Exercice 1 : calculer des quotients mentalement
a. 
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
Exercice 2 : divisions et multiplications.
1.
a. Pour diviser par 10, 100 ou 1000, il suffit de déplacer la virgule:
– de 1 rang vers la gauche pour une division par 10,
– de 2 rangs vers la gauche pour une division par 100,
– de 3 rangs vers la gauche pour une division par 1000.
b. Une division euclidienne est une division où l’on cherche à exprimer un entier \(a\) comme le produit d’un entier \(b\) et d’un quotient entier \(q\) plus un reste \(r\) tel que \(0 \leq\, r < b\), c’est-à-dire \(a = bq + r\) où \(b\) est le diviseur, \(a\) est le dividende, \(q\) est le quotient et \(r\) est le reste.
c. Dans une division euclidienne :
– Le dividende est le nombre à diviser (\(a\)).
– Le diviseur est le nombre par lequel on divise (\(b\)).
– Le quotient est le résultat entier de la division (\(q\)).
– Le reste est la partie de \(a\) qui n’est pas divisible par \(b\).
2.
a. \(70 : 10 = 7\)
b. \(12\,000 : 1\,000 = 12\)
c. \(12\,400 : 100 = 124\)
d. \(13\,957.82 : 1\,000 = 13.95782\)
3.
a. Division de \(149\) par \(8\):
\[
149 = 8 \times 18 + 5 \quad \Rightarrow \quad q = 18, \quad r = 5
\]
b. Division de \(3\,764\) par \(9\):
\[
3\,764 = 9 \times 418 + 2 \quad \Rightarrow \quad q = 418, \quad r = 2
\]
c. Division de \(1\,057\) par \(3\):
\[
1\,057 = 3 \times 352 + 1 \quad \Rightarrow \quad q = 352, \quad r = 1
\]
d. Division de \(12\,455\) par \(265\):
\[
12\,455 = 265 \times 47 + 0 \quad \Rightarrow \quad q = 47, \quad r = 0
\]
e. Division de \(78\,456\) par \(49\):
\[
78\,456 = 49 \times 1\,601 + 7 \quad \Rightarrow \quad q = 1\,601, \quad r = 7
\]
Exercice 3 : divisions et multiplications
Divise par 10, 100 ou 1 000
a.
b.
c.
d.
Poser et effectuer les divisions euclidiennes suivantes :
a.
b.
c.
d.
e.
Une tarte pour 4 personnes coûte 6 €. L’intendante d’une colonie de vacances dispose de 85 €.
Combien peut-elle acheter de tartes ? Combien lui reste-t-il d’argent ?
• Calcul du nombre de tartes :
tartes avec un reste
Elle peut acheter 14 tartes.
• Calcul de l’argent restant :
€
Il lui reste 1 €.
Exercice 4 : entourer le résultat de la division
1. \[ 124,42 : 2 = 62,21 \]
La réponse correcte est \( C \).
2. \[ 5,3 : 4 = 1,325 \]
La réponse correcte est \( A \).
3. \[ 6,25 : 5 = 1,25 \]
La réponse correcte est \( B \).
4. \[ 81,36 : 18 = 4,52 \]
La réponse correcte est \( C \).
Exercice 5 : arrondi d’un quotient
Arrondi à l’unité près:
\[ \frac{741}{35} \approx 21,171 \approx 21 \]
\[ \frac{12,4}{6} \approx 2,066 \approx 2 \]
\[ \frac{42,1}{3} \approx 14,033 \approx 14 \]
Arrondi au dixième près:
\[ \frac{741}{35} \approx 21,171 \approx 21,2 \]
\[ \frac{12,4}{6} \approx 2,066 \approx 2,1 \]
\[ \frac{42,1}{3} \approx 14,033 \approx 14,0 \]
Arrondi au centième près:
\[ \frac{741}{35} \approx 21,171 \approx 21,17 \]
\[ \frac{12,4}{6} \approx 2,066 \approx 2,07 \]
\[ \frac{42,1}{3} \approx 14,033 \approx 14,03 \]
Voici le tableau complété :
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Arrondi à l’unité près} \text{Arrondi au dixième près} \text{Arrondi au centième près} \\
\hline
\frac{741}{35} 21 21,2 21,17 \\
\frac{12,4}{6} 2 2,1 2,07 \\
\frac{42,1}{3} 14 14,0 14,03 \\
\hline
\end{array}
\]
Exercice 6 : effectuer des divisions à la calculatrice
a. Voici les résultats des divisions jusqu’au septième chiffre après la virgule :
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Division} \text{Quotient décimal} \\
\hline
22 : 7 3.1428571 \\
333 : 106 3.1415094 \\
355 : 113 3.1415929 \\
\hline
\end{array}
\]
b. Les nombres trouvés à la question a. sont des approximations de \(\pi\).
c. La valeur affichée par ma calculatrice pour \(\pi\) est \(3.1415927\).
d. Le quotient \(355 : 113\) (= 3.1415929) donne la meilleure approximation de \(\pi\) parmi les quotients trouvés à la question a. En comparaison, la valeur exacte de \(\pi\) arrondie au septième chiffre après la virgule est \(3.1415927\).
Exercice 7 : effectuer les divisions jusqu’au millième
1. Division de \( \frac{85}{6} \) :
\[ \frac{85}{6} = 14.166\overline{6} \approx 14.167 \]
2. Division de \( \frac{10}{11} \) :
\[ \frac{10}{11} \approx 0.9090 \]
3. Division de \( \frac{12}{7} \) :
\[ \frac{12}{7} \approx 1.714 \]
4. Division de \( \frac{51}{21} \) :
\[ \frac{51}{21} \approx 2.429 \]
Exercice 8 : donner les diviseurs d’un entier
a. Les diviseurs de \( 18 \) sont : \( 1, 2, 3, 6, 9, 18 \).
b. Les diviseurs de \( 24 \) sont : \( 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 \).
c. Les nombres qui apparaissent dans les deux listes sont : \( 1, 2, 3, 6 \).
On remarque que ces nombres sont les diviseurs communs de \( 18 \) et \( 24 \).
Exercice 9 : divisibilité d’un entier
a. Un nombre est divisible par \(2\) si et seulement si son dernier chiffre est \(0\), \(2\), \(4\), \(6\) ou \(8\). Le dernier chiffre de \(157 326\) est \(6\).
Donc, \(157 326\) est divisible par \(2\).
b. Un nombre est divisible par \(3\) si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par \(3\). Les chiffres de \(157 326\) sont \(1, 5, 7, 3, 2, 6\).
La somme est : \(1 + 5 + 7 + 3 + 2 + 6 = 24\).
Comme \(24\) est divisible par \(3\), \(157 326\) est donc divisible par \(3\).
c. Un nombre est divisible par \(4\) si et seulement si les deux derniers chiffres forment un nombre divisible par \(4\). Les deux derniers chiffres de \(157 326\) sont \(26\).
Comme \(26\) n’est pas divisible par \(4\), \(157 326\) n’est pas divisible par \(4\).
d. Un nombre est divisible par \(5\) si et seulement si son dernier chiffre est \(0\) ou \(5\). Le dernier chiffre de \(157 326\) est \(6\).
Donc, \(157 326\) n’est pas divisible par \(5\).
Exercice 10 : critères de divisibilité
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Le nombre est divisible par\dots} 2 3 4 5 9 \\
\hline
345 F F F V F \\
\hline
344 V F V F F \\
\hline
56 241 F V F F F \\
\hline
56 242 V F F F F \\
\hline
56 243 F F F F V \\
\hline
\end{array}
\]
Exercice 11 : mots croisés à compléter
Pour résoudre cet exercice, analysons les conditions pour chaque ligne et colonne.
Horizontalement :
A. Multiple de 3 et de 5. Diviseur de 25 : Le seul nombre qui satisfait ces conditions est 5.
B. Multiple de 10. Diviseur de tous les nombres : Le seul nombre qui satisfait ces conditions est 10.
C. Diviseur de 222 autre que lui-même : Les diviseurs de 222 sont 1, 2, 3, 6, 37, 74, 111, et 222. Lequel parmi ces nombres satisfait les autres contraintes ? (À vérifier plus tard)
D. Multiple de 5 (mais pas de 10) si on lui ajoute 1. Multiple de 12 et 7 : Le seul nombre qui satisfait ces conditions est 84.
Verticalement :
1. Nombre palindrome (nombre pouvant se lire dans les deux sens) : Le seul nombre qui satisfait ces conditions est 101.
2. Multiple de 100 si on lui enlève 1 : Le seul nombre qui satisfait ces conditions est 101.
3. Multiple de 2 et de 3 : Le seul nombre qui satisfait ces conditions est 6.
4. Multiple de 17. Multiple de 2 : Le seul nombre qui satisfait ces conditions est 34.
En plaçant les numéros dans le tableau, on obtient :
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
1 2 3 4 \\
\hline
A 5 101 \phantom{0}110 34 \\
B 10 101 \phantom{0}60 \phantom{0}17 \\
C 2 \phantom{00}1 6 \phantom{0}34 \\
D 84 12 \phantom{0}42 \phantom{0}14 \\
\hline
\end{array}
\]
En prenant en compte les cases noires dans le tableau donné (première et deuxième lignes), voici le tableau final corrigé :
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
1 2 3 4 \\
\hline
A 5 110 34 \\
B 10 60 \\
C 2 1 6 34 \\
D 84 12 42 \\
\hline
\end{array}
\]
Cela satisfait toutes les conditions données.
Exercice 12 : tracer un chemin avec des briques
Pour résoudre cet exercice et trouver le chemin de 180 à 1, nous devons vérifier les multiples et les diviseurs tout en respectant la contrainte de déplacement vertical (haut ou bas). Voici la solution correcte :
1. Départ à 180.
2. Descendre à 90 (diviseur de 180).
3. Descendre à 45 (diviseur de 90).
4. Descendre à 15 (diviseur de 45).
5. Descendre à 3 (diviseur de 15).
6. Descendre à 1 (diviseur de 3).
Ainsi, le chemin de 180 à 1 est : 180 → 90 → 45 → 15 → 3 → 1.
Exercice 13 : des pirates et leur chef
1. Le nombre total de pièces d’or est \(197\).
Le nombre de pirates (y compris le chef) est \(12\).
Chaque pirate reçoit ainsi :
\[
q = \lfloor \frac{197}{12} \rfloor
\]
Effectuons la division:
\[
197 : 12 \approx 16.416…
\]
Ainsi, chaque pirate reçoit au moins \(16\) pièces d’or, et le reste \(197 – 16 \times 12 = 197 – 192 = 5 \) pièces d’or seront ajoutées à la part du chef.
D’où :
\[
16 \leq\, q \leq\, 20
\]
Chaque pirate reçoit entre 10 et 20 pièces d’or.
2.a. Division :
Posons la division pour visualiser :
\[
197 : 12 = 16 \quad \text{(quotient)}
\]
\[
197 – (16 \times 12) = 5 \quad \text{(reste)}
\]
2.b. Nombre de pièces d’or reçues par chaque pirate et le chef :
Chaque pirate reçoit \(16\) pièces d’or.
Le chef reçoit \(16 + 5 = 21\) pièces d’or.
3. Répartition du nouveau trésor de 2 335 pièces d’or :
\[
2335 : 12 \approx \lfloor \frac{2335}{12} \rfloor = 194
\]
Effectuons la division :
\[
2335 : 12 = 194 \quad \text{(quotient)}
\]
\[
2335 – (194 \times 12) = 2335 – 2328 = 7 \quad \text{(reste)}
\]
Ainsi, chaque pirate reçoit \(194\) pièces d’or, et le chef reçoit \(194 + 7 = 201\) pièces d’or.
Exercice 14 : diviseurs et critères de divisibilité
1. Les nombres qui sont divisibles à la fois par 2 et par 5 sont \(60\) et \(17\ 340\).
2. a. Les nombres de la liste qui sont divisibles par 4 sont \(60\), \(132\), \(724\) et \(17\ 340\).
b.
\[
\begin{array}{c|c|c}
\text{Nombre} \text{Deux derniers chiffres} \text{Divisible par 4} \\
\hline
14 14 Non \\
18 18 Non \\
60 60 Oui \\
132 32 Oui \\
724 24 Oui \\
913 13 Non \\
836 36 Oui \\
4\ 566 66 Non \\
5\ 697 97 Non \\
17\ 340 40 Oui \\
\end{array}
\]
c. On remarque que si les deux derniers chiffres du nombre sont divisibles par 4, alors le nombre entier est divisible par 4.
3. a. Les nombres de la liste qui sont divisibles par 3 sont \(18\), \(60\), \(132\), \(913\), \(836\), \(5\ 697\).
Les nombres de la liste qui sont divisibles par 9 sont \(18\), \(132\), \(5\ 697\).
b.
\[
\begin{array}{c|c|c|c}
\text{Nombre} \text{Somme des chiffres} \text{Divisible par 3} \text{Divisible par 9} \\
\hline
14 1+4 = 5 Non Non \\
18 1+8 = 9 Oui Oui \\
60 6+0 = 6 Oui Non \\
132 1+3+2 = 6 Oui Oui \\
724 7+2+4 = 13 Non Non \\
913 9+1+3 = 13 Oui Non \\
836 8+3+6 = 17 Oui Non \\
4\ 566 4+5+6+6 = 21 Oui Non \\
5\ 697 5+6+9+7 = 27 Oui Oui \\
17\ 340 1+7+3+4+0 = 15 Oui Non \\
\end{array}
\]
c. On observe que si la somme des chiffres d’un nombre est divisible par 3, alors le nombre est divisible par 3. De même, si la somme des chiffres d’un nombre est divisible par 9, alors le nombre est divisible par 9.
Exercice 15 : albertine range des pommes
1. Interprétation de la division faite par Albertine :
Albertine a posé la division suivante:
\[
\frac{64}{5} = 12,8
\]
Elle a utilisé la méthode de la division traditionnelle pour diviser ses 64 kg de pommes par 5.
2. Masse exacte d’une caisse :
a. Combien 4 kg font de dixièmes de kilogramme ?
4 kg font 40 dixièmes de kilogramme, car \(1 \, \text{kg} = 10 \, \text{dixièmes de kilogramme}\).
b. \[\]Partager ces dixièmes de kilogramme en 5. Recopier et compléter la division.\[\]
La division \( \frac{6,4 \, \text{kg}}{5} \) est en fait:
\[
6,4 \, \text{kg} = 64 \, \text{dixièmes de kilogramme}
\]
On divise ensuite 64 par 5:
\[
64 : 5 = 12,8
\]
En notant les calculs, cela donne:
\[
\begin{array}{r}
64: 5 = 12 \\
64 – (12 \times 5) = 4 \\
4 : 5 = 0.8
\end{array}
\]
Ainsi, \( \frac{64}{5} = 12,8 \).
c. Indiquer la masse exacte de pommes dans chaque caisse :
La masse exacte des pommes dans chaque caisse est de \(12,8 \, \text{kg}\).
Exercice 16 : un tournoi de rugby au collège
a. Calculer à la main le nombre d’équipes.
On regroupe les élèves en équipes de 15 joueurs. Il y a 187 élèves inscrits à ce tournoi.
Le nombre d’équipes est donné par la division du nombre total d’élèves par le nombre de joueurs par équipe :
\[
\frac{187}{15} = 12 \text{ équipes et } 7 \text{ élèves restant}.
\]
Il y a donc 12 équipes de 15 joueurs et 7 élèves qui restent comme arbitres.
b. Y aura-t-il assez d’arbitres pour toutes les rencontres ?
Pour qu’il y ait assez d’arbitres, il faut vérifier que le nombre d’élèves restant (7 élèves) est suffisant par rapport au besoin d’arbitres.
Supposons que chaque rencontre nécessite un certain nombre d’arbitres. Le problème ne spécifie pas ce nombre, mais on peut supposer qu’un petit nombre d’arbitres est nécessaire par rencontre. Avec 7 élèves restant pour servir d’arbitres, il semblerait raisonnable d’affirmer qu’il y en a suffisamment pour un tournoi de cette envergure.
Donc, a priori, il y aura assez d’arbitres pour toutes les rencontres.
Exercice 17 : dans une salle de l’hôtel de Glace
Chaque ligne contient 7 piliers, donc il y a un total de \(2 \times 7 = 14\) piliers.
Le nombre total de blocs de glace utilisés est de \(266\).
Pour déterminer le nombre de blocs de glace par pilier, nous devons diviser le nombre total de blocs de glace par le nombre total de piliers :
\[ \frac{266}{14} = 19 \]
Chaque pilier contient donc \(19\) blocs de glace.
Exercice 18 : connexion internet et division décimale
Pour calculer le prix d’une minute de connexion, nous devons diviser le montant total payé par Pierre par le nombre de minutes correspondantes.
Pierre a payé 1,20 € pour 15 minutes.
Le prix d’une minute de connexion, noté \( P \), est donné par :
\[
P = \frac{1,20 \, \text{€}}{15 \, \text{minutes}}
\]
Calculons cette division :
\[
P = \frac{1,20}{15}
\]
Effectuons la division :
\[
P = 0,08 \, \text{€}
\]
Ainsi, le prix d’une minute de connexion est de 0,08 €.
Exercice 19 : critère de divisibilité par 3
L’affirmation est fausse.
Voici pourquoi : Un nombre entier quelconque peut être représenté par l’écriture \( N = 10a + b \), où \( a \) est la partie entière des dizaines, et \( b \) est le chiffre des unités.
Dans le cas où le chiffre des unités est 3, alors \( b = 3 \). Ainsi, \( N \) peut s’écrire sous la forme suivante :
\[ N = 10a + 3 \]
Pour que \( N \) soit divisible par 3, il faut que \( N \mod 3 = 0 \). Examinons ce modulo :
\[ N \mod 3 = (10a + 3) \mod 3 \]
Sachant que \( 10 \equiv 1 \mod 3 \), nous avons :
\[ N \mod 3 = (10a + 3) \mod 3 = (1a + 3) \mod 3 \]
\[ N \mod 3 = (a + 3) \mod 3 \]
Puisque \( 3 \equiv 0 \mod 3 \), nous obtenons :
\[ N \mod 3 = (a + 0) \mod 3 \]
\[ N \mod 3 = a \mod 3 \]
Cela signifie que \( N \) sera divisible par 3 si et seulement si \( a \) (la partie entière des dizaines) est divisible par 3. Il n’y a donc aucune garantie que \( N \) soit divisible par 3 uniquement parce que le chiffre des unités est 3. En d’autres termes, le fait que le chiffre des unités soit 3 ne suffit pas pour conclure que \( N \) est divisible par 3 de façon générale.
Par exemple, considérons \( N = 13 \) et \( N = 23 \):
– \( 13 : 3 = 4.333 \), donc 13 n’est pas divisible par 3.
– \( 23 : 3 = 7.666 \), donc 23 n’est pas divisible par 3.
Par conséquent, l’affirmation faite par Inès est fausse.
Exercice 20 : partage équitable d’une somme d’argent
a. Pour trouver la somme d’argent qu’il reste à partager, calculons le reste de la division de la somme totale par 4. À partir de la division posée, nous voyons que :
\[
174 : 4 = 43 \quad \text{avec un reste de} \quad 2
\]
Amélie donne donc 43 euros à chaque personne, pour un total de :
\[4 \times 43 = 172 \, \] €.
La somme totale étant 174 euros, il reste :
\[174 – 172 = 2 \, \] €.
b. Pour connaître la part exacte de chaque personne, il suffit de diviser la somme totale par 4 :
\[
174 : 4 = 43,5
\]
Donc la part exacte de chaque personne est de 43,50 euros.
Exercice 21 : ballotins de chocolat et division décimale
Le nombre total de chocolats que peuvent contenir les 17 ballotins existants est:
\[
17 \times 30 = 510 \, \text{chocolats.}
\]
\[
\text{Le nombre de chocolats restant à emballer est:}
\]
\[
750 – 510 = 240 \, \text{chocolats.}
\]
\[
\text{Le nombre de ballotins supplémentaires nécessaires est:}
\]
\[
\lceil \frac{240}{30} \rceil = \lceil 8 \rceil = 8 \, \text{ballotins.}
\]
\[
\text{Il faut donc acheter 8 ballotins supplémentaires.}
\]
Exercice 22 : compléter ces divisions euclidiennes
a. \( 560 – 00 = 560 \)
La division de \(560\) par \(8\) donne :
\[
560 : 8 = 70
\]
Donc le nombre manquant est \(70\).
b. \( 6 – 4 = 15 \)
D’abord, supposons que le nombre manquant est \(x\), donc l’équation est :
\[
x – 4 = 15
\]
Donc :
\[
x = 15 + 4 = 19
\]
Pour confirmer, en effectuant la division :
\[
196 : 4 = 49
\]
Donc le nombre manquant est \(196\).
c. \( 98 3 – 3 = 19 \)
D’abord, supposons que le nombre manquant est \(y\), donc l’équation est :
\[
y – 3 = 19
\]
Donc :
\[
y = 19 + 3 = 22
\]
Pour confirmer, en effectuant la division :
\[
98 : 3 = 32 \quad \text{reste} \quad 2
\]
Donc le nombre manquant est \(22\).
Exercice 23 : compléter la division euclidienne
a.
\[
\begin{array}{r|r}
827 13 \\
\hline
-78 63 \\
\hline
39 \\
-39 \\
\hline
0
\end{array}
\]
b.
\[
\begin{array}{r|r}
2523 37 \\
\hline
-2496 68 \\
\hline
27 \\
-27 \\
\hline
0
\end{array}
\]
c.
\[
\begin{array}{r|r}
4239 56 \\
\hline
-392 75 \\
\hline
319 \\
-280 \\
\hline
39
\end{array}
\]
Exercice 24 : le quotient trouvé est-il exact ?
a. Calculer \(10 \times 26\) et \(100 \times 26\).
\[10 \times 26 = 260\]
\[100 \times 26 = 2600\]
Le quotient trouvé par Steven est-il exact ?
Steven a trouvé \(26 : 26 = 1\). Ce quotient est exact.
b. Effectuer correctement à la main cette division.
Pour effectuer correctement \(2782 : 26\):
\[ \begin{array}{r|r}
2782 26 \\
\hline
26)2782 107 \\
– 260 \\
\hline
182 \\
– 156 \\
\hline
026 \\
– 026 \\
\hline
000 \\
\end{array} \]
\(2782 : 26 = 107\)
Le quotient exact est 107.
Exercice 25 : compléter à l’aide de la calculatrice
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Dividende} \text{Diviseur} \text{Quotient} \text{Reste} \\
\hline
34\ 589 548 63 125 \\
\hline
14\ 787 53 279 24 \\
\hline
1\ 861 48 38 37 \\
\hline
\end{array}
\]
Les calculs sont les suivants :
1. Pour \(\frac{34\ 589}{548}\):
\[
34\ 589 = 548 \times 63 + 125
\]
Donc, le quotient est 63 et le reste est 125.
2. Pour \(\frac{14\ 787}{53}\):
\[
14\ 787 = 53 \times 279 + 24
\]
Le quotient est déjà donné comme 279 et le reste est 24.
3. Pour \(\frac{1\ 861}{48}\):
\[
1\ 861 = 48 \times 38 + 37
\]
Donc, le quotient est 38 et le reste est 37.
Exercice 26 : coloration des carreaux d’un cahier
a. Le motif de Nathan est constitué de 5 couleurs répétées : rouge, vert, jaune, rouge, bleu. Pour déterminer la couleur du 16ème carreau, nous devons examiner la position de ce carreau dans la séquence complète.
Chaque séquence complète de motifs comprend 5 carreaux. Pour trouver la place du 16ème carreau dans la séquence, nous utilisons la division :
\[
16 : 5 = 3 \quad \text{reste} \quad 1
\]
Le quotient 3 indique combien de séquences complètes de 5 carreaux ont été terminées, et le reste 1 nous indique la position du 16ème carreau dans la nouvelle séquence. Le 1er carreau de chaque séquence est rouge. Donc, le 16ème carreau sera rouge.
b. Pour déterminer la couleur du 102ème carreau, nous utilisons également la division pour trouver la position dans la séquence.
\[
102 : 5 = 20 \quad \text{reste} \quad 2
\]
Le quotient 20 signifie qu’il y a 20 séquences complètes de 5 carreaux, et le reste 2 indique la position du 102ème carreau dans la nouvelle séquence. Le 2ème carreau de chaque séquence est vert. Donc, le 102ème carreau sera vert.
Exercice 27 : l’affirmation est-elle vraie ?
Analysons l’affirmation de Zoé: « Un nombre qui est divisible par 4 et par 2 est forcément divisible par 8. »
1. Vérifions les conditions de divisibilité:
– Un nombre est divisible par \(4\) si et seulement si ses deux derniers chiffres forment un nombre divisible par \(4\).
– Un nombre est divisible par \(2\) si et seulement si son dernier chiffre est un nombre pair.
2. Considérons un nombre \(n\) qui est divisible par \(4\) et par \(2\):
– Si \(n\) est divisible par \(4\), alors \(n = 4k\) pour un entier \(k\).
– De plus, si \(n\) est divisible par \(2\), alors \(n = 2m\) pour un entier \(m\).
3. Montrons que \(n\) est divisible par \(8\):
– Puisque \(n\) est divisible par \(4\), nous avons \(n = 4k\).
– Étant donné que \(4 = 2 \times 2\), donc \(n = 2 \times 2k\), soit un multiple de \(2^2\).
– Pour que \(n\) soit divisible par \(2\) en plus d’être divisible par \(4\), \(2k\) doit être un multiple de \(2\), donc \(k\) doit être pair.
– Écrivons \(k = 2m\) pour un entier \(m\). Ainsi, \(n = 4k = 4(2m) = 8m\).
– Puisque \(n\) peut s’écrire comme \(8m\), il est clairement divisible par \(8\).
Ainsi, l’affirmation de Zoé est correcte: un nombre qui est divisible par \(4\) et par \(2\) est forcément divisible par \(8\).
Exercice 28 : sortir du labyrinthe sans déclencher les alarmes
Pour sortir du labyrinthe sans déclencher les alarmes, il faut suivre les multiples de 9.
Voici les multiples de 9 présents dans le labyrinthe:
\[ 9, 27, 81, 36, 108, 144 \]
Le chemin est le suivant :
– Départ 9
– 27
– 81
– 9
– 36
– 108
– 144
– Sortie 3
\[
Départ \to 9 \to 27 \to 81 \to 9 \to 36 \to 108 \to 144 \to Sortie \ 3
\]
Exercice 29 : problème d’éoliennes et division
Pour vérifier si la recommandation est respectée, il faut calculer la distance entre deux éoliennes consécutives. La distance totale de 4,62 km doit être convertie en mètres, donc :
\[ 4,62 \text{ km} = 4620 \text{ m} \]
Ensuite, si on place 16 éoliennes de manière équidistante, cela signifie qu’il y a 15 intervalles entre elles. La distance entre chaque éolienne est donc :
\[ \text{Distance entre deux éoliennes} = \frac{4620 \text{ m}}{15} \]
Calculons cette valeur :
\[ \text{Distance entre deux éoliennes} = \frac{4620}{15} = 308 \text{ m} \]
La recommandation est de maintenir une distance minimale de 300 m entre deux éoliennes. Comparons cela avec notre résultat :
\[ 308 \text{ m} > 300 \text{ m} \]
Donc, la recommandation est respectée.
Exercice 30 : vente de biscuits en paquets ou en sachets
a. Comparer le prix d’un biscuit :
Pour la boîte de 24 biscuits en vrac à 3,60 € :
Prix d’un biscuit : \[\frac{3,60 }{24} = 0{,}15 \]€
Pour la boîte de 6 sachets de 4 biscuits à 5,76 € :
\[ 6 \text{ sachets} \times 4 \text{ biscuits} = 24 \text{ biscuits} \]
Prix d’un biscuit =\[ \frac{5,76 }{24} = 0{,}24 \] €
Comparaison :
\[ 0{,}15 < 0{,}24 \]
Le biscuit est moins cher lorsqu’il est vendu en vrac.
b. Calculer la masse d’un biscuit :
Pour les deux boîtes, le poids net est de 0,6 kg pour 24 biscuits.
\[ \text{Masse d’un biscuit} = \frac{0,6 \text{ kg}}{24} = 0,025 \text{ kg} = 25 \text{ g} \]
La masse d’un biscuit est de 25 grammes.
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