La continuité : corrigés des exercices de maths en terminale.

Exercice 1 : courbes d’une fonction et de sa dérivée
Pour déterminer laquelle des courbes représente la fonction f et laquelle représente sa dérivée f', examinons les caractéristiques des graphes.

1. La courbe \mathcal{C}_1 (en bleu) présente des extrema (minimum local) aux alentours de x\,=\,-2.
2. La courbe \mathcal{C}_2 (en rouge) croise l’axe des abscisses aux alentours de x\,=\,-2 et x\,=\,0, ce qui signifie que f'(-2)\,=\,0 et f'(0)\,=\,0.

En utilisant ces observations, nous avons :

– La courbe \mathcal{C}_2 (en rouge) représente les points où la dérivée s’annule, signifiant que cette courbe représente f'.
– La courbe \mathcal{C}_1 (en bleu) doit donc représenter la fonction f.

Par conséquent :
\mathcal{C}_1\,\,represente\,la\,fonction\,\,f
\mathcal{C}_2\,\,represente\,la\,fonction\,derivee\,\,f'

Exercice 2 : lire graphiquement et équation de la tangente
a) La courbe 1, qui représente une courbe plus « lisse » et qui a un comportement de fonction de type polynomial, est la fonction f. La courbe 2, qui montre des caractéristiques typiques d’une dérivée (changement de signe et point critique), est donc f'.

b) Lecture graphiquement des valeurs :
– Pour f(0), on regarde la courbe 1 au point d’abscisse 0 : f(0)\,=\,1.
– Pour f'(0), on regarde la courbe 2 au point d’abscisse 0 : f'(0)\,=\,0.

c) L’équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 0 est donnée par la formule :
y\,=\,f'(0)(x\,-\,0)\,%2B\,f(0)

Étant donné que f'(0)\,=\,0 et f(0)\,=\,1, l’équation devient :
y\,=\,0\,\cdot\,x\,%2B\,1
y\,=\,1

Ainsi, l’équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 0 est :
y\,=\,1

Exercice 3 : déterminer les intervalles où f est continue
1. Déterminer les intervalles où f est continue.

(a) La fonction f est continue sur %5D-1%2C\,0%5B\,\cup\,%5D0%2C\,1%5D\,\cup\,%5B1%2C\,2%5D.

(b) La fonction f est continue sur %5D-1%2C\,0%5B\,\cup\,%5B1%2C\,2%5D.

(c) La fonction f est continue sur %5D-1%2C\,1%5B\,\cup\,%5B1%2C\,2%5D.

(d) La fonction f est continue sur %5D-1%2C\,2%5B sauf en x\,=\,1.

2. Donner l’image de 1 par la fonction f.

(a) f(1)\,=\,1
Les limites à gauche et à droite de 1 sont égales à 1, donc elles coïncident avec l’image de 1 :

\lim_{x\,\to\,1^-}\,f(x)\,=\,1\,\quad\,et\,\quad\,\lim_{x\,\to\,1^%2B}\,f(x)\,=\,1

(b) f(1)\,=\,0
Les limites à gauche et à droite de 1 sont égales à 1, elles ne coïncident donc pas avec l’image de 1 :

\lim_{x\,\to\,1^-}\,f(x)\,=\,1\,\quad\,et\,\quad\,\lim_{x\,\to\,1^%2B}\,f(x)\,=\,1

(c) f(1)\,=\,0
Les limites à gauche et à droite de 1 sont égales à 1, donc elles ne coïncident pas avec l’image de 1 :

\lim_{x\,\to\,1^-}\,f(x)\,=\,1\,\quad\,et\,\quad\,\lim_{x\,\to\,1^%2B}\,f(x)\,=\,1

(d) f(1)\,=\,2
Les limites à gauche et à droite de 1 sont de -\infty à gauche (la fonction tend vers une valeur indéfinie) et \infty à droite, elles ne coïncident donc pas avec l’image de 1:

\lim_{x\,\to\,1^-}\,f(x)\,=\,\infty\,\quad\,et\,\quad\,\lim_{x\,\to\,1^%2B}\,f(x)\,=\,-\infty

Exercice 4 : déterminer l’ensemble de définition de f
1) Déterminer l’ensemble de définition D de f.

La fonction f(x)\,=\,(x-1)\sqrt{1-x^2} est définie si et seulement si 1\,-\,x^2\,\geq\,\,0. Cela implique :

1\,-\,x^2\,\geq\,\,0
-x^2\,\geq\,\,-1
x^2\,\leq\,\,1
-1\,\leq\,\,x\,\leq\,\,1

Donc, l’ensemble de définition D est %5B-1%2C\,1%5D.

2) Représenter graphiquement f à l’aide d’une calculatrice ou d’un logiciel.

Utilisons un logiciel tel que GeoGebra, Desmos ou une calculatrice graphique pour tracer la courbe de f(x)\,=\,(x-1)\sqrt{1\,-\,x^2} sur l’intervalle %5B-1%2C\,1%5D.

3) Étudier la continuité de f sur D.

Pour étudier la continuité de f sur D, il faut vérifier si f est continue à chaque point de D.

1. f(x) est continue sur l’intervalle ouvert (-1%2C\,1) car elle est composée de fonctions continues (polynômes et racines).
2. Vérifions la continuité aux bornes de l’intervalle :
– À x\,=\,-1 :
f(-1)\,=\,(-1-1)\sqrt{1-(-1)^2}\,=\,-2\sqrt{1-1}=\,-2\sqrt{0}=0

– À x\,=\,1 :
f(1)\,=\,(1-1)\sqrt{1-1^2}\,=\,0\sqrt{0}\,=\,0

Les valeurs limites et les valeurs de la fonction aux bornes s’accordent avec les valeurs de la fonction.

Ainsi, f est continue sur tout l’intervalle %5B-1%2C\,1%5D.

Exercice 5 : lA fonction f est-elle continue en 1 ?
1) Tracer la courbe représentative de f.

Nous avons deux expressions pour f(x):
f(x)\,=%0D%0A\begin{cases}%0D%0Ax\,%2B\,2\,%26\,si\,\,x\,\leq\,\,-1%2C\,\\%0D%0A-2x\,-\,1\,%26\,si\,\,x\,>\,-1.%0D%0A\end{cases}, la fonction est f(x)\,=\,x\,%2B\,2:
Elle\,passe\,par\,les\,points\,\,(-1%2C\,1)%2C\,(-2%2C\,0)%2C\,etc.

Pour x\,>\,-1%E2%80%B3\,align=%C2%A0%C2%BBabsmiddle%C2%A0%C2%BB\,%2F>%2C\,la\,fonction\,est\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%2528x%2529%2520%253D%2520-2x%2520-%25201%22\,alt=%22f(x)\,=\,-2x\,-\,1:
Elle\,passe\,par\,les\,points\,\,(-1%2C\,1)%2C\,(0%2C\,-1)%2C\,etc.

On peut tracer les deux segments de droite sur leurs domaines respectifs pour obtenir la courbe de f.

2) La fonction f est-elle continue en -1 ?

Pour vérifier la continuité en x\,=\,-1, nous devons vérifier si:
\lim_{x\,\to\,-1^-}\,f(x)\,=\,f(-1)\,=\,\lim_{x\,\to\,-1^%2B}\,f(x).

Calculons les limites à gauche et à droite de x\,=\,-1:

\lim_{x\,\to\,-1^-}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,-1^-}\,(x\,%2B\,2)\,=\,(-1\,%2B\,2)\,=\,1%2C

\lim_{x\,\to\,-1^%2B}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,-1^%2B}\,(-2x\,-\,1)\,=\,-2(-1)\,-\,1\,=\,2\,-\,1\,=\,1.

Puisque \lim_{x\,\to\,-1^-}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,-1^%2B}\,f(x)\,=\,1 et f(-1)\,=\,-1\,%2B\,2\,=\,1,

La fonction f est donc continue en x\,=\,-1.

3) Déterminer \lim_{x\,\to\,-1^-}\,f(x) et \lim_{x\,\to\,-1^%2B}\,f(x).

Nous avons déjà calculé ces limites ci-dessus:

\lim_{x\,\to\,-1^-}\,f(x)\,=\,1%2C
\lim_{x\,\to\,-1^%2B}\,f(x)\,=\,1.

Exercice 6 : fonction et continuité en 0
Pour déterminer si la fonction f est continue en 0, il faut vérifier trois conditions :

1. f(0) doit être définie.
2. La limite de f(x) quand x tend vers 0, notée \lim_{x\,\to\,0}\,f(x), doit exister.
3. f(0)\,=\,\lim_{x\,\to\,0}\,f(x).

1. La fonction f est définie en 0 :
f(0)\,=\,2\,%2B\,\sqrt{5}.

2. Calculons la limite à gauche et la limite à droite de f(x) lorsque x tend vers 0.

Pour x\,\leq\,\,0 :
f(x)\,=\,2\,%2B\,\sqrt{5}.
Donc la limite à gauche de f(x) quand x tend vers 0 est :
\lim_{x\,\to\,0^-}\,f(x)\,=\,2\,%2B\,\sqrt{5}.

Pour x\,>\,0
Donc la limite à droite de f(x) quand x tend vers 0 est :
\lim_{x\,\to\,0^%2B}\,f(x)\,=\,\sqrt{9\,%2B\,4\sqrt{5}}.

3. Comparons f(0) avec ces limites pour déterminer la continuité :

f(0)\,=\,2\,%2B\,\sqrt{5}%2C
\lim_{x\,\to\,0^-}\,f(x)\,=\,2\,%2B\,\sqrt{5}%2C
\lim_{x\,\to\,0^%2B}\,f(x)\,=\,\sqrt{9\,%2B\,4\sqrt{5}}.

Calculons \sqrt{9\,%2B\,4\sqrt{5}} pour vérifier l’égalité :
9\,%2B\,4\sqrt{5}\,\approx\,9\,%2B\,8.944\,\approx\,17.944%2C
et donc
\sqrt{17.944}\,\approx\,4.24.
Nous constatons que :
2\,%2B\,\sqrt{5}\,\approx\,2\,%2B\,2.236\,=\,4.236.
Ainsi :
\sqrt{9\,%2B\,4\sqrt{5}}\,\approx\,4.24.

D’après les calculs approximatifs, \lim_{x\,\to\,0^%2B}\,f(x)\,=\,\sqrt{9\,%2B\,4\sqrt{5}}\,=\,f(0).

Cependant, pour préciser et être rigoureux dans notre démonstration, calculons de manière exacte la limite à droite en termes de radicaux.

2\,%2B\,\sqrt{5}\,\approx\,4.236%2C
\sqrt{9\,%2B\,4\sqrt{5}}\,\approx\,4.24.

On trouve que les deux valeurs sont très proches mais pas identiques rigoureusement. Donc :

La fonction f n’est pas continue en 0 car
\lim_{x\,\to\,0^%2B}\,f(x)\,\neq\,\lim_{x\,\to\,0^-}\,f(x).

Exercice 7 : algorithme et fonction continue
1. Que\,vaut\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%22\,alt=%22f en sortie si on saisit pour x : » align= »absmiddle » />

%26\,x\,=\,-2\,%26\,\Rightarrow%26\,\quad\,f\,=\,x\,%2B\,2\,=\,-2\,%2B\,2\,=\,0\,\\%0D%0A%26\,x\,=\,2\,%26\,\Rightarrow%26\,\quad\,f\,=\,x^2\,=\,2^2\,=\,4\,\\%0D%0A%26\,x\,=\,-1\,%26\,\Rightarrow%26\,\quad\,f\,=\,x\,%2B\,2\,=\,-1\,%2B\,2\,=\,1\,\\%0D%0A%26\,x\,=\,-1%2C01\,%26\,\Rightarrow%26\,\quad\,f\,=\,x\,%2B\,2\,=\,-1%2C01\,%2B\,2\,=\,0%2C99\,\\%0D%0A%26\,x\,=\,-0%2C99\,%26\,\Rightarrow%26\,\quad\,f\,=\,x^2\,=\,(-0%2C99)^2\,=\,0%2C9801\,\\

2. Soit\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%22\,alt=%22f la fonction definie par l’algorithme. » align= »absmiddle » />

a) Exprimer\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%2528x%2529%22\,alt=%22f(x) selon les valeurs de x : » align= »absmiddle » />

f(x)\,=%0D%0A\begin{cases}%0D%0Ax\,%2B\,2\,%26\,si\,\,x\,\leq\,\,-1\,\\%0D%0Ax^2\,%26\,si\,\,x\,>\,-1%0D%0A\end{cases} : » align= »absmiddle » />

La fonction f se compose de deux morceaux :

– Pour x\,\leq\,\,-1, f(x)\,=\,x\,%2B\,2, qui est une droite.
– Pour x\,>\,-1%E2%80%B3\,align=%C2%A0%C2%BBabsmiddle%C2%A0%C2%BB\,%2F>%2C\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%2528x%2529%2520%253D%2520x%255E2%22\,alt=%22f(x)\,=\,x^2, qui est une parabole.

Le graphique peut être dessiné en tenant compte de ces deux domaines.

3. La\,fonction\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%22\,alt=%22f est-elle continue sur \mathbb{R} ? » align= »absmiddle » />

Pour vérifier la continuité de f sur \mathbb{R}, il faut vérifier la continuité en x\,=\,-1 (le point de raccord entre les deux expressions de f(x)).

\lim_{x\,\to\,-1^-}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,-1^-}\,(x\,%2B\,2)\,=\,-1\,%2B\,2\,=\,1

\lim_{x\,\to\,-1^%2B}\,f(x)\,=\,\lim_{x\,\to\,-1^%2B}\,(x^2)\,=\,(-1)^2\,=\,1

f(-1)\,=\,-1\,%2B\,2\,=\,1

Les trois valeurs (limite à gauche, limite à droite, et valeur de la fonction en -1) sont égales. Donc, f est continue en x\,=\,-1.

Puisque f est continue en x\,=\,-1 et que les deux expressions de f(x) ( x\,%2B\,2 pour x\,\leq\,\,-1 et x^2 pour x\,>\,-1%E2%80%B3\,align=%C2%A0%C2%BBabsmiddle%C2%A0%C2%BB\,%2F>\,)\,sont\,continues\,sur\,leurs\,domaines\,respectifs%2C\,on\,conclut\,que\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%22\,alt=%22f est continue partout sur \mathbb{R}.

Donc, oui%2C\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%22\,alt=%22f est continue sur \mathbb{R}. » align= »absmiddle » />

Exercice 8 : tableau de variation et continuité
1) Justifier que f est continue sur I.

La fonction f(x)\,=\,x^3\,%2B\,6x^2\,%2B\,9x\,%2B\,3 est un polynôme. Les polynômes sont continus sur \mathbb{R} et donc sur tout intervalle de \mathbb{R}. Ainsi, f est continue sur I\,=\,%5B-4%2C\,1%5D.

2) Dénombrer les solutions de l’équation f(x)\,=\,2.

En observant le tableau de variations, nous voyons que f varie de -1 à 3 puis redescend à -1 et enfin remonte à 19 sur l’intervalle donné. Ainsi, chaque fois que f(x) traverse la valeur 2, cela correspondra à une solution.
– Sur l’intervalle %5B-4%2C\,-3%5D, f(x) ne traverse pas 2.
– Sur l’intervalle %5B-3%2C\,-1), f(x) traverse la valeur 2 une fois, donc une solution.
– Sur l’intervalle %5B-1%2C\,1%5D, f(x) traverse encore la valeur 2 une autre fois, donc une seconde solution.

Ainsi, il y a deux solutions à l’équation f(x)\,=\,2.

3a) Justifier que l’équation f(x)\,=\,4 admet une unique solution \alpha.

Sur l’intervalle %5B-4%2C\,1%5D, nous observons les variations de f :
f(x) commence à -1 à x\,=\,-4 et monte jusqu’à 3 à x\,=\,-3.
– Ensuite, f(x) descend à nouveau à -1 à x\,=\,-1.
– Finalement, f(x) monte de -1 à 19 à x\,=\,1.

Pour l’équation f(x)\,=\,4, nous devons trouver l’endroit où f(x) traverse la valeur 4. Étant donné que -1 < 4 < 19, il y a bien une unique valeur de x dans %5B-1%2C\,1%5Df(x)\,=\,4.

Par le théorème de la valeur intermédiaire et les variations observées, nous pouvons conclure que x\,=\,\alpha\,\in\,(-1%2C\,1) est la seule solution telle que f(\alpha)\,=\,4.

3b) Déterminer un encadrement de \alpha à l’unité près.

D’après la courbe de variations :
– Sur l’intervalle (-1%2C\,1%5D, f(x) monte continuellement de -1 à 19.
– Comme f(-1)\,=\,-1 et f(1)\,=\,19, et f est strictement croissante sur cet intervalle, l’unique solution \alpha telle que f(\alpha)\,=\,4 se situe dans cet intervalle.

En conséquence, un encadrement à l’unité près de \alpha est %5B0%2C\,1%5D.

Exercice 9 : valeur approchée d’une solution d’équation
Soit f la fonction définie sur %5B-1%3B\,3%5D par :

f(x)\,=\,0%2C4x^5\,-\,8x\,-\,3.

1. Dresser\,le\,tableau\,de\,variation\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%22\,alt=%22f : » align= »absmiddle » />

Pour dresser le tableau de variation, nous devons d’abord dériver la fonction f.

La dérivée de f est :

f'(x)\,=\,\frac{d}{dx}(0%2C4x^5\,-\,8x\,-\,3)\,=\,2x^4\,-\,8.

Ensuite, nous trouvons les points critiques en résolvant f'(x)\,=\,0 :

2x^4\,-\,8\,=\,0

x^4\,=\,4

x\,=\,\pm\,\sqrt%5B4%5D{4}\,=\,\pm\,\sqrt{2}

Les racines sont donc x\,=\,\sqrt{2} et x\,=\,-\sqrt{2}.

Nous calculons ensuite le signe de f'(x) pour chaque intervalle délimité par ces points :

Pour x\,\in\,%5B-1%2C\,-\sqrt{2}%5B, f'(x) est négatif (car x^4 est petit et moins que 4).
Pour x\,\in\,%5D-\sqrt{2}%2C\,\sqrt{2}%5B, f'(x) est positif (car x^4 est plus que 4).
Pour x\,\in\,%5D\sqrt{2}%2C\,3%5D, f'(x) est négatif (la même raison que la première ici).

Maintenant, nous calculons les valeurs de f aux points critiques et aux bornes de l’intervalle :

f(-1)\,=\,0%2C4(-1)^5\,-\,8(-1)\,-\,3\,=\,-0%2C4\,%2B\,8\,-\,3\,=\,4%2C6
f(\sqrt{2})\,=\,0%2C4(\sqrt{2})^5\,-\,8(\sqrt{2})\,-\,3\,=\,0%2C4(4\sqrt{2})\,-\,8\sqrt{2}\,-\,3\,=\,0%2C4\,\cdot\,4\sqrt{2}\,-\,8\sqrt{2}\,-\,3\,=\,1%2C6\sqrt{2}\,-\,8\sqrt{2}\,-\,3\,=\,-6%2C4\sqrt{2}\,-\,3
f(-\sqrt{2})\,=\,0%2C4(-\sqrt{2})^5\,-\,8(-\sqrt{2})\,-\,3\,=\,0%2C4(-4\sqrt{2})\,%2B\,8\sqrt{2}\,-\,3\,=\,-1%2C6\sqrt{2}\,%2B\,8\sqrt{2}\,-\,3\,=\,6%2C4\sqrt{2}\,-\,3
f(3)\,=\,0%2C4(3)^5\,-\,8(3)\,-\,3\,=\,0%2C4(243)\,-\,24\,-\,3\,=\,97%2C2\,-\,24\,-\,3\,=\,70%2C2

Le tableau de variation est donc :

\begin{array}{%7Cc%7Cccc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,-1\,%26\,-\sqrt{2}\,%26\,\sqrt{2}\,%26\,3\,\\%0D%0A\hline%0D%0Af'(x)\,%26\,\downarrow\,%26\,%26\,\uparrow\,%26\,%26\,\downarrow\,\\%0D%0A\hline%0D%0Af(x)\,%26\,4%2C6\,%26\,6%2C4\sqrt{2}\,-\,3\,%26\,6%2C4\sqrt{2}\,-\,3\,%26\,70%2C2\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}

2. Demontrer\,que\,l%E2%80%99equation\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%2528x%2529%2520%253D%25202%22\,alt=%22f(x)\,=\,2 admet une unique solution dans l’intervalle %5B2%3B\,3%5D : » align= »absmiddle » />

On considère la fonction f(x)\,-\,2.

On cherche les valeurs de f sur l’intervalle %5B2%3B\,3%5D :

f(2)\,=\,0%2C4(2)^5\,-\,8(2)\,-\,3\,=\,0%2C4(32)\,-\,16\,-\,3\,=\,12%2C8\,-\,16\,-\,3\,=\,-6%2C2
f(3)\,=\,70%2C2

On observe que f(2)\,%3C\,2 et f(3)\,>\,2%E2%80%B3\,align=%C2%A0%C2%BBabsmiddle%C2%A0%C2%BB\,%2F>.\,Par\,le\,theoreme\,des\,valeurs\,intermediaires%2C\,comme\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Ff%22\,alt=%22f est continue sur %5B2%3B\,3%5D, il existe un c\,\in\,%5B2%3B\,3%5D tel que f(c)\,=\,2.

Pour prouver l’unicité :

f' ne change pas de signe entre 2 et 3 (puisque la dérivée f' est strictement positive dans cet intervalle).
Donc, f est strictement croissante sur %5B2%3B\,3%5D. D’où, l’unicité de la solution.

3. Chercher\,une\,valeur\,approchee\,de\,cette\,solution\,a\,l%E2%80%99aide\,d%E2%80%99une\,calculatrice\,(arrondir\,a\,0%2C01\,pres)\,%3A

Utilisons la méthode de dichotomie :

Prenons a\,=\,2 et b\,=\,3. On sait que f(a)\,=\,-6%2C2 et f(b)\,=\,70%2C2.

Calculons les valeurs intermédiaires :

c_1\,=\,\frac{2\,%2B\,3}{2}\,=\,2%2C5
f(2%2C5)\,=\,0%2C4(2%2C5)^5\,-\,8(2%2C5)\,-\,3\,=\,0%2C4(97%2C65625)\,-\,20\,-\,3\,\approx\,90%2C46\,-\,20\,-\,3\,=\,13%2C0625

Puisque f(2%2C5)\,>\,2
f(2%2C25)\,=\,0%2C4(2%2C25)^5\,-\,8(2%2C25)\,-\,3\,\approx\,-0%2C746

Puisque f(2%2C25)\,%3C\,2, cherchons entre 2,25 et 2,5 :

c_3\,=\,\frac{2%2C25\,%2B\,2%2C5}{2}\,=\,2%2C375
f(2%2C375)\,=\,0%2C4(2%2C375)^5\,-\,8(2%2C375)\,-\,3\,\approx\,5%2C19

Puisque f(2%2C375)\,>\,2
f(2%2C3125)\,=\,0%2C4(2%2C3125)^5\,-\,8(2%2C3125)\,-\,3\,\approx\,2%2C17

Puisque f(2%2C3125)\,>\,2
f(2%2C28125)\,=\,0%2C4(2%2C28125)^5\,-\,8(2%2C28125)\,-\,3\,\approx\,0%2C71

On continue cette méthode jusqu’à ce que l’on obtienne une valeur approchée à 0,01 près.

Après plusieurs itérations, nous trouvons :

la solution est approximativement x\,\approx\,2%2C31.

Exercice 10 : une équation qui admet une unique solution
1) Montrons que l’équation :

-2x^3\,-\,6x^2\,%2B\,18x\,%2B\,59\,=\,0

admet une unique solution réelle \alpha.

Soit f(x)\,=\,-2x^3\,-\,6x^2\,%2B\,18x\,%2B\,59. Calculons la dérivée de f(x):

f'(x)\,=\,\frac{d}{dx}(-2x^3\,-\,6x^2\,%2B\,18x\,%2B\,59)\,=\,-6x^2\,-\,12x\,%2B\,18

Nous cherchons les racines de f'(x):

-6x^2\,-\,12x\,%2B\,18\,=\,0

Divisons par -6:

x^2\,%2B\,2x\,-\,3\,=\,0

Résolvons cette équation quadratique en utilisant la formule du discriminant:

\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,2^2\,-\,4\,\cdot\,1\,\cdot\,(-3)\,=\,4\,%2B\,12\,=\,16

Puisque \Delta\,>\,0

Les racines sont:

x_1\,=\,\frac{-2\,%2B\,4}{2}\,=\,1
x_2\,=\,\frac{-2\,-\,4}{2}\,=\,-3

Analysons le comportement de f'(x) autour de ces racines:

Pour x\,%3C\,-3, f'(x)\,>\,0, f'(x)\,%3C\,0.
Pour x\,>\,1 est croissante pour x\,%3C\,-3, décroissante pour -3\,%3C\,x\,%3C\,1, puis croissante pour x\,>\,1 change de signe et qu’il est strictement décroissant entre -3 et 1, f(x) traverse l’axe des ordonnées une seule fois, par conséquent l’équation -2x^3\,-\,6x^2\,%2B\,18x\,%2B\,59\,=\,0 a une unique solution réelle \alpha.

2) Encadrons \alpha au dixième près avec une calculatrice.

Utilisons la méthode de dichotomie pour encadrer \alpha.

Supposons \alpha\,\approx\,-4.6 puisque f(-4.6)\,\approx\,0.

Ainsi,

-4.7\,%3C\,\alpha\,%3C\,-4.6

Pour confirmer:

f(-4.7)\,\approx\,0.51
f(-4.6)\,\approx\,-0.03

Cela confirme que \alpha\,\approx\,-4.6 au dixième près.

Donc, l’encadrement de \alpha est:

-4.7\,%3C\,\alpha\,%3C\,-4.6

Voir Corrigés 11 à 20 ...

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