à 90^{\circ}:
Acute\,Angles%3A\,\%3B\,\angle\,1%2C\,\angle\,4%2C\,\angle\,5%2C\,\angle\,8%2C\,\angle\,9

Les angles droits sont les angles exactement égaux à 90^{\circ}:
Right\,Angles%3A\,\%3B\,\angle\,6

Les angles obtus sont les angles supérieurs à 90^{\circ} mais inférieurs à 180^{\circ}:
Obtuse\,Angles%3A\,\%3B\,\angle\,2%2C\,\angle\,3%2C\,\angle\,7

Exercice 6 : lecture au rapporteur
a.
La mesure de l’angle \widehat{BAC} est de 60^\circ.

b.
La mesure de l’angle \widehat{MON} est de 120^\circ.

Exercice 7 : utilisation du rapporteur
Correction de l’exercice :

a. L’angle est aigu car sa mesure est inférieure à 90^\circ. En lisant la mesure sur le rapporteur, l’angle mesure 40^\circ.

b. L’angle est obtus car sa mesure est supérieure à 90^\circ. En lisant la mesure sur le rapporteur, l’angle mesure 120^\circ.

c. L’angle est aigu car sa mesure est inférieure à 90^\circ. En lisant la mesure sur le rapporteur, l’angle mesure 30^\circ.

d. L’angle est obtus car sa mesure est supérieure à 90^\circ. En lisant la mesure sur le rapporteur, l’angle mesure 100^\circ.

Exercice 8 : construire ces figures
Correction de l’exercice :

a. Construction du triangle \Delta\,RVE.

1. Dessiner le segment %5BRV%5D de 7%2C3\%2C\,cm.
2. À l’extrémité V de %5BRV%5D, tracer un angle de 130^\circ vers l’extérieur du segment.
3. Reporter la longueur VE\,=\,5%2C5\%2C\,cm à partir de V.
4. L’extrémité du segment %5BVE%5D est le point E.
5. Relier les points R et E.

RV\,=\,7{%2C}3\%2C\,cm%2C\,\quad\,\widehat{RVE}\,=\,130^\circ%2C\,\quad\,VE\,=\,5{%2C}5\%2C\,cm

b. Construction du quadrilatère API et du segment %5BSD%5D.

1. Dessiner le segment %5BAI%5D de 9%2C4\%2C\,cm.
2. À l’extrémité A de %5BAI%5D, tracer un angle de 35^\circ vers l’intérieur du segment.
3. À l’extrémité I de %5BAI%5D, tracer un angle de 22^\circ vers l’extérieur du segment.
4. Reporter la longueur AS\,=\,4%2C1\%2C\,cm à partir de A.
5. L’extrémité du segment %5BAS%5D est le point P.
6. Prolonger le segment %5BAI%5D pour former le segment %5BSD%5D de 5%2C5\%2C\,cm à partir de I.
7. Relier les points P et D.

AI\,=\,9{%2C}4\%2C\,cm%2C\,\quad\,\widehat{AIP}\,=\,35^\circ%2C\,\quad\,\widehat{AIS}\,=\,22^\circ%2C\,\quad%0D%0AAS\,=\,4{%2C}1\%2C\,cm%2C\,\quad\,SD\,=\,5{%2C}5\%2C\,cm

Exercice 9 : construire ces figures
Soit le quadrilatère EFGH pour la figure a.

Les mesures des angles sont données :
\angle\,E\,=\,58^\circ%2C\,\quad\,\angle\,F\,=\,126^\circ%2C\,\quad\,\angle\,G\,=\,53^\circ

Pour déterminer la mesure de l’angle \angle\,H, on utilise la propriété que la somme des angles internes d’un quadrilatère est égale à 360^\circ :
\angle\,E\,%2B\,\angle\,F\,%2B\,\angle\,G\,%2B\,\angle\,H\,=\,360^\circ

En substituant les angles connus :
58^\circ\,%2B\,126^\circ\,%2B\,53^\circ\,%2B\,\angle\,H\,=\,360^\circ

En simplifiant :
237^\circ\,%2B\,\angle\,H\,=\,360^\circ

En résolvant pour \angle\,H :
\angle\,H\,=\,360^\circ\,-\,237^\circ\,=\,123^\circ

Donc, \angle\,H\,=\,123^\circ.

Soit le quadrilatère GHIJ pour la figure b.

Les mesures des angles sont données :
\angle\,G\,=\,64^\circ%2C\,\quad\,\angle\,H\,=\,93^\circ

L’angle \angle\,I est droit, donc \angle\,I\,=\,90^\circ.

Pour déterminer la mesure de l’angle \angle\,J, on utilise la même propriété :
\angle\,G\,%2B\,\angle\,H\,%2B\,\angle\,I\,%2B\,\angle\,J\,=\,360^\circ

En substituant les angles connus :
64^\circ\,%2B\,93^\circ\,%2B\,90^\circ\,%2B\,\angle\,J\,=\,360^\circ

En simplifiant :
247^\circ\,%2B\,\angle\,J\,=\,360^\circ

En résolvant pour \angle\,J :
\angle\,J\,=\,360^\circ\,-\,247^\circ\,=\,113^\circ

Donc, \angle\,J\,=\,113^\circ.

Pour le quadrilatère GHIJ, on peut également vérifier les longueurs données afin de s’assurer que les calculs et les relations respectent bien les conditions géométriques du problème.

Exercice 10 : calcul de la mesure d’un angle
Correction de l’exercice :

a.

Pour déterminer la mesure de l’angle \widehat{OGA}, nous remarquons que cet angle est adjacent à l’angle de 23^\circ et fait partie d’un ensemble d’angles complémentaires à 90^\circ (car OGA est un triangle rectangle en G).

Ainsi,
\widehat{OGA}\,=\,90^\circ\,-\,23^\circ\,=\,67^\circ

L’angle \widehat{OGA} mesure donc 67^\circ et c’est un angle aigu, car 67^\circ\,%3C\,90^\circ.

b.

Pour déterminer la mesure de l’angle \widehat{GAL}, nous utilisons la propriété des angles somme dans un triangle. Sachant que \widehat{OAL}\,=\,45^\circ (l’angle adjacent à A) et que les points O%2C\,A%2C\,L sont alignés (donc \widehat{GAL} fait partie d’une ligne droite avec \widehat{OGA}).

Ainsi,
\widehat{GAL}\,=\,180^\circ\,-\,\widehat{OGA}\,-\,\widehat{OAL}

Calculons :
\widehat{GAL}\,=\,180^\circ\,-\,67^\circ\,-\,45^\circ
\widehat{GAL}\,=\,180^\circ\,-\,112^\circ
\widehat{GAL}\,=\,68^\circ

L’angle \widehat{GAL} mesure donc 68^\circ et c’est un angle obtus, car 68^\circ\,>\,90^\circ

Exercice 11 : calculer la mesure des angles

(a) Calcul de l’angle $\widehat{uA v}$ :
\widehat{uA\,v}\,=\,\widehat{uA\,B}\,%2B\,\widehat{BAC}\,=\,87^\circ\,%2B\,42^\circ\,=\,129^\circ

(b) Calcul de l’angle $\widehat{\text{B}A v}$ :
\widehat{BA\,v}\,=\,42^\circ

(c) Calcul de l’angle $\widehat{uAC}$ :
\widehat{uAC}\,=\,87^\circ

Exercice 12 : bissectrices en chaine
a. La construction d’un angle \widehat{ABC} mesurant 104° a été effectuée correctement.

b. La bissectrice de l’angle \widehat{ABC} divise cet angle en deux angles égaux de 52°. Le point D a été placé sur cette bissectrice.

c. La bissectrice de l’angle \widehat{DBC} divise cet angle en deux angles égaux. Puisque D est situé sur la bissectrice de \widehat{ABC}, l’angle \widehat{DBC} mesure 52°. Ainsi, la bissectrice de \widehat{DBC} divise cet angle en deux angles de 26°. Le point N a été placé sur cette bissectrice.

d. L’angle \widehat{ABN} est formé par la bissectrice de \widehat{ABC} et la bissectrice de \widehat{DBC}. En additionnant les mesures des angles divisés, nous obtenons :
\widehat{ABN}\,=\,\frac{104%C2%B0}{2}\,%2B\,\frac{52%C2%B0}{2}\,=\,52%C2%B0\,%2B\,26%C2%B0\,=\,78%C2%B0.
Par conséquent, la mesure de l’angle \widehat{ABN} est 78%C2%B0.

e. Oui, on pouvait prévoir la réponse puisque la construction des angles est basée sur des propriétés géométriques bien définies des bissectrices. Les bissectrices d’un angle divisent cet angle en deux parties égales. En traçant méthodiquement chacune des bissectrices à chaque étape, la somme des parties divisées nous amène à l’angle \widehat{ABN}, qui est la somme des deux moitiés des angles initiaux : 52%C2%B0\,%2B\,26%C2%B0\,=\,78%C2%B0.

Exercice 13 : cercle et angles
Correction\,de\,l'exercice\,%3A

a.\,Reproduis\,cette\,figure\,en\,vraie\,grandeur.

Pour cette étape, dessinez la figure en utilisant un compas pour tracer le cercle de rayon 5 cm. Positionnez les points comme indiqué en utilisant un rapporteur pour mesurer les angles indiqués : \angle\,ATR\,=\,66^\circ, \angle\,TAM\,=\,73^\circ, \angle\,TNI\,=\,109^\circ et \angle\,RNT\,=\,54^\circ.

b.\,Mesure\,puis\,donne\,la\,nature\,des\,angles\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Cangle%2520AMN%22\,alt=%22\angle\,AMN et \angle\,INM. » align= »absmiddle » />

Pour déterminer la nature des angles \angle\,AMN et \angle\,INM, nous allons utiliser les propriétés géométriques et notre rapporteur.

1. Mesurer\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Cangle%2520AMN%22\,alt=%22\angle\,AMN: » align= »absmiddle » />
\angle\,AMN\,\approx\,37^\circ
Cet angle est aigu car il est inférieur à 90^\circ.

2. Mesurer\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Cangle%2520INM%22\,alt=%22\angle\,INM: » align= »absmiddle » />
\angle\,INM\,\approx\,71^\circ
Cet angle est également aigu car il est inférieur à 90^\circ.

En conclusion, les deux angles \angle\,AMN et \angle\,INM sont des angles aigus:
\angle\,AMN\,\approx\,37^\circ\,\quad\,(angle\,aigu)
\angle\,INM\,\approx\,71^\circ\,\quad\,(angle\,aigu)

Exercice 14 : angle rentrant et saillant
a. La mesure de l’angle rentrant \angle\,TOM est de 360^\circ\,-\,82^\circ\,=\,278^\circ.

b. Complétons le tableau:

\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0AAngle\,saillant\,%26\,60^\circ\,%26\,78^\circ\,%26\,82^\circ\,\\%0D%0A\hline%0D%0AAngle\,rentrant\,%26\,200^\circ\,%26\,335^\circ\,%26\,278^\circ\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}

c. Tracé des angles de mesure 300°, 195° et 314°:

Pour dessiner ces angles, on peut suivre la méthodologie suivante :
– Un angle de 300° est un angle rentrant, ce qui signifie qu’on doit tracer un angle de 360^\circ\,-\,300^\circ\,=\,60^\circ dans le sens horaire.
– Un angle de 195° est également un angle rentrant, ce qui signifie qu’on doit tracer un angle de 195^\circ dans le sens horaire.
– Un angle de 314° est un angle rentrant, ce qui signifie qu’on doit tracer un angle de 360^\circ\,-\,314^\circ\,=\,46^\circ dans le sens horaire.

Ces angles dépasseront les 180° en continuant leur ouverture au-delà de l’axe initial jusqu’à la mesure requise.

Exercice 15 : vocabulaire des angles
Angle 1 :

Nom : \angle\,BAC

Sommet : A

Côtés : %5BAB%2C\,AC%5D

Angle 2 :

Nom : \angle\,EDF

Sommet : D

Côtés : %5BDE%2C\,DF%5D

Angle 3 :

Nom : \angle\,LKM

Sommet : K

Côtés : %5BKL%2C\,KM%5D

Angle 4 :

Nom : \angle\,LKH

Sommet : K

Côtés : %5BLK%2C\,KH%5D

Angle 5 :

Nom : \angle\,LFM

Sommet : F

Côtés : %5BLF%2C\,FM%5D

Angle 6 :

Nom : \angle\,DKH

Sommet : K

Côtés : %5BDK%2C\,KH%5D

——————————————–

« `latex
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}

\begin{document}

\section*{Correction de l’exercice}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
Angle Nom Sommet Côtés \\
\hline
1 \angle\,BAC A %5BAB%2C\,AC%5D \\
\hline
2 \angle\,EDF D %5BDE%2C\,DF%5D \\
\hline
3 \angle\,LKM K %5BKL%2C\,KM%5D \\
\hline
4 \angle\,LKH K %5BLK%2C\,KH%5D \\
\hline
5 \angle\,LFM F %5BLF%2C\,FM%5D \\
\hline
6 \angle\,DKH K %5BDK%2C\,KH%5D \\
\hline
\end{tabular}

\end{document}
« `

Exercice 16 : colorier des angles sur la figure

a. $\widehat{ECO}$ en rouge
b. $\widehat{CUO}$ en vert
c. $\widehat{UBO}$ en bleu
d. $\widehat{CEU}$ en orange
e. $\widehat{COU}$ en jaune
f. $\widehat{EUB}$ en rose

Voici la correction sur l’image mise à jour :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\coordinate [label=below left:$B$] (B) at (0,0);
\coordinate [label=above left:$U$] (U) at (-2,4);
\coordinate [label=above:$C$] (C) at (4,5);
\coordinate [label=below right:$O$] (O) at (6,0);
\coordinate [label=below:$E$] (E) at (1,2);

\draw (B) — (U) — (C) — (O) — cycle;
\draw (B) — (O);
\draw (U) — (O);
\draw (C) — (B);
\draw (U) — (E) — (C);

\begin{scope}[color=red, ultra thick]
\draw (E) — (C);
\draw (C) — (O);
\end{scope}

\begin{scope}[color=green, ultra thick]
\draw (C) — (U);
\draw (U) — (O);
\end{scope}

\begin{scope}[color=blue, ultra thick]
\draw (U) — (B);
\draw (B) — (O);
\end{scope}

\begin{scope}[color=orange, ultra thick]
\draw (C) — (E);
\draw (E) — (U);
\end{scope}

\begin{scope}[color=yellow, ultra thick]
\draw (C) — (O);
\draw (O) — (U);
\end{scope}

\begin{scope}[color=pink, ultra thick]
\draw (E) — (U);
\draw (U) — (B);
\end{scope}

\end{tikzpicture}
\end{center}

Exercice 17 : donner la nature de chaque angle
a. $27^\circ$ $\longleftrightarrow$ Angle aigu

b. $12.3^\circ$ $\longleftrightarrow$ Angle aigu

c. $90^\circ$ $\longleftrightarrow$ Angle droit

d. $1^\circ$ $\longleftrightarrow$ Angle aigu

e. $154^\circ$ $\longleftrightarrow$ Angle obtus

f. $32^\circ$ $\longleftrightarrow$ Angle aigu

g. $179.9^\circ$ $\longleftrightarrow$ Angle obtus

h. $80^\circ$ $\longleftrightarrow$ Angle aigu

i. $180^\circ$ $\longleftrightarrow$ Angle plat

j. $93.9^\circ$ $\longleftrightarrow$ Angle obtus

Exercice 18 : angle obtus, aigu, plat ou nul
a)\,\\,L'angle\,\,\widehat{FAB}\,\,est\,un\,angle\,obtu\,car\,il\,est\,plus\,grand\,que\,90\,degres.
b)\,\\,L'angle\,\,\widehat{ABC}\,\,est\,un\,angle\,aigu\,car\,il\,est\,plus\,petit\,que\,90\,degres.
c)\,\\,L'angle\,\,\widehat{BCD}\,\,est\,un\,angle\,droit\,car\,il\,est\,egal\,a\,90\,degres.
d)\,\\,L'angle\,\,\widehat{CDE}\,\,est\,un\,angle\,obtu\,car\,il\,est\,plus\,grand\,que\,90\,degres.
e)\,\\,L'angle\,\,\widehat{FED}\,\,est\,un\,angle\,aigu\,car\,il\,est\,plus\,petit\,que\,90\,degres.
f)\,\\,L'angle\,\,\widehat{EFA}\,\,est\,un\,angle\,droit\,car\,il\,est\,egal\,a\,90\,degres.

Exercice 19 : calculer la mesure des angles
a. La mesure de l’angle \widehat{qCn} est 90^\circ car n est perpendiculaire à la droite horizontale mq. Donc,
\widehat{qCn}\,=\,90^\circ

b. La mesure de l’angle \widehat{mCn} est 90^\circ pour la même raison que ci-dessus, car n est perpendiculaire à mq. Donc,
\widehat{mCn}\,=\,90^\circ

c. Pour trouver la mesure de l’angle \widehat{mCp}, nous devons prendre en compte que l’angle pCn est donné comme 20^\circ et que nCm est un angle droit (90^\circ). Par conséquent :
\widehat{mCp}\,=\,\widehat{mCn}\,-\,\widehat{pCn}\,=\,90^\circ\,-\,20^\circ\,=\,70^\circ

Donc,
\widehat{mCp}\,=\,70^\circ

Exercice 20 : lire la mesure de chaque angle sur le rapporteur
a.\,\quad\,40^\circ
b.\,\quad\,80^\circ
c.\,\quad\,110^\circ
d.\,\quad\,130^\circ
e.\,\quad\,40^\circ
f.\,\quad\,70^\circ

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