La division euclidienne et décimale : corrigés des exercices de maths en 6ème.

Exercice 1 : calculer des quotients mentalement

a. \quad 4\,338 :  10 = 433.8
b. \quad 1\,297 :  1\,000 = 1.297
c. \quad 12.3 :  10 = 1.23
d. \quad 0.87 :  100 = 0.0087
e.  \quad 3.8 :  1\,000 = 0.0038
f. \quad 0.04 :  100 = 0.0004
g. \quad 354 :  10 = 35.4
h. \quad 12.5 :  100 = 0.125

Exercice 2 : divisions et multiplications.
1.
a. Pour diviser par 10, 100 ou 1000, il suffit de déplacer la virgule:
– de 1 rang vers la gauche pour une division par 10,
– de 2 rangs vers la gauche pour une division par 100,
– de 3 rangs vers la gauche pour une division par 1000.

b. Une division euclidienne est une division où l’on cherche à exprimer un entier a comme le produit d’un entier b et d’un quotient entier q plus un reste r tel que 0\,\leq\,\,r\,%3C\,b, c’est-à-dire a\,=\,bq\,%2B\,rb est le diviseur, a est le dividende, q est le quotient et r est le reste.

c. Dans une division euclidienne :
– Le dividende est le nombre à diviser (a).
– Le diviseur est le nombre par lequel on divise (b).
– Le quotient est le résultat entier de la division (q).
– Le reste est la partie de a qui n’est pas divisible par b.

2.
a. 70\,: \,10\,=\,7

b. 12\%2C000\,: \,1\%2C000\,=\,12

c. 12\%2C400\,: \,100\,=\,124

d. 13\%2C957.82\,: \,1\%2C000\,=\,13.95782

3.
a. Division de 149 par 8:
149\,=\,8\,\times  \,18\,%2B\,5\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,q\,=\,18%2C\,\quad\,r\,=\,5

b. Division de 3\%2C764 par 9:
3\%2C764\,=\,9\,\times  \,418\,%2B\,2\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,q\,=\,418%2C\,\quad\,r\,=\,2

c. Division de 1\%2C057 par 3:
1\%2C057\,=\,3\,\times  \,352\,%2B\,1\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,q\,=\,352%2C\,\quad\,r\,=\,1

d. Division de 12\%2C455 par 265:
12\%2C455\,=\,265\,\times  \,47\,%2B\,0\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,q\,=\,47%2C\,\quad\,r\,=\,0

e. Division de 78\%2C456 par 49:
78\%2C456\,=\,49\,\times  \,1\%2C601\,%2B\,7\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,q\,=\,1\%2C601%2C\,\quad\,r\,=\,7

Exercice 3 : divisions et multiplications

Divise par 10, 100 ou 1 000
a.  70 :  10 = 7
b. 12\ 000 :  1\ 000 = 12
c. 12\ 400 :  100 = 124
d. 13\ 957,82 :  1\ 000 = 13,95782

Poser et effectuer les divisions euclidiennes suivantes :

a. 149 :  8 = 18\,\,reste\,\,5\\ 149 = 8 \times   18 + 5

b. 3\ 764 :  9 = 418\,\,reste\,\,2\\ 3\, 764 = 9 \times   418 + 2

c. 1\, 057 :  3 = 352\,\,reste\,\,1\\ 1\, 057 = 3 \times   352 + 1

d. 12\ 455 :  265 = 47\,\,reste\,\,0\\12\, 455 = 265 \times   47 + 0

e. 78\ 456 :  49 = 1\ 601\,\,reste\,\,7 \\78\ 456 = 49 \times   1\ 601 + 7

Une tarte pour 4 personnes coûte 6 €. L’intendante d’une colonie de vacances dispose de 85 €.
Combien peut-elle acheter de tartes ? Combien lui reste-t-il d’argent ?

• Calcul du nombre de tartes :

85 :  6 = 14  tartes avec un reste

Elle peut acheter  14  tartes.

• Calcul de l’argent restant :

85 - (14 \times   6) = 85 - 84 = 1  €

Il lui reste  1  €.

Exercice 4 : entourer le résultat de la division
1. 124%2C42\,: \,2\,=\,62%2C21
La réponse correcte est C.

2. 5%2C3\,: \,4\,=\,1%2C325
La réponse correcte est A.

3. 6%2C25\,: \,5\,=\,1%2C25
La réponse correcte est B.

4. 81%2C36\,: \,18\,=\,4%2C52
La réponse correcte est C.

Exercice 5 : arrondi d’un quotient
Arrondi à l’unité près:
\frac{741}{35}\,\approx\,21%2C171\,\approx\,21
\frac{12%2C4}{6}\,\approx\,2%2C066\,\approx\,2
\frac{42%2C1}{3}\,\approx\,14%2C033\,\approx\,14

Arrondi au dixième près:
\frac{741}{35}\,\approx\,21%2C171\,\approx\,21%2C2
\frac{12%2C4}{6}\,\approx\,2%2C066\,\approx\,2%2C1
\frac{42%2C1}{3}\,\approx\,14%2C033\,\approx\,14%2C0

Arrondi au centième près:
\frac{741}{35}\,\approx\,21%2C171\,\approx\,21%2C17
\frac{12%2C4}{6}\,\approx\,2%2C066\,\approx\,2%2C07
\frac{42%2C1}{3}\,\approx\,14%2C033\,\approx\,14%2C03

Voici le tableau complété :

\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0A%26\,Arrondi\,a\,l'unite\,pres\,%26\,Arrondi\,au\,dixieme\,pres\,%26\,Arrondi\,au\,centieme\,pres\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\frac{741}{35}\,%26\,21\,%26\,21%2C2\,%26\,21%2C17\,\\%0D%0A\frac{12%2C4}{6}\,%26\,2\,%26\,2%2C1\,%26\,2%2C07\,\\%0D%0A\frac{42%2C1}{3}\,%26\,14\,%26\,14%2C0\,%26\,14%2C03\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}

Exercice 6 : effectuer des divisions à la calculatrice
a. Voici les résultats des divisions jusqu’au septième chiffre après la virgule :

\begin{array}{%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0ADivision\,%26\,Quotient\,decimal\,\\%0D%0A\hline%0D%0A22\,: \,7\,%26\,3.1428571\,\\%0D%0A333\,: \,106\,%26\,3.1415094\,\\%0D%0A355\,: \,113\,%26\,3.1415929\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}

b. Les nombres trouvés à la question a. sont des approximations de \pi.

c. La valeur affichée par ma calculatrice pour \pi est 3.1415927.

d. Le quotient 355\,: \,113 (= 3.1415929) donne la meilleure approximation de \pi parmi les quotients trouvés à la question a. En comparaison, la valeur exacte de \pi arrondie au septième chiffre après la virgule est 3.1415927.

Exercice 7 : effectuer les divisions jusqu’au millième

1. Division de \frac{85}{6} :

\frac{85}{6}\,=\,14.166\overline{6}\,\approx\,14.167

2. Division de \frac{10}{11} :

\frac{10}{11}\,\approx\,0.9090

3. Division de \frac{12}{7} :

\frac{12}{7}\,\approx\,1.714

4. Division de \frac{51}{21} :

\frac{51}{21}\,\approx\,2.429

Exercice 8 : donner les diviseurs d’un entier

a. Les diviseurs de 18 sont : 1%2C\,2%2C\,3%2C\,6%2C\,9%2C\,18.

b. Les diviseurs de 24 sont : 1%2C\,2%2C\,3%2C\,4%2C\,6%2C\,8%2C\,12%2C\,24.

c. Les nombres qui apparaissent dans les deux listes sont : 1%2C\,2%2C\,3%2C\,6.

On remarque que ces nombres sont les diviseurs communs de 18 et 24.

Exercice 9 : divisibilité d’un entier

a. Un nombre est divisible par 2 si et seulement si son dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8. Le dernier chiffre de 157\,326 est 6.

Donc, 157\,326 est divisible par 2.

b. Un nombre est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3. Les chiffres de 157\,326 sont 1%2C\,5%2C\,7%2C\,3%2C\,2%2C\,6.

La somme est : 1\,%2B\,5\,%2B\,7\,%2B\,3\,%2B\,2\,%2B\,6\,=\,24.

Comme 24 est divisible par 3, 157\,326 est donc divisible par 3.

c. Un nombre est divisible par 4 si et seulement si les deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4. Les deux derniers chiffres de 157\,326 sont 26.

Comme 26 n’est pas divisible par 4, 157\,326 n’est pas divisible par 4.

d. Un nombre est divisible par 5 si et seulement si son dernier chiffre est 0 ou 5. Le dernier chiffre de 157\,326 est 6.

Donc, 157\,326 n’est pas divisible par 5.

Exercice 10 : critères de divisibilité
\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0ALe\,nombre\,est\,divisible\,par\dots\,%26\,2\,%26\,3\,%26\,4\,%26\,5\,%26\,9\,\\%0D%0A\hline%0D%0A345\,%26\,F\,%26\,F\,%26\,F\,%26\,V\,%26\,F\,\\%0D%0A\hline%0D%0A344\,%26\,V\,%26\,F\,%26\,V\,%26\,F\,%26\,F\,\\%0D%0A\hline%0D%0A56\,241\,%26\,F\,%26\,V\,%26\,F\,%26\,F\,%26\,F\,\\%0D%0A\hline%0D%0A56\,242\,%26\,V\,%26\,F\,%26\,F\,%26\,F\,%26\,F\,\\%0D%0A\hline%0D%0A56\,243\,%26\,F\,%26\,F\,%26\,F\,%26\,F\,%26\,V\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}

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