Cercle : corrigés des exercices de maths en 6ème.

Exercice 1 : construction de cercles.
La figure est constituée de deux cercles de rayons 4 cm, tangents l’un à l’autre. Entre ces deux cercles, il y a une distance de 2 cm.

Pour vérifier la construction, on peut suivre cette correction :

1. Les rayons des cercles sont 4 cm chacun. Ainsi, le diamètre de chaque cercle est de 8 cm.

2. La distance entre les centres des deux cercles doit être égale à la somme de leurs rayons plus la distance de 2 cm séparant les cercles.

$Distance\,entre\,les\,centres\,=\,4\,\,cm\,%2B\,4\,\,cm\,%2B\,2\,\,cm\,=\,10\,\,cm$

3. On peut représenter cela mathématiquement en termes de coordonnées. Supposons que le centre du cercle rouge est à l’origine $(0%2C\,0)$ de notre système de coordonnées, donc les coordonnées de son centre sont :

$(centre\,rouge)\,=\,(0%2C\,0)$

4. Le centre du cercle bleu se trouve alors à 10 cm de celui du cercle rouge sur l’axe horizontal, soit à :

$(centre\,bleu)\,=\,(10%2C\,0)$

Etant donné que cette construction est en 2D sans déplacement en , les coordonnées restent sur l’axe .

5. Pour dessiner les cercles en respectant les contraintes, nous vérifions leur position et leur taille :
– Cercle rouge : Rayon $=\,4\,\,cm$ , Centre à $(0%2C\,0)$
– Cercle bleu : Rayon $=\,4\,\,cm$ , Centre à $(10%2C\,0)$

La zone jaune est probable d’être une bande enveloppante reliant les deux cercles de l’extérieur.

En résumé, pour construire la figure correctement :

– Dessiner un cercle rouge de 4 cm de rayon centré à $(0%2C\,0)$ .
– Dessiner un cercle bleu de 4 cm de rayon centré à $(10%2C\,0)$ .
– Assurer que l’espace entre les bords de ces deux cercles est exactement de 2 cm mesuré horizontalement.

Ainsi, la construction satisfait à toutes les conditions données dans le problème.

Exercice 2 : cercle et périmètre.
Pour la reproduction de la figure en vraie grandeur, nous savons que le carré en pointillé mesure 6 cm de côté. Les rayons des cercles sont donc aussi égaux à 3 cm, car chaque quart de cercle est inscrit dans un quart de carré.

Pour le calcul du périmètre de la figure :

Chaque côté du carré est encadré par un demi-cercle :

$P_{demi-cercle}\,=\,\pi\,\times \,r\,=\,\pi\,\times \,3$

Il y a 4 demi-cercles dans la figure, donc la longueur totale des arcs est :

$P_{total}\,=\,4\,\times \,(\pi\,\times \,3)$

$P_{total}\,=\,4\,\times \,3\pi$

$P_{total}\,=\,12\pi$

Ainsi, le périmètre total de la figure est :

$12\pi\,\%2C\,cm$

Exercice 3 : construction de cercle et triangles .
1. Tracer un segment de 6 cm.

$\overline{RS}\,=\,6\,\%2C\,cm$

2. Construire les points $A%2C\,B%2C\,C%2C\,D%2C\,E%2C\,F%2C\,G%2C\,H%2C\,I%2C\,J%2C\,K%2C\,L$ tels que :

– Tous les points sont situés à 6 cm de .

$\overline{SA}\,=\,\overline{SB}\,=\,\overline{SC}\,=\,\overline{SD}\,=\,\overline{SE}\,=\,\overline{SF}\,=\,\overline{SG}\,=\,\overline{SH}\,=\,\overline{SI}\,=\,\overline{SJ}\,=\,\overline{SK}\,=\,\overline{SL}\,=\,6\,\%2C\,cm$

– et sont tels que $RA\,=\,RB\,=\,1\,\%2C\,cm$ .

$\overline{RA}\,=\,\overline{RB}\,=\,1\,\%2C\,cm$

– et sont tels que $RC\,=\,RD\,=\,3\,\%2C\,cm$ .

$\overline{RC}\,=\,\overline{RD}\,=\,3\,\%2C\,cm$

– et sont tels que $RE\,=\,RF\,=\,5\,\%2C\,cm$ .

$\overline{RE}\,=\,\overline{RF}\,=\,5\,\%2C\,cm$

– et sont tels que $RG\,=\,RH\,=\,7\,\%2C\,cm$ .

$\overline{RG}\,=\,\overline{RH}\,=\,7\,\%2C\,cm$

– et sont tels que $RI\,=\,RJ\,=\,9\,\%2C\,cm$ .

$\overline{RI}\,=\,\overline{RJ}\,=\,9\,\%2C\,cm$

– et sont tels que $RK\,=\,RL\,=\,11\,\%2C\,cm$ .

$\overline{RK}\,=\,\overline{RL}\,=\,11\,\%2C\,cm$

3. Tracer tous les triangles ayant pour sommets , et l’un des points construits précédemment.

$Triangles\,%3A\,\triangle\,RSA%2C\,\triangle\,RSB%2C\,\triangle\,RSC%2C\,\triangle\,RSD%2C\,\triangle\,RSE%2C\,\triangle\,RSF%2C\,\triangle\,RSG%2C\,\triangle\,RSH%2C\,\triangle\,RSI%2C\,\triangle\,RSJ%2C\,\triangle\,RSK%2C\,\triangle\,RSL$

4. Coder les longueurs égales sur cette figure.

$\overline{SA}$ , $\overline{SB}$ , $\overline{SC}$ , $\overline{SD}$ , $\overline{SE}$ , $\overline{SF}$ , $\overline{SG}$ , $\overline{SH}$ , $\overline{SI}$ , $\overline{SJ}$ , $\overline{SK}$ , $\overline{SL}$ sont toutes égales à $6\,\%2C\,cm$ .

$\overline{RA}\,=\,\overline{RB}\,=\,1\,\%2C\,cm$ ,
$\overline{RC}\,=\,\overline{RD}\,=\,3\,\%2C\,cm$ ,
$\overline{RE}\,=\,\overline{RF}\,=\,5\,\%2C\,cm$ ,
$\overline{RG}\,=\,\overline{RH}\,=\,7\,\%2C\,cm$ ,
$\overline{RI}\,=\,\overline{RJ}\,=\,9\,\%2C\,cm$ ,
$\overline{RK}\,=\,\overline{RL}\,=\,11\,\%2C\,cm$ .

Exercice 4 : construire un cercle donné
1. Placer un point sur la feuille. Tracer le cercle de centre et de rayon cm.
2. Tracer le cercle de centre et de diamètre cm.

Correction :

1. Placer un point sur la feuille :

$Point\,\,O(0%2C0)$

2. Tracer le cercle de centre et de rayon cm :

L’équation d’un cercle de centre et de rayon cm est :

$x^2\,%2B\,y^2\,=\,3^2$

3. Tracer le cercle de centre et de diamètre cm :

Le rayon d’un cercle étant la moitié de son diamètre, pour un diamètre de cm, le rayon est $\frac{5}{2}\,=\,2%2C5$ cm. L’équation du cercle de centre et de rayon cm est :

$x^2\,%2B\,y^2\,=\,2.5^2$

Exercice 5 : construction d’un cercle
1. Placer sur la feuille deux points et distants de $4\,\%2C\,cm$ .

2. Tracer le cercle de centre passant par .

Le rayon du cercle est la distance entre les points et .

$Rayon\,=\,4\,\%2C\,cm$

Le diamètre du cercle est deux fois le rayon.

$Diametre\,=\,2\,\times \,4\,\%2C\,cm\,=\,8\,\%2C\,cm$

Exercice 6 : segments et cercle
1. Soit un segment tel que et sont ses extrémités. On place , le milieu de , de sorte que $PH\,=\,HQ$ .

2. On trace le cercle de centre et de rayon (ou , car $HP\,=\,HQ$ ).

3. Le segment est un diamètre de ce cercle. En effet, puisque est le centre du cercle et le milieu de , la distance est égale à $2\,\times \,HP$ . Donc passe par le centre et ses deux extrémités sont sur le cercle, ce qui en fait un diamètre.

Exercice 7 : tracer un cercle
1. Tracer un segment , puis le cercle de centre passant par .

– Tracer le segment avec les points et .
– Utiliser comme centre, puis déterminer la distance comme rayon pour tracer le cercle.

$Cercle\,de\,centre\,\,E\,\,et\,de\,rayon\,\,EF.$

2. Tracer le cercle de centre et de rayon .

– Utiliser comme centre, puis la distance comme rayon pour dessiner le cercle.

$Cercle\,de\,centre\,\,F\,\,et\,de\,rayon\,\,EF.$

Exercice 8 : problème et construction de cercle
1. Soit un point du plan. Tracer le cercle $\varphi$ de centre et de rayon 2 cm.

2. Placer les points $E%2C\,F%2C\,G%2C\,H$ tels que :

$AE\,=\,4\,\,cm%2C\,\\,AF\,=\,2%2C1\,\,cm%2C\,\\,AG\,=\,2\,\,cm%2C\,\\,AH\,=\,1%2C5\,\,cm.$

3. Indiquer si chaque point $A%2C\,E%2C\,F%2C\,G%2C\,H$ appartient ou non au cercle $\varphi$ .

Pour déterminer si un point appartient au cercle $\varphi$ de centre et de rayon 2 cm, nous devons vérifier si la distance est égale au rayon du cercle, soit 2 cm.

– Le point est le centre du cercle, il appartient donc par définition au cercle $\varphi$ .

– Pour le point , $AE\,=\,4\,\,cm$ . Comme $AE\,>\,2\,\,cm%C2%A0%C2%BB\,align=%C2%A0%C2%BBabsmiddle%C2%A0%C2%BB\,%2F>%2C\,le\,point\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FE%22\,alt=%22E$ n’appartient pas au cercle $\varphi$ .

– Pour le point , $AF\,=\,2%2C1\,\,cm$ . Comme $AF\,>\,2\,\,cm%C2%A0%C2%BB\,align=%C2%A0%C2%BBabsmiddle%C2%A0%C2%BB\,%2F>%2C\,le\,point\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FF%22\,alt=%22F$ n’appartient pas au cercle $\varphi$ .

– Pour le point , $AG\,=\,2\,\,cm$ . Comme $AG\,=\,2\,\,cm$ , le point appartient au cercle $\varphi$ .

– Pour le point , $AH\,=\,1%2C5\,\,cm$ . Comme $AH\,%3C\,2\,\,cm$ , le point n’appartient pas au cercle $\varphi$ .

Donc, les points qui appartiennent au cercle $\varphi$ sont et . Les points $E%2C\,F$ et n’appartiennent pas au cercle $\varphi$ .

Exercice 9 : problème sur le cercle et le tracé de corde

Tracer un cercle de centre O et une corde comme ci-dessous.

Représentation graphique:
$\begin{tikzpicture}%0D%0A\draw\,(0%2C0)\,circle\,(2\,cm)%3B%0D%0A\draw%5Bthick%5D\,(-45%3A2\,cm)\,coordinate\,(A)\,node%5Bbelow%5D\,{A}\,--\,(45%3A2\,cm)\,coordinate\,(B)\,node%5Bbelow%5D\,{B}%3B%0D%0A\node\,at\,(0%2C0)\,%5Babove%5D\,{O}%3B%0D%0A\end{tikzpicture}$

Tracer une corde de façon que le point O soit à l’intérieur du triangle $\triangle\,ABC$ .

Solution:
$\begin{tikzpicture}%0D%0A\draw\,(0%2C0)\,circle\,(2\,cm)%3B%0D%0A\draw%5Bthick%5D\,(-45%3A2\,cm)\,coordinate\,(A)\,node%5Bbelow%5D\,{A}\,--\,(45%3A2\,cm)\,coordinate\,(B)\,node%5Bbelow%5D\,{B}%3B%0D%0A\node\,at\,(0%2C0)\,%5Babove%5D\,{O}%3B%0D%0A\draw%5Bthick%5D\,(B)\,--\,(170%3A2\,cm)\,coordinate\,(C)\,node%5Bleft%5D\,{C}%3B%0D%0A\draw%5Bthick%5D\,(A)\,--\,(C)%3B%0D%0A\end{tikzpicture}$
Dans cette configuration, le point O est à l’intérieur du triangle $\triangle\,ABC$ .

Tracer une corde de façon que le point O soit à l’extérieur du triangle $\triangle\,ABE$ .

Solution:
$\begin{tikzpicture}%0D%0A\draw\,(0%2C0)\,circle\,(2\,cm)%3B%0D%0A\draw%5Bthick%5D\,(-45%3A2\,cm)\,coordinate\,(A)\,node%5Bbelow%5D\,{A}\,--\,(45%3A2\,cm)\,coordinate\,(B)\,node%5Bbelow%5D\,{B}%3B%0D%0A\node\,at\,(0%2C0)\,%5Babove%5D\,{O}%3B%0D%0A\draw%5Bthick%5D\,(B)\,--\,(80%3A2\,cm)\,coordinate\,(E)\,node%5Babove%5D\,{E}%3B%0D%0A\draw%5Bthick%5D\,(A)\,--\,(E)%3B%0D%0A\end{tikzpicture}$
Dans cette configuration, le point O est à l’extérieur du triangle $\triangle\,ABE$ .

Exercice 10 : vocabulaire du cercle
a.
1. Le segment est un rayon du cercle.
2. Le segment est un diamètre du cercle.

b.
1. Le point est le milieu du .
2. Le point est une extrémité du .
3. Le point est le du cercle.
4. et sont les du diamètre .
5. La portion de cercle comprise entre les points et est l’ .

Exercice 11 : complèter le tableau
a.
Un rayon de chaque cercle est :
– Pour le cercle $(\mathcal{C}_1)$ : $\overline{MA}$
– Pour le cercle $(\mathcal{C}_2)$ : $\overline{NB}$
– Pour le cercle $(\mathcal{C}_3)$ : $\overline{OE}$

b.
En utilisant une règle, les mesures des rayons et diamètres peuvent être faites comme suit. (Ces valeurs peuvent varier légèrement en fonction de la précision des mesures.) Voici la reproduction du tableau complété :

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0ACercle\,%26\,Centre\,%26\,Rayon\,%26\,Diametre\,\\%0D%0A\hline%0D%0A(\mathcal{C}_1)\,%26\,M\,%26\,\overline{MA}\,=\,3\,\,cm\,%26\,2\,\times \,3\,\,cm\,=\,6\,\,cm\,\\%0D%0A\hline%0D%0A(\mathcal{C}_2)\,%26\,N\,%26\,\overline{NB}\,=\,1.5\,\,cm\,%26\,2\,\times \,1.5\,\,cm\,=\,3\,\,cm\,\\%0D%0A\hline%0D%0A(\mathcal{C}_3)\,%26\,O\,%26\,\overline{OE}\,=\,4\,\,cm\,%26\,2\,\times \,4\,\,cm\,=\,8\,\,cm\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Exercice 12 : a partir d’un carré
Correction de l’exercice :

a. Construction du carré ABCD :

1. Dessinons le carré ABCD de côté $8\,\%2C\,cm$ et de centre O.
2. Utiliser un compas et une règle pour tracer les segments , , et de longueur $8\,\%2C\,cm$ , avec les coordonnées de O trouvées à l’intersection des diagonales.

b. Placement des points I, J, K et L :

1. Les points I, J, K et L sont les milieux des segments , , et respectivement.
2. Étant donné que le côté du carré mesure $8\,\%2C\,cm$ , les milieux des côtés se situeront à $4\,\%2C\,cm$ de chaque extrémité.

c. Tracé des cercles :

1. $(\mathcal{C}_1)$ est un cercle de centre O passant par A. Le rayon de ce cercle est donc la distance OA, qui est la moitié de la diagonale du carré.
$OA\,=\,\frac{8\sqrt{2}}{2}\,=\,4\sqrt{2}\,\%2C\,cm$
Le cercle $(\mathcal{C}_1)$ a pour équation :
$(\,x\,-\,0\,)^2\,%2B\,(\,y\,-\,0\,)^2\,=\,(4\sqrt{2})^2$
$x^2\,%2B\,y^2\,=\,32$

2. $(\mathcal{C}_2)$ est un cercle de centre O et de rayon $2%2C5\,\%2C\,cm$ . L’équation de ce cercle est :
$(\,x\,-\,0\,)^2\,%2B\,(\,y\,-\,0\,)^2\,=\,2%2C5^2$
$x^2\,%2B\,y^2\,=\,6%2C25$

3. $(\mathcal{C}_3)$ dont est un diamètre. La longueur de est égale à la moitié du côté du carré multiplié par $\sqrt{2}$ (car est centre du carré, et est la moitié de la diagonale).
$OD\,=\,\frac{8\sqrt{2}}{2}\,=\,4\sqrt{2}\,\%2C\,cm$
Le diamètre du cercle $(\mathcal{C}_3)$ est $4\sqrt{2}\,\%2C\,cm$ , donc son rayon est $2\sqrt{2}\,\%2C\,cm$ . L’équation de ce cercle est :
$(\,x\,-\,0\,)^2\,%2B\,(\,y\,-\,0\,)^2\,=\,(2\sqrt{2})^2$
$x^2\,%2B\,y^2\,=\,8$

Exercice 13 : reproduire cette figure
Pour reproduire la figure sur le quadrillage, suivez les étapes suivantes :

1. Tracez un cercle de rayon 4 unités qui est centré sur l’origine.
2. Divisez le cercle en 6 parties égales, chaque angle de division étant de $60^\circ$ .
3. Tracez trois courbes en forme de segments de cercle entre les divisions telles qu’elles créent les motifs de pales de moulin à vent.

Chaque section peut être décrite comme une portion de trois cercles plus petits qui sont tangents entre eux et au cercle principal. Voici comment créer chacune de ces pales :

– La première pale est centrée à l’intersection du rayon et du cercle principal, se prolonge selon les angles données par la division des $60^\circ$ .
– Répétez la construction en chaque intersection similaire en tournant les angles selon la symétrie du cercle.

L’équidistancement et la symétrie radiale du cercle simplifie cette tâche. Veillez à la précision des angles et des longueurs selon le quadrillage.

Ainsi, l’important est de respecter les proportions et les angles qui vont diviser la figure initiale en motifs égaux de manière symétrique autour du cercle principal.

Voici une expression LaTeX des étapes (bien que l’illustration soit essentielle pour cette tâche de reproduction graphique) :

« `latex
\documentclass{article}
\usepackage{tikz}
\begin{document}

\begin{tikzpicture}
% Cercle principal
\draw[thick] (0,0) circle (4);

% Lignes de division
\foreach \a in {0,60,…,300} {
\draw[thick] (0,0) — (\a:4);
}

% Courbes internes (pales)
\foreach \a in {0,120,240} {
\draw[fill=purple!30]
(\a:4) arc[start angle=\a, end angle=\a+60, radius=4]
— (\a+60+30:2*3.463) arc[start angle=\a+60+30, end angle=\a+30, radius=2*3.463]
— cycle;
}
\end{tikzpicture}

\end{document}
« `

Notez que la coordonnée $\a$ dans `\foreach` boucle sur chaque angle de division par $60^\circ$ , et la courbe suit la correspondance pour maintenir la symétrie.

Exercice 14 : reproduire chaque figure en vraie grandeur
\begin{center}
Correction de l’exercice
\end{center}

Pour chaque figure ci-dessus, nous devons déterminer les diamètres des cercles en utilisant les mesures données.

Figure (a):

On a un grand cercle avec un diamètre de $4\,cm$ . Un deuxième cercle a un diamètre de $2%2C6\,cm$ .

Les deux cercles sont séparés par une distance commune, équidistante du bord du grand cercle :
$Distance\,totale\,=\,4\,cm\,%2B\,1%2C3\,cm\,=\,5%2C3\,cm$
$1%2C3\,cm\,\,est\,la\,moitie\,du\,diametre\,du\,cercle\,de\,2%2C6\,cm\,(donc\,le\,rayon).$

\begin{center}
\includegraphics{1a.png}
\end{center}

Figure (b):

On a deux cercles qui se chevauchent.

$Diametre\,du\,grand\,cercle\,=\,6\,cm$
$Diametre\,du\,petit\,cercle\,=\,2\,cm$

Les cercles sont placés à l’intérieur l’un de l’autre. La distance entre les centres est identique au rayon du grand cercle de \text{6 cm} (soit 3cm) plus la moitié du diamètre du petit cercle (1 cm) :
$3\,cm\,%2B\,1\,cm\,=\,4\,cm$

Figure (c):

Deux grands cercles ayant des diamètres respectivement de $3%2C5\,cm$ et de $5\,cm$ .

Ils sont espacés de $3%2C5\,cm$ du bord du grand cercle, la mesure indique alors ce positionnement propre et synchrone :
$Distance\,totale\,=\,3%2C5\,cm\,%2B\,5\,cm\,=\,8%2C5\,cm$

Cela donne une eine parfaite symétrie entre décalages.

\begin{center}
\includegraphics{1c.png}
\end{center}

Ainsi nous avons terminé la construction de chaque figure avec des diamètres réels respectifs.

Exercice 15 : reproduire chaque figure
$Pour\,la\,figure\,a%3A$

La figure a est composée de plusieurs cercles emboîtés. Tous les cercles semblent avoir une même dimension, sauf un cercle vert plus grand qui englobe tous les autres.

$Les\,cercles\,verts\,ont\,des\,rayons\,successifs\,comme\,suit\,%3A$

Radius de chaque petit cercle blanc:
$R_{petit}\,=\,2\,\%2C\,cm$

Il y a 5 petits cercles blancs en alignement. Le rayon du grand cercle vert est donc :
$R_{grand}\,=\,2\,\times \,5\,=\,10\,\%2C\,cm$

Les petits cercles sont tous identiques et ont un rayon de 2 cm.

$Pour\,la\,figure\,b%3A$

La figure b est constituée d’un croissant formé par la soustraction d’un cercle plus petit à partir d’un cercle plus grand.

Le diamètre du grand cercle :
$D_1\,=\,4.6\,\%2C\,cm$
$R_1\,=\,\frac{D_1}{2}\,=\,2.3\,\%2C\,cm$

Le diamètre du petit cercle est la moitié de celui du grand cercle:
$R_2\,=\,\frac{R_1}{2}\,=\,\frac{2.3}{2}\,=\,1.15\,\%2C\,cm$

En résumant, pour créer les croquis en vraie grandeur :

1. Dessinez cinq cercles blancs alignés, chacun avec un rayon de 2 cm
2. Dessinez un cercle vert englobant les cinq cercles blancs, avec un rayon de 10 cm
3. Dessinez un grand cercle de 4.6 cm de diamètre
4. Soustrayez un cercle de rayon de 1.15 cm pour obtenir le croissant de la figure b.

Exercice 16 : programme de construction
1. Tracer un segment tel que $AB\,=\,4%2C4\,\%2C\,cm$ .

$Segment\,\,%5BAB%5D\,%3A\,AB\,=\,4%2C4\,\%2C\,cm$

2. Prendre un point sur ce segment tel que $AO\,=\,OB$ .

3. Avec comme centre et un rayon ou , tracer un cercle.

4. Placer un point sur le cercle tel que $AM\,=\,3%2C5\,\%2C\,cm$ .

$Point\,\,M\,%3A\,AM\,=\,3%2C5\,\%2C\,cm$

5. Tracer les segments et pour former le triangle AMC .

6. Le point est l’intersection des droites venant de et qui ne se trouve pas sur .

$Intersection\,\,C\,%3A\,C\,\in\,droites\,de\,\,A\,\,et\,\,M$

Le résultat final est un triangle AMC inscrit dans un cercle de centre avec $AB\,=\,4%2C4\,\%2C\,cm$ et $AM\,=\,3%2C5\,\%2C\,cm$ .

Exercice 17 : oeil du cyclone
a. Trace un segment de longueur $3%2C5\,\%2C\,cm$ .

b. Les points situés à moins de $2%2C5\,\%2C\,cm$ du point et à plus de $2%2C5\,\%2C\,cm$ du point sont situés dans un cercle de centre et de rayon $2%2C5\,\%2C\,cm$ (à l’exception des points sur le segment après les $3%2C5\,\%2C\,cm\,-\,2%2C5\,\%2C\,cm\,=\,1\,\%2C\,cm$ ). Donc, ces points forment un arc de cercle autour de , excluant une partie proche de .

c. Les points situés à plus de $2%2C5\,\%2C\,cm$ du point et à moins de $2%2C5\,\%2C\,cm$ du point forment un arc de cercle autour de (à l’exception des points sur le segment avant les $3%2C5\,\%2C\,cm\,-\,2%2C5\,\%2C\,cm\,=\,1\,\%2C\,cm$ ).

d. Le milieu du segment se situe à égale distance des deux points et , ce qui signifie qu’il se trouve à $\frac{3%2C5\,\%2C\,cm}{2}\,=\,1%2C75\,\%2C\,cm$ de chaque côté. Par conséquent, il se situe au point où $CM\,=\,MD\,=\,1%2C75\,\%2C\,cm$ .

$Le\,milieu\,de\,\,%5BCD%5D\,\,se\,situe\,a\,\,1%2C75\,\%2C\,cm\,\,de\,chaque\,extremite.$

Pourquoi ? Parce que par définition, le milieu d’un segment est le point qui divise ce segment en deux parties égales.

Exercice 18 : programmes de construction distincts
### Correction de l’exercice:

a. Figure pour chaque programme de construction

Pour tracer les figures correspondant aux deux programmes :

1. $Programme\,1%3A$
– Tracez un segment de longueur 5 cm.
– Tracez le cercle de diamètre . Appelons ce cercle C_1 .
– Placez un point sur C_1 à 4 cm de .
– Tracez les segments et .
– Placez les points et , de manière à ce que les points , , et soient alignés dans cet ordre et régulièrement espacés.
– Tracez le segment .
– Tracez le cercle de diamètre . Appelons ce cercle C_2 .
– Tracez le cercle de centre passant par . Appelons ce cercle C_3 .

2. $Programme\,2%3A$
– Tracez un segment de longueur 13 cm.
– Tracez le cercle de diamètre . Appelons ce cercle C_4 .
– Placez un point sur C_4 à 5 cm de .
– Tracez les segments et .
– Placez le point sur le segment à 4 cm du point .
– Tracez le cercle de centre passant par . Appelons ce cercle C_5 .
– Ce cercle C_5 coupe le segment en .
– Tracez le segment .
– Tracez le cercle de diamètre . Appelons ce cercle C_6 .

b. Que remarques-tu ?

Pour les remarques, on note plusieurs observations intéressantes :

– Dans les deux programmes, les cercles de diamètre que l’on trace ne sont pas égaux en taille (l’un a un diamètre de 5 cm, et l’autre de 13 cm).

– Le point est à une distance différente du point dans chaque programme (respectivement 4 cm et 5 cm).

– Le schéma de construction diffère légèrement, notamment par la manière dont est positionné par rapport à et la manière dont le segment est utilisé pour tracer les cercles dans les deux programmes.

En résumant ces observations, on pourrait voir des relations différentes et peut-être similaires selon les figures tracées à partir des programmes.

Exercice 19 : a la ferme
$Correction\,de\,l'exercice\,%3A$

### Question a

1. $Reproduis\,le\,dessin\,ci-dessus$

$Pour\,une\,laisse\,de\,2\,m$ :
La zone où le chien peut se déplacer est un cercle de rayon 2 m centré sur le point d’attache de la niche, sauf la partie de ce cercle qui intercepte le mur.

$Aire\,disponible\,=\,\frac{1}{4}\,\pi\,(2)^2\,=\,\pi\,\,m^2$

$Pour\,une\,laisse\,de\,4\,m$ :
La zone où le chien peut se déplacer est un cercle de rayon 4 m centré sur le point d’attache de la niche, sauf la partie de ce cercle qui intercepte le mur.

$Aire\,disponible\,=\,\frac{1}{4}\,\pi\,(4)^2\,=\,4\pi\,\,m^2$

$Pour\,une\,laisse\,de\,6\,m$ :
La zone où le chien peut se déplacer est un cercle de rayon 6 m centré sur le point d’attache de la niche, sauf la partie de ce cercle qui intercepte le mur.

$Aire\,disponible\,=\,\frac{1}{4}\,\pi\,(6)^2\,=\,9\pi\,\,m^2$

### Question b

Reproduis l’enclos dans un rectangle de 10 m par 8 m. Chaque chèvre est attachée à une corde de longueur variable.

1. $Pour\,une\,corde\,de\,5\,m$ :
Dans ce cas, chaque chèvre peut brouter dans un quart de cercle de rayon 5 m attaché à chaque coin de l’enclos.

$Aire\,disponible\,pour\,une\,chevre\,=\,\frac{1}{4}\,\pi\,(5)^2\,=\,\frac{25\pi}{4}\,\,m^2$

Il y a quatre chèvres, chacune dans un coin de l’enclos.

$Aires\,des\,zones\,colorees\,en\,fonction\,du\,nombre\,de\,chevres$ :
– $1\,chevre$ : $\frac{25\pi}{4}\,\,m^2$
– $2\,chevres$ : $2\,\times \,\frac{25\pi}{4}\,=\,\frac{25\pi}{2}\,\,m^2$
– $3\,chevres$ : $3\,\times \,\frac{25\pi}{4}\,=\,\frac{75\pi}{4}\,\,m^2$
– $4\,chevres$ : $4\,\times \,\frac{25\pi}{4}\,=\,25\pi\,\,m^2$

2. $Pour\,une\,corde\,de\,7\,m$ :
Chaque chèvre peut brouter dans un quart de cercle de rayon 7 m attaché à chaque coin de l’enclos.

$Aire\,disponible\,pour\,une\,chevre\,=\,\frac{1}{4}\,\pi\,(7)^2\,=\,\frac{49\pi}{4}\,\,m^2$

Il y a quatre chèvres, chacune dans un coin de l’enclos.

$Aires\,des\,zones\,colorees\,en\,fonction\,du\,nombre\,de\,chevres$ :
– $1\,chevre$ : $\frac{49\pi}{4}\,\,m^2$
– $2\,chevres$ : $2\,\times \,\frac{49\pi}{4}\,=\,\frac{49\pi}{2}\,\,m^2$
– $3\,chevres$ : $3\,\times \,\frac{49\pi}{4}\,=\,\frac{147\pi}{4}\,\,m^2$
– $4\,chevres$ : $4\,\times \,\frac{49\pi}{4}\,=\,49\pi\,\,m^2$

Exercice 20 : pochoir et frise
$a)\,Combien\,verrais-tu\,de\,losanges\,et\,de\,carres\,%3F$

Chaque motif de la frise est composé de 2 losanges et d’1 carré. Nous devons déterminer le nombre de ces motifs sur une longueur totale de 15 m (1500 cm).

La longueur totale d’un motif est la somme de la longueur de la grande diagonale du losange (10 cm) et d’une fois la dimension du côté du carré (4 cm) :

$L_{motif}\,=\,10\,\,cm\,%2B\,4\,\,cm\,=\,14\,\,cm$

Pour savoir combien de motifs peuvent tenir dans les 15 m de périmètre de la pièce, nous divisons la longueur totale par celle d’un motif :

$N_{motifs}\,=\,\frac{1500\,\,cm}{14\,\,cm}\,\approx\,107$

Comme chaque motif contient 2 losanges et 1 carré :

$N_{losanges}\,=\,2\,\times \,107\,=\,214$
$N_{carres}\,=\,107$

Donc, il y aura 214 losanges et 107 carrés.

$b)\,Surface\,a\,recouvrir\,de\,peinture\,(en\,m%C2%B2)$

Pour le carré :
$S_{carre}\,=\,cote^2\,=\,4\,\,cm\,\times \,4\,\,cm\,=\,16\,\,cm^2$

Pour le losange, les diagonales permettent de calculer l’aire :
$S_{losange}\,=\,\frac{D_1\,\times \,D_2}{2}\,=\,\frac{10\,\,cm\,\times \,4\,\,cm}{2}\,=\,20\,\,cm^2$

La surface totale à peindre sera donc :
$S_{totale}\,=\,N_{carres}\,\times \,S_{carre}\,%2B\,N_{losanges}\,\times \,S_{losange}$
$S_{totale}\,=\,107\,\times \,16\,\,cm^2\,%2B\,214\,\times \,20\,\,cm^2$
$S_{totale}\,=\,1712\,\,cm^2\,%2B\,4280\,\,cm^2$
$S_{totale}\,=\,5992\,\,cm^2$

Convertissons cette surface en mètres carrés :
$S_{totale}\,=\,5992\,\,cm^2\,\times \,(\frac{1\,\,m^2}{10000\,\,cm^2})\,=\,0%2C5992\,\,m^2$

Donc, le pot de peinture doit permettre de couvrir une surface de 0,5992 m².

Voir Corrigés 11 à 20 ...

Exercice 21 : compléter le tableau
a. Nomme un rayon de chaque cercle.

– Un rayon du cercle $\mathcal{C}_1$ est $\overline{MA}$ .
– Un rayon du cercle $\mathcal{C}_2$ est $\overline{XN}$ .
– Un rayon du cercle $\mathcal{C}_3$ est $\overline{OE}$ .

b. Reproduis et complète le tableau suivant en mesurant avec ta règle.

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0ACercle\,%26\,Centre\,%26\,Rayon\,%26\,Diametre\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\mathcal{C}_1\,%26\,M\,%26\,4\,\%2C\,cm\,%26\,8\,\%2C\,cm\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\mathcal{C}_2\,%26\,X\,%26\,2\,\%2C\,cm\,%26\,4\,\%2C\,cm\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\mathcal{C}_3\,%26\,O\,%26\,5\,\%2C\,cm\,%26\,10\,\%2C\,cm\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Exercice 22 : quadrillage et cercles
Correction de l’exercice:

a. Pour reproduire la figure a:
– Trace une forme de cœur symétrique par rapport à l’axe vertical.
– La partie supérieure est constituée de deux arcs de cercle de rayon 2 carrés, centrés chacun sur un point de l’axe horizontal situé à 3 carrés de l’axe vertical par rapport au centre, et unis par une ligne droite.
– La partie inférieure est un arc de cercle de rayon 3 carrés, centrée sur un point de l’axe vertical inférieur.

b. Pour reproduire la figure b:
– Trace quatre arcs de cercle de rayon 2 carrés. Chaque arc est centré aux coins extérieurs du carré central de 4×4 (l’intersection des axes symétriques).
– Les extrémités des arcs se rejoignent tangentiellement au carré central, formant une sorte de symbole de trèfle à quatre feuilles.

c. Pour reproduire la figure c:
– Trace deux cercles concentriques au centre du carré. Le cercle extérieur a un rayon de 4 carrés, et le cercle intérieur de 1 carré.
– Trace quatre arcs de cercle de rayon 4 centrés sur les lignes médianes du carré (horizontale et verticale) tangentiellement aux bords du carré.
– À l’intérieur du petit cercle, dessine quatre pétales constitués de petits arcs de cercle de rayon 1 centrés sur les extrémités du rayon du cercle, en fusionnant les arcs en une forme continue.

Exercice 23 : constructions de figures
Représentons un point sur un plan, et illustrons deux cercles centrés sur avec les rayons respectifs de 3 cm et 5 cm.

a. Pour l’énoncé « Colorie en rouge l’ensemble des points situés à moins de 5 cm de C et à plus de 3 cm de C. », la région rouge est l’anneau délimité par les cercles de rayons 3 cm et 5 cm centrés en .

$B(C%2C\,3\%2C\,cm)\,=\,\{\,M\,%2F\,\mathcal{C}M\,%3C\,3\%2C\,cm\,\}$

$B(C%2C\,5\%2C\,cm)\,=\,\{\,M\,%2F\,\mathcal{C}M\,%3C\,5\%2C\,cm\,\}$

La région en rouge est donc définie par

$\{\,M\,%2F\,3\%2C\,cm\,%3C\,\mathcal{C}M\,%3C\,5\%2C\,cm\,\}$

b. Pour l’énoncé « Caractérise l’ensemble des points situés dans la zone jaune. » La zone jaune est un autre anneau, mais cette fois centré sur avec un rayon intérieur de 2,5 cm et un rayon extérieur de 4,5 cm.

$B(D%2C\,2%2C5\%2C\,cm)\,=\,\{\,P\,%2F\,\mathcal{D}P\,%3C\,2%2C5\%2C\,cm\,\}$

$B(D%2C\,4%2C5\%2C\,cm)\,=\,\{\,P\,%2F\,\mathcal{D}P\,%3C\,4%2C5\%2C\,cm\,\}$

La zone jaune est donc l’ensemble des points compris entre les cercles de rayons 2,5 cm et 4,5 cm centrés en :

$\{\,P\,%2F\,2%2C5\%2C\,cm\,%3C\,\mathcal{D}P\,%3C\,4%2C5\%2C\,cm\,\}$

Exercice 24 : problème de construction et cercle
a. Tracé du segment [AB] de longueur 5 cm.

b. Repérons tous les points situés à moins de 3 cm de A :
– Il s’agit d’un cercle de centre A et de rayon 3 cm.
– Seulement une partie de ce cercle compte, car nous devons nous restreindre aux segments mesurant moins de 5 cm entre A et B.
– Les points à colorier en rouge sont donc ceux situés à une distance inférieure ou égale à 3 cm du point A sur ce segment.

c. Repérons tous les points situés à moins de 4 cm de B :
– Il s’agit d’un cercle de centre B et de rayon 4 cm.
– De même, seuls les segments de moins de 5 cm entre A et B comptent.
– Les points à colorier en bleu sont ceux situés à une distance inférieure ou égale à 4 cm du point B sur ce segment.

d. Le milieu de [AB] se situe à 2.5 cm de A et à 2.5 cm de B. En effet, le milieu d’un segment est le point équidistant de ses deux extrémités.

e. Les points appartenant à la fois à la zone rouge et à la zone bleue sont les points situés à moins de 3 cm de A et à moins de 4 cm de B. Donc, ces points appartiennent à l’intersection des deux cercles décrits précédemment.

En résumé,
– Les points rouges sont les points compris entre 0 et 3 cm de A.
– Les points bleus sont les points compris entre 1 cm et 5 cm de A (ce qui correspond aux points compris entre 0 et 4 cm de B).
– Les points situés simultanément dans la zone rouge et la zone bleue se trouvent entre 1 cm et 3 cm de A (ce qui équivaut aux points situés entre 2 cm et 4 cm de B).

Pour exprimer ceci en LaTeX :

$Zone\,rouge\,=\,\{M\,\in\,%5BAB%5D\,\mid\,0\,\leq\,\,MA\,\leq\,\,3\}$
$Zone\,bleue\,=\,\{M\,\in\,%5BAB%5D\,\mid\,1\,\leq\,\,MA\,\leq\,\,5\}$

L’intersection des deux zones :

$Zone\,rouge\,\cap\,Zone\,bleue\,=\,\{M\,\in\,%5BAB%5D\,\mid\,1\,\leq\,\,MA\,\leq\,\,3\}$

Exercice 25 : problème de construction
a. On trace une droite et on place deux points et sur cette droite.

b. Le point est placé sur cette droite de sorte que soit le milieu de . Ceci implique que:
$AB\,=\,BD$

c. Le point est placé sur cette droite de sorte que soit le milieu de . Ceci implique que:
$AC\,=\,AD\,-\,AC$
Or est à la même distance de que est de :
$AD\,=\,2\,\cdot\,AB\,\,et\,\,CD\,=\,2\,\cdot\,AC$
D’où:
$AC\,=\,AB\,\,ce\,qui\,implique\,que\,\,C\,=\,D$

d. On trace le cercle de centre et de rayon . Il recoupe la droite (AB) en .

e. Comme est le point de rencontre du cercle de centre et de rayon avec la droite (AB) , vérifie:
$AE\,=\,AB\,\,ce\,qui\,implique\,que\,\,E\,=\,B$

Le point est donc confondu avec le point car il vérifie que le rayon du cercle $AE\,=\,AB$ .

Exercice 26 : reproduire des figures contenant des cercles
Pour la figure a. :

L’ensemble des cercles est constitué d’un grand cercle englobant cinq cercles de plus petite taille, tous de même diamètre.

– Soit le rayon du grand cercle.
– Soit le rayon des petits cercles.

La relation entre et peut être déduite en observant la disposition des cercles à l’intérieur du grand cercle. En considérant l’alignement des centres des petits cercles, on peut déterminer qu’ils sont tous tangents l’un à l’autre ainsi qu’à la bordure du grand cercle. Si on dessine une ligne reliant deux centres de cercles adjacents et passant par le centre du grand cercle, cette ligne peut être divisée en plusieurs segments égaux de longueur . Le diamètre du grand cercle est égal à trois fois le diamètre des petits cercles (car elle traverse les centres des cercles tangents).

Ainsi, la relation est :

$R\,=\,2r$

Pour la figure b. :

La figure est un symbole de Yin-Yang inscrit dans un carré. Supposons que le côté du carré est de longueur .

1. Le grand cercle a un rayon égal à $\frac{L}{2}$ .
2. Chacune des deux parties noires et blanches est composée d’une demi-circonférence du grand cercle et un petit cercle inscrit dans ces demi-cercles.
3. Le petit cercle dans chaque demi-cercle a un rayon égal à $\frac{R}{2}\,=\,\frac{L}{4}$ .

Pour recréer cette figure :

– Tracez le grand cercle de rayon centré au centre du carré.
– Tracez une diagonale du carré et marquez son milieu pour dessiner les deux demi-cercles.
– Dessinez les deux petits cercles dans chacune des moitiés avec rayon $\frac{R}{2}$ .

Ces petites figures sont situées à une distance $R\,%2F\,2$ du centre du grand cercle sur l’axe de symétrie vertical.

En résumé, les équations nécessaires peuvent être écrites comme suit :

$R\,=\,2r\,\quad\,pour\,la\,figure\,a.$

$R\,=\,\frac{L}{2}\,\quad\,et\,\quad\,r\,=\,\frac{R}{2}\,=\,\frac{L}{4}\,\quad\,pour\,la\,figure\,b.$

Exercice 27 : résultat à la calculatrice
a. En regardant le résultat affiché par la calculatrice pour $\frac{1}{13}$ , nous constatons que la séquence des décimales se répète. Les trois premiers chiffres après la virgule sont « 076 » et la séquence complète est « 076923 ». Par conséquent, les dix décimales suivantes après « 0,076923076 » sont « 9230769230 ».

b. Les résultats des divisions successives de $\frac{2}{13}$ à $\frac{12}{13}$ sont obtenus en multipliant la séquence répétitive « 076923 » par les numérateurs respectifs.

$\frac{2}{13}\,%26=\,0%2C\overline{153846}\,\\%0D%0A\frac{3}{13}\,%26=\,0%2C\overline{230769}\,\\%0D%0A\frac{4}{13}\,%26=\,0%2C\overline{307692}\,\\%0D%0A\frac{5}{13}\,%26=\,0%2C\overline{384615}\,\\%0D%0A\frac{6}{13}\,%26=\,0%2C\overline{461538}\,\\%0D%0A\frac{7}{13}\,%26=\,0%2C\overline{538461}\,\\%0D%0A\frac{8}{13}\,%26=\,0%2C\overline{615384}\,\\%0D%0A\frac{9}{13}\,%26=\,0%2C\overline{692307}\,\\%0D%0A\frac{10}{13}\,%26=\,0%2C\overline{769230}\,\\%0D%0A\frac{11}{13}\,%26=\,0%2C\overline{846153}\,\\%0D%0A\frac{12}{13}\,%26=\,0%2C\overline{923076}\,\\$

c. Pour chaque quotient, la période de la partie décimale est « 076923 », qui se répète toutes les 6 décimales.

Classement des quotients en deux familles:

– Les résultats des quotients $\frac{1}{13}%2C\,\frac{3}{13}%2C\,\frac{4}{13}%2C\,\frac{9}{13}%2C\,\frac{10}{13}%2C\,\frac{12}{13}$ ont la même séquence de chiffres « 0.076923 » dans leur période.
– Les résultats des quotients $\frac{2}{13}%2C\,\frac{5}{13}%2C\,\frac{6}{13}%2C\,\frac{7}{13}%2C\,\frac{8}{13}%2C\,\frac{11}{13}$ ont la séquence complémentaire de chiffres « 0.923076 » dans leur période (il suffit de voir l’inversement des chiffres par rapport à la base 13).