Inéquations et tableaux de signes : corrigé du contrôle de maths en seconde
Voici le corrigé du contrôle de maths en seconde sur le thème « inéquations et tableaux de signes », question par question.
Voici la correction complète du sujet, exercice par exercice. Chaque inéquation est résolue ligne par ligne, et le changement de sens est signalé à chaque division par un nombre négatif. Les deux tableaux de signes sont dessinés en entier, avec les zéros et la double barre de la valeur interdite.
Relis d’abord la rédaction des questions ratées, car la justification du signe de \(ax + b\) compte autant que le résultat. Le barème indique ensuite les points accordés à la méthode. Les remarques « Piège classique » reviennent enfin sur les erreurs les plus coûteuses, notamment les crochets mal orientés.
L’énoncé complet se trouve ici : Inéquations et tableaux de signes : contrôle de maths en seconde.
Barème du contrôle corrigé : inéquations et tableaux de signes
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Quatre inéquations du premier degré | 4 points |
| 2. Une droite et le signe de ax + b | 4 points |
| 3. Le tableau de signes d’un produit | 4 points |
| 4. Un quotient et sa valeur interdite | 4 points |
| 5. Deux formules pour la salle d’escalade | 4 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : inéquations et tableaux de signes
Exercice 1 – Quatre inéquations du premier degré (4 points)
- \(3x – 7 < 5\)
\(3x < 12\)
\(x < 4\), car on divise par 3, qui est positif.
\(S = ]-\infty \,;\, 4[\) - \(-2x + 5 \geq 11\)
\(-2x \geq 6\)
On divise par \(-2\), qui est négatif, donc le sens change : \(x \leq -3\).
\(S = ]-\infty \,;\, -3]\) - On développe d’abord : \(4x – 4 > 7x + 11\).
Puis \(4x – 7x > 11 + 4\), soit \(-3x > 15\).
On divise par \(-3\), alors le sens change : \(x < -5\).
\(S = ]-\infty \,;\, -5[\) - On multiplie les deux membres par 6, qui est positif :
\(3x – 6 \leq 2(x + 4)\)
\(3x – 6 \leq 2x + 8\)
\(x \leq 14\)
\(S = ]-\infty \,;\, 14]\)
Piège classique : garder le sens de l’inégalité après une division par \(-2\) ou par \(-3\). En effet, on obtiendrait alors \(x \geq -3\), ce qui est faux : par exemple, 0 ne vérifie pas \(-2x + 5 \geq 11\).
Exercice 2 – Une droite et le signe de ax + b (4 points)
- La droite \((d)\) coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse 2, puis elle passe au-dessus. Elle est strictement au-dessus de l’axe pour \(x > 2\), soit sur \(]2 \,;\, +\infty[\).
- La droite est au-dessus de l’axe quand \(2x – 4 > 0\).
Donc \(2x > 4\), puis \(x > 2\). On retrouve bien \(]2 \,;\, +\infty[\). - \(3 – x = 0\) pour \(x = 3\). Le coefficient de \(x\) vaut \(-1\), qui est négatif, donc l’expression est décroissante. Ainsi \(3 – x > 0\) pour \(x < 3\), \(3 – x = 0\) pour \(x = 3\) et \(3 – x < 0\) pour \(x > 3\).
- On résout \(-0{,}5x – 2 = 0\) : \(-0{,}5x = 2\), donc \(x = -4\). Comme \(a = -0{,}5\) est négatif, l’expression est positive avant \(-4\), puis négative après. Tableau : \(+\) sur \(]-\infty \,;\, -4[\), 0 en \(-4\), \(-\) sur \(]-4 \,;\, +\infty[\).
Exercice 3 – Le tableau de signes d’un produit (4 points)
- D’après l’exercice 2, \(2x – 4\) s’annule en 2 et \(3 – x\) s’annule en 3. On range donc 2 et 3 dans l’ordre croissant, puis on applique la règle des signes dans chaque colonne.
- Le produit est positif ou nul entre 2 et 3, bornes comprises, car il s’annule en 2 et en 3. \(S = [2 \,;\, 3]\)
- Le produit est strictement négatif en dehors de cet intervalle, bornes exclues. \(S = ]-\infty \,;\, 2[ \cup ]3 \,;\, +\infty[\)
Piège classique : ouvrir les crochets en 2 et en 3 à la question b. Pourtant, l’inégalité est large : les valeurs qui annulent le produit sont donc solutions.
Exercice 4 – Un quotient et sa valeur interdite (4 points)
- Un quotient n’existe que si son dénominateur est non nul. Or \(x – 4 = 0\) pour \(x = 4\). La valeur interdite est 4.
- \(x + 1\) s’annule en \(-1\) et \(x – 4\) s’annule en 4 ; leurs deux coefficients valent 1, donc chacune est négative puis positive. On applique ensuite la règle des signes, et une double barre marque la valeur interdite.
- \(Q(x)\) est négatif ou nul entre \(-1\) et 4. On inclut \(-1\), car \(Q(-1) = 0\), mais on exclut la valeur interdite 4. \(S = [-1 \,;\, 4[\)
- On réduit au même dénominateur :
\(Q(x) – 2 = \dfrac{x + 1 – 2(x – 4)}{x – 4} = \dfrac{x + 1 – 2x + 8}{x – 4} = \dfrac{-x + 9}{x – 4}\)
Ensuite, \(-x + 9\) est positif avant 9 puis négatif, et \(x – 4\) est négatif avant 4 puis positif. Le quotient est donc négatif sur \(]-\infty \,;\, 4[\), positif sur \(]4 \,;\, 9[\), nul en 9 et négatif après 9.
Par conséquent, \(Q(x) \geq 2\) équivaut à \(\dfrac{-x + 9}{x – 4} \geq 0\). \(S = ]4 \,;\, 9]\)
Piège classique : multiplier \(Q(x) \geq 2\) par \(x – 4\) sans connaître son signe. Cependant, ce signe change en 4 : on se ramène donc toujours à une comparaison d’un quotient avec 0.
Exercice 5 – Deux formules pour la salle d’escalade (4 points)
- Avec la formule A : \(10 \times 12 = 120\) €. Avec la formule B : \(60 + 10 \times 7 = 130\) €. Pour 10 séances, la formule A coûte 120 € et la formule B 130 €.
- Chaque séance coûte 12 € avec A, donc \(A(x) = 12x\). Avec B, on ajoute la carte au prix des séances, donc \(B(x) = 60 + 7x\).
- \(60 + 7x < 12x\)
\(60 < 5x\)
\(12 < x\), car on divise par 5, qui est positif.
\(S = ]12 \,;\, +\infty[\) - Pour 20 séances : \(A(20) = 240\) € et \(B(20) = 60 + 140 = 200\) €. Léa doit choisir la formule B et économise \(240 – 200 = 40\) €. De plus, \(x\) est un nombre entier : pour 12 séances, les deux formules coûtent 144 €. La formule B est donc la moins chère à partir de 13 séances.
Piège classique : répondre « à partir de 12 séances ». Or, pour 12 séances, les deux prix sont égaux : la formule B n’est strictement moins chère qu’à partir de 13 séances.
À retenir de ce contrôle
- Multiplier ou diviser les deux membres d’une inéquation par un nombre strictement négatif change le sens de l’inégalité.
- L’expression ax + b s’annule en x = −b/a ; elle a le signe de a à droite de cette valeur et le signe contraire à gauche.
- Dans un tableau de signes, on place les valeurs qui annulent chaque facteur, puis on applique la règle des signes dans chaque colonne.
- Une valeur interdite d’un quotient est marquée par une double barre et n’appartient jamais à l’ensemble des solutions.
- Pour résoudre A(x) ≥ k avec un quotient, on se ramène d’abord à une comparaison avec 0 en réduisant au même dénominateur.
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