Exercice 1 : médiatrice d’un segment et justification
La médiatrice d’un segment est la droite qui le coupe perpendiculairement en son milieu.
a) Non, la droite (d) n’est pas la médiatrice de [AB].
– Justification : La droite (d) est perpendiculaire à [AB] mais ne coupe pas [AB] en son milieu.
b) Oui, la droite (d) est la médiatrice de [AB].
– Justification : La droite (d) est perpendiculaire à [AB] et le coupe en son milieu.
c) Non, la droite (d) n’est pas la médiatrice de [AB].
– Justification : La droite (d) est perpendiculaire à [AB] mais ne coupe pas [AB] en son milieu.
d) Non, la droite (d) n’est pas la médiatrice de [AB].
– Justification : La droite (d) n’est pas perpendiculaire à [AB].
e) Non, la droite (d) n’est pas la médiatrice de [AB].
– Justification : La droite (d) est perpendiculaire à [AB] mais ne coupe pas [AB] en son milieu.
En résumé, seule l’image b) représente le cas où la droite (d) est la médiatrice de [AB].
Exercice 2 : médiatrice et droite parallèles.
1. Soient ,
et
trois points alignés dans cet ordre tels que
cm et
cm. On place ces points sur une droite, où
est entre
et
.
2. La médiatrice du segment
passe par le point milieu
de
et est perpendiculaire à
. Le point
a pour coordonnées :
La médiatrice de
est donc la droite verticale passant par
.
De même, la médiatrice du segment
passe par le point milieu
de
et est perpendiculaire à
. Le point
a pour coordonnées :
La médiatrice de
est donc la droite verticale passant par
.
3. Les médiatrices et
sont toutes deux des droites verticales, car elles sont définies par les points milieux
et
perpendiculaires aux segments horizontaux
et
respectivement.
Toute droite verticale a une équation de la forme , où
est une constante. La médiatrice
a pour équation
et la médiatrice
a pour équation
.
Puisque ces deux droites ont la forme , elles sont parallèles.
Conclusion : les médiatrices et
sont parallèles.
Exercice 3 : médiatrice et calcul de longueur.
1) La droite est la médiatrice du segment
.
Justification :
– La droite coupe le segment
en son milieu (
).
– De plus, l’angle entre et
est de
.
2) Pour trouver la longueur :
Étant donné que est la médiatrice de
, on sait que
est le milieu de
, donc
.
On sait que et que
est l’hypoténuse du triangle rectangle
.
Dans ce triangle rectangle, on utilise le théorème de Pythagore :
Puisque et
, on a
.
Pour trouver , nous devons réorganiser le théorème de Pythagore :
En substituant les valeurs :
Il semble qu’il y a une erreur, car ne peut pas être négatif.
En fait, puisque est perpendiculaire à
et en utilisant les informations correctement, on peut reformuler l’approche.
Notez finalement que en utilisant les correctes notations de Pythagore sur les côtés visibles)._CORRESPOND EXPANDED EQUATIONS.
Ainsi :
Exercice 4 : médiatrice et démonstration.
1)
Démontrons que les points et
sont sur la médiatrice de
.
Pour qu’un point soit sur la médiatrice d’un segment, il doit être équidistant des extrémités de ce segment.
Par l’énoncé et la figure, nous savons que :
Ainsi, les distances et
sont égales, donc
est à égale distance des points
et
. Cela signifie que le point
appartient à la médiatrice de
.
De même, les distances et
sont égales, donc
est à égale distance des points
et
. Cela signifie que le point
appartient également à la médiatrice de
.
Donc, les points et
sont bien sur la médiatrice de
.
2)
Que représente la droite pour le segment
?
Puisque et
sont sur la médiatrice de
, la droite
est la médiatrice du segment
.
Exercice 5 : construction de médiatrices
Soit un segment $[AB]$ de longueur 5 cm.
Nous construisons la médiatrice de ce segment $[AB]$ en utilisant une règle et un compas.
En utilisant la médiatrice, nous trouvons le milieu $I$ du segment $[AB]$.
Plaçons un point $C$ sur la médiatrice.
La nature du triangle $ABC$ est isocèle. En effet, par définition de la médiatrice, tout point de la médiatrice est équidistant des extrémités du segment qu’elle divise. Ainsi, $C$ est équidistant de $A$ et $B$, ce qui signifie que $CA = CB$. Donc le triangle $ABC$ est isocèle en $C$.
Exercice 6 : construction de triangle et médiatrice
1. Dessiner un triangle .
2. Pour construire la médiatrice du segment :
– Prendre un compas et ouvrir à une longueur plus grande que la moitié de .
– Placer la pointe sèche du compas sur le point et tracer un arc de cercle passant par le segment
.
– Sans changer l’ouverture du compas, placer la pointe sèche sur le point et tracer un autre arc de cercle coupant le premier.
– Les points d’intersection des deux arcs de cercle sont les points par lesquels passe la médiatrice.
3. Tracer la droite passant par ces deux points d’intersection. Cette droite est la médiatrice de .
4. Répéter les étapes 2 et 3 pour les segments et
:
– Pour :
Ouvrir le compas à une longueur plus grande que la moitié de .
Tracer des arcs de cercle à partir des points et
.
Relier les points d’intersection des arcs pour obtenir la médiatrice de .
– Pour :
Ouvrir le compas à une longueur plus grande que la moitié de .
Tracer des arcs de cercle à partir des points et
.
Relier les points d’intersection des arcs pour obtenir la médiatrice de .
5. Les trois médiatrices se coupent en un point appelé le centre du cercle circonscrit au triangle .
En LaTeX, la rédaction correcte serait :
Exercice 7 : triangle rectangle et médiatrices
1. : » align= »absmiddle » />
– Dessiner le segment tel que
.
– À partir du point , tracer un segment
perpendiculaire à
tel que
.
– Joindre les points et
pour former le triangle
.
2.
– : » align= »absmiddle » /> La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu.
– Trouver le milieu de , soit
, tel que
.
– Tracer la droite passant par et perpendiculaire à
.
– : » align= »absmiddle » />
– Trouver le milieu de , soit
, tel que
.
– Tracer la droite passant par et perpendiculaire à
.
3.
– Les médiatrices des segments et
se coupent au milieu de l’hypoténuse
et à égale distance des trois sommets
,
et
. Ce point est le centre du cercle circonscrit au triangle
.
En synthèse en utilisant :
Exercice 8 : jusitifier si un point est sur la médiatrice
a. Pour vérifier si appartient à la médiatrice du segment
, il faut que
soit équidistant des points
et
. Sur la figure, les longueurs
et
ne sont pas égales. Donc,
n’appartient pas à la médiatrice de
.
b. Pour vérifier si appartient à la médiatrice du segment
, il faut d’abord que
soit équidistant des points
et
(donc
), et que la droite passant par
soit perpendiculaire au segment
. Sur la figure,
et la droite passant par
est perpendiculaire à
. Donc,
appartient à la médiatrice de
.
c. Sur cette figure, le point respecte la condition d’équidistance,
, puisque les segments
et
sont marqués comme étant de même longueur. Cependant, comme
n’est pas sur une ligne perpendiculaire à
,
n’appartient pas à la médiatrice de
.
d. Enfin, pour cette figure, n’est ni équidistant de
et
(car
), ni la ligne passant par
est perpendiculaire à
. Donc,
n’appartient pas à la médiatrice de
.
Exercice 9 : médiatrice d’un quadrilatère
a. Construction des médiatrices :
1. Médiane de :
Le segment a pour coordonnées
et
.
Le milieu de
a pour coordonnées :
Soit .
2. Médiane de :
Le segment a pour coordonnées
et
.
Le milieu de
a pour coordonnées :
Les médiatrices passent par leurs milieux et sont perpendiculaires aux segments correspondants. Pour esquisser la médiatrice, tracer les lignes passant par ces milieux perpendiculairement aux segments et
.
b. Que peut-on dire du point ?
Le point semble être situé de manière telle que les segments
et
sont des diagonales du quadrilatère
. Si ces médiatrices se rencontrent exactement à ce point,
serait un point équidistant des sommets correspondants d’où les médiatrices sont passées, mais il n’y a pas assez d’information pour confirmer si c’est le cas ici.
Exercice 10 : tracer la médiatrice d’un segment à la règle et au compas
Tracer le segment de
.
Placer la pointe sèche du compas sur et dessiner un arc de cercle de rayon légèrement supérieur à la moitié de
.
Répéter l’opération en plaçant la pointe sèche sur pour obtenir deux arcs qui se coupent.
Appeler et
les points d’intersection des deux arcs.
Tracer la médiatrice , qui est perpendiculaire à
et la coupe en son milieu.
Tracer le segment de
.
Placer la pointe sèche du compas sur et dessiner un arc de cercle de rayon légèrement supérieur à la moitié de
.
Répéter l’opération en plaçant la pointe sèche sur pour obtenir deux arcs qui se coupent.
Appeler et
les points d’intersection des deux arcs.
Tracer la médiatrice , qui est perpendiculaire à
et la coupe en son milieu.
Tracer le segment de
.
Placer la pointe sèche du compas sur et dessiner un arc de cercle de rayon légèrement supérieur à la moitié de
.
Répéter l’opération en plaçant la pointe sèche sur pour obtenir deux arcs qui se coupent.
Appeler et
les points d’intersection des deux arcs.
Tracer la médiatrice , qui est perpendiculaire à
et la coupe en son milieu.
Tracer le segment de
.
Placer la pointe sèche du compas sur et dessiner un arc de cercle de rayon légèrement supérieur à la moitié de
.
Répéter l’opération en plaçant la pointe sèche sur pour obtenir deux arcs qui se coupent.
Appeler et
les points d’intersection des deux arcs.
Tracer la médiatrice , qui est perpendiculaire à
et la coupe en son milieu.
Tracer le segment de
.
Placer la pointe sèche du compas sur et dessiner un arc de cercle de rayon légèrement supérieur à la moitié de
.
Répéter l’opération en plaçant la pointe sèche sur pour obtenir deux arcs qui se coupent.
Appeler et
les points d’intersection des deux arcs.
Tracer la médiatrice , qui est perpendiculaire à
et la coupe en son milieu.
Tracer le segment de
.
Placer la pointe sèche du compas sur et dessiner un arc de cercle de rayon légèrement supérieur à la moitié de
.
Répéter l’opération en plaçant la pointe sèche sur pour obtenir deux arcs qui se coupent.
Appeler et
les points d’intersection des deux arcs.
Tracer la médiatrice , qui est perpendiculaire à
et la coupe en son milieu.
Exercice 11 : exercice de justification
Le raisonnement de Noam comporte plusieurs erreurs. Voici les corrections et explications :
1. La droite est-elle la médiatrice du segment
?
Pour qu’une droite soit la médiatrice d’un segment, elle doit le couper perpendiculairement en son milieu. Si la droite est effectivement la médiatrice de
, alors
et
Sur la figure, la seule information donnée est que la droite passe par le point \emph{milieu}
de
. Il n’est pas précisé que cette droite soit perpendiculaire à
. Il est donc incorrect de conclure que
est la médiatrice de
sans cette information.
2. La droite est-elle la médiatrice du segment
?
Pour montrer que est la médiatrice de
, il faudrait prouver que
et que la droite
coupe
en son milieu perpendiculairement.
Sur la figure, Noam indique que et
, ce qui signifie que les segments
et
sont effectivement de longueur égale, ce qui est correct et justifie que
est à égale distance de
et
. Cela nous permet de dire que
se trouve sur la médiatrice de
.
Cependant, pour que soit la médiatrice de
, il faut également que
passe par le milieu de
et soit perpendiculaire à
. De la figure, nous ne pouvons pas conclure que
se trouve au milieu de
ou que la droite
est perpendiculaire à
. Par conséquent, il est incorrect de certifier que
est la médiatrice de
uniquement avec les informations fournies.
En conclusion :
Le raisonnement de Noam manque de rigueur parce qu’il n’a pas vérifié toutes les conditions nécessaires à une droite pour être la médiatrice d’un segment. Pour la médiatrice de , il manque la vérification de la perpendicularité. Pour la médiatrice de
, il manque la vérification du passage par le milieu.
Exercice 12 : tracer la médiatrice d’un segment avec le compas
Pour tracer la médiatrice d’un segment, voici la démarche à suivre :
1. Placez la pointe sèche du compas à l’une des extrémités du segment et ouvrez-le à une longueur supérieure à la moitié du segment.
2. Tracez un arc de cercle de chaque côté du segment.
3. Sans changer l’ouverture du compas, placez la pointe sèche à l’autre extrémité du segment et tracez deux arcs qui coupent les premiers arcs.
4. Reliez les points d’intersection des arcs de chaque côté du segment avec une règle. La ligne ainsi tracée est la médiatrice du segment.
Appliquons cette méthode pour chaque segment de l’exercice :
1. de 4.6 unites » align= »absmiddle » /> :
– Soient et
les extrémités du segment
.
– Ajustez le compas à une ouverture supérieure à unités (la moitié de
).
– Tracez des arcs centrés en et
qui se coupent en deux points.
– Reliez ces points d’intersection pour obtenir la médiatrice du segment .
2. de 3.1 unites » align= »absmiddle » /> :
– Soient et
les extrémités du segment
.
– Ajustez le compas à une ouverture supérieure à unités (la moitié de
).
– Tracez des arcs centrés en et
qui se coupent en deux points.
– Reliez ces points d’intersection pour obtenir la médiatrice du segment .
3. de 5.8 unites » align= »absmiddle » /> :
– Soient et
les extrémités du segment
.
– Ajustez le compas à une ouverture supérieure à unités (la moitié de
).
– Tracez des arcs centrés en et
qui se coupent en deux points.
– Reliez ces points d’intersection pour obtenir la médiatrice du segment .
4. de 3.5 unites » align= »absmiddle » /> :
– Soient et
les extrémités du segment
.
– Ajustez le compas à une ouverture supérieure à unités (la moitié de
).
– Tracez des arcs centrés en et
qui se coupent en deux points.
– Reliez ces points d’intersection pour obtenir la médiatrice du segment .
5. de 8.1 unites » align= »absmiddle » /> :
– Soient et
les extrémités du segment
.
– Ajustez le compas à une ouverture supérieure à unités (la moitié de
).
– Tracez des arcs centrés en et
qui se coupent en deux points.
– Reliez ces points d’intersection pour obtenir la médiatrice du segment .
6. de 6.7 unites » align= »absmiddle » /> :
– Soient et
les extrémités du segment
.
– Ajustez le compas à une ouverture supérieure à unités (la moitié de
).
– Tracez des arcs centrés en et
qui se coupent en deux points.
– Reliez ces points d’intersection pour obtenir la médiatrice du segment .
En résumé, la méthode est répétitive : il suffit de suivre cette procédure pour chaque segment donné.
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