Échelles et problèmes de proportionnalité : corrigé du contrôle de maths en CM2
Voici le corrigé du contrôle de maths en CM2 sur le thème « échelles et problèmes de proportionnalité », question par question.
Cette correction reprend les cinq exercices dans l’ordre du sujet. Pour chaque question, elle montre un raisonnement rédigé : on part d’une valeur connue, puis on prend la moitié, le double ou la somme de deux lignes. Le plan est redessiné avec les trajets mesurés, et la maison agrandie apparaît avec toutes ses longueurs.
Compare d’abord tes réponses finales, écrites en gras. Ensuite, relis la méthode des questions ratées, car une démarche juste rapporte des points même avec une erreur de calcul. Le barème détaille ces points de méthode. Enfin, les encadrés « Piège classique » signalent les erreurs fréquentes, notamment l’oubli de l’échelle sur un plan.
L’énoncé complet se trouve ici : Échelles et problèmes de proportionnalité : contrôle de maths en CM2.
Barème du contrôle corrigé : échelles et problèmes de proportionnalité
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Le plan du quartier de Léna | 5 points |
| 2. La balade à vélo de Malik | 4 points |
| 3. Le plein de la voiture | 3 points |
| 4. La maison agrandie | 4 points |
| 5. Le jus de pomme de la fête | 4 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : échelles et problèmes de proportionnalité
Exercice 1 – Le plan du quartier de Léna (5 points)
- De la maison L à l’école E, la rue des Lilas longe 6 côtés de carreaux. Le trajet mesure donc 6 cm sur le plan.
- Chaque centimètre représente 50 m, alors 6 cm représentent \(6 \times 50 = 300\) m. Léna parcourt 300 m pour aller à l’école.
- D’abord, de L à B, on compte 3 cm. Puis, de B à S, on compte 5 cm. Le trajet mesure ainsi \(3 + 5 = 8\) cm sur le plan.
En réalité, cela donne \(8 \times 50 = 400\) m. Le trajet de la maison au stade mesure 400 m. - On cherche combien de fois 50 m sont contenus dans 750 m. Or 100 m sont représentés par 2 cm, donc 700 m par 14 cm. De plus, 50 m sont représentés par 1 cm.
Au total : \(14 + 1 = 15\) cm. La piscine sera dessinée à 15 cm de l’école.
Piège classique : donner 8 cm comme réponse à la question c. En effet, on demande la longueur réelle : il faut donc encore utiliser l’échelle.
Exercice 2 – La balade à vélo de Malik (4 points)
- En 2 h, Malik roule deux fois plus longtemps qu’en 1 h, donc il parcourt \(12 \times 2 = 24\) km. En 30 min, soit la moitié d’une heure, il parcourt \(12 \div 2 = 6\) km. Ensuite, 15 min est la moitié de 30 min, alors il parcourt \(6 \div 2 = 3\) km. Enfin, 2 h 30 min = 2 h + 30 min, d’où \(24 + 6 = 30\) km.
Durée 1 h 2 h 30 min 15 min 2 h 30 min Distance parcourue 12 km 24 km 6 km 3 km 30 km - 36 km, c’est trois fois 12 km, car \(12 \times 3 = 36\). Il faut donc trois fois plus de temps qu’en 1 h. Malik met 3 heures pour parcourir 36 km.
- En 20 minutes, Malik roule le tiers d’une heure : \(12 \div 3 = 4\) km. Zoé, elle, roule 10 km en 40 min, donc en deux fois moins de temps, elle parcourt \(10 \div 2 = 5\) km. Comme 5 km > 4 km, Zoé roule plus vite que Malik.
Piège classique : penser que Malik est plus rapide parce que 12 km est plus grand que 10 km. Pourtant, les deux durées sont différentes : on ne compare que des distances parcourues pendant la même durée.
Exercice 3 – Le plein de la voiture (3 points)
- 300 km, c’est trois fois 100 km, donc il faut trois fois plus d’essence : \(6 \times 3 = 18\) L. Il faut 18 L pour 300 km.
- Pour 200 km, il faut \(6 \times 2 = 12\) L. Pour 50 km, soit la moitié de 100 km, il faut \(6 \div 2 = 3\) L. Comme 250 km = 200 km + 50 km, on additionne : \(12 + 3 = 15\) L. Il faut 15 L pour 250 km.
- On décompose 45 L en \(42 + 3\). Or 42 L, c’est sept fois 6 L, alors la voiture parcourt \(7 \times 100 = 700\) km. De plus, 3 L permettent de parcourir 50 km.
Au total : \(700 + 50 = 750\) km. Avec un plein, la voiture parcourt 750 km.
Exercice 4 – La maison agrandie (4 points)
- 2 cm est la moitié de 4 cm. Dans l’agrandissement, sa longueur est donc la moitié de 10 cm : \(10 \div 2 = 5\). Une longueur de 2 cm devient 5 cm.
- Les murs mesurent 3 cm, et 3 cm = 2 cm + 1 cm. Or 1 cm, moitié de 2 cm, devient \(5 \div 2 = 2{,}5\) cm. Ainsi, 3 cm deviennent \(5 + 2{,}5 = 7{,}5\) cm. Les murs agrandis mesurent 7,5 cm de haut.
- La hauteur totale mesure 5 cm, c’est-à-dire 4 cm + 1 cm. On additionne alors leurs images : \(10 + 2{,}5 = 12{,}5\) cm. La maison agrandie mesure 12,5 cm de haut.
- La porte mesure 1 cm sur 2 cm. D’après les questions précédentes, 1 cm devient 2,5 cm et 2 cm deviennent 5 cm. La porte agrandie mesure 2,5 cm de large sur 5 cm de haut.
Piège classique : ajouter 6 cm à chaque longueur, parce que 4 cm sont devenus 10 cm. Cependant, un agrandissement multiplie les longueurs : avec l’ajout, la porte deviendrait 7 cm sur 8 cm, presque carrée, ce qui est faux.
Exercice 5 – Le jus de pomme de la fête (4 points)
- Dans le magasin A, 4 bouteilles coûtent 6 €, donc une bouteille coûte \(6 \div 4 = 1{,}50\) €. Dans le magasin B, 6 bouteilles coûtent 8,40 €, alors une bouteille coûte \(8{,}40 \div 6 = 1{,}40\) €. Une bouteille coûte 1,50 € en A et 1,40 € en B.
- Dans le magasin A, il faut \(24 \div 4 = 6\) packs, soit \(6 \times 6 = 36\) €. Dans le magasin B, il faut \(24 \div 6 = 4\) packs, soit \(4 \times 8{,}40 = 33{,}60\) €. Elle paierait 36 € en A et 33,60 € en B.
- Le magasin B est moins cher, car 33,60 € < 36 €. L’économie vaut \(36 – 33{,}60 = 2{,}40\) €. Mme Benali doit choisir le magasin B : elle économise ainsi 2,40 €.
Piège classique : choisir le magasin A parce que son pack est moins cher. Pourtant, ce pack contient moins de bouteilles : on compare donc le prix d’une bouteille, ou le prix des 24 bouteilles.
À retenir de ce contrôle
- Sur un plan où 1 cm représente 50 m, on multiplie la longueur mesurée en centimètres par 50 pour obtenir la distance réelle en mètres.
- Pour aller de la distance réelle au plan, on cherche combien de fois 50 m sont contenus dans la distance réelle.
- À vitesse constante, la distance parcourue est proportionnelle à la durée : en deux fois moins de temps, on parcourt deux fois moins de kilomètres.
- Dans un agrandissement, toutes les longueurs sont multipliées par le même nombre, et on peut additionner les images de deux longueurs.
- Pour comparer deux offres, on calcule le prix d’un même article ou d’une même quantité dans chaque magasin avant de conclure.
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