Exercice 1 : courbes d’une fonction et de sa dérivée
Pour déterminer laquelle des courbes représente la fonction et laquelle représente sa dérivée
, examinons les caractéristiques des graphes.
1. La courbe (en bleu) présente des extrema (minimum local) aux alentours de
.
2. La courbe (en rouge) croise l’axe des abscisses aux alentours de
et
, ce qui signifie que
et
.
En utilisant ces observations, nous avons :
– La courbe (en rouge) représente les points où la dérivée s’annule, signifiant que cette courbe représente
.
– La courbe (en bleu) doit donc représenter la fonction
.
Par conséquent :
Exercice 2 : lire graphiquement et équation de la tangente
a) La courbe 1, qui représente une courbe plus « lisse » et qui a un comportement de fonction de type polynomial, est la fonction . La courbe 2, qui montre des caractéristiques typiques d’une dérivée (changement de signe et point critique), est donc
.
b) Lecture graphiquement des valeurs :
– Pour , on regarde la courbe 1 au point d’abscisse 0 :
.
– Pour , on regarde la courbe 2 au point d’abscisse 0 :
.
c) L’équation de la tangente à la courbe représentative de au point d’abscisse 0 est donnée par la formule :
Étant donné que et
, l’équation devient :
Ainsi, l’équation de la tangente à la courbe représentative de au point d’abscisse 0 est :
Exercice 3 : déterminer les intervalles où f est continue
1. Déterminer les intervalles où est continue.
(a) La fonction est continue sur
.
(b) La fonction est continue sur
.
(c) La fonction est continue sur
.
(d) La fonction est continue sur
sauf en
.
2. Donner l’image de par la fonction
.
(a)
Les limites à gauche et à droite de sont égales à
, donc elles coïncident avec l’image de
:
(b)
Les limites à gauche et à droite de sont égales à
, elles ne coïncident donc pas avec l’image de
:
(c)
Les limites à gauche et à droite de sont égales à
, donc elles ne coïncident pas avec l’image de
:
(d)
Les limites à gauche et à droite de sont de
à gauche (la fonction tend vers une valeur indéfinie) et
à droite, elles ne coïncident donc pas avec l’image de 1:
Exercice 4 : déterminer l’ensemble de définition de f
1) Déterminer l’ensemble de définition de
.
La fonction est définie si et seulement si
. Cela implique :
Donc, l’ensemble de définition est
.
2) Représenter graphiquement à l’aide d’une calculatrice ou d’un logiciel.
Utilisons un logiciel tel que GeoGebra, Desmos ou une calculatrice graphique pour tracer la courbe de sur l’intervalle
.
3) Étudier la continuité de sur
.
Pour étudier la continuité de sur
, il faut vérifier si
est continue à chaque point de
.
1. est continue sur l’intervalle ouvert
car elle est composée de fonctions continues (polynômes et racines).
2. Vérifions la continuité aux bornes de l’intervalle :
– À :
– À :
Les valeurs limites et les valeurs de la fonction aux bornes s’accordent avec les valeurs de la fonction.
Ainsi, est continue sur tout l’intervalle
.
Exercice 5 : lA fonction f est-elle continue en 1 ?
1) Tracer la courbe représentative de .
Nous avons deux expressions pour :
, la fonction est
:
Pour :
On peut tracer les deux segments de droite sur leurs domaines respectifs pour obtenir la courbe de .
2) La fonction est-elle continue en
?
Pour vérifier la continuité en , nous devons vérifier si:
Calculons les limites à gauche et à droite de :
Puisque et
,
La fonction est donc continue en
.
3) Déterminer et
.
Nous avons déjà calculé ces limites ci-dessus:
Exercice 6 : fonction et continuité en 0
Pour déterminer si la fonction est continue en
, il faut vérifier trois conditions :
1. doit être définie.
2. La limite de quand
tend vers
, notée
, doit exister.
3. .
1. La fonction est définie en
:
2. Calculons la limite à gauche et la limite à droite de lorsque
tend vers
.
Pour :
Donc la limite à gauche de quand
tend vers
est :
Pour
Donc la limite à droite de quand
tend vers
est :
3. Comparons avec ces limites pour déterminer la continuité :
Calculons pour vérifier l’égalité :
et donc
Nous constatons que :
Ainsi :
D’après les calculs approximatifs, .
Cependant, pour préciser et être rigoureux dans notre démonstration, calculons de manière exacte la limite à droite en termes de radicaux.
On trouve que les deux valeurs sont très proches mais pas identiques rigoureusement. Donc :
La fonction n’est pas continue en
car
Exercice 7 : algorithme et fonction continue
1. en sortie si on saisit pour
: » align= »absmiddle » />
2. la fonction definie par l’algorithme. » align= »absmiddle » />
a) selon les valeurs de
: » align= »absmiddle » />
: » align= »absmiddle » />
La fonction se compose de deux morceaux :
– Pour ,
, qui est une droite.
– Pour , qui est une parabole.
Le graphique peut être dessiné en tenant compte de ces deux domaines.
3. est-elle continue sur
? » align= »absmiddle » />
Pour vérifier la continuité de sur
, il faut vérifier la continuité en
(le point de raccord entre les deux expressions de
).
Les trois valeurs (limite à gauche, limite à droite, et valeur de la fonction en ) sont égales. Donc,
est continue en
.
Puisque est continue en
et que les deux expressions de
(
pour
et
pour
est continue partout sur
.
Donc, est continue sur
. » align= »absmiddle » />
Exercice 8 : tableau de variation et continuité
1) Justifier que est continue sur
.
La fonction est un polynôme. Les polynômes sont continus sur
et donc sur tout intervalle de
. Ainsi,
est continue sur
.
2) Dénombrer les solutions de l’équation .
En observant le tableau de variations, nous voyons que varie de -1 à 3 puis redescend à -1 et enfin remonte à 19 sur l’intervalle donné. Ainsi, chaque fois que
traverse la valeur 2, cela correspondra à une solution.
– Sur l’intervalle ,
ne traverse pas 2.
– Sur l’intervalle ,
traverse la valeur 2 une fois, donc une solution.
– Sur l’intervalle ,
traverse encore la valeur 2 une autre fois, donc une seconde solution.
Ainsi, il y a deux solutions à l’équation .
3a) Justifier que l’équation admet une unique solution
.
Sur l’intervalle , nous observons les variations de
:
– commence à -1 à
et monte jusqu’à 3 à
.
– Ensuite, descend à nouveau à -1 à
.
– Finalement, monte de -1 à 19 à
.
Pour l’équation , nous devons trouver l’endroit où
traverse la valeur 4. Étant donné que -1 < 4 < 19, il y a bien une unique valeur de
dans
où
.
Par le théorème de la valeur intermédiaire et les variations observées, nous pouvons conclure que est la seule solution telle que
.
3b) Déterminer un encadrement de à l’unité près.
D’après la courbe de variations :
– Sur l’intervalle ,
monte continuellement de -1 à 19.
– Comme et
, et
est strictement croissante sur cet intervalle, l’unique solution
telle que
se situe dans cet intervalle.
En conséquence, un encadrement à l’unité près de est
.
Exercice 9 : valeur approchée d’une solution d’équation
Soit la fonction définie sur
par :
1. : » align= »absmiddle » />
Pour dresser le tableau de variation, nous devons d’abord dériver la fonction .
La dérivée de est :
Ensuite, nous trouvons les points critiques en résolvant :
Les racines sont donc et
.
Nous calculons ensuite le signe de pour chaque intervalle délimité par ces points :
Pour ,
est négatif (car
est petit et moins que
).
Pour ,
est positif (car
est plus que
).
Pour ,
est négatif (la même raison que la première ici).
Maintenant, nous calculons les valeurs de aux points critiques et aux bornes de l’intervalle :
Le tableau de variation est donc :
2. admet une unique solution dans l’intervalle
: » align= »absmiddle » />
On considère la fonction .
On cherche les valeurs de sur l’intervalle
:
On observe que et
est continue sur
, il existe un
tel que
.
Pour prouver l’unicité :
ne change pas de signe entre 2 et 3 (puisque la dérivée
est strictement positive dans cet intervalle).
Donc, est strictement croissante sur
. D’où, l’unicité de la solution.
3.
Utilisons la méthode de dichotomie :
Prenons et
. On sait que
et
.
Calculons les valeurs intermédiaires :
Puisque
Puisque , cherchons entre 2,25 et 2,5 :
Puisque
Puisque
On continue cette méthode jusqu’à ce que l’on obtienne une valeur approchée à 0,01 près.
Après plusieurs itérations, nous trouvons :
la solution est approximativement .
Exercice 10 : une équation qui admet une unique solution
1) Montrons que l’équation :
admet une unique solution réelle .
Soit . Calculons la dérivée de
:
Nous cherchons les racines de :
Divisons par :
Résolvons cette équation quadratique en utilisant la formule du discriminant:
Puisque
Les racines sont:
Analysons le comportement de autour de ces racines:
Pour ,
,
.
Pour est croissante pour
, décroissante pour
, puis croissante pour
change de signe et qu’il est strictement décroissant entre
et
,
traverse l’axe des ordonnées une seule fois, par conséquent l’équation
a une unique solution réelle
.
2) Encadrons au dixième près avec une calculatrice.
Utilisons la méthode de dichotomie pour encadrer .
Supposons puisque
.
Ainsi,
Pour confirmer:
Cela confirme que au dixième près.
Donc, l’encadrement de est:
Exercice 11 : fonction polynôme et forme canonique
La fonction donnée est :
1. Mettons sous forme canonique. Nous cherchons à écrire
sous la forme :
Pour cela, nous devons compléter le carré :
Ainsi, la forme canonique de la fonction est :
2. Déduisons le nombre de solutions de l’équation en fonction de la valeur réelle de
.
L’équation est :
Isolons le carré :
Analysons les solutions en fonction de :
– Si , alors
et comme un carré (
) est toujours positif ou nul, il n’y a aucune solution.
– Si , alors
et donc
, ce qui donne une solution unique
.
– Si a deux solutions symétriques :
et
.
En résumé, le nombre de solutions de l’équation est :
– Aucune solution si .
– Une solution unique si .
– Deux solutions distinctes si Exercice 12 : solution unique et encadrement
Soit et
les fonctions définies sur
par :
1) Étudions les variations de sur
.
Pour cela, nous calculons la dérivée de :
– Analyse du signe de :
– Le discriminant de est :
– Comme , le trinôme
est toujours strictement positif.
En conclusion, , donc
est strictement croissante sur
.
2a) Montrons que l’équation admet une solution unique
dans
.
Nous cherchons les points d’intersection de et
, soit :
Les solutions sont et
.
– Vérifions les solutions :
– est dans l’intervalle
.
– est hors de l’intervalle
.
Ainsi, est la seule solution dans
.
Sur , nous savons que
et
ne se croisent qu’aux points où
, donc les solutions sont
et
.
2b) Encadrons à
près à l’aide d’une calculatrice.
En utilisant une calculatrice, nous trouvons que :
car c’est une racine évidente de l’équation. Puisque c’est déjà une valeur très précise et simple, nous n’avons pas besoin d’un encadrement plus précis.
Exercice 13 : dresser le tableau de variation et solutions de l’équation
1) Déterminer les solutions de l’équation .
L’équation se transforme en
, ce qui donne :
On peut factoriser cette expression :
Les solutions sont donc:
et .
Pour résoudre , on utilise la formule quadratique:
Donc les solutions sont :
2) Dresser le tableau de variation de .
Pour cela, nous devons calculer la dérivée de :
Pour déterminer le signe de , nous résolvons l’équation
:
La formule quadratique nous donne:
Ainsi, les racines sont:
Nous construisons alors le tableau de variation suivant :
3) Donner, en justifiant, le nombre de solutions de l’équation .
Pour déterminer les solutions de , nous devons examiner les valeurs que
peut prendre.
En utilisant notre tableau de variation, nous voyons que tend vers
lorsque
tend vers
et
.
Puisque est continue et décroissante sur l’intervalle
avec des valeurs extrêmes à ces points, l’équation
aura exactement une solution dans chaque intervalle où
varie. En conséquence, il y aura trois solutions à l’équation
.
4) Existe-t-il un réel tel que l’équation
n’ait aucune solution ?
Pour que l’équation n’ait aucune solution, il doit exister un intervalle de valeurs de
que la fonction
ne prend jamais.
Comme tend vers
lorsque
tend vers
et
, et qu’elle est continue,
prend toutes les valeurs sur l’intervalle
.
Ainsi, il n’existe aucun réel tel que l’équation
n’ait aucune solution.
Exercice 14 : tableau de variation et solution de f(x)=k
Pour l’équation , le nombre de solutions dépend des variations de la fonction
sur les différents intervalles définis par son tableau de variation :
1. Pour :
* Sur l’intervalle ,
décroît de
à
. Il n’y a pas de
dans cet intervalle.
2. Pour :
* Sur l’intervalle ,
croît de
à 2.
admet une solution unique pour tout
dans cet intervalle.
3. Pour :
* Sur l’intervalle ,
décroît de 2 à
.
admet une solution unique pour tout
dans cet intervalle.
4. Pour :
* Sur l’intervalle ,
croît de
à
.
admet une solution unique pour tout
dans cet intervalle.
En résumé :
–
–
Exercice 15 : une boîte cylindrique et une boule immergée
1) a) Nous savons que la boîte cylindrique a un rayon de 12 cm, ce qui signifie que le diamètre de la boule est au maximum de 12 cm (120 mm). De plus, la surface de l’eau est tangente à la boule, ce qui implique que le rayon de la boule est supérieur à la hauteur de l’eau, c’est-à-dire 5 cm (50 mm). Par conséquent, nous avons :
Cependant, doit être en millimètres, et
est la limite inférieure. Nous trouvons :
1) b) Pour que la surface de l’eau soit tangente au sommet de la boule, le centre de la boule doit se trouver exactement à la hauteur du rayon de la boule (5 cm ou 50 mm) sous la surface. D’où, on a :
Pour l’équation (E), nous la mettons sous forme :
2) a) Calculons les racines de cette équation. Il s’agit d’une équation cubique standard :
Nous utiliserons les méthodes numériques ou analytiques pour trouver les racines de cette équation. Calculons les racines :
Nous pouvons utiliser des méthodes telles que la méthode de Newton-Raphson pour trouver les solutions approximatives.
La méthode de Newton-Raphson consiste à itérer sur la formule suivante :
Ici, la fonction est .
Et la dérivée est .
2) a) Soit et
les solutions de l’équation ci-dessus telles que
et
. En utilisant des méthodes numériques ou des logiciels, nous trouvons les solutions :
2) b) Pour déterminer une valeur approchée du rayon de la boule au 0.1 mm près, on utilise les valeurs obtenues précédemment et on les arrondit.
Le rayon de la boule est donc :
Exercice 16 : fonction continue sur un intervalle
1) À l’aide de la calculatrice, nous traçons la représentation graphique de :
Pour chaque intervalle entier [n, n+1) pour , la fonction
prend la forme:
Nous obtenons les segments suivants:
– Pour ,
– Pour ,
– Pour ,
– Pour ,
La fonction est donc constituée de paraboles déplacées.
2) La fonction est-elle continue sur
?
Pour déterminer la continuité de sur
, nous examinons les points de discontinuités potentielles aux bornes de chaque intervalle entier.
Pour :
– , donc
Pour :
– , donc
– Puisque ,
n’est pas continue en
Pour :
– , donc
Pour :
– , donc
– Comme ,
est continue en
Pour :
– , donc
Pour :
– , donc
– Comme ,
n’est pas continue en
En conclusion, n’est pas continue aux points
et
.
3) Continuité de la fonction en
Soit définie par :
Examiner ,
et
:
Pour :
–
–
Pour :
–
–
Pour :
–
–
Continuité en :
n’est donc pas continue en
.
Continuité en :
n’est donc pas continue en
.
Continuité en :
est donc continue en
.
Exercice 17 : théorème des valeurs intermédiaires
Justifions le théorème suivant :
\textit{« Si est une fonction définie et continue sur
et si
, alors il existe au moins un réel
dans l’intervalle
tel que
.»}
Par l’hypothèse de continuité de la fonction sur l’intervalle
, nous posons le théorème des valeurs intermédiaires. Ce théorème stipule que si une fonction continue prend des valeurs de signes opposés aux extrémités d’un intervalle, alors il existe un point dans cet intervalle où la fonction s’annule.
Plus précisément, implique que
et
sont de signes opposés. Donc,
et
ne peuvent pas tous les deux être nuls. Supposons, sans perte de généralité, que
et
est continue sur
et passe de
à
tel que
.
Déduisons que, si deux fonctions et
sont continues sur un même intervalle
et si leur différence change de signe sur
, alors il existe un réel
tel que
.
Nous posons . Les fonctions
et
étant continues sur
, la différence
est également continue sur
.
Si change de signe sur
, alors
. Celà nous ramène au théorème précédent car
est une fonction continue prenant des valeurs de signes opposés aux extrémités de l’intervalle
. Par conséquent, il existe un point
tel que
, i.e.,
Ainsi, nous avons démontré que si les fonctions et
sont continues sur
et que
change de signe sur cet intervalle, alors il existe un point
tel que
.
Exercice 18 : déterminer l’ensemble de définition et limites de f
1) Déterminer l’ensemble de définition de
.
La fonction est définie lorsque le radicande est positif, c’est-à-dire
, et
.
Résolvons l’inéquation :
La fraction change de signe aux valeurs
et
.
Étudions les signes :
– Pour :
est négatif et
est négatif, donc
est positif.
– Pour :
est positif et
est négatif, donc
est négatif.
– Pour :
est positif et
est positif, donc
est positif.
Ainsi, pour
.
L’ensemble de définition est donc
.
2) Écrire comme composée de deux fonctions.
Soit et
.
Alors .
3) Étudier les limites de aux bornes de son ensemble de définition et en déduire les équations des asymptotes à
.
– Lorsque :
– Lorsque :
Donc, la courbe admet une asymptote horizontale d’équation lorsque
.
– Lorsque :
– Lorsque :
– Lorsque :
La courbe admet donc une asymptote horizontale d’équation lorsque
.
– Pour :
4) Tracer les asymptotes à , puis la courbe
.
L’exercice consiste donc à tracer les asymptotes horizontales d’équation et
, ainsi que la courbe représentative de la fonction
.
Pour obtenir une représentation graphique précise, on peut utiliser un logiciel de tracé de courbes comme GeoGebra ou tout autre outil similaire.
Exercice 19 : fonctions rationnelles et asymptotes
Soit .
1a) Déterminons et
.
On sait que :
Donc et
, donc
.
Substituons et
dans
:
\[ f(x) = \frac{4}{2} + \frac{4 + 2(-1)}{4x – 2} = 2 + \frac{2}{4x – 2}. » align= »absmiddle » />
Simplifions cette expression:
Ce qui n’est pas égal à la fonction initiale donnée, donc la forme donnée n’est pas correcte dans ce contexte.
2) Déterminons les asymptotes de .
Asymptote verticale:
Pour l’asymptote verticale, on trouve les valeurs de qui annulent le dénominateur:
Il y a une asymptote verticale en .
Asymptote horizontale/oblique:
Pour les limites à l’infini,
il y a donc une asymptote horizontale en .
3) Calculons puis étudions son signe.
Utilisons la dérivée des fonctions rationnelles:
Dérivons en utilisant la formule
:
Donc,
Le signe de est déterminé par le signe du numérateur puisque le dénominateur est toujours positif (car il s’agit d’un carré):
La fonction est donc strictement décroissante sur ses intervalles de définition.
4) Dressons le tableau de variation de .
5) Traçons l’allure de .
La courbe représentative de a une asymptote verticale en
, une asymptote horizontale en
, et elle est strictement décroissante.
Exercice 20 : sens de variation, signe et solutions de l’inéquation
Soit définie par
, sur
:
1) Montrons que, pour tout ,
.
Effectuons la division du numérateur par le dénominateur :
Ainsi :
2) Donner les limites aux bornes de .
– Pour :
– Pour :
– Pour :
– Pour :
3) En utilisant la forme , déterminons :
a) Le sens de variation de la fonction :
La dérivée de est :
Comme pour tout
, la fonction est strictement décroissante sur son domaine
.
b) Le signe de :
Analyse du signe de :
– Pour ,
donc
et
.
c) Les solutions de l’inéquation :
– lorsque
Exercice 21 : préciser si les affirmations sont vraies ou fausses
1) « Si est un réel quelconque et
une fonction définie et strictement décroissante sur
, alors
Cette affirmation est . En effet, une fonction strictement décroissante sans borne inférieure sur un intervalle infini a pour limite
quand
tend vers
.
2) Soit et
deux fonctions définies sur
telles que
ne s’annule pas.
« Si , alors
. »
Cette affirmation est . Prenons par exemple
et
. Alors on a
, mais
.
3) « Si est une fonction définie sur
telle que
sur
, alors
. »
Cette affirmation est . En effet, comme
, on a
Or, , par le théorème des gendarmes, on en conclut que
4) « Si est une fonction définie sur
, alors la droite d’équation
est asymptote à la courbe représentative de
dans un repère du plan. »
Cette affirmation est . En général, une asymptote verticale d’équation
se produit seulement si
. Cela n’est pas toujours vérifié pour une fonction quelconque définie sur
.
Exercice 22 : trouver la bonne réponse parmi les réponses proposées
Soit .
1. Commençons par simplifier la fonction .
Donc,
2. Étudions les asymptotes verticales possibles :
– Pour cela, déterminons les valeurs pour lesquelles le dénominateur s’annule :
Nous devons examiner la limite de lorsque
tend vers 1 par la gauche et par la droite pour déterminer le comportement près de cette valeur.
Considérons la limite de la forme :
Approchons par des valeurs légèrement supérieures ou inférieures à 1 (exemples : 1.1 et 0.9) pour voir la tendance :
) donc \sqrt{x(x – 2)} \approx \sqrt{x \cdot -1} qui n’est defini que pour
tend vers l’infini.
On factorise par dans le numérateur :
Donc, il y a une asymptote horizontale pour .
Conclusion :
La bonne réponse est la réponse (c) : admet une asymptote d’équation
.
Exercice 23 : lien entre continuité et dérivabilité
(a) Vrai. Si est dérivable en
, alors
est continue en
.
En effet, la dérivabilité de en
implique que la limite suivante existe :
Cela signifie que tend vers
lorsque
tend vers 0, autrement dit :
Donc, est continue en
.
(b) Faux. Si est continue en
, cela n’implique pas nécessairement que
est dérivable en
.
Par exemple, la fonction valeur absolue est continue en
, mais elle n’y est pas dérivable. En effet, le comportement de la pente de gauche et de droite ne converge pas vers la même valeur :
Puisque les deux limites ne sont pas égales, la dérivée n’existe pas en , bien que la fonction soit continue en ce point.
(c) Vrai. Si est dérivable en
, alors la fonction
a une limite finie en 0, qui est précisément la définition de la dérivabilité en . Cette limite est la dérivée de
en
, notée
:
Puisque est dérivable en
, cette limite existe et est un nombre fini.
Exercice 24 : le théorème des gendarmes
1) Soit une fonction réelle définie sur
.
Compléter la phrase suivante :
« On dit que admet une limite finie
en
si
».
2) Démontrer le théorème « des gendarmes » :
« Soit et
trois fonctions définies sur
.
Si et
ont pour limite commune
quand
tend vers
et si, pour tout
suffisamment grand, on a l’encadrement
, alors la limite de
quand
tend vers
est égale à
. »
Supposons que :
Nous devons montrer que :
Étant donné et
tels que :
Prenons . Ainsi, pour tout
Comme pour tout , il en résulte :
Ainsi, nous avons :
Cela implique que :
Ce qui montre que tend vers
quand
tend vers
.
Par conséquent, nous avons prouvé que :
C.Q.F.D.
Exercice 25 : continuité en 1 et – 1 d’une fonction
Correction de l’exercice
Pour la première fonction définie sur
par :
Étudions la continuité en .
1. Calculons la limite de lorsque
tend vers 1 :
2. Pour évaluer cette limite, nous pouvons essayer de nous débarrasser de l’indétermination en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué
:
3. Le numérateur devient :
4. Donc :
5. En substituant dans l’expression ci-dessus :
Donc :
6. Comparons cette limite avec :
7. Comme la limite de lorsque
tend vers 1 est égale à
, la fonction
est continue en
.
Maintenant, considérons la deuxième fonction définie sur
par :
.
1. Calculons la limite de lorsque
tend vers -1 par la droite :
2. Étant donné que tend vers 0 lorsque
tend vers -1, et que le numérateur
tend aussi vers 0, nous avons une forme indéterminée
.
3. Simplifions l’expression pour évaluer cette limite :
4. En substituant dans l’expression ci-dessus :
Donc :
5. Comparons cette limite avec :
6. Comme la limite de lorsque
tend vers -1 par la droite n’est pas égale à
, la fonction
n’est pas continue en
.
Conclusion :
– La première fonction est continue en 1.
– La deuxième fonction n’est pas continue en -1.
Exercice 26 : la fonction de Heaviside
a) Représentation graphique de la fonction de Heaviside :
Pour tracer la fonction dans un repère, il est nécessaire de représenter les valeurs pour
et pour
. La fonction
est définie comme suit :
La courbe représentative de est donc une ligne horizontale à
pour
et une ligne horizontale à
pour
. Il y a un saut de discontinuité en
.
Voici la courbe représentative de dans un repère orthonormé :
:
La fonction présente une discontinuité en
, car la valeur de
passe brutalement de 0 à 1. Sur les intervalles où la fonction n’a pas de saut, elle est continue.
Les plus grands intervalles sur lesquels est continue sont donc :
Ainsi, la fonction est continue sur les intervalles
et
.
Exercice 27 : la fonction partie entière et continuité
1. Déterminer :
a)
b)
c)
d)
2. Déterminer pour tout réel
de l’intervalle :
a)
b)
c)
d)
3.
a) Dans un repère, tracer la courbe représentative de la fonction sur l’intervalle
.

b) Étudier graphiquement la continuité de la fonction sur l’intervalle
:
La fonction , qui représente la partie entière d’un nombre réel, est discontinue en tout entier
, car il y a un saut d’unité à chaque entier.
c) De façon plus générale, en quels nombres réels la fonction est-elle discontinue ?
La fonction est discontinue pour tout
.
Exercice 28 : continuité d’une fonction f sur R
a) La fonction est définie de la manière suivante :
Pour :
– La fonction est continue car elle est formée d’une combinaison de termes continus (terme constant et terme linéaire).
Pour :
– La fonction est aussi continue car elle est formée d’une exponentielle (qui est continue) moins un terme constant.
Donc, est continue sur
et sur
.
b) Pour expliquer pourquoi :
on calcule les limites de chaque partie :
Pour (c’est-à-dire
approche 2 par des valeurs supérieures à 2) :
Pour (c’est-à-dire
approche 2 par des valeurs inférieures à 2) :
c) Conclure pour la continuité de la fonction sur
:
La fonction est continue sur
si elle est continue sur chaque intervalle considéré ( ce qui est déjà prouvé) et si elle est continue en
.
Vérifions la continuité en :
Donc, comme
la fonction est bien continue en
et donc continue sur
.
Exercice 29 : programme réalisé avec Python sur la continuité d’une fonction
a) Déterminer l’image par la fonction de chacun des nombres réels :
b) Revoir et compléter la définition de :
est-elle continue sur
? Explication :
Pour que la fonction soit continue sur
, les valeurs des différentes parties de la fonction doivent se rejoindre aux points de transition
et
.
Pour :
Ainsi, les limites ne sont pas égales, donc n’est pas continue en
.
Pour :
La fonction est continue en .
Conclusion : La fonction n’est pas continue sur
puisqu’elle n’est pas continue en
, mais elle est continue en
.
d) Sur quels intervalles, les plus grands possibles, la fonction est-elle continue ?
La fonction est continue sur les intervalles:
Exercice 30 : logo créé par un designer
Pour que la fonction soit continue sur l’intervalle
, il faut que les expressions définissant
coïncident aux points de raccord
et
.
### a) Continuité en et
#### Continuité en
À :
Pour que soit continue en
, il faut :
#### Continuité en
À :
Pour que soit continue en
, il faut :
Nous avons donc le système d’équations linéaires suivant :
En soustrayant la première équation de la deuxième, nous obtenons :
En substituant dans la première équation :
Les valeurs de et
sont :
### b) Dérivabilité en
La fonction polynôme est dérivable partout, et sa dérivée en
est :
Pour la fonction affine où
et
, la dérivée est constante et égale à
:
Comme , la fonction
n’est pas dérivable en
.
### c) Dérivabilité en
Pour la dérivabilité en , nous examinons la continuité des dérivées des fonctions afférentes.
La dérivée de la fonction affine entre est constante :
La dérivée de la fonction polynôme est :
Ainsi, les dérivées en sont :
Puisque les dérivées ne sont pas égales (), la fonction
n’est pas dérivable en
.
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