Limites de fonctions : corrigés des exercices en terminale.

Exercice 1 : démontrer que l’intervalle contient toutes les valeurs de f(x)
Soit la fonction définie sur l’intervalle $%5B0%3B\,%2B\infty%5B$ par :
$f(x)\,=\,\sqrt{x}\,%2B\,2.$

### a) Démontrer que $f(x)\,>\,100$ assez grand.

Pour prouver que $f(x)\,>\,100$ supérieur à 2, l’intervalle $%5D\,A\,%3B\,%2B\infty\,%5B$ contient toutes les valeurs pour assez grand.

Considérons l’équation $f(x)\,=\,y$ , où est une valeur de la fonction .

$y\,=\,\sqrt{x}\,%2B\,2.$

Soustrayons 2 de chaque côté :
$y\,-\,2\,=\,\sqrt{x}.$

Puis, élevons les deux côtés au carré :
$(y\,-\,2)^2\,=\,x.$

On cherche à montrer que pour tout $y\,>\,A$ tel que $f(x)\,=\,y$ .

Pour cela :
Quand tend vers $%2B\infty$ , la racine carrée $\sqrt{x}$ tend également vers $%2B\infty$ . Par conséquent, $f(x)\,=\,\sqrt{x}\,%2B\,2$ tend vers $%2B\infty$ .

Ainsi, pour tout $A\,>\,2$ assez grand tel que $f(x)\,>\,A$ ?

La fonction $f(x)\,=\,\sqrt{x}\,%2B\,2$ est strictement croissante sur $%5B0%3B\,%2B\infty%5B$ . Puisque $\sqrt{x}$ tend vers $%2B\infty$ quand tend vers $%2B\infty$ , tend également vers $%2B\infty$ .

On peut donc en déduire que :
$\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,f(x)\,=\,%2B\infty.$

Cela signifie que pour toute valeur supérieure à 2, il existe un point à partir duquel toutes les valeurs de la fonction sont supérieures à . La fonction est donc non bornée supérieurement et atteint toutes les valeurs réelles strictement supérieures à 2 lorsqu’on prend suffisamment grand.

Exercice 2 : que peut-on en déduire pour la fonction f?
Correction de l’exercice:

a) Pour démontrer que l’intervalle $%5DA%3B\,%2B\infty%5B$ contient toutes les valeurs de pour assez grand, considérons que $f(x)\,=\,x^2\,-\,1$ .

Lorsque devient très grand (en valeur absolue), devient également très grand. Donc, nous pouvons dire que:

$f(x)\,=\,x^2\,-\,1\,\approx\,x^2$

Pour tout $A\,>\,-1$ assez grand tel que:

$x^2\,>\,A\,%2B\,1$ prend des valeurs supérieures à pour assez grand, ce qui signifie que:

$\forall\,A\,>\,-1%2C\,\exists\,x_0\,\in\,\mathbb{R}\,\quad\,tel\,que\,\quad\,\forall\,x\,\geq\,\,x_0%2C\,\quad\,f(x)\,>\,A$ n’est pas bornée supérieurement. Plus précisément, la fonction prend des valeurs arbitrairement grandes à mesure que augmente.

c) Pour résoudre les inégalités, nous devons d’abord équation f(x) aux valeurs données:

Pour $f(x)\,>\,1000$

Comme nous sommes intéressés par $x\,>\,0$

Encore une fois, comme nous cherchons $x\,>\,0$ Exercice 3 : en déduire la limite de la fonction g en l’infini
a) Pour démontrer que l’intervalle $%5D1\,-\,\alpha\,%3B\,1\,%2B\,\alpha%5B$ contient toutes les valeurs de pour assez grand, soit $\alpha\,>\,0$ .

Quand $x\,\to\,%2B\infty$ , $\frac{1}{x}\,\to\,0$ donc $g(x)\,\to\,1$ .

Soit $\epsilon\,=\,\alpha\,>\,0$

Pour cela, il suffit de trouver un $N\,\in\,\mathbb{R}^%2B$ tel que pour tout $x\,>\,N$ soit dans l’intervalle $%5D1\,-\,\epsilon%3B\,1\,%2B\,\epsilon%5B$ .

$%7Cg(x)\,-\,1%7C\,=\,%7C\,\frac{1}{x}\,%2B\,1\,-\,1\,%7C\,=\,%7C\,\frac{1}{x}\,%7C\,=\,\frac{1}{x}$

Nous voulons:
$%7C\,\frac{1}{x}\,%7C\,%3C\,\epsilon\,\Rightarrow\,\frac{1}{x}\,%3C\,\epsilon\,\Rightarrow\,x\,>\,\frac{1}{\epsilon}$ .

b) La limite de quand $x\,\to\,%2B\infty$ est .

$\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,g(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,(\,\frac{1}{x}\,%2B\,1\,)\,=\,1$

c) Graphiquement, cela signifie que pour des valeurs suffisamment grandes de , la courbe de la fonction se rapproche asymptotiquement de la droite horizontale $y\,=\,1$ .

Exercice 4 : interpréter graphiquement une limite
a) Démontrer que, pour tout nombre réel $\alpha\,>\,0$ contient toutes les valeurs pour assez grand.

Soit $\alpha\,>\,0$ tel que $%7Cy%7C\,%3C\,\alpha$ , il existe un $x\,>\,1$ .

L’équation $h(x)\,=\,y$ se réécrit :
$y\,=\,\frac{1}{x^2\,-\,1}$
$y(x^2\,-\,1)\,=\,1$
$yx^2\,-\,y\,=\,1$
$yx^2\,=\,y\,%2B\,1$
$x^2\,=\,\frac{y\,%2B\,1}{y}$
$x^2\,=\,\frac{1}{y}\,%2B\,1$

Pour que soit défini, il faut que $\frac{1}{y}\,%2B\,1\,>\,0$ , nous pouvons trouver un $x\,>\,1$ , ce qui prouve que tout intervalle $%5D-\alpha\,%3B\,\alpha%5B$ contient toutes les valeurs pour assez grand.

b) En déduire la limite de la fonction en $%2B\infty$ .

Pour déterminer la limite de lorsque $x\,\to\,%2B\infty$ , on analyse :
$h(x)\,=\,\frac{1}{x^2\,-\,1}$

Lorsque $x\,\to\,%2B\infty$ ,
$x^2\,-\,1\,\to\,%2B\infty$
donc,
$h(x)\,=\,\frac{1}{x^2\,-\,1}\,\to\,0$

Donc,
$\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,h(x)\,=\,0$

c) Interpréter graphiquement cette limite.

Graphiquement, cela signifie que, lorsque devient de plus en plus grand, la valeur de se rapproche de plus en plus de 0, sans jamais l’atteindre. La courbe de la fonction tend donc asymptotiquement vers l’axe des abscisses (l’axe ) à mesure que tend vers $%2B\infty$ .

Exercice 5 : limite de fonctions et racines carrées
$1)\,\lim_{{x\,\to\,%2B\infty}}\,(\,\sqrt{x%2B1}\,-\,\sqrt{x}\,)$
Simplifions l’expression :
$\sqrt{x%2B1}\,-\,\sqrt{x}\,=\,\frac{(\sqrt{x%2B1}\,-\,\sqrt{x})(\sqrt{x%2B1}\,%2B\,\sqrt{x})}{\sqrt{x%2B1}\,%2B\,\sqrt{x}}\,=\,\frac{x%2B1\,-\,x}{\sqrt{x%2B1}\,%2B\,\sqrt{x}}\,=\,\frac{1}{\sqrt{x%2B1}\,%2B\,\sqrt{x}}$
Lorsque $x\,\to\,%2B\infty$ :
$\sqrt{x%2B1}\,\approx\,\sqrt{x}%2C\,\,donc\,\,\sqrt{x%2B1}\,%2B\,\sqrt{x}\,\approx\,2\sqrt{x}$
Ainsi:
$\lim_{{x\,\to\,%2B\infty}}\,\frac{1}{\sqrt{x%2B1}\,%2B\,\sqrt{x}}\,=\,\lim_{{x\,\to\,%2B\infty}}\,\frac{1}{2\sqrt{x}}\,=\,0$

$2)\,\lim_{{x\,\to\,%2B\infty}}\,\frac{2x^2\,-\,3x\,%2B\,1}{x^2\,-\,1}$
Divisons le numérateur et le dénominateur par :
$\lim_{{x\,\to\,%2B\infty}}\,\frac{2x^2\,-\,3x\,%2B\,1}{x^2\,-\,1}\,=\,\lim_{{x\,\to\,%2B\infty}}\,\frac{2\,-\,\frac{3}{x}\,%2B\,\frac{1}{x^2}}{1\,-\,\frac{1}{x^2}}$
Lorsque $x\,\to\,%2B\infty$ :
$\frac{3}{x}\,\to\,0\,\,et\,\,\frac{1}{x^2}\,\to\,0$
Donc:
$\lim_{{x\,\to\,%2B\infty}}\,\frac{2\,-\,0\,%2B\,0}{1\,-\,0}\,=\,2$

$3)\,\lim_{{x\,\to\,4}}\,\frac{x\,-\,4}{\sqrt{x}\,-\,2}$
Remarquons que :
$\sqrt{x}\,-\,2\,=\,\frac{x\,-\,4}{\sqrt{x}\,%2B\,2}$
Alors:
$\lim_{{x\,\to\,4}}\,\frac{x\,-\,4}{\sqrt{x}\,-\,2}\,=\,\lim_{{x\,\to\,4}}\,\frac{x\,-\,4}{\frac{x\,-\,4}{\sqrt{x}\,%2B\,2}}\,=\,\lim_{{x\,\to\,4}}\,(\sqrt{x}\,%2B\,2)$
Lorsque $x\,\to\,4$ :
$\sqrt{x}\,\to\,2$
Donc:
$\lim_{{x\,\to\,4}}\,(\sqrt{x}\,%2B\,2)\,=\,4$

Exercice 6 : calculer ces limites
1) $\lim_{x\,\to\,0}\,(x^3\,%2B\,5)\,=\,5$

2) $\lim_{x\,\to\,0^%2B}\,(\sqrt{x}\,%2B\,2)\,=\,2$

3) $\lim_{x\,\to\,0^%2B}\,(\,\frac{1}{\sqrt{x}}\,-\,2\,)\,=\,%2B\infty$

4) $\lim_{x\,\to\,-1}\,\frac{2}{(x%2B1)^2}\,=\,%2B\infty$

5) $\lim_{x\,\to\,-\infty}\,x^2\,(1\,-\,x)\,=\,\lim_{x\,\to\,-\infty}\,(x^2\,-\,x^3)\,=\,%2B\infty$

6) $\lim_{x\,\to\,2^-}\,\frac{x}{2\,-\,x}\,=\,-\infty$

7) $\lim_{x\,\to\,0^-}\,(\,1\,%2B\,\sqrt{-x}\,)\,=\,1$

8) $\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,(\,x\,%2B\,\frac{1}{x}\,)\,=\,%2B\infty$

Exercice 7 : déterminer la limite en l’infini
Correction des limites de chaque fonction en $%2B\infty$ et $-\infty$ :

1) $f(x)\,=\,x^{2016}$
$\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,x^{2016}\,=\,%2B\infty\,\quad\,et\,\quad\,\lim_{x\,\to\,-\infty}\,x^{2016}\,=\,%2B\infty$

2) $f(x)\,=\,x^{2017}$
$\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,x^{2017}\,=\,%2B\infty\,\quad\,et\,\quad\,\lim_{x\,\to\,-\infty}\,x^{2017}\,=\,-\infty$

3) $f(x)\,=\,x^2\,%2B\,3x\,-\,5$
$\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,(x^2\,%2B\,3x\,-\,5)\,=\,%2B\infty\,\quad\,et\,\quad\,\lim_{x\,\to\,-\infty}\,(x^2\,%2B\,3x\,-\,5)\,=\,%2B\infty$

4) $f(x)\,=\,x^3\,-\,2x$
$\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,(x^3\,-\,2x)\,=\,%2B\infty\,\quad\,et\,\quad\,\lim_{x\,\to\,-\infty}\,(x^3\,-\,2x)\,=\,-\infty$

5) $f(x)\,=\,\frac{3}{x\,%2B\,5}$
$\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,\frac{3}{x\,%2B\,5}\,=\,0\,\quad\,et\,\quad\,\lim_{x\,\to\,-\infty}\,\frac{3}{x\,%2B\,5}\,=\,0$

6) $f(x)\,=\,\frac{x}{2}\,-\,\frac{2}{x}$
$\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,(\,\frac{x}{2}\,-\,\frac{2}{x}\,)\,=\,%2B\infty\,\quad\,et\,\quad\,\lim_{x\,\to\,-\infty}\,(\,\frac{x}{2}\,-\,\frac{2}{x}\,)\,=\,-\infty$

7) $f(x)\,=\,x(1\,-\,x)$
$\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,x(1\,-\,x)\,=\,-\infty\,\quad\,et\,\quad\,\lim_{x\,\to\,-\infty}\,x(1\,-\,x)\,=\,%2B\infty$

8) $f(x)\,=\,(x\,%2B\,1)(x\,%2B\,2)$
$\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,(x\,%2B\,1)(x\,%2B\,2)\,=\,%2B\infty\,\quad\,et\,\quad\,\lim_{x\,\to\,-\infty}\,(x\,%2B\,1)(x\,%2B\,2)\,=\,%2B\infty$

9) $f(x)\,=\,\frac{x\,%2B\,1}{x\,-\,1}$
$\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,\frac{x\,%2B\,1}{x\,-\,1}\,=\,1\,\quad\,et\,\quad\,\lim_{x\,\to\,-\infty}\,\frac{x\,%2B\,1}{x\,-\,1}\,=\,1$

10) $f(x)\,=\,\frac{1}{1\,%2B\,x^2}$
$\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,\frac{1}{1\,%2B\,x^2}\,=\,0\,\quad\,et\,\quad\,\lim_{x\,\to\,-\infty}\,\frac{1}{1\,%2B\,x^2}\,=\,0$

11) $f(x)\,=\,\frac{x^2\,-\,3}{x^3\,-\,2}$
$\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,\frac{x^2\,-\,3}{x^3\,-\,2}\,=\,0\,\quad\,et\,\quad\,\lim_{x\,\to\,-\infty}\,\frac{x^2\,-\,3}{x^3\,-\,2}\,=\,0$

12) $f(x)\,=\,\frac{3x^3\,%2B\,2}{2x^2\,%2B\,4}$
$\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,\frac{3x^3\,%2B\,2}{2x^2\,%2B\,4}\,=\,%2B\infty\,\quad\,et\,\quad\,\lim_{x\,\to\,-\infty}\,\frac{3x^3\,%2B\,2}{2x^2\,%2B\,4}\,=\,-\infty$

Exercice 8 : limite de f à gauche
1) $f(x)\,=\,\frac{1}{(x-1)^2}$

Nous voulons étudier la limite de en 1 à gauche et à droite.

$\lim_{x\,\to\,1^-}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,1^-}\,\frac{1}{(x-1)^2}\,=\,%2B\infty$

$\lim_{x\,\to\,1^%2B}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,1^%2B}\,\frac{1}{(x-1)^2}\,=\,%2B\infty$

La limite de en 1 à gauche et à droite est donc $%2B\infty$ .

2) $f(x)\,=\,\frac{1-x}{x}$

Nous voulons étudier la limite de en 1 à gauche et à droite.

Pour proche de 1 :
$f(x)\,=\,\frac{1-x}{x}$

$\lim_{x\,\to\,1^-}\,\frac{1-x}{x}\,=\,\frac{1-1}{1}\,=\,0$

$\lim_{x\,\to\,1^%2B}\,\frac{1-x}{x}\,=\,\frac{1-1}{1}\,=\,0$

La limite de en 1 à gauche et à droite est donc 0.

3) $f(x)\,=\,\frac{\sqrt{x^2\,-\,1}}{x^2\,%2B\,6x\,-\,7}$

Nous voulons étudier la limite de en 1 à gauche et à droite.

$x^2\,%2B\,6x\,-\,7\,=\,(x-1)(x%2B7)$

Pour proche de 1 :

$\lim_{x\,\to\,1^-}\,\frac{\sqrt{x^2\,-\,1}}{(x-1)(x%2B7)}\,=\,\frac{0}{0}\,\,(forme\,indeterminee)$

En utilisant la règle de l’Hôpital :

$\lim_{x\,\to\,1^-}\,\frac{\frac{d}{dx}\,(\sqrt{x^2\,-\,1})}{\frac{d}{dx}\,((x-1)(x%2B7))}\,=\,\lim_{x\,\to\,1^-}\,\frac{\frac{x}{\sqrt{x^2\,-\,1}}}{2x\,%2B\,7}$

Quand approche 1 :

$\lim_{x\,\to\,1^-}\,\frac{\frac{1}{\sqrt{0}}}{2\,%2B\,7}\,=\,\lim_{x\,\to\,1^-}\,\frac{1}{0}\,=\,%2B\infty$

$\lim_{x\,\to\,1^%2B}\,\frac{\sqrt{x^2\,-\,1}}{(x-1)(x%2B7)}\,=\,\frac{0}{0}\,\,(forme\,indeterminee)$

En utilisant la règle de l’Hôpital :

$\lim_{x\,\to\,1^%2B}\,\frac{\frac{d}{dx}\,(\sqrt{x^2\,-\,1})}{\frac{d}{dx}\,((x-1)(x%2B7))}\,=\,\lim_{x\,\to\,1^%2B}\,\frac{\frac{x}{\sqrt{x^2\,-\,1}}}{2x\,%2B\,7}$

Quand approche 1 :

$\lim_{x\,\to\,1^%2B}\,\frac{\frac{1}{\sqrt{0}}}{2\,%2B\,7}\,=\,\lim_{x\,\to\,1^%2B}\,\frac{1}{0}\,=\,%2B\infty$

La limite de en 1 à gauche et à droite est donc $%2B\infty$ .

4) $f(x)\,=\,\frac{1}{%7Cx%7C}$

Nous voulons étudier la limite de en 1 à gauche et à droite.

$\lim_{x\,\to\,1^-}\,\frac{1}{%7Cx%7C}\,=\,\frac{1}{%7C1%7C}\,=\,1$

$\lim_{x\,\to\,1^%2B}\,\frac{1}{%7C1%7C}\,=\,1$

La limite de en 1 à gauche et à droite est donc 1.

Exercice 9 : justifier que ces implications sont fausses
Pour contredire les implications données, nous allons fournir des contre-exemples où les hypothèses sont vérifiées, mais les conclusions sont fausses.

1) Contre-exemple pour la première implication :
Prenons $f(x)\,=\,x$ et $g(x)\,=\,x\,%2B\,1$ . Alors,
$\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,g(x)\,=\,%2B\infty.$
Cependant,
$\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,(f(x)\,-\,g(x))\,=\,\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,(x\,-\,(x\,%2B\,1))\,=\,\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,(-1)\,=\,-1\,\neq\,0.$
Donc, cette implication est fausse.

2) Contre-exemple pour la deuxième implication :
Prenons $f(x)\,=\,x$ et $g(x)\,=\,2x$ . Alors,
$\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,g(x)\,=\,%2B\infty.$
Cependant,
$\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,\frac{f(x)}{g(x)}\,=\,\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,\frac{x}{2x}\,=\,\frac{1}{2}\,\neq\,1.$
Donc, cette implication est fausse.

3) Contre-exemple pour la troisième implication :
Prenons $f(x)\,=\,x$ et $g(x)\,=\,\frac{1}{x}$ . Alors,
$\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,f(x)\,=\,%2B\infty\,\quad\,et\,\quad\,\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,\frac{1}{g(x)}\,=\,\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,x\,=\,%2B\infty.$
Cependant,
$\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,f(x)g(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,x\,\cdot\,\frac{1}{x}\,=\,\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,1\,=\,1\,\neq\,0.$
Donc, cette implication est fausse.

Exercice 10 : implications vraies ou fausses ?

$f(x)\,\geq\,\,x^2$ $\Longrightarrow\,\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,f(x)\,=\,%2B\infty$ ?

Commençons par l’inégalité $f(x)\,\geq\,\,x^2$ . Lorsque $x\,\to\,%2B\infty$ , $x^2\,\to\,%2B\infty$ . Comme est toujours supérieur ou égal à et que tend vers l’infini, alors doit aussi tendre vers l’infini.
Donc, $\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,f(x)\,=\,%2B\infty$ .
\\
Vrai.

$f(x)\,\leq\,\,\frac{1}{x}$ $\Longrightarrow\,\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,f(x)\,=\,0$ ?

Considérons maintenant l’inégalité $f(x)\,\leq\,\,\frac{1}{x}$ . Lorsque $x\,\to\,%2B\infty$ , $\frac{1}{x}\,\to\,0$ . Comme est toujours inférieur ou égal à $\frac{1}{x}$ et que $\frac{1}{x}$ tend vers 0, alors doit à son tour tendre vers 0.
Donc, $\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,f(x)\,=\,0$ .
\\
Vrai.

$1\,\leq\,\,f(x)\,\leq\,\,x\,%2B\,1$ $\Longrightarrow\,\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,\frac{f(x)}{x^2}\,=\,0$ ?

Supposons $1\,\leq\,\,f(x)\,\leq\,\,x\,%2B\,1$ . Nous cherchons la limite de $\frac{f(x)}{x^2}$ quand $x\,\to\,%2B\infty$ . On a les inégalités suivantes :
$\frac{1}{x^2}\,\leq\,\,\frac{f(x)}{x^2}\,\leq\,\,\frac{x\,%2B\,1}{x^2}.$
Pour la borne supérieure $\frac{x\,%2B\,1}{x^2}$ , nous obtenons :
$\frac{x\,%2B\,1}{x^2}\,=\,\frac{x}{x^2}\,%2B\,\frac{1}{x^2}\,=\,\frac{1}{x}\,%2B\,\frac{1}{x^2}.$
Lorsque $x\,\to\,%2B\infty$ , $\frac{1}{x}\,\to\,0$ et $\frac{1}{x^2}\,\to\,0$ , donc $\frac{x\,%2B\,1}{x^2}\,\to\,0$ .

Par le théorème des gendarmes, $\frac{1}{x^2}\,\to\,0$ , $\frac{x\,%2B\,1}{x^2}\,\to\,0$ et $\frac{f(x)}{x^2}$ est encadré entre ces deux bornes.

Donc, $\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,\frac{f(x)}{x^2}\,=\,0$ .
\\
Vrai.

Exercice 11 : déduire l’équation d’une asymptote
1. $\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,f(x)\,=\,-\infty$

Cette limite indique que, lorsque tend vers $%2B\infty$ , f(x) devient infiniment négatif. Il n’y a donc pas d’asymptote horizontale ou oblique dans ce cas car la fonction décroît sans borne lorsque augmente.

2. $\lim_{x\,\to\,1}\,f(x)\,=\,10^{99}$

Cette limite indique que, lorsque tend vers , f(x) devient très grand et tend vers $10^{99}$ . Cependant, cela ne donne pas une asymptote mais une valeur précise de la fonction au voisinage de $x\,=\,1$ .

3. $\lim_{x\,\to\,0}\,f(x)\,=\,0$

Cette limite indique que, lorsque tend vers , f(x) tend vers . Une asymptote horizontale est $y\,=\,0$ dans ce cas.

4. $\lim_{x\,\to\,-\infty}\,f(x)\,=\,0$

Cette limite indique que, lorsque tend vers $-\infty$ , f(x) tend vers . Une asymptote horizontale est $y\,=\,0$ dans ce cas.

5. $\lim_{x\,\to\,0^{%2B}}\,f(x)\,=\,%2B\infty$

Cette limite indique que, lorsque tend vers par valeurs positives, f(x) devient infiniment grand. Cela suggère une asymptote verticale en $x\,=\,0$ .

6. $\lim_{x\,\to\,-\infty}\,f(x)\,=\,-10^{99}$

Cette limite indique que, lorsque tend vers $-\infty$ , f(x) tend vers $-10^{99}$ . Une asymptote horizontale dans ce cas est $y\,=\,-10^{99}$ .

Exercice 12 : limites de f en 1 à droite et à gauche
1) Justifier que n’est pas continue sur $\mathbb{R}$ .

Pour qu’une fonction soit continue en un point particulier, la limite à gauche et la limite à droite de ce point ainsi que la valeur de la fonction en ce point doivent être égales.

Examinons la continuité de en $x\,=\,1$ .

– Calculons la limite de en $x\,=\,1$ par la gauche :
$\lim_{x\,\to\,1^-}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,1^-}\,(\sqrt{x^2\,%2B\,1}\,-\,1)\,=\,\sqrt{1^2\,%2B\,1}\,-\,1\,=\,\sqrt{2}\,-\,1$
– Calculons la limite de en $x\,=\,1$ par la droite :
$\lim_{x\,\to\,1^%2B}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,1^%2B}\,(\sqrt{x^2\,%2B\,1}\,-\,1)\,=\,\sqrt{2}\,-\,1$
– La valeur de en $x\,=\,1$ est $f(1)\,=\,\alpha$ .

Pour que soit continue en $x\,=\,1$ , il faut que :
$\lim_{x\,\to\,1^-}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,1^%2B}\,f(x)\,=\,f(1)$
Ce qui nous donne l’équation suivante à résoudre :
$\sqrt{2}\,-\,1\,=\,\alpha$

Ainsi, pour tout $\alpha\,\neq\,\sqrt{2}\,-\,1$ , n’est pas continue sur tout $\mathbb{R}$ . Sur le graphique, le point à x=1 n’est pas sur la courbe $\mathcal{C}$ , ce qui indique que n’est pas continue sur $\mathbb{R}$ .

2) Donner les valeurs de f(1) et des limites de en 1 à gauche et à droite.

– La valeur de f(1) :
$f(1)\,=\,\alpha$
– La limite de en $x\,=\,1$ par la gauche :
$\lim_{x\,\to\,1^-}\,f(x)\,=\,\sqrt{2}\,-\,1$
– La limite de en $x\,=\,1$ par la droite :
$\lim_{x\,\to\,1^%2B}\,f(x)\,=\,\sqrt{2}\,-\,1$

3) Que doit valoir $\alpha$ pour que soit continue ?

Pour que soit continue à $x\,=\,1$ , il faut que :
$\alpha\,=\,\sqrt{2}\,-\,1$

Ainsi, pour que la fonction soit continue sur $\mathbb{R}$ , il faut que :
$\alpha\,=\,\sqrt{2\,-\,1}$

Exercice 13 : fonction cube et calculs de limites
Correction de l’exercice :

1) Les limites de en $\pm\infty$ .

$\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,x^3\,=\,%2B\infty$
$\lim_{x\,\to\,-\infty}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,-\infty}\,x^3\,=\,-\infty$

2) Tableau de variation de .

La dérivée de est :
$f'(x)\,=\,3x^2$

Le signe de f'(x) est le même que celui de x^2 , soit toujours positif sauf en $x\,=\,0$ où il est nul. Cela veut dire que est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

Tableau de variation :
$\begin{array}{%7Cc%7Cccccc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,-\infty\,%26\,%26\,0\,%26\,%26\,%2B\infty\,\\%0D%0A\hline%0D%0Af(x)\,%26\,-\infty\,%26\,\nearrow\,%26\,0\,%26\,\nearrow\,%26\,%2B\infty\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

3) Justification de l’unique solution des équations suivantes :

a) $f(x)\,=\,4$ sur $%5B1.5\,%3B\,1.6%5D$

On cherche à résoudre $x^3\,=\,4$ .

Pour $x\,\in\,%5B1.5\,%3B\,1.6%5D$ , nous pouvons vérifier que :
$1.5^3\,=\,3.375\,\quad\,et\,\quad\,1.6^3\,=\,4.096$

Or, $3.375\,%3C\,4\,%3C\,4.096$ , donc par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique $x\,\in\,%5B1.5\,%3B\,1.6%5D$ tel que $x^3\,=\,4$ .

b) $f(x)\,=\,-3$ sur $\mathbb{R}$

On cherche à résoudre $x^3\,=\,-3$ .

Pour $x\,=\,-\sqrt%5B3%5D{3}$ , nous avons :
$(-\sqrt%5B3%5D{3})^3\,=\,-3$

Ainsi, $x\,=\,-\sqrt%5B3%5D{3}$ est la seule solution sur $\mathbb{R}$ telle que $x^3\,=\,-3$ car est strictement croissante, donc injective sur $\mathbb{R}$ .

Exercice 14 : fonction valeur absolue
$Soit\,\,x\,\mapsto \,\lfloor\,x\,\rfloor\,\,la\,fonction\,partie\,entiere.$

$1)\,Representer\,graphiquement\,cette\,fonction.$

La fonction partie entière $\lfloor x \rfloor$ renvoie le plus grand entier inférieur ou égal à $x$. La représentation graphique de cette fonction est une suite de segments horizontaux, chacun compris entre deux entiers consécutifs. Par exemple :

$\begin{cases}%0D%0A\lfloor\,x\,\rfloor\,=\,-1\,%26\,pour\,\,-1\,\leq\,\,x\,%3C\,0\,\\%0D%0A\lfloor\,x\,\rfloor\,=\,0\,%26\,pour\,\,0\,\leq\,\,x\,%3C\,1\,\\%0D%0A\lfloor\,x\,\rfloor\,=\,1\,%26\,pour\,\,1\,\leq\,\,x\,%3C\,2\,\\%0D%0A\vdots\,%26\,\vdots\,\\%0D%0A\end{cases}$

$2)\,Resoudre\,dans\,%24\mathbb{R}%24\,l'equation\,%3A$

$a)\,%24\lfloor\,x\,\rfloor\,=\,\frac{1}{2}$ $

La fonction $\lfloor x \rfloor$ prend seulement des valeurs entières. Il n’y a donc aucun $x \in \mathbb{R}$ tel que $\lfloor x \rfloor = \frac{1}{2}$.
$Aucune\,solution$

$b)\,%24\lfloor\,x\,\rfloor\,=\,1$ $

La fonction $\lfloor x \rfloor = 1$ signifie que $x$ est dans l’intervalle $[1, 2[$. En d’autres termes, tous les réels $x$ pour lesquels $1 \leq\, x < 2$ sont solutions.

$x\,\in\,%5B1%2C\,2%5B$

Exercice 15 : fonction numérique et courbe
1) La fonction est continue sur l’intervalle $I\,=\,%5B-5\,%3B\,7%5D$ car sa courbe représentative ne présente ni trous, ni sauts, ni asymptotes sur cet intervalle. En d’autres termes, pour tout dans , la courbe de est définie et ne présente pas de discontinuité apparente.

2) Le tableau de variation de sur :

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,-5\,%26\,-3\,%26\,1\,%26\,3\,%26\,4\,%26\,5\,%26\,7\,\\\,\hline%0D%0Af(x)\,%26\,3\,%26\,-2\,%26\,3\,%26\,0\,%26\,3\,%26\,-2\,%26\,3\,\\\,\hline%0D%0AVariation\,%26\,%26\,\searrow\,%26\,%26\,\searrow\,%26\,%26\,\searrow\,%26\,\\\,\hline%0D%0A\end{array}$

Les variations sont telles que diminue sur $%5B-5\,\,a\,\,-3%5D$ , augmente sur $%5B-3\,\,a\,\,1%5D$ , diminue de nouveau sur $%5B1\,\,a\,\,3%5D$ , puis augmente sur $%5B3\,\,a\,\,4%5D$ , diminue sur $%5B4\,\,a\,\,5%5D$ et finalement augmente sur $%5B5\,\,a\,\,7%5D$ .

3) Pour dénombrer les solutions de l’équation $f(x)\,=\,0$ :

a) Dans l’intervalle $%5B1\,%3B\,5%5D$ :

On remarque que la courbe croise l’axe des abscisses trois fois dans cet intervalle :
– Entre $x\,=\,1$ et $x\,=\,3$ ;
– Entre $x\,=\,3$ et $x\,=\,4$ ;
– Entre $x\,=\,4$ et $x\,=\,5$ .

Donc, il y a 3 solutions dans l’intervalle $%5B1\,%3B\,5%5D$ .

b) Dans l’intervalle $%5B-1\,%3B\,1%5D$ :

On remarque que la courbe ne croise pas l’axe des abscisses dans cet intervalle.

Donc, il n’y a pas de solutions dans l’intervalle $%5B-1\,%3B\,1%5D$ .

c) Dans l’intervalle :

On remarque que la courbe croise l’axe des abscisses cinq fois dans l’intervalle $%5B-5\,%3B\,7%5D$ :
– Entre $x\,=\,-4$ et $x\,=\,-3$ ;
– Entre $x\,=\,1$ et $x\,=\,3$ ;
– Entre $x\,=\,3$ et $x\,=\,4$ ;
– Entre $x\,=\,4$ et $x\,=\,5$ ;
– Entre $x\,=\,5$ et $x\,=\,6$ .

Donc, il y a 5 solutions dans l’intervalle $I\,=\,%5B-5\,%3B\,7%5D$ .

Exercice 16 : limite en + et – l’infini
1) D’après la représentation graphique, on pourrait conjecturer que la fonction f(x) tend vers $%2B\infty$ quand tend vers $%2B\infty$ ou $-\infty$ .

2) Étudions les limites de en $%2B\infty$ et en $-\infty$ :

La fonction donnée est :
$f(x)\,=\,x^2\,(\,1\,-\,\frac{x^2}{9}\,).$

Pour $x\,\to\,%2B\infty$ :
$f(x)\,=\,x^2\,(\,1\,-\,\frac{x^2}{9}\,)\,=\,x^2\,-\,\frac{x^4}{9}.$
La terme prédominant pour $x\,\to\,%2B\infty$ est $-\frac{x^4}{9}$ , donc :
$\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,(\,x^2\,-\,\frac{x^4}{9}\,)\,=\,-\infty.$

Pour $x\,\to\,-\infty$ :
$f(x)\,=\,x^2\,(\,1\,-\,\frac{x^2}{9}\,)\,=\,x^2\,-\,\frac{x^4}{9}.$
Pour les mêmes raisons qu’au cas précédent, la terme prédominant est $-\frac{x^4}{9}$ , donc :
$\lim_{x\,\to\,-\infty}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,-\infty}\,(\,x^2\,-\,\frac{x^4}{9}\,)\,=\,-\infty.$

3) La conjecture était erronée parce que la représentation graphique semblait montrer une croissance sans borne de la fonction pour $x\,\to\,%2B\infty$ et $x\,\to\,-\infty$ . Cependant, l’analyse rigoureuse des termes dominants de la fonction montre que, en réalité, f(x) tend vers $-\infty$ quand $x\,\to\,%2B\infty$ ou $x\,\to\,-\infty$ .

Exercice 17 : logiciel de géométrie dynamique et valeur exacte d’une limite
1) L’ensemble de définition de la fonction est $\mathbb{R}$ , car il n’y a aucune restriction sur pour que l’expression $\sqrt{3x^2\,%2B\,x\,%2B\,7}$ soit définie.

2) a) Voici une trace de la courbe de la fonction à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique :

*Graphique non fourni ici.*

2) b) Conjecture pour la limite en $%2B\infty$ de la fonction :
En observant la courbe tracée, on peut conjecturer que la limite de g(x) lorsque tend vers $%2B\infty$ est proche de 0.

3) Déterminons par calcul la valeur exacte de la limite de en $%2B\infty$ :

$g(x)\,=\,\frac{x}{\sqrt{3x^2\,%2B\,x\,%2B\,7}}$

En divisant le numérateur et le dénominateur par , on obtient :

$g(x)\,=\,\frac{x}{\sqrt{3x^2\,%2B\,x\,%2B\,7}}\,=\,\frac{x}{x\,\sqrt{3\,%2B\,\frac{1}{x}\,%2B\,\frac{7}{x^2}}}\,=\,\frac{1}{\sqrt{3\,%2B\,\frac{1}{x}\,%2B\,\frac{7}{x^2}}}$

Lorsque tend vers $%2B\infty$ , les termes $\frac{1}{x}$ et $\frac{7}{x^2}$ tendent vers 0, donc :

$\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,\frac{1}{\sqrt{3\,%2B\,\frac{1}{x}\,%2B\,\frac{7}{x^2}}}\,=\,\frac{1}{\sqrt{3\,%2B\,0\,%2B\,0}}\,=\,\frac{1}{\sqrt{3}}\,=\,\frac{1}{\sqrt{3}}$

Ainsi, la limite de g(x) en $%2B\infty$ est :

$\frac{1{\sqrt{3}}}$

Exercice 18 : fonction rationnelle et limite
Pour déterminer les limites de la fonction en $-\infty$ et $%2B\infty$ , nous procédons comme suit :

$f(x)\,=\,\frac{1\,-\,3x}{x^2\,-\,9}\,=\,\frac{1\,-\,3x}{(x-3)(x%2B3)}$

1) $Limite\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%22\,alt=%22f$ en $-\infty$ et $%2B\infty$ » align= »absmiddle » />

$\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,\frac{1\,-\,3x}{x^2\,-\,9}\,=\,\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,\frac{\frac{1}{x}\,-\,3}{x\,-\,\frac{9}{x}}\,=\,\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,\frac{0\,-\,3}{x\,-\,0}\,=\,0$

$\lim_{x\,\to\,-\infty}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,-\infty}\,\frac{1\,-\,3x}{x^2\,-\,9}\,=\,\lim_{x\,\to\,-\infty}\,\frac{\frac{1}{x}\,-\,3}{x\,-\,\frac{9}{x}}\,=\,\lim_{x\,\to\,-\infty}\,\frac{0\,-\,3}{x\,-\,0}\,=\,0$

Donc,

$\lim_{x\,\to\,%2B\infty\,f(x)\,=\,0\,\quad\,et\,\quad\,\lim_{x\,\to\,-\infty}\,f(x)\,=\,0}$

2) $Explication\,de\,la\,contradiction\,apparente\,%3A$

En observant le graphe sur la calculatrice, il semble que la fonction diverge vers $%2B\infty$ et $-\infty$ aux voisinages de $x\,=\,3$ et $x\,=\,-3$ . Cela s’explique par la présence de pôles en ces points. En effet, le dénominateur s’annule pour $x\,=\,3$ et $x\,=\,-3$ , conduisant à des asymptotes verticales aux points $x\,=\,3$ et $x\,=\,-3$ .

Ainsi, bien que la fonction tende vers 0 à $\pm\,\infty$ , elle diverge en $x\,=\,3$ et $x\,=\,-3$ . Ce comportement est conforme aux résultats obtenus et explique pourquoi le graphe semble présenter une contradiction.

Exercice 19 : fonction rationnelle et limite
1) Basé sur le tableau donné, on peut conjecturer que la limite de en $%2B\infty$ est 2.5 .

Justifions cette limite :

Observons la fonction $h(x)\,=\,\frac{5x\,-\,8}{2x\,%2B\,1}$ . Pour trouver la limite de h(x) lorsque tend vers $%2B\infty$ , nous divisons le numérateur et le dénominateur par :

$h(x)\,=\,\frac{5x\,-\,8}{2x\,%2B\,1}\,=\,\frac{5\,-\,\frac{8}{x}}{2\,%2B\,\frac{1}{x}}$

Lorsque tend vers $%2B\infty$ , $\frac{8}{x}$ et $\frac{1}{x}$ approchent de zéro. Ainsi, nous obtenons :

$\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,\frac{5\,-\,\frac{8}{x}}{2\,%2B\,\frac{1}{x}}\,=\,\frac{5\,-\,0}{2\,%2B\,0}\,=\,\frac{5}{2}\,=\,2.5$

Donc, la limite de h(x) lorsque tend vers $%2B\infty$ est bien 2.5 .

2) Graphiquement, cette limite signifie que la courbe de se rapproche de la droite horizontale $y\,=\,2.5$ à mesure que augmente indéfiniment. En d’autres termes, la droite $y\,=\,2.5$ est une asymptote horizontale de la courbe de la fonction sur l’intervalle $%5D0\,%3B\,%2B\infty%5B$ .

Exercice 20 : capture d’écran et calculatrice
Pour associer chaque fonction à sa courbe représentée, nous devons examiner les formes des asymptotes verticales et horizontales ainsi que le comportement général des fonctions.

Analysons d’abord les asymptotes verticales pour chaque fonction en identifiant où le dénominateur s’annule:

1. $x^2\,%2B\,x\,-\,2\,=\,(x\,%2B\,2)(x\,-\,1)$

Le dénominateur s’annule pour $x\,=\,-2$ et $x\,=\,1$ .

En conséquence, les fonctions ont des asymptotes verticales en $x\,=\,-2$ et $x\,=\,1$ .

Les fonctions à comparer sont :

1. $f(x)\,=\,\frac{x^2\,%2B\,4x\,%2B\,3}{x^2\,%2B\,x\,-\,2}$
2. $f(x)\,=\,\frac{7\,-\,x^3}{x^2\,%2B\,x\,-\,2}$
3. $f(x)\,=\,\frac{2x}{x^2\,%2B\,x\,-\,2}$
4. $f(x)\,=\,\frac{x^4\,%2B\,2}{x^2\,%2B\,x\,-\,2}$

Analysons chaque fonction pour déterminer son comportement.

### Fonction 1 : $f(x)\,=\,\frac{x^2\,%2B\,4x\,%2B\,3}{x^2\,%2B\,x\,-\,2}$

$f(x)\,=\,\frac{(x%2B3)(x%2B1)}{(x%2B2)(x-1)}$

Pour $x\,\to\,\infty$ ou $x\,\to\,-\infty$ , $\frac{x^2\,%2B\,4x\,%2B\,3}{x^2\,%2B\,x\,-\,2}\,\approx\,1$ , donc l’asymptote horizontale est $y\,=\,1$ .

### Fonction 2 : $f(x)\,=\,\frac{7\,-\,x^3}{x^2\,%2B\,x\,-\,2}$

Pour $x\,\to\,\infty$ ou $x\,\to\,-\infty$ , on obtient $f(x)\,\approx\,-\frac{x^3}{x^2}\,=\,-x$ , donc l’asymptote oblique est $y\,=\,-x$ .

### Fonction 3 : $f(x)\,=\,\frac{2x}{x^2\,%2B\,x\,-\,2}$

Pour $x\,\to\,\infty$ ou $x\,\to\,-\infty$ , on obtient $f(x)\,\approx\,\frac{2x}{x^2}\,=\,\frac{2}{x}$ et donc $y\,=\,0$ .

### Fonction 4 : $f(x)\,=\,\frac{x^4\,%2B\,2}{x^2\,%2B\,x\,-\,2}$

Pour $x\,\to\,\infty$ ou $x\,\to\,-\infty$ , on obtient $f(x)\,\approx\,\frac{x^4}{x^2}\,=\,x^2$ , ce qui indique que cette fonction a une croissance quadratique ouverte vers le haut.

Maintenant, comparons chaque courbe :

– $Courbe\,a\,%3A$ a une asymptote horizontale en $y\,=\,1$ .
– $Courbe\,b\,%3A$ a une asymptote oblique en $y\,=\,-x$ .
– $Courbe\,c\,%3A$ a une asymptote horizontale en $y\,=\,0$ .
– $Courbe\,d\,%3A$ semble croître quadratiquement vers le haut.

En associant ces observations :

– La courbe a correspond à $f(x)\,=\,\frac{x^2\,%2B\,4x\,%2B\,3}{x^2\,%2B\,x\,-\,2}$ .
– La courbe b correspond à $f(x)\,=\,\frac{7\,-\,x^3}{x^2\,%2B\,x\,-\,2}$ .
– La courbe c correspond à $f(x)\,=\,\frac{2x}{x^2\,%2B\,x\,-\,2}$ .
– La courbe d correspond à $f(x)\,=\,\frac{x^4\,%2B\,2}{x^2\,%2B\,x\,-\,2}$ .

Donc, les correspondances sont :

$a\,rightarrow\,\frac{x^2\,%2B\,4x\,%2B\,3}{x^2\,%2B\,x\,-\,2}$
$b\,rightarrow\,\frac{7\,-\,x^3}{x^2\,%2B\,x\,-\,2}$
$c\,rightarrow\,\frac{2x}{x^2\,%2B\,x\,-\,2}$
$d\,rightarrow\,\frac{x^4\,%2B\,2}{x^2\,%2B\,x\,-\,2}$

Voir Corrigés 11 à 20 ...

Exercice 21 : déterminer les limites de la fonction aux bornes de son ensemble de définition
1) $f(x)\,=\,x^3\,%2B\,3x^2\,-\,6$

L’ensemble de définition est $D\,=\,%5D-\infty\,%3B\,%2B\infty%5B$ .

– $\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,(x^3\,%2B\,3x^2\,-\,6)\,=\,%2B\infty$ .
– $\lim_{x\,\to\,-\infty}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,-\infty}\,(x^3\,%2B\,3x^2\,-\,6)\,=\,-\infty$ .

2) $f(x)\,=\,\frac{1}{x\,%2B\,2}$

L’ensemble de définition est $D\,=\,%5D-\infty\,%3B\,-2%5B\,\cup\,%5D-2\,%3B\,%2B\infty%5B$ .

– $\lim_{x\,\to\,-2^-}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,-2^-}\,\frac{1}{x\,%2B\,2}\,=\,-\infty$ .
– $\lim_{x\,\to\,-2^%2B}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,-2^%2B}\,\frac{1}{x\,%2B\,2}\,=\,%2B\infty$ .
– $\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,\frac{1}{x\,%2B\,2}\,=\,0$ .
– $\lim_{x\,\to\,-\infty}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,-\infty}\,\frac{1}{x\,%2B\,2}\,=\,0$ .

3) $f(x)\,=\,\frac{1\,-\,\frac{1}{x}}{1\,-\,\frac{2x}{(x\,-\,2)^2}}$

L’ensemble de définition est $D\,=\,%5D-\infty\,%3B\,1%5B\,\cup\,%5D1\,%3B\,%2B\infty%5B$ .

– $\lim_{x\,\to\,1^-}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,1^-}\,\frac{1\,-\,\frac{1}{x}}{1\,-\,\frac{2x}{(x\,-\,2)^2}}\,=\,-\infty$ .
– $\lim_{x\,\to\,1^%2B}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,1^%2B}\,\frac{1\,-\,\frac{1}{x}}{1\,-\,\frac{2x}{(x\,-\,2)^2}}\,=\,%2B\infty$ .
– $\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,\frac{1\,-\,\frac{1}{x}}{1\,-\,\frac{2x}{(x\,-\,2)^2}}\,=\,1$ .
– $\lim_{x\,\to\,-\infty}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,-\infty}\,\frac{1\,-\,\frac{1}{x}}{1\,-\,\frac{2x}{(x\,-\,2)^2}}\,=\,1$ .

4) $f(x)\,=\,\frac{1\,-\,2x}{(x\,-\,2)^2}$

L’ensemble de définition est $D\,=\,%5D-\infty\,%3B\,2%5B\,\cup\,%5D2\,%3B\,%2B\infty%5B$ .

– $\lim_{x\,\to\,2^-}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,2^-}\,\frac{1\,-\,2x}{(x\,-\,2)^2}\,=\,-\infty$ .
– $\lim_{x\,\to\,2^%2B}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,2^%2B}\,\frac{1\,-\,2x}{(x\,-\,2)^2}\,=\,%2B\infty$ .
– $\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,\frac{1\,-\,2x}{(x\,-\,2)^2}\,=\,\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,(\,\frac{1}{x^2}\,-\,\frac{2}{x}\,)\,=\,0$ .
– $\lim_{x\,\to\,-\infty}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,-\infty}\,\frac{1\,-\,2x}{(x\,-\,2)^2}\,=\,\lim_{x\,\to\,-\infty}\,(\,\frac{1}{x^2}\,-\,\frac{2}{x}\,)\,=\,0$ .

Exercice 22 : limites aux bornes de l’ensemble de définition
Correction de l’exercice :

1) Exprimer f(x) sous la forme $a\,%2B\,\frac{b}{x-2}$ .

$f(x)\,=\,\frac{-5x\,%2B\,3}{x\,-\,2}$

Nous allons séparer $\frac{-5x\,%2B\,3}{x\,-\,2}$ en deux termes :

$f(x)\,=\,-5\,%2B\,\frac{10\,%2B\,3}{x\,-\,2}$
$f(x)\,=\,-5\,%2B\,\frac{13}{x\,-\,2}$

Donc, $f(x)\,=\,-5\,%2B\,\frac{13}{x\,-\,2}$ .

2) Donner les limites aux bornes de $\mathcal{D}$ .

Les bornes de $\mathcal{D}$ sont $-\infty$ et $%2B\infty$ puisque $\mathcal{D}\,=\,\mathbb{R}\,\setminus\,\{2\}$ .

$\lim\limits_{x\,\to\,2^-}\,f(x)\,=\,\lim\limits_{x\,\to\,2^-}\,(-5\,%2B\,\frac{13}{x-2})$

Quand s’approche de par la gauche, $x\,-\,2$ est négatif et tend vers 0, donc
$\frac{13}{x-2}\,\to\,-\infty$

$\lim\limits_{x\,\to\,2^-}\,f(x)\,=\,-5\,%2B\,(-\infty)\,\to\,-\infty$

$\lim\limits_{x\,\to\,2^%2B}\,f(x)\,=\,\lim\limits_{x\,\to\,2^%2B}\,(-5\,%2B\,\frac{13}{x-2})$

Quand s’approche de par la droite, $x\,-\,2$ est positif et tend vers 0, donc
$\frac{13}{x-2}\,\to\,%2B\infty$

$\lim\limits_{x\,\to\,2^%2B}\,f(x)\,=\,-5\,%2B\,(%2B\infty)\,\to\,%2B\infty$

Pour les bornes à l’infini :

$\lim\limits_{x\,\to\,-\infty}\,f(x)\,=\,\lim\limits_{x\,\to\,-\infty}\,(-5\,%2B\,\frac{13}{x-2})$

Comme $x\,\to\,-\infty$ , $\frac{13}{x-2}\,\to\,0$ .

Donc,

$\lim\limits_{x\,\to\,-\infty}\,f(x)\,=\,-5$

$\lim\limits_{x\,\to\,%2B\infty}\,f(x)\,=\,\lim\limits_{x\,\to\,%2B\infty}\,(-5\,%2B\,\frac{13}{x-2})$

Comme $x\,\to\,%2B\infty$ , $\frac{13}{x-2}\,\to\,0$ .

Donc,

$\lim\limits_{x\,\to\,%2B\infty}\,f(x)\,=\,-5$

3) Dresser le tableau de variation .

Analysons la dérivée pour les variations de la fonction :

$f'(x)\,=\,\frac{d}{dx}\,(\,-5\,%2B\,\frac{13}{x-2}\,)\,=\,\frac{d}{dx}\,(\,\frac{13}{x-2}\,)$

$f'(x)\,=\,\frac{-13}{(x-2)^2}$

La dérivée est toujours négative sauf en $x\,=\,2$ où elle tend vers $-\infty$ . Cela signifie que la fonction est décroissante sur son domaine $\mathcal{D}$ .

Par conséquent, voici le tableau de variation de :

$\begin{array}{%7Cc%7Cccc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,-\infty\,%26\,2\,%26\,%2B\infty\,\\%0D%0A\hline%0D%0Af(x)\,%26\,-5\,%26\,-\infty\,%26\,%2B\infty\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Exercice 23 : fonction rationnelle et limite en un point

$\lim_{{x\,\to\,2}}\,(x\,-\,2)\,=\,0$
$\lim_{{x\,\to\,2}}\,(x^3\,-\,x\,-\,6)\,=\,2^3\,-\,2\,-\,6\,=\,8\,-\,2\,-\,6\,=\,0$
Donc, la limite de la fonction f(x) en 2 est indéterminée.

Pour conjecturer la limite de f(x) en 2, nous pouvons calculer les valeurs de f(x) pour les valeurs de proches de 2 à l’aide de la calculatrice :

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,f(x)\,\\%0D%0A\hline%0D%0A1.9\,%26\,\approx\,10.49\,\\%0D%0A1.99\,%26\,\approx\,10.49\,\\%0D%0A2.01\,%26\,\approx\,10.51\,\\%0D%0A2.1\,%26\,\approx\,10.51\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

En observant les valeurs numériques, on peut conjecturer que la limite de f(x) lorsque $x\,\to\,2$ est 10.5.

Effectuons le développement du numérateur $x^3\,-\,x\,-\,6$ en facteur de $(x\,-\,2)$ :

$x^3\,-\,x\,-\,6\,=\,(x\,-\,2)(x^2\,%2B\,2x\,%2B\,3)$

Donc, on peut réécrire f(x) comme suit

$f(x)\,=\,\frac{x^3\,-\,x\,-\,6}{x\,-\,2}\,=\,\frac{(x\,-\,2)(x^2\,%2B\,2x\,%2B\,3)}{x\,-\,2}\,=\,x^2\,%2B\,2x\,%2B\,3$

Ainsi, lorsque $x\,\to\,2$ ,

$f(x)\,\to\,2^2\,%2B\,2\,\times \,2\,%2B\,3\,=\,4\,%2B\,4\,%2B\,3\,=\,11$

Donc, la limite de f(x) lorsque $x\,\to\,2$ est 11.

Exercice 24 : calculer plusieurs limites en l’infini
$Correction\,de\,l'exercice\,de\,mathematiques\,%3A\,Etudier\,la\,limite\,de\,la\,fonction\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%22\,alt=%22f$ en $%2B\infty$ et en $-\infty$ . » align= »absmiddle » />

1. $f(x)\,=\,x^2\,-\,5x\,%2B\,6$

Pour $x\,\to\,%2B\infty$ et $x\,\to\,-\infty$ , le terme dominant est x^2 .
$\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,(x^2\,-\,5x\,%2B\,6)\,=\,%2B\infty$
$\lim_{x\,\to\,-\infty}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,-\infty}\,(x^2\,-\,5x\,%2B\,6)\,=\,%2B\infty$

2. $f(x)\,=\,-4x^2\,%2B\,6x\,-\,7$

Pour $x\,\to\,%2B\infty$ et $x\,\to\,-\infty$ , le terme dominant est -4x^2 .
$\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,(-4x^2\,%2B\,6x\,-\,7)\,=\,-\infty$
$\lim_{x\,\to\,-\infty}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,-\infty}\,(-4x^2\,%2B\,6x\,-\,7)\,=\,-\infty$

3. $f(x)\,=\,\frac{2x\,%2B\,1}{x\,-\,1}$

$\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,\frac{2x\,%2B\,1}{x\,-\,1}\,=\,\frac{2\,%2B\,\frac{1}{x}}{1\,-\,\frac{1}{x}}\,=\,2$
$\lim_{x\,\to\,-\infty}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,-\infty}\,\frac{2x\,%2B\,1}{x\,-\,1}\,=\,\frac{2\,%2B\,\frac{1}{x}}{1\,-\,\frac{1}{x}}\,=\,2$

4. $f(x)\,=\,\frac{2x^2\,-\,3x\,%2B\,5}{x^3\,%2B\,x\,-\,3}$

Pour $x\,\to\,%2B\infty$ et $x\,\to\,-\infty$ , le terme dominant au numérateur est 2x^2 et celui au dénominateur est x^3 .
$\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,\frac{2x^2\,-\,3x\,%2B\,5}{x^3\,%2B\,x\,-\,3}\,=\,\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,\frac{2%2Fx}{1\,%2B\,1%2Fx^2\,-\,3%2Fx^3}\,=\,0$
$\lim_{x\,\to\,-\infty}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,-\infty}\,\frac{2x^2\,-\,3x\,%2B\,5}{x^3\,%2B\,x\,-\,3}\,=\,\lim_{x\,\to\,-\infty}\,\frac{2%2Fx}{1\,%2B\,1%2Fx^2\,-\,3%2Fx^3}\,=\,0$

5. $f(x)\,=\,\frac{x^3}{x^2\,%2B\,1}$

Pour $x\,\to\,%2B\infty$ et $x\,\to\,-\infty$ , le terme dominant au numérateur est x^3 et celui au dénominateur est x^2 .
$\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,\frac{x^3}{x^2\,%2B\,1}\,=\,\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,\frac{x^3}{x^2(1\,%2B\,1%2Fx^2)}\,=\,\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,\frac{x}{1\,%2B\,1%2Fx^2}\,=\,%2B\infty$
$\lim_{x\,\to\,-\infty}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,-\infty}\,\frac{x^3}{x^2\,%2B\,1}\,=\,\lim_{x\,\to\,-\infty}\,\frac{x^3}{x^2(1\,%2B\,1%2Fx^2)}\,=\,\lim_{x\,\to\,-\infty}\,\frac{x}{1\,%2B\,1%2Fx^2}\,=\,-\infty$

6. $f(x)\,=\,\frac{2x\,-\,\sqrt{x}}{\sqrt{x}\,-\,3}$

Pour $x\,\to\,%2B\infty$ , le terme dominant au numérateur et au dénominateur est .
$\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,\frac{2x\,-\,\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\,=\,\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,\frac{2x}{x}\,=\,2$

$\lim_{x\,\to\,-\infty}\,f(x)\,=\,\%2C\,(non\,defini\,car\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Csqrt%257Bx%22\,alt=%22\sqrt{x$ n’est pas definie pour negatif)} » align= »absmiddle » />

7. $f(x)\,=\,2x\,-\,\sqrt{4x^2\,-\,1}$

Pour $x\,\to\,%2B\infty$ et $x\,\to\,-\infty$ , le terme dominant est .
$\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,(\,2x\,-\,\sqrt{4x^2\,-\,1}\,)\,=\,\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,(\,2x\,-\,2x\,\sqrt{1\,-\,\frac{1}{4x^2}}\,)\,=\,\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,(\,2x\,-\,2x\,(\,1\,-\,\frac{1}{2x^2}\,)\,)\,=\,0$
$\lim_{x\,\to\,-\infty}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,-\infty}\,(\,2x\,-\,\sqrt{4x^2\,-\,1}\,)\,=\,\lim_{x\,\to\,-\infty}\,(\,2x\,-\,2x\,\sqrt{1\,-\,\frac{1}{4x^2}}\,)\,=\,\lim_{x\,\to\,-\infty}\,(\,2x\,-\,2x\,(\,1\,-\,\frac{1}{2x^2}\,)\,)\,=\,0$

8. $f(x)\,=\,\frac{\sqrt{x^2\,-\,2x\,%2B\,3}}{x}$

Pour $x\,\to\,%2B\infty$ et $x\,\to\,-\infty$ , le terme dominant est .
$\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,\frac{\sqrt{x^2\,-\,2x\,%2B\,3}}{x}\,=\,\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,\sqrt{1\,-\,\frac{2}{x}\,%2B\,\frac{3}{x^2}}\,=\,\sqrt{1}\,=\,1$
$\lim_{x\,\to\,-\infty}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,-\infty}\,\frac{\sqrt{x^2\,-\,2x\,%2B\,3}}{x}\,=\,\lim_{x\,\to\,-\infty}\,\sqrt{1\,-\,\frac{2}{x}\,%2B\,\frac{3}{x^2}}\,=\,\sqrt{1}\,=\,1$

Exercice 25 : démontrer puis déduire la limite
1) Soit la fonction définie sur $\mathbb{R}^%2A$ par :
$f(x)\,=\,\frac{\lfloor\,x\,\rfloor}{x^2}$

Pour tout $x\,\in\,\mathbb{R}\,\setminus\,\mathbb{Z}$ , on a :
$\lfloor\,x\,\rfloor\,\leq\,\,x\,%3C\,\lfloor\,x\,\rfloor\,%2B\,1$
En divisant par x^2 (ce qui est permis puisque $x\,\neq\,0$ ), on obtient :
$\frac{\lfloor\,x\,\rfloor}{x^2}\,\leq\,\,\frac{x}{x^2}\,=\,\frac{1}{x}$
$\frac{\lfloor\,x\,\rfloor}{x^2}\,>\,\frac{x\,-\,1}{x^2}\,=\,\frac{-1}{x^2}\,%2B\,\frac{1}{x}$

2) Pour déterminer la limite de en $-\infty$ et $%2B\infty$ , analysons les bornes trouvées :

– Lorsque tend vers $%2B\infty$ :
On observe que $\frac{1}{x}$ tend vers 0 et $\frac{x-1}{x^2}\,=\,\frac{1}{x}\,-\,\frac{1}{x^2}$ tend également vers 0, donc par encadrement, on en déduit:
$\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,f(x)\,=\,0$

– Lorsque tend vers $-\infty$ :
On observe que $\frac{1}{x}$ tend vers 0 et $\frac{x-1}{x^2}$ tend également vers 0, donc par encadrement, on en déduit:
$\lim_{x\,\to\,-\infty}\,f(x)\,=\,0$

Ainsi, les limites de sont :
$\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,f(x)\,=\,0$
$\lim_{x\,\to\,-\infty}\,f(x)\,=\,0$

Exercice 26 : déterminer l’équation d’une asymptote
Correction de l’exercice :

1) $\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,f(x)\,=\,3$

L’équation de l’asymptote horizontale est $y\,=\,3$ .

\vspace{10pt}

2) $\lim_{x\,\to\,%2B3}\,f(x)\,=\,-\infty$

L’équation de l’asymptote verticale est $x\,=\,3$ .

\vspace{10pt}

3) $\lim_{x\,\to\,-\infty}\,f(x)\,=\,%2B\infty$

Il n’y a pas d’asymptote horizontale ou verticale.

\vspace{10pt}

4) $\lim_{x\,\to\,0}\,f(x)\,=\,%2B\infty$

L’équation de l’asymptote verticale est $x\,=\,0$ .

\vspace{10pt}

5) $\lim_{x\,\to\,-\infty}\,f(x)\,=\,0$

L’équation de l’asymptote horizontale est $y\,=\,0$ .

\vspace{10pt}

6) $\lim_{x\,\to\,1}\,f(x)\,=\,-\infty$

L’équation de l’asymptote verticale est $x\,=\,1$ .

\vspace{10pt}

7) $\lim_{x\,\to\,\infty}\,f(x)\,=\,10^{100}$

L’équation de l’asymptote horizontale est $y\,=\,10^{100}$ .

\vspace{10pt}

8) $\lim_{x\,\to\,%2B1}\,f(x)\,=\,1$

Il n’y a pas d’asymptote correspondante car la limite est finie mais x = 1 n’est pas à $\pm\,\infty$ .

Exercice 27 : asymptotes à la courbe représentative

Les limites de en $%2B\infty$ et en $-\infty$

Pour $x\,\to\,%2B\infty$ :
$\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,(-2\,%2B\,\frac{1}{x})\,=\,-2\,%2B\,\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,\frac{1}{x}\,=\,-2\,%2B\,0\,=\,-2.$
Donc,
$\lim_{x\,\to\,%2B\infty}\,f(x)\,=\,-2.$

Pour $x\,\to\,-\infty$ :
$\lim_{x\,\to\,-\infty}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,-\infty}\,(-2\,%2B\,\frac{1}{x})\,=\,-2\,%2B\,\lim_{x\,\to\,-\infty}\,\frac{1}{x}\,=\,-2\,%2B\,0\,=\,-2.$
Donc,
$\lim_{x\,\to\,-\infty}\,f(x)\,=\,-2.$

Les limites de à droite et à gauche en 0

Pour $x\,\to\,0^%2B$ :
$\lim_{x\,\to\,0^%2B}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,0^%2B}\,(-2\,%2B\,\frac{1}{x})\,=\,-2\,%2B\,\lim_{x\,\to\,0^%2B}\,\frac{1}{x}\,=\,-2\,%2B\,(%2B\infty)\,=\,%2B\infty.$

Pour $x\,\to\,0^-$ :
$\lim_{x\,\to\,0^-}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,0^-}\,(-2\,%2B\,\frac{1}{x})\,=\,-2\,%2B\,\lim_{x\,\to\,0^-}\,\frac{1}{x}\,=\,-2\,%2B\,(-\infty)\,=\,-\infty.$

Asymptotes à la courbe représentative de

D’après les limites trouvées,

Pour $x\,\to\,%2B\infty$ et $x\,\to\,-\infty$ , $f(x)\,\to\,-2$ . Donc $y\,=\,-2$ est une asymptote horizontale.
Pour $x\,\to\,0^%2B$ , $f(x)\,\to\,%2B\infty$ et pour $x\,\to\,0^-$ , $f(x)\,\to\,-\infty$ . Donc $x\,=\,0$ est une asymptote verticale.

Exercice 28 : déduire les équations des asymtotes
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-3 ; 3\}$ par :
$f(x)\,=\,\frac{-4x^2\,%2B\,1}{x^2\,-\,9}$

1) Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
$%26Pour\,etudier\,les\,limites%2C\,nous\,devons\,considerer\,les\,points\,\,x\,=\,-3\,\,et\,\,x\,=\,3\,\,ainsi\,que\,les\,limites\,en\,\pm\,\infty.\,\\%0D%0A%26\lim_{x\,\to\,3}\,\frac{-4x^2\,%2B\,1}{x^2\,-\,9}\,=\,\lim_{x\,\to\,3}\,\frac{-4x^2\,%2B\,1}{(x\,-\,3)(x\,%2B\,3)}.$
Lorsque $x \to 3$ par la gauche ($x \to 3^{-}$), alors $\frac{-4 \cdot (3^2) + 1}{(3 – 3)(3 + 3)} = \frac{-36 + 1}{0\cdot 6} = -\infty$ ;
Lorsque $x \to 3$ par la droite ($x \to 3^{+}$), alors $\frac{-4 \cdot (3^2) + 1}{(3 – 3)(3 + 3)} = \frac{-36 + 1}{0\cdot 6} = \infty$. Plus simplement,
$\lim_{{x\,\to\,3^-}}\,f(x)\,=\,-\,\infty\,\quad\,et\,\quad\,\lim_{{x\,\to\,3^%2B}}\,f(x)\,=\,\infty.$

Pour $x \to -3$,
$\lim_{x\,\to\,-3}\,\frac{-4x^2\,%2B\,1}{x^2\,-\,9}\,=\,\frac{-4(-3)^2\,%2B\,1}{(-3)^2\,-\,9}\,=\,\frac{1\,-\,36}{9\,-\,9}\,=\,\frac{-35}{0}.$
Lorsque $x \to -3$ par la gauche ($x \to -3^{-}$), alors $\frac{-35}{0^-} = \infty$.
Lorsque $x \to -3$ par la droite ($x \to -3^{+}$), alors $\frac{-35}{0^+} = -\infty$.
$\lim_{{x\,\to\,-3^-}}\,f(x)\,=\,\infty\,\quad\,et\,\quad\,\lim_{{x\,\to\,-3^%2B}}\,f(x)\,=\,-\infty.$

Quand $|x| \to \infty$ :
$f(x)\,=\,\frac{-4x^2\,%2B\,1}{x^2\,-\,9}\,=\,\frac{-4\,%2B\,\frac{1}{x^2}}{1\,-\,\frac{9}{x^2}}.$
Alors,
$\lim_{x\,\to\,\infty}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,-\infty}\,f(x)\,=\,-4.$

2) En déduire les équations des asymptotes à $\mathcal{C}$.

Asymptotes verticales : $\lim_{{x \to -3^-}} f(x) = \infty$, $\lim_{{x \to -3^+}} f(x) = -\infty$, $\lim_{{x \to 3^-}} f(x) = -\infty$, $\lim_{{x \to 3^+}} f(x) = \infty$.
Donc $x = 3$ et $x = -3$ sont des asymptotes verticales.

Asymptote horizontale :
$\lim_{x\,\to\,\infty}\,f(x)\,=\,-4.$
Donc $y = -4$ est l’asymptote horizontale.

3) Étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à son asymptote horizontale.

Pour $x \to \infty$ :
$f(x) = \frac{-4x^2 + 1}{x^2 – 9}$
Calculons la différence :
$f(x)\,-\,(-4)\,=\,\frac{-4x^2\,%2B\,1}{x^2\,-\,9}\,%2B\,4\,=\,\frac{-4x^2\,%2B\,1\,%2B\,4x^2\,-\,36}{x^2\,-\,9}\,=\,\frac{-35}{x^2\,-\,9}%3B$
Quand $x \to \infty$ :
$f(x)\,-\,(-4)\,=\,\frac{-35}{x^2\,-\,9}\,\to\,0^{%2B}.$
Cela signifie que $\mathcal{C}$ est toujours au-dessous de l’asymptote horizontale $y = -4$.

Exercice 29 : déterminer les limites de la fonction aux bornes de son domaine de définition
1) Déterminons les limites de la fonction aux bornes de son ensemble de définition.

Pour $x\,\to\,1$ , on a :
$f(x)\,=\,\frac{2x^3\,%2B\,4x\,-\,1}{x^3\,-\,1}\,=\,\frac{2x^3\,%2B\,4x\,-\,1}{(x-1)(x^2\,%2B\,x\,%2B\,1)}$

En posant $x\,=\,1\,%2B\,h$ avec $h\,\to\,0$ , on a :
$f(1\,%2B\,h)\,=\,\frac{2(1%2Bh)^3\,%2B\,4(1%2Bh)\,-\,1}{(1%2Bh)^3\,-\,1}\,=\,\frac{2(1\,%2B\,3h\,%2B\,3h^2\,%2B\,h^3)\,%2B\,4\,%2B\,4h\,-\,1}{(1\,%2B\,3h\,%2B\,3h^2\,%2B\,h^3)\,-\,1}$
$=\,\frac{2\,%2B\,6h\,%2B\,6h^2\,%2B\,2h^3\,%2B\,4\,%2B\,4h\,-\,1}{3h\,%2B\,3h^2\,%2B\,h^3}$
$=\,\frac{5\,%2B\,10h\,%2B\,6h^2\,%2B\,2h^3}{3h\,%2B\,3h^2\,%2B\,h^3}$

En simplifiant par :
$\lim_{h\,\to\,0}\,f(1%2Bh)\,=\,\lim_{h\,\to\,0}\,\frac{5%2Fh\,%2B\,10\,%2B\,6h\,%2B\,2h^2}{3\,%2B\,3h\,%2B\,h^2}\,=\,\frac{5%2Fh\,%2B\,10}{3}$

On remarque que ce terme tend vers l’infini (positif ou négatif) lorsque $h\,\to\,0$ . Donc :
$\lim_{x\,\to\,1^%2B}\,f(x)\,=\,%2B\infty$
$\lim_{x\,\to\,1^-}\,f(x)\,=\,-\infty$

Pour $x\,\to\,\infty$ , on a :
$\lim_{x\,\to\,\infty}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,\infty}\,\frac{2x^3\,%2B\,4x\,-\,1}{x^3\,-\,1}$

En divisant numérateur et dénominateur par x^3 , on obtient :
$\lim_{x\,\to\,\infty}\,\frac{2\,%2B\,\frac{4}{x^2}\,-\,\frac{1}{x^3}}{1\,-\,\frac{1}{x^3}}\,=\,\frac{2\,%2B\,0\,-\,0}{1\,-\,0}\,=\,2$

Pour $x\,\to\,-\infty$ , de manière similaire :
$\lim_{x\,\to\,-\infty}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,-\infty}\,\frac{2x^3\,%2B\,4x\,-\,1}{x^3\,-\,1}\,=\,2$

2) En déduire les équations des asymptotes à $\mathcal{C}$ .

Puisque $\lim_{x\,\to\,\infty}\,f(x)\,=\,2$ et $\lim_{x\,\to\,-\infty}\,f(x)\,=\,2$ , la fonction admet une asymptote horizontale d’équation :
$y\,=\,2$

De plus, il y a une asymptote verticale en $x\,=\,1$ puisque les limites à droite et à gauche de 1 sont infinies.
$Asymptote\,verticale\,%3A\,\,x\,=\,1$

Ainsi, les asymptotes de la fonction sont :
– Asymptote horizontale : $y\,=\,2$
– Asymptote verticale : $x\,=\,1$

Exercice 30 : conjecture d’une limite par Louise
a) désigne un nombre entier naturel. Calculons $g(k\pi)$ :

$g(k\pi)\,=\,(k\pi)^4\,\sin(k\pi)$

Or, nous savons que $\sin(k\pi)\,=\,0$ pour tout entier .

Donc,

$g(k\pi)\,=\,(k\pi)^4\,\cdot\,0\,=\,0$

b) Louise se trompe car elle a conjecturé que la fonction a pour limite $%2B\infty$ en $%2B\infty$ . Toutefois, en calculant les valeurs de en $x\,=\,k\pi$ (où est un entier naturel), nous avons trouvé que $g(k\pi)\,=\,0$ . Cela signifie qu’il existe une infinité de points où $g(x)\,=\,0$ . Par conséquent, la fonction n’a pas une limite unique à l’infini mais oscille au-delà du comportement observé par Louise sur son graphique.

Voir Corrigés 21 à 30 ...

Exercice 31 : racine carrée et limite d’une fonction h
a) En utilisant la calculatrice, on conjecture que la limite de h(x) lorsque tend vers $%2B\infty$ est $%2B\infty$ .

b) Pour tout réel $x\,>\,0$ de la manière suivante :
$h(x)\,=\,\sqrt{x^2\,%2B\,5\,-\,x^2}\,=\,\sqrt{x^2(1\,%2B\,\frac{5}{x^2}\,-\,1)}\,=\,\sqrt{x^2\,\cdot\,\frac{5}{x^2}}\,=\,\sqrt{5}\,\cdot\,x.$
Cette transformation montre que :
$h(x)\,=\,x\,\sqrt{1\,%2B\,\frac{5}{x^2}\,-\,1}\,=\,x\,\sqrt{1\,%2B\,\frac{5}{x^2}\,-\,1}\,=\,x\,\sqrt{1\,-\,1\,%2B\,\frac{5}{x^2}}\,=\,x\,\sqrt{\frac{5}{x^2}}\,=\,\sqrt{5}.$

c) En déduire la limite de h(x) en $%2B\infty$ devient :
$\lim_{{x\,\to\,%2B\infty}}\,h(x)\,=\,\lim_{{x\,\to\,%2B\infty}}\,x\,\sqrt{1\,%2B\,\frac{5}{x^2}\,-\,1}\,=\,x\,\cdot\,\sqrt{%7C0%7C}\,=\,0.$

Exercice 32 : déterminer des limites
1. Lire sur le graphique, les limites de la fonction en $-\infty$ , en $%2B\infty$ , à droite et à gauche en .

– $\lim\limits_{x\,\to\,-\infty}\,f(x)\,=\,%2B\infty$
– $\lim\limits_{x\,\to\,%2B\infty}\,f(x)\,=\,0$
– $\lim\limits_{x\,\to\,-2^%2B}\,f(x)\,=\,-\infty$
– $\lim\limits_{x\,\to\,-2^-}\,f(x)\,=\,%2B\infty$

2. est la fonction définie pour différent de et de par $g(x)\,=\,\frac{1}{f(x)}$ .

Déterminer la limite de la fonction en :
a) $-\infty$
$\lim\limits_{x\,\to\,-\infty}\,g(x)\,=\,\lim\limits_{x\,\to\,-\infty}\,\frac{1}{f(x)}\,=\,\frac{1}{%2B\infty}\,=\,0$

b) $%2B\infty$
$\lim\limits_{x\,\to\,%2B\infty}\,g(x)\,=\,\lim\limits_{x\,\to\,%2B\infty}\,\frac{1}{f(x)}\,=\,\frac{1}{0^%2B}\,=\,%2B\infty$

c)
$\lim\limits_{x\,\to\,-2^%2B}\,g(x)\,=\,\lim\limits_{x\,\to\,-2^%2B}\,\frac{1}{f(x)}\,=\,\frac{1}{-\infty}\,=\,0$
$\lim\limits_{x\,\to\,-2^-}\,g(x)\,=\,\lim\limits_{x\,\to\,-2^-}\,\frac{1}{f(x)}\,=\,\frac{1}{%2B\infty}\,=\,0$

d) à droite et à gauche en .
$\lim\limits_{x\,\to\,0^%2B}\,g(x)\,=\,\lim\limits_{x\,\to\,0^%2B}\,\frac{1}{f(x)}\,=\,\frac{1}{-1}\,=\,-1$
$\lim\limits_{x\,\to\,0^-}\,g(x)\,=\,\lim\limits_{x\,\to\,0^-}\,\frac{1}{f(x)}\,=\,\frac{1}{-1}\,=\,-1$

3. est la fonction définie sur $%5D\,-\infty%3B\,-2\,%5B\,\cup\,%5D\,0%3B\,%2B\infty\,%5B$ par $h(x)\,=\,\sqrt{f(x)}$ .

Déterminer la limite de la fonction en :
a) $-\infty$
$\lim\limits_{x\,\to\,-\infty}\,h(x)\,=\,\lim\limits_{x\,\to\,-\infty}\,\sqrt{f(x)}\,=\,\sqrt{%2B\infty}\,=\,%2B\infty$

b) $%2B\infty$
$\lim\limits_{x\,\to\,%2B\infty}\,h(x)\,=\,\lim\limits_{x\,\to\,%2B\infty}\,\sqrt{f(x)}\,=\,\sqrt{0}\,=\,0$

c)
$\lim\limits_{x\,\to\,-2^%2B}\,h(x)\,=\,\lim\limits_{x\,\to\,-2^%2B}\,\sqrt{f(x)}\,=\,\sqrt{-\infty}\,\,(non\,defini\,car\,racine\,carree\,d'un\,nombre\,negatif)$
$\lim\limits_{x\,\to\,-2^-}\,h(x)\,=\,\lim\limits_{x\,\to\,-2^-}\,\sqrt{f(x)}\,=\,\sqrt{%2B\infty}\,=\,%2B\infty$

d)
$\lim\limits_{x\,\to\,0^%2B}\,h(x)\,=\,\lim\limits_{x\,\to\,0^%2B}\,\sqrt{f(x)}\,=\,\sqrt{-1}\,\,(non\,defini\,car\,racine\,carree\,d'un\,nombre\,negatif)$
$\lim\limits_{x\,\to\,0^-}\,h(x)\,=\,\lim\limits_{x\,\to\,0^-}\,\sqrt{f(x)}\,=\,\sqrt{-1}\,\,(non\,defini\,car\,racine\,carree\,d'un\,nombre\,negatif)$