Angles et polygones : corrigés des exercices de maths en 6ème.

Exercice 11 : calculer la mesure des angles

(a) Calcul de l’angle \[\widehat{uA v}\] :
\[
\widehat{uA v} = \widehat{uA \text{B}} + \widehat{\text{BAC}} = 87^\circ + 42^\circ = 129^\circ
\]

(b) Calcul de l’angle \[\widehat{\text{B}A v}\] :
\[
\widehat{\text{B}A v} = 42^\circ
\]

(c) Calcul de l’angle \[\widehat{uAC}\] :
\[
\widehat{uAC} = 87^\circ
\]

Exercice 12 : bissectrices en chaine
a. La construction d’un angle \( \widehat{ABC} \) mesurant 104° a été effectuée correctement.

b. La bissectrice de l’angle \( \widehat{ABC} \) divise cet angle en deux angles égaux de 52°. Le point D a été placé sur cette bissectrice.

c. La bissectrice de l’angle \( \widehat{DBC} \) divise cet angle en deux angles égaux. Puisque \( D \) est situé sur la bissectrice de \( \widehat{ABC} \), l’angle \( \widehat{DBC} \) mesure 52°. Ainsi, la bissectrice de \( \widehat{DBC} \) divise cet angle en deux angles de 26°. Le point \( N \) a été placé sur cette bissectrice.

d. L’angle \( \widehat{ABN} \) est formé par la bissectrice de \( \widehat{ABC} \) et la bissectrice de \( \widehat{DBC} \). En additionnant les mesures des angles divisés, nous obtenons :
\[ \widehat{ABN} = \frac{104°}{2} + \frac{52°}{2} = 52° + 26° = 78°. \]
Par conséquent, la mesure de l’angle \( \widehat{ABN} \) est \( 78° \).

e. Oui, on pouvait prévoir la réponse puisque la construction des angles est basée sur des propriétés géométriques bien définies des bissectrices. Les bissectrices d’un angle divisent cet angle en deux parties égales. En traçant méthodiquement chacune des bissectrices à chaque étape, la somme des parties divisées nous amène à l’angle \( \widehat{ABN} \), qui est la somme des deux moitiés des angles initiaux : \( 52° + 26° = 78° \).

Exercice 13 : cercle et angles
\[\]Correction de l’exercice :\[\]

\[\]a. Reproduis cette figure en vraie grandeur.\[\]

Pour cette étape, dessinez la figure en utilisant un compas pour tracer le cercle de rayon 5 cm. Positionnez les points comme indiqué en utilisant un rapporteur pour mesurer les angles indiqués : \( \angle ATR = 66^\circ \), \( \angle TAM = 73^\circ \), \( \angle TNI = 109^\circ \) et \( \angle RNT = 54^\circ \).

\[\]b. Mesure puis donne la nature des angles \(\angle AMN\) et \(\angle INM\).\[\]

Pour déterminer la nature des angles \(\angle AMN\) et \(\angle INM\), nous allons utiliser les propriétés géométriques et notre rapporteur.

1. \[\]Mesurer \(\angle AMN\):\[\]
\[
\angle AMN \approx 37^\circ
\]
Cet angle est aigu car il est inférieur à \(90^\circ\).

2. \[\]Mesurer \(\angle INM\):\[\]
\[
\angle INM \approx 71^\circ
\]
Cet angle est également aigu car il est inférieur à \(90^\circ\).

En conclusion, les deux angles \(\angle AMN\) et \(\angle INM\) sont des angles aigus:
\[
\angle AMN \approx 37^\circ \quad \text{(angle aigu)}
\]
\[
\angle INM \approx 71^\circ \quad \text{(angle aigu)}
\]

Exercice 14 : angle rentrant et saillant
a. La mesure de l’angle rentrant \( \angle TOM \) est de \( 360^\circ – 82^\circ = 278^\circ \).

b. Complétons le tableau:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Angle saillant} 60^\circ 78^\circ 82^\circ \\
\hline
\text{Angle rentrant} 200^\circ 335^\circ 278^\circ \\
\hline
\end{array}
\]

c. Tracé des angles de mesure 300°, 195° et 314°:

Pour dessiner ces angles, on peut suivre la méthodologie suivante :
– Un angle de 300° est un angle rentrant, ce qui signifie qu’on doit tracer un angle de \( 360^\circ – 300^\circ = 60^\circ \) dans le sens horaire.
– Un angle de 195° est également un angle rentrant, ce qui signifie qu’on doit tracer un angle de \( 195^\circ \) dans le sens horaire.
– Un angle de 314° est un angle rentrant, ce qui signifie qu’on doit tracer un angle de \( 360^\circ – 314^\circ = 46^\circ \) dans le sens horaire.

Ces angles dépasseront les 180° en continuant leur ouverture au-delà de l’axe initial jusqu’à la mesure requise.

Exercice 15 : vocabulaire des angles
Angle \( \boxed{1} \) :

Nom : \( \angle BAC \)

Sommet : \( A \)

Côtés : \( [AB, AC] \)

—

Angle \( \boxed{2} \) :

Nom : \( \angle EDF \)

Sommet : \( D \)

Côtés : \( [DE, DF] \)

—

Angle \( \boxed{3} \) :

Nom : \( \angle LKM \)

Sommet : \( K \)

Côtés : \( [KL, KM] \)

—

Angle \( \boxed{4} \) :

Nom : \( \angle LKH \)

Sommet : \( K \)

Côtés : \( [LK, KH] \)

—

Angle \( \boxed{5} \) :

Nom : \( \angle LFM \)

Sommet : \( F \)

Côtés : \( [LF, FM] \)

—

Angle \( \boxed{6} \) :

Nom : \( \angle DKH \)

Sommet : \( K \)

Côtés : \( [DK, KH] \)

——————————————–

« `latex

{Correction de l’exercice}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
Angle Nom Sommet Côtés \\
\hline
\( \boxed{1} \) \( \angle BAC \) A \( [AB, AC] \) \\
\hline
\( \boxed{2} \) \( \angle EDF \) D \( [DE, DF] \) \\
\hline
\( \boxed{3} \) \( \angle LKM \) K \( [KL, KM] \) \\
\hline
\( \boxed{4} \) \( \angle LKH \) K \( [LK, KH] \) \\
\hline
\( \boxed{5} \) \( \angle LFM \) F \( [LF, FM] \) \\
\hline
\( \boxed{6} \) \( \angle DKH \) K \( [DK, KH] \) \\
\hline
\end{tabular}

« `

Exercice 16 : colorier des angles sur la figure

a. \[\widehat{ECO}\] en rouge
b. \[\widehat{CUO}\] en vert
c. \[\widehat{UBO}\] en bleu
d. \[\widehat{CEU}\] en orange
e. \[\widehat{COU}\] en jaune
f. \[\widehat{EUB}\] en rose

Voici la correction sur l’image mise à jour :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\coordinate [label=below left:\[B\]] (B) at (0,0);
\coordinate [label=above left:\[U\]] (U) at (-2,4);
\coordinate [label=above:\[C\]] (C) at (4,5);
\coordinate [label=below right:\[O\]] (O) at (6,0);
\coordinate [label=below:\[E\]] (E) at (1,2);

\draw (B) — (U) — (C) — (O) — cycle;
\draw (B) — (O);
\draw (U) — (O);
\draw (C) — (B);
\draw (U) — (E) — (C);

\begin{scope}[color=red, ultra thick]
\draw (E) — (C);
\draw (C) — (O);
\end{scope}

\begin{scope}[color=green, ultra thick]
\draw (C) — (U);
\draw (U) — (O);
\end{scope}

\begin{scope}[color=blue, ultra thick]
\draw (U) — (B);
\draw (B) — (O);
\end{scope}

\begin{scope}[color=orange, ultra thick]
\draw (C) — (E);
\draw (E) — (U);
\end{scope}

\begin{scope}[color=yellow, ultra thick]
\draw (C) — (O);
\draw (O) — (U);
\end{scope}

\begin{scope}[color=pink, ultra thick]
\draw (E) — (U);
\draw (U) — (B);
\end{scope}

\end{tikzpicture}
\end{center}

Exercice 17 : donner la nature de chaque angle
a. \[27^\circ\] \[\longleftrightarrow\] Angle aigu

b. \[12.3^\circ\] \[\longleftrightarrow\] Angle aigu

c. \[90^\circ\] \[\longleftrightarrow\] Angle droit

d. \[1^\circ\] \[\longleftrightarrow\] Angle aigu

e. \[154^\circ\] \[\longleftrightarrow\] Angle obtus

f. \[32^\circ\] \[\longleftrightarrow\] Angle aigu

g. \[179.9^\circ\] \[\longleftrightarrow\] Angle obtus

h. \[80^\circ\] \[\longleftrightarrow\] Angle aigu

i. \[180^\circ\] \[\longleftrightarrow\] Angle plat

j. \[93.9^\circ\] \[\longleftrightarrow\] Angle obtus

Exercice 18 : angle obtus, aigu, plat ou nul
\[\]a) \ \text{L’angle } \widehat{FAB} \text{ est un angle obtu car il est plus grand que 90 degrés.}\[\]
\[\]b) \ \text{L’angle } \widehat{ABC} \text{ est un angle aigu car il est plus petit que 90 degrés.}\[\]
\[\]c) \ \text{L’angle } \widehat{BCD} \text{ est un angle droit car il est égal à 90 degrés.}\[\]
\[\]d) \ \text{L’angle } \widehat{CDE} \text{ est un angle obtu car il est plus grand que 90 degrés.}\[\]
\[\]e) \ \text{L’angle } \widehat{FED} \text{ est un angle aigu car il est plus petit que 90 degrés.}\[\]
\[\]f) \ \text{L’angle } \widehat{EFA} \text{ est un angle droit car il est égal à 90 degrés.}\[\]

Exercice 19 : calculer la mesure des angles
a. La mesure de l’angle \(\widehat{qCn}\) est \(90^\circ\) car \(n\) est perpendiculaire à la droite horizontale \(mq\). Donc,
\[
\widehat{qCn} = 90^\circ
\]

b. La mesure de l’angle \(\widehat{mCn}\) est \(90^\circ\) pour la même raison que ci-dessus, car \(n\) est perpendiculaire à \(mq\). Donc,
\[
\widehat{mCn} = 90^\circ
\]

c. Pour trouver la mesure de l’angle \(\widehat{mCp}\), nous devons prendre en compte que l’angle \(pCn\) est donné comme \(20^\circ\) et que \(nCm\) est un angle droit (\(90^\circ\)). Par conséquent :
\[
\widehat{mCp} = \widehat{mCn} – \widehat{pCn} = 90^\circ – 20^\circ = 70^\circ
\]

Donc,
\[
\widehat{mCp} = 70^\circ
\]

Exercice 20 : lire la mesure de chaque angle sur le rapporteur
\[ \text{a.} \quad 40^\circ \]
\[ \text{b.} \quad 80^\circ \]
\[ \text{c.} \quad 110^\circ \]
\[ \text{d.} \quad 130^\circ \]
\[ \text{e.} \quad 40^\circ \]
\[ \text{f.} \quad 70^\circ \]

Exercice 21 : utiliser le rapporteur

[a.] \(\widehat{ABC} = 60^\circ\)
[b.] \(\widehat{DEF} = 120^\circ\)
[c.] \(\widehat{GHI} = 40^\circ\)

Exercice 22 : mesurer des angles à l’aide du rapporteur

a. \[30^\circ\]
b. \[150^\circ\]
c. \[120^\circ\]
d. \[45^\circ\]
e. \[60^\circ\]
f. \[90^\circ\]
g. \[180^\circ\]
h. \[60^\circ\]
i. \[45^\circ\]
j. \[120^\circ\]

Exercice 23 : construire le deuxième côté d’un angle
Correction de l’exercice :

[\[a.\]] Pour un angle de \(70^\circ\), placez le deuxième côté de l’angle à partir du zéro en montant jusqu’à la graduation de 70.
\[
\includegraphics[scale=0.5]{70.png}
\]

[\[b.\]] Pour un angle de \(110^\circ\), placez le deuxième côté de l’angle à partir du zéro en montant jusqu’à la graduation de 110.
\[
\includegraphics[scale=0.5]{110.png}
\]

[\[c.\]] Pour un angle de \(20^\circ\), placez le deuxième côté de l’angle à partir du zéro en montant jusqu’à la graduation de 20.
\[
\includegraphics[scale=0.5]{20.png}
\]

[\[d.\]] Pour un angle de \(140^\circ\), placez le deuxième côté de l’angle à partir du zéro en montant jusqu’à la graduation de 140.
\[
\includegraphics[scale=0.5]{140.png}
\]

[\[e.\]] Pour un angle de \(170^\circ\), placez le deuxième côté de l’angle à partir du zéro en montant jusqu’à la graduation de 170.
\[
\includegraphics[scale=0.5]{170.png}
\]

[\[f.\]] Pour un angle de \(50^\circ\), placez le deuxième côté de l’angle à partir du zéro en montant jusqu’à la graduation de 50.
\[
\includegraphics[scale=0.5]{50.png}
\]

Exercice 24 : construire l’autre côté d’un angle
Correction de l’exercice :

\[\]a.\[\] \(\widehat{ABC} = 55^\circ\)

1. Place le centre du rapporteur sur le point \(B\).
2. Aligne la ligne de base du rapporteur avec le segment \(BC\) en faisant en sorte que le zéro soit sur le point \(B\).
3. Marque un point \(D\) où le rapporteur indique \(55^\circ\).
4. Trace le segment \(BD\).

L’angle \(\widehat{ABC}\) mesure maintenant \(55^\circ\).

\[\]\widehat{ABC} = 55^\circ\[\]

\[\]b.\[\] \(\widehat{DEF} = 108^\circ\)

1. Place le centre du rapporteur sur le point \(E\).
2. Aligne la ligne de base du rapporteur avec le segment \(DE\) en faisant en sorte que le zéro soit sur le point \(E\).
3. Marque un point \(G\) où le rapporteur indique \(108^\circ\).
4. Trace le segment \(EG\).

L’angle \(\widehat{DEF}\) mesure maintenant \(108^\circ\).

\[\]\widehat{DEF} = 108^\circ\[\]

\[\]c.\[\] \(\widehat{GHI} = 143^\circ\)

1. Place le centre du rapporteur sur le point \(H\).
2. Aligne la ligne de base du rapporteur avec le segment \(HI\) en faisant en sorte que le zéro soit sur le point \(H\).
3. Marque un point \(J\) où le rapporteur indique \(143^\circ\).
4. Trace le segment \(HJ\).

L’angle \(\widehat{GHI}\) mesure maintenant \(143^\circ\).

\[\]\widehat{GHI} = 143^\circ\[\]

Exercice 25 : construire des angles de mesure donnée

[a.] La demi-droite \([Oy]\) doit être placée de sorte que l’angle \(x\hat{O}y\) mesure \(56^\circ\). Voir le schéma corrigé ci-dessous:
\[
\begin{array}{c}
\includegraphics[scale=0.5]{a_56_corrige.png}
\end{array}
\]

[b.] La demi-droite \([Oy]\) doit être placée de sorte que l’angle \(x\hat{O}y\) mesure \(156^\circ\). Voir le schéma corrigé ci-dessous:
\[
\begin{array}{c}
\includegraphics[scale=0.5]{b_156_corrige.png}
\end{array}
\]

[c.] La demi-droite \([Oy]\) doit être placée de sorte que l’angle \(x\hat{O}y\) mesure \(125^\circ\). Voir le schéma corrigé ci-dessous:
\[
\begin{array}{c}
\includegraphics[scale=0.5]{c_125_corrige.png}
\end{array}
\]

[d.] La demi-droite \([Oy]\) doit être placée de sorte que l’angle \(x\hat{O}y\) mesure \(25^\circ\). Voir le schéma corrigé ci-dessous:
\[
\begin{array}{c}
\includegraphics[scale=0.5]{d_25_corrige.png}
\end{array}
\]

[e.] La demi-droite \([Oy]\) doit être placée de sorte que l’angle \(x\hat{O}y\) mesure \(93^\circ\). Voir le schéma corrigé ci-dessous:
\[
\begin{array}{c}
\includegraphics[scale=0.5]{e_93_corrige.png}
\end{array}
\]

[f.] La demi-droite \([Oy]\) doit être placée de sorte que l’angle \(x\hat{O}y\) mesure \(33^\circ\). Voir le schéma corrigé ci-dessous:
\[
\begin{array}{c}
\includegraphics[scale=0.5]{f_33_corrige.png}
\end{array}
\]

Exercice 26 : reproduire chaque ligne brisée
Pour tracer la ligne brisée \(A, B, C, D\) :

1. Tracez un segment \([AB]\) de 8 cm.
2. À partir du point \(B\), tracez un angle de \(35^\circ\) en utilisant un rapporteur.
3. Sur cette nouvelle ligne, mesurez et marquez un point situé à 7 cm de \(B\). Ce point est \(C\).
4. À partir du point \(C\), tracez un angle de \(100^\circ\) par rapport à la ligne \([BC]\).
5. Sur cette nouvelle ligne, mesurez et marquez un point situé à 6 cm de \(C\). Ce point est \(D\).

Pour tracer la ligne brisée \(E, F, G, H, I\) :

1. Tracez un segment \([EF]\) de 6,5 cm.
2. À partir du point \(F\), tracez un angle de \(26^\circ\) en utilisant un rapporteur.
3. Sur cette nouvelle ligne, mesurez et marquez un point situé à 6 cm de \(F\). Ce point est \(G\).
4. À partir du point \(G\), tracez un angle de \(47^\circ\) par rapport à la ligne \([FG]\).
5. Sur cette nouvelle ligne, mesurez et marquez un point situé à 7 cm de \(G\). Ce point est \(H\).
6. À partir du point \(H\), tracez un angle de \(104^\circ\) par rapport à la ligne \([HG]\).
7. Sur cette nouvelle ligne, mesurez et marquez un point situé à 3 cm de \(H\). Ce point est \(I\).

Pour les équations en LaTeX :

Pour le tracé \(A, B, C, D\) :
« `latex
\begin{tikzpicture}
% Segment AB
\draw (0,0) — (8,0) node[pos=0] {A} node[pos=1] {B};
% Angle ABC = 35 degrés
\draw (8,0) — ++(35:7) node[pos=1] {C};
% Angle BCD = 100 degrés
\draw (8,0) ++(35:7) — ++(135:6) node[pos=1] {D};
\end{tikzpicture}
« `

Pour le tracé \(E, F, G, H, I\) :
« `latex
\begin{tikzpicture}
% Segment EF
\draw (0,0) — (6.5,0) node[pos=0] {E} node[pos=1] {F};
% Angle FFG = 26 degrés
\draw (6.5,0) — ++(26:6) node[pos=1] {G};
% Angle GGH = 47 degrés
\draw (6.5,0) ++(26:6) — ++(73:7) node[pos=1] {H};
% Angle HHI = 104 degrés
\draw (6.5,0) ++(26:6) ++(73:7) — ++(177:3) node[pos=1] {I};
\end{tikzpicture}
« `

Note : Les segments tracés par TikZ peuvent nécessiter des ajustements pour représenter les angles avec précision.

Exercice 27 : reproduire chaque figure en vraie grandeur
1. Pour la première figure:

Données:
\[
BU = 8 \, \text{cm}, \quad BE = 7 \, \text{cm}, \quad \angle EBU = 68^\circ, \quad UL = 7 \, \text{cm}
\]

Étapes:
1. Tracez le segment \( BU = 8 \, \text{cm} \).
2. À partir de \( B \), tracez une droite formant un angle de \( 68^\circ \) avec \( BU \).
3. Sur cette droite, marquez le point \( E \) tel que \( BE = 7 \, \text{cm} \).
4. À partir de \( U \), tracez une droite perpendiculaire à \( BU \) et marquez le point \( L \) tel que \( UL = 7 \, \text{cm} \).
5. Reliez les points \( E \) et \( L \) pour compléter le quadrilatère.

2. Pour la deuxième figure:

Données:
\[
AV = 5 \, \text{cm}, \quad VS = 7,2 \, \text{cm}, \quad \angle VSA = 45^\circ, \quad \quad
NV = 3,3 \, \text{cm}, \quad \angle OVA = 28^\circ, \quad \angle AVS = 64^\circ
\]

Étapes:
1. Tracez le segment \( SA = 7,2 \, \text{cm} \).
2. À partir de \( S \), tracez une droite formant un angle de \( 45^\circ \) avec \( SA \).
3. Sur cette droite, marquez le point \( V \) tel que \( VS = 5 \, \text{cm} \).
4. À partir de \( A \), tracez une droite formant un angle de \( 64^\circ \) avec \( SA \).
5. Les deux droites tracées précédemment se rencontrent au point \( V \).
6. Sur la droite formant un angle de \( 28^\circ \) avec \( VA \), marquez le point \( N \) tel que \( VN = 3,3 \, \text{cm} \).
7. Reliez les points \( O \) et \( N \) pour compléter la figure.

Exercice 28 : reproduire une étoile
Pour commencer, nous devons vérifier la somme des angles à chaque sommet de l’étoile. Cette étoile est un pentagramme constitué de cinq triangles isocèles de base \(4 \, cm\).

1. Pour l’angle de \(42^\circ\) :
a. L’angle au sommet du triangle isocèle est de \(42^\circ\).
b. Les deux angles à la base sont égaux, donc chaque angle à la base est
\[
\frac{180^\circ – 42^\circ}{2} = 69^\circ.
\]

2. Pour l’angle de \(114^\circ\) :
a. L’angle extérieur adjoint à cet angle est :
\[
180^\circ – 114^\circ = 66^\circ.
\]
Ce \(66^\circ\) est l’angle au sommet du triangle isocèle.

b. Les angles à la base de ce triangle isocèle sont :
\[
\frac{180^\circ – 66^\circ}{2} = 57^\circ.
\]

Ensuite, nous devons utiliser ces angles pour dessiner l’étoile. En utilisant un rapporteur et une règle, suivez les étapes indiquées :

1. Tracez un segment de 4 cm.
2. A chaque extrémité de ce segment, utilisez un rapporteur pour marquer un angle de \(69^\circ\) à l’intérieur (pour les angles de \(42^\circ\)).
3. Marquez les points, puis tracez les segments de longueur 4 cm à partir de ces points.
4. À l’intersection de ces nouveaux segments, vérifiez que l’angle est approprié pour compléter l’étoile.
5. Répétez la procédure pour tracer l’étoile complète en vous assurant que tous les angles et les côtés correspondent aux mesures données.

Pour les angles de \(114^\circ\), tracez également des segments de 4 cm en marquant les angles corrects. Assurez-vous que les différents segments convergent pour former les 5 branches de l’étoile.

En résumé, en combinant géométrie et outils de mesure, vous devriez être capable de reproduire cette étoile avec les longueurs de côté appropriées et les angles donnés.

Exercice 29 : tracer les différents triangles
1. \[\]Triangle ABS :\[\]
ABS équilatéral de côté 8 cm.

\[
AS = BS = AB = 8 \text{ cm}
\]

2. \[\]Triangle ABC :\[\]
ABC isocèle en \( C \) tel que \( AC = 14 \) cm.

\[
AC = BC = 14 \text{ cm}
\]

3. \[\]Triangle ABD :\[\]
\(\angle BAD = 88^\circ \) et \( AD = 14,4 \text{ cm} \).

\[\angle BAD = 88^\circ\]

\[AD = 14,4 \text{ cm}\]

Pour déterminer la longueur \( BD \), on peut utiliser la loi des cosinus:
\[
BD = \sqrt{AD^2 + AB^2 – 2 \cdot AD \cdot AB \cdot \cos(\angle BAD)}
\]
avec \( AB = 8 \text{ cm} \).

4. \[\]Triangle ABE :\[\]
\(\angle BAE = 99^\circ \) et \( AE = 11,9 \text{ cm} \).

\[\angle BAE = 99^\circ\]

\[AE = 11,9 \text{ cm}\]

Pour déterminer la longueur \( BE \), on peut utiliser la loi des cosinus:
\[
BE = \sqrt{AE^2 + AB^2 – 2 \cdot AE \cdot AB \cdot \cos(\angle BAE)}
\]
avec \( AB = 8 \text{ cm} \).

5. \[\]Triangle ABF :\[\]
\(\angle BAF = 119^\circ \) et \( AF = 12,5 \text{ cm} \).

\[\angle BAF = 119^\circ\]

\[AF = 12,5 \text{ cm}\]

Pour déterminer la longueur \( BF \), on peut utiliser la loi des cosinus:
\[
BF = \sqrt{AF^2 + AB^2 – 2 \cdot AF \cdot AB \cdot \cos(\angle BAF)}
\]
avec \( AB = 8 \text{ cm} \).

6. \[\]Triangle ABG :\[\]
\(\angle BAG = 136^\circ \) et \( AG = 7,4 \text{ cm} \).

\[\angle BAG = 136^\circ\]

\[AG = 7,4 \text{ cm}\]

Pour déterminer la longueur \( BG \), on peut utiliser la loi des cosinus:
\[
BG = \sqrt{AG^2 + AB^2 – 2 \cdot AG \cdot AB \cdot \cos(\angle BAG)}
\]
avec \( AB = 8 \text{ cm} \).

7. \[\]Triangle ABH :\[\]
\(\angle BAH = 164^\circ \) et \( AH = 7,2 \text{ cm} \).

\[\angle BAH = 164^\circ\]

\[AH = 7,2 \text{ cm}\]

Pour déterminer la longueur \( BH \), on peut utiliser la loi des cosinus:
\[
BH = \sqrt{AH^2 + AB^2 – 2 \cdot AH \cdot AB \cdot \cos(\angle BAH)}
\]
avec \( AB = 8 \text{ cm} \).

8. \[\]Reproduire les triangles ABD’ à ABH’ de l’autre côté\[\] :
Les triangles ABD’, ABE’, ABF’, et ABG’ doivent être des images symétriques des triangles ABD, ABE, ABF et ABG par rapport à l’axe \( AB \).

9. \[\]Coloriage :\[\]
Coloriage selon le modèle : alterner les triangles colorés en noir et en blanc comme indiqué sur l’image.

Exercice 30 : construire la figure avec le rapporteur
Pour construire la figure en vraie grandeur :

1. Tracer le segment \([BC]\) de \(4 \, \text{cm}\).
2. Tracer la demi-droite \([BA)\) de manière à ce que l’angle \(\angle CBA\) soit de \(160^\circ\).
3. Tracer la demi-droite \([CD)\) de manière à ce que l’angle \(\angle BCD\) soit de \(110^\circ\).
4. Placer le point d’intersection \(E\) des droites \([BA)\) et \([CD)\).

Pour vérifier si \(\angle BEC = 90^\circ\), on utilise la somme des angles internes autour du point \(E\) :

\[
\angle AEB + \angle BEC + \angle DEC = 360^\circ
\]

Sachant que :

\[
\angle AEB = 180^\circ – \angle CBA = 180^\circ – 160^\circ = 20^\circ
\]

\[
\angle DEC = 180^\circ – \angle BCD = 180^\circ – 110^\circ = 70^\circ
\]

En remplaçant dans l’équation ci-dessus :

\[
20^\circ + \angle BEC + 70^\circ = 360^\circ
\]

\[
\angle BEC = 360^\circ – 90^\circ = 90^\circ
\]

On trouve bien que \(\angle BEC = 90^\circ\), donc sur une figure bien faite, l’angle \(\angle BEC\) doit être de \(90^\circ\).

Exercice 31 : construire cette figure en vraie grandeur
a. La figure doit être construite en utilisant les mesures et les angles fournis dans l’image.

b. Pour déterminer si les points O, M et N sont alignés, on va additionner les angles formés par ces points. Les points sont alignés si la somme des angles est égale à \(180^\circ\).

Voici les angles fournis :
– \(\angle OMV = 40^\circ\)
– \(\angle VMN = 78^\circ\)
– \(\angle NMR = 60^\circ\)

Calculons la somme de ces angles :
\[
\angle OMV + \angle VMN + \angle NMR = 40^\circ + 78^\circ + 60^\circ = 178^\circ
\]

La somme obtenue n’est pas égale à \(180^\circ\). Par conséquent, les points O, M et N ne sont pas alignés.

Pour être certain de la réponse, notons que si les points étaient alignés, la somme des angles \(\angle OMV\) et \(\angle VMN\) suffirait pour conclure directement car lorsqu’ils sont alignés sur une même ligne droite, ceux-ci devraient cumuler à \(180^\circ\). Comme la somme est de \(118^\circ\), il est clair qu’ils ne le sont pas.

Exercice 32 : une régate de voiliers en mer
a. Tracer un segment \( [AB] \) de longueur 6 cm pour représenter la « ligne d’arrivée ».

b. Construire les positions de C, D, E. Pour ce faire, nous utilisons les mesures des angles données dans le tableau:

Pour le voilier \( C \):
– \( \widehat{ABC} = 65^\circ \)
– \( \widehat{BAC} = 34^\circ \)

Pour déterminer la position \( C \), nous utilisons les angles \( \widehat{ABC} \) et \( \widehat{BAC} \) à partir des points \( A \) et \( B \).

Pour le voilier \( D \):
– \( \widehat{ABD} = 36^\circ \)
– \( \widehat{BAD} = 42^\circ \)

Pour déterminer la position \( D \), nous utilisons les angles \( \widehat{ABD} \) et \( \widehat{BAD} \) à partir des points \( A \) et \( B \).

Pour le voilier \( E \):
– \( \widehat{ABE} = 45^\circ \)
– \( \widehat{BAE} = 23^\circ \)

Pour déterminer la position \( E \), nous utilisons les angles \( \widehat{ABE} \) et \( \widehat{BAE} \) à partir des points \( A \) et \( B \).

c. Pour déterminer quel voilier semble être en tête de la course, on peut regarder les angles formés par les points \( A \) et \( B \). La seule mesure directe disponible pour établir le placement relatif sur la ligne d’arrivée est la somme des angles à chaque voilier, plus petit l’angle, plus proche du milieu du segment, donc plus avancé vers la ligne d’arrivée.

– Pour le voilier \( C \) la somme des angles: \(65^\circ + 34^\circ = 99^\circ\)
– Pour le voilier \( D \) la somme des angles: \(36^\circ + 42^\circ = 78^\circ\)
– Pour le voilier \( E \) la somme des angles: \(45^\circ + 23^\circ = 68^\circ\)

Puisque le plus petit angle (donc plus proche du centre B) est pour le voilier E:

Le voilier E semble être en tête de la course.

Exercice 33 : constuire la figure et nommer les points
a.
Pour construire cette figure en vraie grandeur, il faut respecter les mesures données : un segment de \(2\,cm\), un segment de \(3.5\,cm\), ainsi que les angles de \(30^\circ\) et \(150^\circ\).

Étapes de construction :
1. Tracez un segment de \(2\,cm\). Appelons ce segment \(AB\).
2. À l’extrémité \(B\), tracez un angle de \(30^\circ\) avec \(AB\) et placez le point \(C\) à \(3.5\,cm\) de \(B\).
3. Reliez \(C\) et \(A\) pour former le triangle isocèle \(ABC\).
4. À \(C\), tracez un angle supplémentaire de \(150^\circ\) avec \(CB\) et prolongez le segment jusqu’au point \(D\) pour compléter la figure.

b.
Pour nommer les points, nous allons utiliser les conditions fournies :

1. L’angle \(\angle ABC = 30^\circ\) est donné, donc nous pouvons placer le point \(C\).
2. \(EAD\) doit être un angle obtus, donc \(\angle EAD > 90^\circ\).
3. La mesure de l’angle \(ADE\) est inférieure à celle de l’angle \(\angle AED\).

En respectant ces consignes, l’affectation des points est donc :

– \(A\) est le sommet commun pour les angles \(\angle EAD\) et \(\angle ADE\).
– \(E\) est situé tel que \(\angle EAD\) est de \(150^\circ\).
– \(D\) est situé de façon à ce que l’angle \(\angle ADE < \angle AED\).

Ainsi, voici la correction selon les conditions spécifiques fournies.

\[
\begin{aligned}
\text{1. } ABC = 30^\circ \quad (\text{donné})\\
\text{2. } \angle EAD > 90^\circ, \quad \text{donc,} \, E\text{ est bien positionné si } E \text{ forme un angle de } 150^\circ \text{ avec }AD.\\
\text{3. } \angle ADE < \angle AED \quad (\text{donné})
\end{aligned}
\]

Exercice 34 : pavage avec la fléchette et le cerf-volant
a. Construction du losange ABCD :

1. Dessiner le segment \( AB = 5 \) cm.
2. Tracer des angles de \( 72^\circ \) à partir des points A et B vers l’extérieur.
3. A partir de \( A \) et \( B \), tracer deux segments formant un angle de \( 36^\circ \) à partir de ces points.
4. Les deux nouveaux segments se rencontrent au point \( C \).
5. Relier le segment \( CD \) pour former le losange \( ABCD \).
6. Placer le point \( E \) de manière à ce que \(\angle DEC = 36^\circ\) et \( DE = EC = AB \).

b. Reproduction des losanges et assemblage :

1. Utiliser du papier calque pour recopier deux fois le losange \( ABCD \) et deux fois le losange en cerf-volant montré dans l’image (celui avec les angles \( 36^\circ \) et \( 72^\circ \)).
2. Découper les losanges et les assembler pour obtenir la mosaïque montrée dans l’exercice.
3. Assembler les pièces de manière cohérente pour obtenir le motif décrit, en respectant les angles et les alignements.

c. Recherches sur Internet :

Pour approfondir vos connaissances, effectuez des recherches en ligne sur les pavages de Penrose, qui sont des pavages non périodiques composés de deux types de tuiles en forme de fléchette et de cerf-volant, créés par Roger Penrose dans les années 1970. Ces pavages ont des propriétés intéressantes et sont liés à des concepts mathématiques avancés tels que l’auto-similarité et la quasi-périodicité.

Exercice 35 : exercice sur les angles en anglais
\[\]Correction de l’exercice :\[\]

a. Pour l’angle \( xOy = 30^\circ \) et l’angle \( uIv = 70^\circ \), il n’y a pas de correction à apporter ici sauf mentionner que les angles ont été coupés correctement.

\[\]b. Construction d’angles sans rapporteur :\[\]

• Pour un angle de \( 100^\circ \) :
1. Tracez un angle de \( 90^\circ \) en utilisant une équerre.
2. Tracez ensuite un angle de \( 10^\circ \) à partir de l’un des côtés de l’angle de \( 90^\circ \) pour obtenir \( 90^\circ + 10^\circ \). Cela donne un angle total de \( 100^\circ \).

• Pour un angle de \( 40^\circ \) :
1. Tracez un angle de \( 60^\circ \) en utilisant une règle et un compas (c’est un angle typique d’un triangle équilatéral).
2. Divisez cet angle par deux. Pour cela, tracez la bissectrice de l’angle de \( 60^\circ \), ce qui divise l’angle par deux pour obtenir \( 30^\circ \).
3. Ajoutez un angle de \( 10^\circ \) au \( 30^\circ \) en utilisant la construction d’un angle de \( 10^\circ \). Cela donne un angle de \( 40^\circ \) (ex: diviser encore \(60^\circ\) un \(20^\circ\) et ajouter \(20^\circ\) au \(20^\circ\)).

• Pour un angle de \( 130^\circ \) :
1. Tracez un angle de \( 90^\circ \) en utilisant une équerre.
2. Tracez un angle de \( 40^\circ \) en utilisant la méthode mentionnée ci-dessus pour un angle de \( 40^\circ \).
3. Ajoutez ces deux angles : \( 90^\circ + 40^\circ \). Vous obtenez ainsi un angle total de \( 130^\circ \).

Ces constructions sont basées sur la synthèse et combinaison des angles via construction géométrique classique.

Exercice 36 : exercice sur les angles en anglais
{Correction de l’exercice :}

{a. Découper deux angles tels que :}
\[ xOy = 30^\circ \quad \text{et} \quad uIv = 70^\circ \]

Pour découper deux angles de \(30^\circ\) et \(70^\circ\), vous pouvez utiliser une équerre pour tracer un angle droit de \(90^\circ\), puis diviser cet angle en conséquence.

{b. Expliquer comment construire sans rapporteur un angle de :}

{100° :}
1. Construire un angle droit (\(90^\circ\)) avec une équerre.
2. Ajouter un angle de \(10^\circ\). Pour ce faire, vous pouvez d’abord tracer un angle de \(30^\circ\) (comme mentionné ci-dessus pour le \(30^\circ\)), puis diviser cet angle en trois parties égales (\(10^\circ\) chacune) en utilisant un compas et des bissectrices.
3. Combiner l’angle droit de \(90^\circ\) avec celui de \(10^\circ\) pour obtenir l’angle de \(100^\circ\).

{40° :}
1. Construire un angle de \(20^\circ\) en divisant le \(30^\circ\) en trois parties égales (\(10^\circ\) chacune), puis ajouter à un angle de \(20^\circ\).
2. \(20^\circ + 20^\circ = 40^\circ\)

{130° :}
1. Construire un angle droit (\(90^\circ\)) avec une équerre.
2. Ajouter un angle de \(40^\circ\), en utilisant la méthode ci-dessus pour construire un angle de \(40^\circ\).
3. Combiner l’angle droit de \(90^\circ\) avec l’angle de \(40^\circ\) pour obtenir un angle de \(130^\circ\).

Exercice 37 : construire un pentagone régulier
Pour construire un pentagone régulier inscrit dans un cercle de centre O, suivez les étapes suivantes :

1. \[\]Tracer le cercle :\[\]
Soit \( O \) le centre du cercle et \( r \) le rayon. Tracer un cercle de rayon \( r \).

2. \[\]Placer le premier sommet \( A \) :\[\]
Choisir un point \( A \) sur le cercle. Ce sera le premier sommet du pentagone régulier.

3. \[\]Calculer la longueur du côté du pentagone :\[\]
La formule pour calculer la longueur \( s \) du côté d’un pentagone régulier inscrit dans un cercle de rayon \( r \) est :
\[
s = r \cdot \sqrt{5 – 2\sqrt{5}}
\]

4. \[\]Placer les autres sommets :\[\]
Puisque le pentagone est régulier, les angles au centre correspondants aux côtés sont égaux.
Chacun de ces angles mesure :
\[
\theta = \frac{2\pi}{5} = 72^\circ
\]

5. \[\]Construction des sommets \( B, C, D, E \) :\[\]
– Tracer le segment \( OA \).
– Utiliser un rapporteur pour mesurer un angle de \( 72^\circ \) avec \( O \) comme sommet et \( OA \) comme un des côtés de l’angle.
– Marquer ce point comme étant \( B \).
– Répéter cette opération en utilisant \( OB \) pour obtenir \( C \), \( OC \) pour obtenir \( D \), et \( OD \) pour obtenir \( E \).

6. \[\]Finaliser le polygone :\[\]
Connecter les points \( A, B, C, D, \) et \( E \) avec des segments de droite pour former le pentagone régulier \( ABCDE \).

\[
\begin{align*}
1. \quad \text{Tracer un cercle de centre } O \text{ et de rayon } r. \\
2. \quad \text{Placer un point } A \text{ sur le cercle.} \\
3. \quad \text{Déterminer l’angle au centre de } 72^\circ. \\
4. \quad \text{Placer les autres points } B, C, D, \text{ et } E \text{ en tournant autour du cercle de } 72^\circ \text{ chaque fois.} \\
5. \quad \text{Connecter les points pour former le pentagone régulier } ABCDE.
\end{align*}
\]

Exercice 38 : problème avec un écran radar
Les informations sur les avions R, T, S et A se trouvent grâce aux coordonnées polaires indiquées dans le document.

1. Avion R :
– Angle \(IOR = 25^\circ\)
– Distance à \(O = 5 \, \text{km}\)

2. Avion T :
– Angle \(IOT = 70^\circ\)
– Distance à \(O = 10 \, \text{km}\)

3. Avion S :
– Angle \(IOS = 90^\circ\)
– Distance à \(O = 8 \, \text{km}\)

Pour l’avion A, les coordonnées polaires sont déjà données :
– Angle \(IOA = 128^\circ\)
– Distance à \(O = 10 \, \text{km}\)

Nous allons placer les avions sur l’écran de radar en utilisant les coordonnées polaires précédemment trouvées.

\[
\begin{array}{l}
\text{Avion R : (25^\circ, 5 \, \text{km})} \\
\text{Avion T : (70^\circ, 10 \, \text{km})} \\
\text{Avion S : (90^\circ, 8 \, \text{km})} \\
\text{Avion A : (128^\circ, 10 \, \text{km})}
\end{array}
\]

Pour inscrire l’avion A sur l’écran de radar (doc. 2), on peut convertir les coordonnées polaires en coordonnées cartésiennes si nécessaire. Cependant, étant donné que nous avons un radar polaire, nous plaçons simplement chaque avion en respectant les angles et les distances sur le radar.

Exercice 39 : problème du géomètre
Soit le triangle \( \triangle AGT \) avec les données suivantes :
– \( GA = 150 \, \text{m} \)
– \( GT = 120 \, \text{m} \)
– \( \angle AGT = 70^\circ \)

Nous voulons estimer la distance \( AT \).

Utilisons le théorème du cosinus pour déterminer \( AT \).

Le théorème du cosinus dans un triangle \( \triangle ABC \) (où \( a \), \( b \), et \( c \) sont les longueurs des côtés opposés aux angles \( A \), \( B \), et \( C \)) est donné par :
\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos(C) \]

Dans notre cas :
– \( a = GA = 150 \, \text{m} \)
– \( b = GT = 120 \, \text{m} \)
– \( C = \angle AGT = 70^\circ \)
– \( c = AT \)

Appliquons la formule :
\[
AT^2 = GA^2 + GT^2 – 2 \cdot GA \cdot GT \cdot \cos(\angle AGT)
\]

Substituons les valeurs :
\[
AT^2 = 150^2 + 120^2 – 2 \cdot 150 \cdot 120 \cdot \cos(70^\circ)
\]

Calculons chaque terme séparément :
\[
150^2 = 22500
\]
\[
120^2 = 14400
\]
\[
2 \cdot 150 \cdot 120 = 36000
\]

Ensuite, trouvons \(\cos(70^\circ)\). La valeur approximative est :
\[
\cos(70^\circ) \approx 0.342
\]

Donc :
\[
36000 \cdot 0.342 = 12312
\]

Maintenant, substituons dans l’équation :
\[
AT^2 = 22500 + 14400 – 12312
\]
\[
AT^2 = 24588
\]

Enfin, prenons la racine carrée pour trouver \( AT \) :
\[
AT = \sqrt{24588} \approx 157 \, \text{m}
\]

La distance estimée entre l’arbre \( A \) et la tour \( T \) est donc environ \( 157 \, \text{m} \).

Exercice 40 : mesurer des angles avec le rapporteur
L’énoncé original et les valeurs des angles ne sont pas indiqués clairement dans l’image fournie, mais il semble que l’exercice consiste à calculer les mesures des angles complémentaires. Voici la correction en trois étapes :

1. \[\]Indiquer les valeurs des angles\[\] (écrites à partir de la géométrie et de l’image):
– Pour chaque angle, nous utilisons la somme des angles dans une ligne droite, qui est \(180^\circ\).

2. \[\]Calculs pour chaque paire d’angles\[\]:
– Pour chaque forme, vérifions que la somme des angles adjacent est bien \(180^\circ\).

Voici le résultat en LaTeX :

« `latex

\underline{Première figure} : \\
Soit les angles \( \theta_1 \) et \( \theta_2 \), nous avons : \\
\[
\theta_1 + \theta_2 = 180^\circ
\]

\underline{Deuxième figure} : \\
Soit les angles \( \theta_3 \) et \( \theta_4 \), nous avons : \\
\[
\theta_3 + \theta_4 = 180^\circ
\]

\underline{Troisième figure} : \\
Soit les angles \( \theta_5 \) et \( \theta_6 \), nous avons : \\
\[
\theta_5 + \theta_6 = 180^\circ
\]

\underline{Quatrième figure} : \\
Soit les angles \( \theta_7 \) et \( \theta_8 \), nous avons : \\
\[
\theta_7 + \theta_8 = 180^\circ
\]

\underline{Cinquième figure} : \\
Soit les angles \( \theta_9 \) et \( \theta_{10} \), nous avons : \\
\[
\theta_9 + \theta_{10} = 180^\circ
\]

\underline{Sixième figure} : \\
Soit les angles \( \theta_{11} \) et \( \theta_{12} \), nous avons : \\
\[
\theta_{11} + \theta_{12} = 180^\circ
\]

« `

Remarque : Pour une correction plus précise, il est nécessaire de connaître les valeurs exactes des angles ou les détails de l’exercice fourni. L’image n’indiquant pas ces valeurs, cette généricité est utilisée.

Exercice 41 : tracer des angles avec le rapporteur
Les angles marqués sont les mesures des angles extérieurs des angles droits donnés. Sachant que la somme des angles extérieurs d’un angle droit (sur une ligne droite) est toujours de \(180^\circ\), nous pouvons trouver les angles manquants comme suit :

Pour \(A\):
\[ x + 43^\circ = 180^\circ \]
\[ x = 180^\circ – 43^\circ \]
\[ x = 137^\circ \]

Pour \(B\):
\[ y + 35^\circ = 180^\circ \]
\[ y = 180^\circ – 35^\circ \]
\[ y = 145^\circ \]

Pour \(C\):
\[ z + 130^\circ = 180^\circ \]
\[ z = 180^\circ – 130^\circ \]
\[ z = 50^\circ \]

Pour \(D\):
\[ w + 76^\circ = 180^\circ \]
\[ w = 180^\circ – 76^\circ \]
\[ w = 104^\circ \]

Pour \(E\):
\[ t + 159^\circ = 180^\circ \]
\[ t = 180^\circ – 159^\circ \]
\[ t = 21^\circ \]

Les corrections des différentes mesures sont donc :

\[
\begin{align*}
x = 137^\circ \\
y = 145^\circ \\
z = 50^\circ \\
w = 104^\circ \\
t = 21^\circ \\
\end{align*}
\]