Équations produit et quotient : corrigé du contrôle de maths en seconde
Voici le corrigé du contrôle de maths en seconde sur le thème « équations produit et quotient », question par question.
Cette correction rédige chaque équation comme on l’attend en seconde : une étape par ligne, puis l’ensemble des solutions écrit entre accolades. Pour les équations produit, elle montre d’abord la factorisation, car c’est elle qui rapporte le plus de points.
Dans les équations quotient, la valeur interdite est donnée avant tout calcul, puis chaque solution trouvée est comparée à cette valeur. Les deux problèmes détaillent aussi la mise en équation et la vérification finale, avec la figure du cadre complétée. Compare ta copie ligne par ligne, puis compte tes points grâce au barème. Enfin, les pièges signalés t’évitent de diviser par une expression qui peut être nulle, une erreur qui fait perdre une solution.
L’énoncé complet se trouve ici : Équations produit et quotient : contrôle de maths en seconde.
Barème du contrôle corrigé : équations produit et quotient
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Premier degré pour s’échauffer | 3 points |
| 2. Équations produit nul | 4 points |
| 3. Équations quotient | 4 points |
| 4. La plaque découpée | 4 points |
| 5. Le cadre de la photo | 5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : équations produit et quotient
Exercice 1 – Premier degré pour s’échauffer (3 points)
- On regroupe les termes en \(x\) à gauche, puis les nombres à droite :
\(5x – 2x = 8 + 7\).
Ainsi \(3x = 15\).
Donc \(x = 5\).
\(S = \{5\}\). - D’abord, on développe le membre de gauche :
\(3x – 6 = 7 – 2x\).
Puis \(3x + 2x = 7 + 6\).
Alors \(5x = 13\).
Enfin \(x = \dfrac{13}{5}\).
\(S = \left\{\dfrac{13}{5}\right\}\). - On multiplie les deux membres par 12, car c’est un multiple commun de 4 et de 3 :
\(3x + 6 = 4x\).
On obtient \(6 = 4x – 3x\).
Donc \(x = 6\).
Vérification : \(\dfrac{6}{4} + \dfrac{1}{2} = 1{,}5 + 0{,}5 = 2\) et \(\dfrac{6}{3} = 2\). \(S = \{6\}\).
Piège classique : en b), écrire \(3x – 2\) au lieu de \(3x – 6\). En effet, le 3 multiplie aussi le 2 dans la parenthèse.
Exercice 2 – Équations produit nul (4 points)
- Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul.
On a \(2x – 3 = 0\) ou \(x + 5 = 0\).
Donc \(x = \dfrac{3}{2}\) ou \(x = -5\).
\(S = \left\{-5 \,;\, \dfrac{3}{2}\right\}\). - On factorise par \(x\) : \(x(x – 7) = 0\).
Donc \(x = 0\) ou \(x – 7 = 0\), c’est-à-dire \(x = 0\) ou \(x = 7\).
\(S = \{0 \,;\, 7\}\). - On reconnaît \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\) avec \(a = x + 1\) et \(b = 4\) :
\((x + 1 – 4)(x + 1 + 4) = 0\).
Cela donne \((x – 3)(x + 5) = 0\).
Ainsi, \(x = 3\) ou \(x = -5\).
\(S = \{-5 \,;\, 3\}\). - On passe tout dans le membre de gauche :
\((3x – 1)(x + 2) – (3x – 1)(2x – 5) = 0\).
On factorise par \(3x – 1\) : \((3x – 1)\left[(x + 2) – (2x – 5)\right] = 0\).
On réduit le crochet : \((3x – 1)(-x + 7) = 0\).
Par conséquent, \(3x – 1 = 0\) ou \(-x + 7 = 0\), soit \(x = \dfrac{1}{3}\) ou \(x = 7\).
\(S = \left\{\dfrac{1}{3} \,;\, 7\right\}\).
Piège classique : à la question 4, simplifier par \(3x – 1\) pour obtenir \(x + 2 = 2x – 5\). On trouve alors seulement \(x = 7\) et on perd la solution \(\dfrac{1}{3}\), car on a divisé par une expression qui peut être nulle.
Exercice 3 – Équations quotient (4 points)
- Le dénominateur s’annule pour \(x = 1\) : c’est la valeur interdite. Pour \(x \neq 1\), un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul.
Ici, \(2x + 6 = 0\), donc \(x = -3\).
Comme \(-3 \neq 1\), cette valeur convient. \(S = \{-3\}\). - La valeur interdite est \(-3\), car \(x + 3 = 0\) pour \(x = -3\). Ensuite, pour \(x \neq -3\), on résout \(x^2 – 9 = 0\).
Cela s’écrit \((x – 3)(x + 3) = 0\).
Donc \(x = 3\) ou \(x = -3\).
Or \(-3\) est interdite, donc on la rejette. \(S = \{3\}\). - La valeur interdite est \(2\). Pour \(x \neq 2\), on multiplie les deux membres par \(x – 2\) :
\(x + 4 = 3(x – 2)\).
On développe : \(x + 4 = 3x – 6\).
Ainsi \(10 = 2x\).
Donc \(x = 5\).
Comme \(5 \neq 2\), la solution convient ; en effet, \(\dfrac{5 + 4}{5 – 2} = \dfrac{9}{3} = 3\). \(S = \{5\}\).
Piège classique : à la question 2, conserver \(-3\) dans l’ensemble des solutions. Pourtant, le quotient n’existe pas pour cette valeur.
Exercice 4 – La plaque découpée (4 points)
- L’aire de la plaque carrée est \((x + 1)^2\), et celle du carré découpé est \(3^2 = 9\). Donc la partie restante a pour aire la différence : \((x + 1)^2 – 9\) en \(\text{cm}^2\).
- On écrit l’égalité des aires : \((x + 1)^2 – 9 = 40\).
Puis \((x + 1)^2 – 9 – 40 = 0\).
Donc \((x + 1)^2 – 49 = 0\).
Ensuite, on factorise avec \(a^2 – b^2\), où \(a = x + 1\) et \(b = 7\) : \((x + 1 – 7)(x + 1 + 7) = 0\).
On obtient \((x – 6)(x + 8) = 0\). - D’après la règle du produit nul, \(x = 6\) ou \(x = -8\). Or \(x > 2\), donc on garde seulement \(x = 6\). Le côté de la plaque vaut alors \(6 + 1 = 7\text{ cm}\). Vérification : \(7^2 – 9 = 49 – 9 = 40\). La plaque a un côté de \(7\text{ cm}\).
Piège classique : répondre \(x = 6\text{ cm}\) sans conclure. En revanche, la question demande le côté de la plaque, c’est-à-dire \(x + 1\).
Exercice 5 – Le cadre de la photo (5 points)
- La bordure ajoute \(x\) de chaque côté, donc deux fois \(x\) sur chaque dimension. Le cadre extérieur mesure \(20 + 2x\) sur \(30 + 2x\), en centimètres.
- L’aire de la bordure est l’aire du grand rectangle moins celle de la photo.
\(A(x) = (20 + 2x)(30 + 2x) – 20 \times 30\).
On développe : \(A(x) = 600 + 40x + 60x + 4x^2 – 600\).
Après réduction, \(A(x) = 4x^2 + 100x\). - L’aire de la photo vaut \(20 \times 30 = 600\text{ cm}^2\). On résout donc \(4x^2 + 100x = 600\).
Cela équivaut à \(4x^2 + 100x – 600 = 0\).
Puis on divise les deux membres par 4, qui n’est pas nul.
On obtient \(x^2 + 25x – 150 = 0\). - On développe : \((x + 30)(x – 5) = x^2 – 5x + 30x – 150 = x^2 + 25x – 150\).
Ainsi, l’équation s’écrit \((x + 30)(x – 5) = 0\), donc \(x = -30\) ou \(x = 5\). Comme \(x > 0\), on garde \(x = 5\). Vérification : le cadre mesure alors \(30\text{ cm}\) sur \(40\text{ cm}\), et \(30 \times 40 – 600 = 1\,200 – 600 = 600\). Maëlys doit choisir une bordure de \(5\text{ cm}\) de large.
Piège classique : écrire \(20 + x\) au lieu de \(20 + 2x\). Or la bordure entoure la photo, donc elle s’ajoute à gauche et à droite.
À retenir de ce contrôle
- Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul.
- Pour résoudre une équation contenant un carré, on regroupe tout dans un membre, puis on factorise au lieu de développer.
- Dans une équation quotient, on écarte d’abord la valeur qui annule le dénominateur, puis on rejette toute solution égale à cette valeur.
- On ne divise jamais les deux membres par une expression contenant x, car elle peut être nulle et on perdrait une solution.
- Dans un problème concret, on garde seulement les solutions compatibles avec la situation, par exemple une longueur positive.
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