Nombres complexes : corrigés des exercices en terminale.

Exercice 1 : déterminer la forme algébrique

$z_1\,=\,(2\,%2B\,3i)(-1\,%2B\,i)$
$z_1\,=\,2(-1\,%2B\,i)\,%2B\,3i(-1\,%2B\,i)\,=\,-2\,%2B\,2i\,-\,3i\,%2B\,3i^2\,=\,-2\,%2B\,2i\,-\,3i\,-\,3\,=\,-5\,-\,i$

$z_1\,=\,(5\,-\,i)(1\,-\,2i)(3\,%2B\,2i)$
$z_1\,=\,(5\,-\,i)(1\,-\,2i)\,=\,5\,-\,10i\,-\,i\,%2B\,2i^2\,=\,5\,-\,10i\,-\,i\,-\,2\,=\,3\,-\,11i$
$(3\,-\,11i)(3\,%2B\,2i)\,=\,9\,%2B\,6i\,-\,33i\,-\,22i^2\,=\,9\,-\,27i\,%2B\,22\,=\,31\,-\,27i$

$z_1\,=\,(2\,%2B\,i)^2\,(2\,-\,i)^2$
$(2\,%2B\,i)^2\,=\,2^2\,%2B\,2\,\cdot\,2\,\cdot\,i\,%2B\,i^2\,=\,4\,%2B\,4i\,-\,1\,=\,3\,%2B\,4i$
$(2\,-\,i)^2\,=\,2^2\,-\,2\,\cdot\,2\,\cdot\,i\,%2B\,i^2\,=\,4\,-\,4i\,-\,1\,=\,3\,-\,4i$
$z_1\,=\,(3\,%2B\,4i)(3\,-\,4i)\,=\,9\,-\,16i^2\,=\,9\,%2B\,16\,=\,25$

$z_1\,=\,\dfrac{3\,%2B\,4i}{1\,%2B\,i}$
$z_1\,=\,\dfrac{(3\,%2B\,4i)(1\,-\,i)}{(1\,%2B\,i)(1\,-\,i)}\,=\,\dfrac{3\,-\,3i\,%2B\,4i\,-\,4i^2}{1\,%2B\,1}\,=\,\dfrac{3\,%2B\,i\,%2B\,4}{2}\,=\,\dfrac{7\,%2B\,i}{2}\,=\,\dfrac{7}{2}\,%2B\,\dfrac{1}{2}i$

$z_2\,=\,(1\,-\,i)^2$
$z_2\,=\,1\,-\,2i\,%2B\,i^2\,=\,1\,-\,2i\,-\,1\,=\,-2i$

$z_2\,=\,\dfrac{1}{i}$
$z_2\,=\,\dfrac{1\,\cdot\,(-i)}{i\,\cdot\,(-i)}\,=\,-i$

$z_2\,=\,\dfrac{1}{5\,%2B\,2i}$
$z_2\,=\,\dfrac{1}{5\,%2B\,2i}\,\cdot\,\dfrac{5\,-\,2i}{5\,-\,2i}\,=\,\dfrac{5\,-\,2i}{(5\,%2B\,2i)(5\,-\,2i)}\,=\,\dfrac{5\,-\,2i}{25\,-\,4i^2}\,=\,\dfrac{5\,-\,2i}{25\,%2B\,4}\,=\,\dfrac{5\,-\,2i}{29}\,=\,\dfrac{5}{29}\,-\,\dfrac{2}{29}i$

$z_2\,=\,\dfrac{1}{\sqrt{3}\,%2B\,4i}$
$z_2\,=\,\dfrac{1}{\sqrt{3}\,%2B\,4i}\,\cdot\,\dfrac{\sqrt{3}\,-\,4i}{\sqrt{3}\,-\,4i}\,=\,\dfrac{\sqrt{3}\,-\,4i}{(\sqrt{3}\,%2B\,4i)(\sqrt{3}\,-\,4i)}\,=\,\dfrac{\sqrt{3}\,-\,4i}{3\,-\,16i^2}\,=\,\dfrac{\sqrt{3}\,-\,4i}{3\,%2B\,16}\,=\,\dfrac{\sqrt{3}\,-\,4i}{19}\,=\,\dfrac{\sqrt{3}}{19}\,-\,\dfrac{4}{19}i$

Exercice 2 : donner la forme algébrique du nombre complexe

Donner la forme algébrique de :
\begin{enumerate}
$i^3$ :
$i^3\,=\,i\,\times \,i\,\times \,i\,=\,(i^2)\,\times \,i\,=\,-1\,\times \,i\,=\,-i$
$i^4$ :
$i^4\,=\,(i^2)\,\times \,(i^2)\,=\,(-1)\,\times \,(-1)\,=\,1$
$i^5$ :
$i^5\,=\,i^4\,\times \,i\,=\,1\,\times \,i\,=\,i$
$i^6$ :
$i^6\,=\,i^4\,\times \,i^2\,=\,1\,\times \,(-1)\,=\,-1$
$i^7$ :
$i^7\,=\,i^4\,\times \,i^3\,=\,1\,\times \,(-i)\,=\,-i$

Déterminer $i^n$ lorsque :

$n = 4k$ (avec $k \in \mathbb{N^*}$) :
$i^{4k}\,=\,(i^4)^k\,=\,1^k\,=\,1$
$n = 4k + 1$ :
$i^{4k%2B1}\,=\,i^{4k}\,\times \,i\,=\,1\,\times \,i\,=\,i$
$n = 4k + 2$ :
$i^{4k%2B2}\,=\,i^{4k}\,\times \,i^2\,=\,1\,\times \,(-1)\,=\,-1$
$n = 4k + 3$ :
$i^{4k%2B3}\,=\,i^{4k}\,\times \,i^3\,=\,1\,\times \,(-i)\,=\,-i$

\end{enumerate}

Exercice 3 : ecrire sous forme algébrique les nombres complexes
Soit $z\,=\,-\frac{1}{2}\,%2B\,i\,\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$a)\,Calcul\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fz%255E2%22\,alt=%22z^2$ : » align= »absmiddle » />

$z^2\,=\,(\,-\frac{1}{2}\,%2B\,i\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,)^2%0D%0A=\,(\,-\frac{1}{2}\,)^2\,%2B\,2\,(\,-\frac{1}{2}\,)\,(\,i\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,)\,%2B\,(\,i\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,)^2$

$=\,\frac{1}{4}\,%2B\,2\,(\,-\frac{1}{2}\,\cdot\,i\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,)\,%2B\,(\,i^2\,\frac{3}{4}\,)$

$=\,\frac{1}{4}\,-\,i\,\frac{\sqrt{3}}{4}\,-\,\frac{3}{4}$

$=\,(\,\frac{1}{4}\,-\,\frac{3}{4}\,)\,-\,i\,\frac{\sqrt{3}}{4}$

$=\,-\frac{1}{2}\,-\,i\,\frac{\sqrt{3}}{2}$
Donc, $z^2\,=\,-1$ .

$b)\,Calcul\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fz%255E3%22\,alt=%22z^3$ : » align= »absmiddle » />

$z^3\,=\,z\,\cdot\,z^2\,=\,(\,-\frac{1}{2}\,%2B\,i\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,)\,\cdot\,(-1)$

$=\,(\,-\frac{1}{2}\,%2B\,i\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,)\,\cdot\,-1$

$=\,\frac{1}{2}\,-\,i\,\frac{\sqrt{3}}{2}$

Donc, $z^3\,=\,\frac{1}{2}\,-\,i\,\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$c)\,Calcul\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Cfrac%257B1%257D%257Bz%257D%22\,alt=%22\frac{1}{z}$ : » align= »absmiddle » />

On multiplie par le conjugué de :

$\frac{1}{z}\,=\,\frac{1}{-\frac{1}{2}\,%2B\,i\,\frac{\sqrt{3}}{2}}\,\cdot\,\frac{-\frac{1}{2}\,-\,i\,\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}\,-\,i\,\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$=\,\frac{-\frac{1}{2}\,-\,i\,\frac{\sqrt{3}}{2}}{(\,-\frac{1}{2}\,)^2\,%2B\,(\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,)^2}$

$=\,\frac{-\frac{1}{2}\,-\,i\,\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{4}\,%2B\,\frac{3}{4}}%0D%0A=\,\frac{-\frac{1}{2}\,-\,i\,\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}$

$=\,-\frac{1}{2}\,-\,i\,\frac{\sqrt{3}}{2}$

Donc, $\frac{1}{z}\,=\,-\frac{1}{2}\,-\,i\,\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Exercice 4 : vérifier des égalités
Soit le polynôme défini par:

$P(z)\,=\,z^3\,%2B\,2z^2\,-\,6z\,%2B\,8$

Nous devons vérifier que $P(1%2Bi)\,=\,0$ et $P(1-i)\,=\,0$ .

1. Calcul de :

$P(1%2Bi)\,=\,(1%2Bi)^3\,%2B\,2(1%2Bi)^2\,-\,6(1%2Bi)\,%2B\,8$

D’abord, calculons les puissances :

$(1%2Bi)^3\,=\,(1%2Bi)(1%2Bi)^2$
$(1%2Bi)^2\,=\,1\,%2B\,2i\,%2B\,i^2\,=\,1\,%2B\,2i\,-\,1\,=\,2i$
$(1%2Bi)^3\,=\,(1%2Bi)\,\cdot\,2i\,=\,2i\,%2B\,2i^2\,=\,2i\,-\,2\,=\,-2\,%2B\,2i$

Ensuite,

$2(1%2Bi)^2\,=\,2\,\cdot\,2i\,=\,4i$

Donc,

$P(1%2Bi)\,=\,(-2%2B2i)\,%2B\,4i\,-\,6(1\,%2B\,i)\,%2B\,8$

$=\,-2\,%2B\,2i\,%2B\,4i\,-\,6\,-\,6i\,%2B\,8$
$=\,-2\,-\,6\,%2B\,8\,%2B\,(2i\,%2B\,4i\,-\,6i)$
$=\,0\,%2B\,0i$
$=\,0$

2. Calcul de :

$P(1-i)\,=\,(1-i)^3\,%2B\,2(1-i)^2\,-\,6(1-i)\,%2B\,8$

D’abord, calculons les puissances :

$(1-i)^3\,=\,(1-i)(1-i)^2$
$(1-i)^2\,=\,1\,-\,2i\,%2B\,i^2\,=\,1\,-\,2i\,-\,1\,=\,-2i$
$(1-i)^3\,=\,(1-i)\,\cdot\,(-2i)\,=\,-2i\,%2B\,2i^2\,=\,-2i\,-\,2\,=\,-2\,-\,2i$

Ensuite,

$2(1-i)^2\,=\,2\,\cdot\,(-2i)\,=\,-4i$

Donc,

$P(1-i)\,=\,(-2-2i)\,-\,4i\,-\,6(1\,-\,i)\,%2B\,8$

$=\,-2\,-\,2i\,-\,4i\,-\,6\,%2B\,6i\,%2B\,8$
$=\,-2\,-\,6\,%2B\,8\,%2B\,(-2i\,-\,4i\,%2B\,6i)$
$=\,0\,%2B\,0i$
$=\,0$

Nous avons montré que $P(1%2Bi)\,=\,0$ et $P(1-i)\,=\,0$ .

Ainsi, les points et sont bien des zéros du polynôme .

Exercice 5 : une fonction numérique et nombres complexes
Soit $f(z)\,=\,\frac{2iz\,-\,1}{z\,-\,1}$ .

a) Calculons :

$f(3)\,=\,\frac{2i\,\cdot\,3\,-\,1}{3\,-\,1}\,=\,\frac{6i\,-\,1}{2}\,=\,3i\,-\,\frac{1}{2}$

b) Calculons $f(\frac{1}{2}i)$ :

$f(\frac{1}{2}i)\,=\,\frac{2i\,\cdot\,\frac{1}{2}i\,-\,1}{\frac{1}{2}i\,-\,1}\,=\,\frac{i^2\,-\,1}{\frac{1}{2}i\,-\,1}$

Sachant que $i^2\,=\,-1$ , nous avons :

$f(\frac{1}{2}i)\,=\,\frac{-1\,-\,1}{\frac{1}{2}i\,-\,1}\,=\,\frac{-2}{\frac{1}{2}i\,-\,1}$

Multiplions le numérateur et le dénominateur par -2 pour simplifier :

$f(\frac{1}{2}i)\,=\,\frac{-2}{\frac{1}{2}i\,-\,1}\,\cdot\,\frac{-2}{-2}\,=\,\frac{4}{-i\,-\,2}$

Nous pouvons simplifier encore :

$f(\frac{1}{2}i)\,=\,\frac{4}{-2\,-\,i}\,=\,-\frac{4}{2\,%2B\,i}$

c) Calculons $f(\frac{1%2Bi}{1-i})$ :

D’abord, simplifions l’expression $z\,=\,\frac{1%2Bi}{1-i}$ :

$z\,=\,\frac{1%2Bi}{1-i}\,\cdot\,\frac{1%2Bi}{1%2Bi}\,=\,\frac{(1%2Bi)^2}{(1-i)(1%2Bi)}\,=\,\frac{1\,%2B\,2i\,%2B\,i^2}{1\,-\,i^2}\,=\,\frac{1\,%2B\,2i\,-\,1}{1\,%2B\,1}\,=\,\frac{2i}{2}\,=\,i$

Maintenant, calculons :

$f(i)\,=\,\frac{2i\,\cdot\,i\,-\,1}{i\,-\,1}\,=\,\frac{2i^2\,-\,1}{i\,-\,1}$

Sachant que $i^2\,=\,-1$ , nous avons :

$f(i)\,=\,\frac{2(-1)\,-\,1}{i\,-\,1}\,=\,\frac{-2\,-\,1}{i\,-\,1}\,=\,\frac{-3}{i\,-\,1}$

Multiplions le numérateur et le dénominateur par i pour simplifier :

$f(i)\,=\,\frac{-3}{i\,-\,1}\,\cdot\,\frac{i}{i}\,=\,\frac{-3i}{i^2\,-\,i}\,=\,\frac{-3i}{-1\,-\,i}\,=\,\frac{3i}{1%2Bi}$

En simplifiant encore, nous obtenons :

$f(i)\,=\,\frac{3i}{1%2Bi}\,\cdot\,\frac{1-i}{1-i}\,=\,\frac{3i(1-i)}{(1%2Bi)(1-i)}\,=\,\frac{3i\,-\,3i^2}{1\,-\,i^2}\,=\,\frac{3i\,%2B\,3}{1\,%2B\,1}\,=\,\frac{3i\,%2B\,3}{2}\,=\,\frac{3}{2}(1%2Bi)$

En conclusion, nous avons :

$\boxed{%0D%0A%0D%0Aa)\,\quad\,f(3)\,%26=\,3i\,-\,\frac{1}{2}%2C\,\\%0D%0Ab)\,\quad\,f(\frac{1}{2}i)\,%26=\,-\frac{4}{2\,%2B\,i}%2C\,\\%0D%0Ac)\,\quad\,f(\frac{1%2Bi}{1-i})\,%26=\,\frac{3}{2}(1\,%2B\,i)%0D%0A%0D%0A}$

Exercice 6 : vérifier que les nombres sont des imaginaires purs
Pour vérifier que $z_1\,%2B\,z_2$ est un nombre réel et que $z_1\,-\,z_2$ est un imaginaire pur, nous allons d’abord simplifier ces expressions.

Considérons $z_1\,=\,\frac{1\,-\,i}{3\,%2B\,5i}$ .
Nous allons multiplier par le conjugué du dénominateur pour simplifier :

$z_1\,=\,\frac{(1\,-\,i)(3\,-\,5i)}{(3\,%2B\,5i)(3\,-\,5i)}$

Calculons le dénominateur :

$(3\,%2B\,5i)(3\,-\,5i)\,=\,3^2\,-\,(5i)^2\,=\,9\,%2B\,25\,=\,34$

Calculons le numérateur :

$(1\,-\,i)(3\,-\,5i)\,=\,1\,\cdot\,3\,%2B\,1\,\cdot\,(-5i)\,%2B\,(-i)\,\cdot\,3\,%2B\,(-i)\,\cdot\,(-5i)$
$=\,3\,-\,5i\,-\,3i\,%2B\,5i^2$
$=\,3\,-\,8i\,%2B\,5(-1)$
$=\,3\,-\,8i\,-\,5$
$=\,-2\,-\,8i$

Donc :

$z_1\,=\,\frac{-2\,-\,8i}{34}\,=\,\frac{-2}{34}\,%2B\,\frac{-8i}{34}\,=\,-\frac{1}{17}\,-\,\frac{4i}{17}$

Maintenant, considérons $z_2\,=\,\frac{1\,%2B\,i}{3\,-\,5i}$ .
Nous allons également multiplier par le conjugué du dénominateur :

$z_2\,=\,\frac{(1\,%2B\,i)(3\,%2B\,5i)}{(3\,-\,5i)(3\,%2B\,5i)}$

Le dénominateur est déjà calculé et vaut 34.

Calculons le numérateur :

$(1\,%2B\,i)(3\,%2B\,5i)\,=\,1\,\cdot\,3\,%2B\,1\,\cdot\,5i\,%2B\,i\,\cdot\,3\,%2B\,i\,\cdot\,5i$
$=\,3\,%2B\,5i\,%2B\,3i\,%2B\,5i^2$
$=\,3\,%2B\,8i\,%2B\,5(-1)$
$=\,3\,%2B\,8i\,-\,5$
$=\,-2\,%2B\,8i$

Donc :

$z_2\,=\,\frac{-2\,%2B\,8i}{34}\,=\,\frac{-2}{34}\,%2B\,\frac{8i}{34}\,=\,-\frac{1}{17}\,%2B\,\frac{4i}{17}$

Maintenant, calculons $z_1\,%2B\,z_2$ :

$z_1\,%2B\,z_2\,=\,(-\frac{1}{17}\,-\,\frac{4i}{17})\,%2B\,(-\frac{1}{17}\,%2B\,\frac{4i}{17})$
$=\,-\frac{1}{17}\,-\,\frac{1}{17}\,-\,\frac{4i}{17}\,%2B\,\frac{4i}{17}$
$=\,-\frac{2}{17}$

La partie imaginaire se simplifie à zéro, donc $z_1\,%2B\,z_2$ est un nombre réel ( $-\frac{2}{17}$ ).

Calculons maintenant $z_1\,-\,z_2$ :

$z_1\,-\,z_2\,=\,(-\frac{1}{17}\,-\,\frac{4i}{17})\,-\,(-\frac{1}{17}\,%2B\,\frac{4i}{17})$
$=\,-\frac{1}{17}\,-\,\frac{1}{17}\,-\,\frac{4i}{17}\,-\,\frac{4i}{17}$
$=\,-\frac{1}{17}\,%2B\,\frac{1}{17}\,-\,\frac{4i}{17}\,-\,\frac{4i}{17}$
$=\,-\frac{8i}{17}$

La partie réelle se simplifie à zéro, donc $z_1\,-\,z_2$ est un imaginaire pur ( $-\frac{8i}{17}$ ).

Exercice 7 : résoudre des équations dans C
a) $2z^2\,%2B\,3z\,-\,5\,=\,0$
Pour résoudre cette équation quadratique, nous utilisons la formule quadratique $z\,=\,\frac{{-b\,\pm\,\sqrt{{b^2\,-\,4ac}}}}{2a}$ où $a\,=\,2$ , $b\,=\,3$ et $c\,=\,-5$ .

$b^2\,-\,4ac\,=\,3^2\,-\,4\,\times \,2\,\times \,(-5)\,=\,9\,%2B\,40\,=\,49$

$z\,=\,\frac{{-3\,\pm\,\sqrt{49}}}{2\,\times \,2}\,=\,\frac{{-3\,\pm\,7}}{4}$

$z_1\,=\,\frac{{-3\,%2B\,7}}{4}\,=\,1\,\quad\,et\,\quad\,z_2\,=\,\frac{{-3\,-\,7}}{4}\,=\,-\frac{5}{2}$

Les solutions sont donc $z\,=\,1$ et $z\,=\,-\frac{5}{2}$ .

b) $2z^2\,%2B\,3z\,%2B\,5\,=\,0$

$b^2\,-\,4ac\,=\,3^2\,-\,4\,\times \,2\,\times \,5\,=\,9\,-\,40\,=\,-31$

$z\,=\,\frac{{-3\,\pm\,\sqrt{-31}}}{4}\,=\,\frac{{-3\,\pm\,i\sqrt{31}}}{4}$

Les solutions sont $z\,=\,\frac{{-3\,%2B\,i\sqrt{31}}}{4}$ et $z\,=\,\frac{{-3\,-\,i\sqrt{31}}}{4}$ .

c) $z^2\,%2B\,4\,=\,0$

$z^2\,=\,-4$

$z\,=\,\pm\,2i$

Les solutions sont $z\,=\,2i$ et $z\,=\,-2i$ .

d) $z^2\,-\,4z\,%2B\,4\,=\,0$
$(z\,-\,2)^2\,=\,0$

La solution double est $z\,=\,2$ .

e) $\frac{1}{3}z^2\,%2B\,\frac{1}{6}z\,%2B\,1\,=\,0$

Pour simplifier, multiplions par 6 :

$2z^2\,%2B\,z\,%2B\,6\,=\,0$

$b^2\,-\,4ac\,=\,1^2\,-\,4\,\times \,2\,\times \,6\,=\,1\,-\,48\,=\,-47$

$z\,=\,\frac{{-1\,\pm\,\sqrt{-47}}}{4}\,=\,\frac{{-1\,\pm\,i\sqrt{47}}}{4}$

Les solutions sont $z\,=\,\frac{{-1\,%2B\,i\sqrt{47}}}{4}$ et $z\,=\,\frac{{-1\,-\,i\sqrt{47}}}{4}$ .

f) $9z^2\,%2B\,25\,=\,0$

$z^2\,=\,-\frac{25}{9}$

$z\,=\,\pm\,\frac{5i}{3}$

Les solutions sont $z\,=\,\frac{5i}{3}$ et $z\,=\,-\frac{5i}{3}$ .

g) $3z^2\,%2B\,6z\,%2B\,4\,=\,0$

$b^2\,-\,4ac\,=\,6^2\,-\,4\,\times \,3\,\times \,4\,=\,36\,-\,48\,=\,-12$

$z\,=\,\frac{{-6\,\pm\,\sqrt{-12}}}{6}\,=\,\frac{{-6\,\pm\,2i\sqrt{3}}}{6}\,=\,-1\,\pm\,\frac{i\sqrt{3}}{3}$

Les solutions sont $z\,=\,-1\,%2B\,\frac{i\sqrt{3}}{3}$ et $z\,=\,-1\,-\,\frac{i\sqrt{3}}{3}$ .

h) $5z^2\,%2B\,2z\,=\,0$

$z(5z\,%2B\,2)\,=\,0$

Les solutions sont $z\,=\,0$ et $z\,=\,-\frac{2}{5}$ .

Exercice 8 : résoudre l’équation avec des nombres complexes
Pour résoudre l’équation dans $\mathbb{C}$ :

$z^2\,-\,(1\,%2B\,\sqrt{3})z\,%2B\,\sqrt{3}\,=\,0$

nous utiliserons la formule quadratique :

$z\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{b^2\,-\,4ac}}{2a}$

Ici, $a\,=\,1$ , $b\,=\,-(1\,%2B\,\sqrt{3})$ et $c\,=\,\sqrt{3}$ . Remplaçons ces valeurs dans la formule quadratique :

$z\,=\,\frac{-(\,-(1\,%2B\,\sqrt{3}\,)\,)\,\pm\,\sqrt{\,(-(1\,%2B\,\sqrt{3})\,)^2\,-\,4\,\cdot\,1\,\cdot\,\sqrt{3}}}{2\,\cdot\,1}$
$z\,=\,\frac{(1\,%2B\,\sqrt{3})\,\pm\,\sqrt{\,(1\,%2B\,\sqrt{3})^2\,-\,4\sqrt{3}\,}}{2}$

Calculons le discriminant $\Delta$ :

$\Delta\,=\,(1\,%2B\,\sqrt{3})^2\,-\,4\sqrt{3}$
$\Delta\,=\,1\,%2B\,2\sqrt{3}\,%2B\,3\,-\,4\sqrt{3}$
$\Delta\,=\,4\,-\,2\sqrt{3}$

Donc, nous avons :

$z\,=\,\frac{(1\,%2B\,\sqrt{3})\,\pm\,\sqrt{4\,-\,2\sqrt{3}}}{2}$

Remarquons que $\sqrt{4\,-\,2\sqrt{3}}$ peut être simplifié davantage. Posons $y\,=\,\sqrt{4\,-\,2\sqrt{3}}$ et posons aussi :

$4\,-\,2\sqrt{3}\,=\,(\sqrt{a}\,-\,\sqrt{b})^2$
$4\,-\,2\sqrt{3}\,=\,a\,%2B\,b\,-\,2\,\sqrt{ab}$

En identifiant, nous obtenons les équations suivantes :

$a\,%2B\,b\,=\,4\,\quad\,et\,\quad\,2\sqrt{ab}\,=\,2\sqrt{3}$

Donc,

$\sqrt{ab}\,=\,\sqrt{3}$
$ab\,=\,3$

Et donc, en résolvant les valeurs de et telles que $a\,%2B\,b\,=\,4$ et $ab\,=\,3$ , nous obtenons et . Par conséquent,

$\sqrt{4\,-\,2\sqrt{3}}\,=\,\sqrt{\,(\,\sqrt{2}\,-\,\sqrt{2}\,)^2\,}$
$\sqrt{4\,-\,2\sqrt{3}}\,=\,2\,-\,\sqrt{3}$

Substituons cette valeur dans notre formule quadratique :

$z\,=\,\frac{(1\,%2B\,\sqrt{3})\,\pm\,(\,2\,-\,\sqrt{3}\,)}{2}$

Nous obtenons donc :

$z_1\,=\,\frac{(1\,%2B\,\sqrt{3})\,%2B\,(2\,-\,\sqrt{3})}{2}\,=\,\frac{3}{2}$
$z_2\,=\,\frac{(1\,%2B\,\sqrt{3})\,-\,(2\,-\,\sqrt{3})}{2}\,=\,\frac{-1\,%2B\,2\sqrt{3}}{2}\,=\,\frac{2\sqrt{3}\,-\,1}{2}$

Donc, les solutions de l’équation sont :

$z_1\,=\,\frac{3}{2}$
$z_2\,=\,\frac{2\sqrt{3}\,-\,1}{2}$

Exercice 9 : nombres complexes et trigonométrie
\subsection*{Correction de l’exercice}

Nous devons résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation suivante:
$z^2\,-\,2(\cos\,\theta)z\,%2B\,1\,=\,0$

Pour cela, nous allons considérer les deux cas fournis pour $\theta$ .

\subsection*{a) $\theta\,=\,\pi$ }

Pour $\theta\,=\,\pi$ , nous avons $\cos(\pi)\,=\,-1$ . L’équation devient alors:
$z^2\,-\,2(-1)z\,%2B\,1\,=\,0$
$z^2\,%2B\,2z\,%2B\,1\,=\,0$

Nous remarquons que cette équation peut être factorisée comme un carré parfait:
$(z\,%2B\,1)^2\,=\,0$

Les solutions sont alors:
$z\,=\,-1$

\subsection*{b) $\theta\,=\,\frac{\pi}{3}$ }

Pour $\theta\,=\,\frac{\pi}{3}$ , nous avons $\cos(\frac{\pi}{3})\,=\,\frac{1}{2}$ . L’équation devient alors:
$z^2\,-\,2(\frac{1}{2})z\,%2B\,1\,=\,0$
$z^2\,-\,z\,%2B\,1\,=\,0$

Pour résoudre cette équation quadratique, nous utilisons la formule quadratique:
$z\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{b^2\,-\,4ac}}{2a}$
où $a\,=\,1$ , $b\,=\,-1$ , et $c\,=\,1$ .

Calculons le discriminant:
$\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,(-1)^2\,-\,4\,\cdot\,1\,\cdot\,1\,=\,1\,-\,4\,=\,-3$

Le discriminant est négatif, donc les solutions seront complexes. Les solutions sont:
$z\,=\,\frac{-(-1)\,\pm\,\sqrt{-3}}{2\,\cdot\,1}$
$z\,=\,\frac{1\,\pm\,\sqrt{3}i}{2}$

Nous obtenons donc les solutions complexes:
$z\,=\,\frac{1\,%2B\,\sqrt{3}i}{2}\,\quad\,et\,\quad\,z\,=\,\frac{1\,-\,\sqrt{3}i}{2}$

Exercice 10 : résoudre dans C l’équation
Pour résoudre l’équation $(z^2\,%2B\,3z\,%2B\,1)(z^2\,-\,z\,%2B\,6)\,=\,0$ dans $\mathbb{C}$ , il suffit de résoudre séparément chaque facteur de l’équation.

1. Résolution de $z^2\,%2B\,3z\,%2B\,1\,=\,0$

L’équation quadratique $z^2\,%2B\,3z\,%2B\,1\,=\,0$ a des racines données par la formule :

$z\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{b^2\,-\,4ac}}{2a}$

où $a\,=\,1$ , $b\,=\,3$ et $c\,=\,1$ .

Donc,

$z\,=\,\frac{-3\,\pm\,\sqrt{3^2\,-\,4\,\cdot\,1\,\cdot\,1}}{2\,\cdot\,1}$
$z\,=\,\frac{-3\,\pm\,\sqrt{9\,-\,4}}{2}$
$z\,=\,\frac{-3\,\pm\,\sqrt{5}}{2}$

Les solutions de $z^2\,%2B\,3z\,%2B\,1\,=\,0$ sont donc :

$z_1\,=\,\frac{-3\,%2B\,\sqrt{5}}{2}\,\quad\,et\,\quad\,z_2\,=\,\frac{-3\,-\,\sqrt{5}}{2}$

2. Résolution de $z^2\,-\,z\,%2B\,6\,=\,0$

L’équation quadratique $z^2\,-\,z\,%2B\,6\,=\,0$ a des racines données par la même formule.

$z\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{b^2\,-\,4ac}}{2a}$

où $a\,=\,1$ , $b\,=\,-1$ et $c\,=\,6$ .

Donc,

$z\,=\,\frac{-(-1)\,\pm\,\sqrt{(-1)^2\,-\,4\,\cdot\,1\,\cdot\,6}}{2\,\cdot\,1}$
$z\,=\,\frac{1\,\pm\,\sqrt{1\,-\,24}}{2}$
$z\,=\,\frac{1\,\pm\,\sqrt{-23}}{2}$
$z\,=\,\frac{1\,\pm\,i\sqrt{23}}{2}$

Les solutions de $z^2\,-\,z\,%2B\,6\,=\,0$ sont donc :

$z_3\,=\,\frac{1\,%2B\,i\sqrt{23}}{2}\,\quad\,et\,\quad\,z_4\,=\,\frac{1\,-\,i\sqrt{23}}{2}$

En conclusion, les solutions de l’équation $(z^2\,%2B\,3z\,%2B\,1)(z^2\,-\,z\,%2B\,6)\,=\,0$ dans $\mathbb{C}$ sont :

$z_1\,=\,\frac{-3\,%2B\,\sqrt{5}}{2}%2C\,\quad\,z_2\,=\,\frac{-3\,-\,\sqrt{5}}{2}%2C\,\quad\,z_3\,=\,\frac{1\,%2B\,i\,\sqrt{23}}{2}\,\quad\,et\,\quad\,z_4\,=\,\frac{1\,-\,i\,\sqrt{23}}{2}$

Exercice 11 : polynôme et résolution de l’équation
On considère le polynôme défini sur $\mathbb{C}$ par :
$P(z)\,=\,z^4\,%2B\,3z^3\,%2B\,6z^2\,%2B\,6z\,%2B\,8$

a) Justifier la copie d’écran ci-dessous obtenue avec le logiciel Xcas.

Le logiciel Xcas nous donne la factorisation suivante :
$P(z)\,=\,(z\,-\,\frac{-1%2Bi\sqrt{7}}{2})(z\,-\,\frac{-1-i\sqrt{7}}{2})(z\,-\,\frac{-1%2Bi\sqrt{2}}{2})(z\,-\,\frac{-1-i\sqrt{2}}{2})$

Pour vérifier cette factorisation, développons les facteurs.

Regroupons d’abord les facteurs par paires :
$(z\,-\,\frac{-1%2Bi\sqrt{7}}{2})(z\,-\,\frac{-1-i\sqrt{7}}{2})$
et
$(z\,-\,\frac{-1%2Bi\sqrt{2}}{2})(z\,-\,\frac{-1-i\sqrt{2}}{2})$

En développant le premier produit :
$(z\,-\,\frac{-1%2Bi\sqrt{7}}{2})(z\,-\,\frac{-1-i\sqrt{7}}{2})\,=\,(z\,%2B\,\frac{1-i\sqrt{7}}{2})(z\,%2B\,\frac{1%2Bi\sqrt{7}}{2})$

Utilisons la formule de produit conjugué :
$=\,(z\,%2B\,\frac{1}{2}\,-\,\frac{i\sqrt{7}}{2})(z\,%2B\,\frac{1}{2}\,%2B\,\frac{i\sqrt{7}}{2})\,=\,(z\,%2B\,\frac{1}{2})^2\,-\,(\frac{i\sqrt{7}}{2})^2$
$=\,(z\,%2B\,\frac{1}{2})^2\,%2B\,\frac{7}{4}\,=\,z^2\,%2B\,z\,%2B\,\frac{1}{4}\,%2B\,\frac{7}{4}\,=\,z^2\,%2B\,z\,%2B\,2$

Pour le deuxième produit :
$(z\,-\,\frac{-1%2Bi\sqrt{2}}{2})(z\,-\,\frac{-1-i\sqrt{2}}{2})\,=\,(z\,%2B\,\frac{1\,-\,i\sqrt{2}}{2})(z\,%2B\,\frac{1\,%2B\,i\sqrt{2}}{2})$

Utilisons encore une fois la formule de produit conjugué :
$=\,(z\,%2B\,\frac{1}{2}\,-\,\frac{i\sqrt{2}}{2})(z\,%2B\,\frac{1}{2}\,%2B\,\frac{i\sqrt{2}}{2})\,=\,(z\,%2B\,\frac{1}{2})^2\,-\,(\frac{i\sqrt{2}}{2})^2$
$=\,(z\,%2B\,\frac{1}{2})^2\,%2B\,\frac{2}{4}\,=\,z^2\,%2B\,z\,%2B\,\frac{1}{4}\,%2B\,\frac{1}{2}\,=\,z^2\,%2B\,z\,%2B\,\frac{3}{2}$

Donc, la factorisation complète est :
$P(z)\,=\,(z^2\,%2B\,z\,%2B\,2)(z^2\,%2B\,z\,%2B\,\frac{3}{2})$

Ce qui est en accord avec la factorisation donnée par Xcas, vérifions les racines suivantes pour $(z^2\,%2B\,z\,%2B\,2)$ et $(z^2\,%2B\,z\,%2B\,\frac{3}{2})$ .

b) En déduire la résolution dans $\mathbb{C$ de l’équation $P(z)\,=\,0$ .}

Les facteurs de la forme $z\,-\,r$ nous donnent les racines de P(z) .

Examinons les équations issues de $(z^2\,%2B\,z\,%2B\,2)\,=\,0$ et $(z^2\,%2B\,z\,%2B\,\frac{3}{2})\,=\,0$ :

Pour $z^2\,%2B\,z\,%2B\,2\,=\,0$ :
$z\,=\,\frac{-1\,\pm\,\sqrt{1-8}}{2}\,=\,\frac{-1\,\pm\,i\sqrt{7}}{2}$
D’où les racines :
$z\,=\,\frac{-1%2Bi\sqrt{7}}{2}\,\quad\,et\,\quad\,z\,=\,\frac{-1-i\sqrt{7}}{2}$

Pour $z^2\,%2B\,z\,%2B\,\frac{3}{2}\,=\,0$ :
$z\,=\,\frac{-1\,\pm\,\sqrt{1-6}}{2}\,=\,\frac{-1\,\pm\,i\sqrt{2}}{2}$
D’où les racines :
$z\,=\,\frac{-1%2Bi\sqrt{2}}{2}\,\quad\,et\,\quad\,z\,=\,\frac{-1-i\sqrt{2}}{2}$

Donc les solutions de l’équation $P(z)\,=\,0$ dans $\mathbb{C}$ sont :
$z\,=\,\frac{-1%2Bi\sqrt{7}}{2}%2C\,\quad\,z\,=\,\frac{-1-i\sqrt{7}}{2}%2C\,\quad\,z\,=\,\frac{-1%2Bi\sqrt{2}}{2}%2C\,\quad\,et\,\quad\,z\,=\,\frac{-1-i\sqrt{2}}{2}$

Exercice 12 : systèmes d’équations avec des nombres complexes
Nous avons le système d’équations suivant à résoudre pour z_1 et z_2 :

$\begin{cases}%0D%0Az_1\,z_2\,=\,10\,\\%0D%0Az_1\,%2B\,z_2\,=\,-2%0D%0A\end{cases}$

Notons z_1 et z_2 les racines d’un polynôme P(X) de la forme :

$P(X)\,=\,X^2\,%2B\,aX\,%2B\,b$

où et sont tels que :
1. $z_1\,%2B\,z_2\,=\,-2$
2. $z_1\,z_2\,=\,10$

Le polynôme associé est donc :

$P(X)\,=\,X^2\,%2B\,2X\,%2B\,10$

Pour trouver les racines de ce polynôme, utilisons la formule quadratique :

$X\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{b^2\,-\,4ac}}{2a}$

En appliquant cette formule à notre polynôme P(X) où $a\,=\,1$ , $b\,=\,2$ , et $c\,=\,10$ :

$X\,=\,\frac{-2\,\pm\,\sqrt{2^2\,-\,4\,\cdot\,1\,\cdot\,10}}{2\,\cdot\,1}$

Simplifions l’expression sous le radical :

$X\,=\,\frac{-2\,\pm\,\sqrt{4\,-\,40}}{2}$

$X\,=\,\frac{-2\,\pm\,\sqrt{-36}}{2}$

Nous savons que $\sqrt{-36}\,=\,6i$ , où est l’unité imaginaire. Ainsi :

$X\,=\,\frac{-2\,\pm\,6i}{2}$

En simplifiant, nous obtenons les racines :

$X\,=\,-1\,\pm\,3i$

Par conséquent, les nombres complexes z_1 et z_2 sont :

$z_1\,=\,-1\,%2B\,3i\,\quad\,et\,\quad\,z_2\,=\,-1\,-\,3i$

Nous avons donc trouvé les solutions : $z_1\,=\,-1\,%2B\,3i$ et $z_2\,=\,-1\,-\,3i$ .

Exercice 13 : résoudre dans C chacune des équations
$a)\,\,\frac{z^2\,%2B\,2z\,%2B\,5}{2z^2\,%2B\,1}\,=\,1$

Multipliant les deux côtés par $2z^2\,%2B\,1$ pour simplifier :
$z^2\,%2B\,2z\,%2B\,5\,=\,2z^2\,%2B\,1$

En simplifiant, nous obtenons :
$z^2\,-\,2z\,%2B\,4\,=\,0$

En utilisant la formule quadratique $z\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{b^2\,-\,4ac}}{2a}$ avec $a\,=\,1$ , $b\,=\,-2$ , et $c\,=\,4$ :
$z\,=\,\frac{2\,\pm\,\sqrt{(-2)^2\,-\,4\,\cdot\,1\,\cdot\,4}}{2\,\cdot\,1}$
$z\,=\,\frac{2\,\pm\,\sqrt{4\,-\,16}}{2}$
$z\,=\,\frac{2\,\pm\,\sqrt{-12}}{2}$
$z\,=\,1\,\pm\,i\sqrt{3}$

Donc, les solutions sont $z\,=\,1\,%2B\,i\sqrt{3}$ et $z\,=\,1\,-\,i\sqrt{3}$ .

—

$b)\,\,\frac{1}{z^2}\,-\,\frac{4}{z}\,%2B\,5\,=\,0$

Pour simplifier, faisons $z\,\neq\,0$ et multiplions par z^2 les deux côtés :
$1\,-\,4z\,%2B\,5z^2\,=\,0$

Réorganisons l’équation :
$5z^2\,-\,4z\,%2B\,1\,=\,0$

En utilisant la formule quadratique $\displaystyle\,z\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{b^2\,-\,4ac}}{2a}$ avec $a\,=\,5$ , $b\,=\,-4$ , et $c\,=\,1$ :
$z\,=\,\frac{4\,\pm\,\sqrt{(-4)^2\,-\,4\,\cdot\,5\,\cdot\,1}}{2\,\cdot\,5}$
$z\,=\,\frac{4\,\pm\,\sqrt{16\,-\,20}}{10}$
$z\,=\,\frac{4\,\pm\,\sqrt{-4}}{10}$
$z\,=\,\frac{4\,\pm\,2i}{10}$
$z\,=\,\frac{2\,\pm\,i}{5}$

Donc, les solutions sont $z\,=\,\frac{2\,%2B\,i}{5}$ et $z\,=\,\frac{2\,-\,i}{5}$ .

—

$c)\,\,\frac{z\,-\,2}{z\,-\,1}\,=\,z$

Multipliant les deux côtés par $z\,-\,1$ :
$z\,-\,2\,=\,z(z\,-\,1)$
$z\,-\,2\,=\,z^2\,-\,z$

Réorganisons l’équation :
$z^2\,-\,2z\,%2B\,z\,-\,2\,=\,0$
$z^2\,-\,2z\,-\,2\,=\,0$

En utilisant la formule quadratique $\displaystyle\,z\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{b^2\,-\,4ac}}{2a}$ avec $a\,=\,1$ , $b\,=\,-1$ , et $c\,=\,-2$ :
$z\,=\,\frac{1\,\pm\,\sqrt{(-1)^2\,-\,4\,\cdot\,1\,\cdot\,(-2)}}{2\,\cdot\,1}$
$z\,=\,\frac{1\,\pm\,\sqrt{1\,%2B\,8}}{2}$
$z\,=\,\frac{1\,\pm\,\sqrt{9}}{2}$
$z\,=\,\frac{1\,\pm\,3}{2}$

Donc, les solutions sont $z\,=\,2$ et $z\,=\,-1$ .

Exercice 14 : démontrer que le quadrilatère est un parallélogramme
a) Les points A, B, C et D ont les affixes respectives $z_A\,=\,-5\,%2B\,i$ , $z_B\,=\,1\,%2B\,2i$ , $z_C\,=\,2\,-\,i$ et $z_D\,=\,-4\,-\,2i$ .

b) Montrons que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. Pour ce faire, vérifions que les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont égaux ainsi que $\vec{AD}$ et $\vec{BC}$ .

Les coordonnées complexes des vecteurs sont données par :
$\vec{AB}\,=\,z_B\,-\,z_A\,=\,(1\,%2B\,2i)\,-\,(-5\,%2B\,i)\,=\,1\,%2B\,2i\,%2B\,5\,-\,i\,=\,6\,%2B\,i$
$\vec{CD}\,=\,z_D\,-\,z_C\,=\,(-4\,-\,2i)\,-\,(2\,-\,i)\,=\,-4\,-\,2i\,-\,2\,%2B\,i\,=\,-6\,-\,i$
On constate que $\vec{AB}\,\neq\,\vec{CD}$ .

Pour les autres vecteurs :
$\vec{AD}\,=\,z_D\,-\,z_A\,=\,(-4\,-\,2i)\,-\,(-5\,%2B\,i)\,=\,-4\,-\,2i\,%2B\,5\,-\,i\,=\,1\,-\,3i$
$\vec{BC}\,=\,z_C\,-\,z_B\,=\,(2\,-\,i)\,-\,(1\,%2B\,2i)\,=\,2\,-\,i\,-\,1\,-\,2i\,=\,1\,-\,3i$
On constate que $\vec{AD}\,=\,\vec{BC}$ .

Bien que nous n’ayons pas $\vec{AB}\,=\,\vec{CD}$ , nous avons $\vec{AD}\,=\,\vec{BC}$ .

Ce n’est pas suffisant pour démontrer que ABCD est un parallélogramme selon nos calculs, donc il semble que soit il y a une erreur de copie ou un autre moyen de vérifier est nécessaire. Il est possible que les coordonnées soient incorrectes ou mal transcrites.

c) Déterminons l’affixe du point , centre du parallélogramme ABCD.

Le centre d’un parallélogramme est donné par :
$z_M\,=\,\frac{z_A\,%2B\,z_C}{2}\,=\,\frac{(-5\,%2B\,i)\,%2B\,(2\,-\,i)}{2}\,=\,\frac{-3}{2}$

d) Déterminons l’affixe du point , quatrième sommet du parallélogramme BCNM.

Le point N se trouve en utilisant $\vec{BN}\,=\,\vec{CM}$ :
$z_N\,=\,z_B\,%2B\,(z_M\,-\,z_C)$
Remplaçons les valeurs :
$z_N\,=\,(1\,%2B\,2i)\,%2B\,(\frac{-3}{2}\,-\,(2\,-\,i))$
Calculons l’expression dans la parenthèse :
$\frac{-3}{2}\,-\,(2\,-\,i)\,=\,\frac{-3}{2}\,-\,2\,%2B\,i\,=\,\frac{-3\,-\,4}{2}\,%2B\,i\,=\,-\frac{7}{2}\,%2B\,i$
Ainsi,
$z_N\,=\,(1\,%2B\,2i)\,%2B\,(-\frac{7}{2}\,%2B\,i)\,=\,1\,-\,\frac{7}{2}\,%2B\,3i\,=\,-\frac{5}{2}\,%2B\,3i$

Mais à la fin, selon notre précédente analyse pour M, il semble mieux pour vérifier les positions.

Exercice 15 : déterminer l’affixe du centre du parallélogramme
Dans le plan complexe, les points , , et sont définis par leurs affixes respectives :

– $A\,=\,3\,%2B\,i$
– $B\,=\,2\,-\,2i$
– $C\,=\,2i$
– $D\,=\,1\,%2B\,5i$

$a)\,Realisation\,de\,la\,figure\,%3A$

Pour réaliser la figure, il suffit de placer les points dans le plan complexe en utilisant leurs coordonnées. Les points sont :
– $A(3%2C\,1)$
– $B(2%2C\,-2)$
– $C(0%2C\,2)$
– $D(1%2C\,5)$

Tracer les segments pour relier les points :
–
–
–
–

$b)\,Demonstration\,que\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FABCD%22\,alt=%22ABCD$ est un parallelogramme : » align= »absmiddle » />

*Première méthode : Vérification des milieux des diagonales*

Le milieu de et doivent être les mêmes.
– Affixe du milieu de :
$\frac{3\,%2B\,i\,%2B\,2i}{2}\,=\,\frac{3\,%2B\,3i}{2}\,=\,\frac{3}{2}\,%2B\,\frac{3i}{2}$

– Affixe du milieu de :
$\frac{2\,-\,2i\,%2B\,1\,%2B\,5i}{2}\,=\,\frac{3\,%2B\,3i}{2}\,=\,\frac{3}{2}\,%2B\,\frac{3i}{2}$

Les milieux étant égaux, cela prouve que ABCD est un parallélogramme.

*Deuxième méthode : Vérification des vecteurs opposés*

Pour que ABCD soit un parallélogramme, les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ doivent être égaux, tout comme les vecteurs $\vec{AD}$ et $\vec{BC}$ .

– Calcul des vecteurs :

$\vec{AB}\,=\,B\,-\,A\,=\,(2\,-\,2i)\,-\,(3\,%2B\,i)\,=\,-1\,-\,3i$
$\vec{CD}\,=\,D\,-\,C\,=\,(1\,%2B\,5i)\,-\,(2i)\,=\,1\,%2B\,3i$

– Vérification si les vecteurs sont égaux en norme et direction :

$\vec{AB}\,\neq\,\vec{CD}$

– Calcul des autres vecteurs :

$\vec{AD}\,=\,D\,-\,A\,=\,(1\,%2B\,5i)\,-\,(3\,%2B\,i)\,=\,-2\,%2B\,4i$
$\vec{BC}\,=\,C\,-\,B\,=\,2i\,-\,(2\,-\,2i)\,=\,-2\,%2B\,4i$

En conclusion, $\vec{AD}\,=\,\vec{BC}$ .

$c)\,Determiner\,l'affixe\,du\,centre\,du\,parallelogramme\,%3A$

Le centre du parallélogramme est le milieu de l’une de ses diagonales, par exemple :

$Affixe\,du\,centre\,=\,\frac{3\,%2B\,3i}{2}\,=\,\frac{3}{2}\,%2B\,\frac{3i}{2}$

Ainsi, l’affixe du centre du parallélogramme est $\frac{3{2}\,%2B\,\frac{3i}{2}}$ .

Exercice 16 : déterminer l’affixe du point M’ symétrique
a) Les points M et A dans le plan complexe auront les coordonnées suivantes :
– Le point M d’affixe $z_M\,=\,3\,-\,i$ se place en $(3%2C\,-1)$ .
– Le point A d’affixe $z_A\,=\,-1\,%2B\,2i$ se place en $(-1%2C\,2)$ .

b) Déterminons l’affixe du point symétrique de par rapport à .

L’affixe du point , symétrique du point par rapport à , est définie par la relation:
$z_{M'}\,=\,2z_A\,-\,z_M$

En substituant z_A et z_M :
$z_{M'}\,=\,2(-1\,%2B\,2i)\,-\,(3\,-\,i)$

Calculons pas à pas:

$z_{M'}\,=\,-2\,%2B\,4i\,-\,3\,%2B\,i$
$z_{M'}\,=\,-5\,%2B\,5i$

Donc, l’affixe du point est :
$z_{M'}\,=\,-5\,%2B\,5i$

Exercice 17 : déterminer un ensemble de points

[a)]
On cherche à savoir si les affixes des points A, B et C appartiennent à l’ensemble $\mathcal{F}$ des points M d’affixe tels que $Z\,=\,z^2\,%2B\,iz$ soit réel.

Soit $z\,=\,x\,%2B\,iy$ , avec $x\,\in\,\mathbb{R}$ et $y\,\in\,\mathbb{R}$ .

On considère $Z\,=\,z^2\,%2B\,iz$ . En utilisant $z\,=\,x\,%2B\,iy$ :
$Z\,=\,(x\,%2B\,iy)^2\,%2B\,i(x\,%2B\,iy)$
$Z\,=\,(x^2\,-\,y^2\,%2B\,2ixy)\,%2B\,(ix\,-\,y)$
$Z\,=\,x^2\,-\,y^2\,%2B\,(2xy\,%2B\,x\,-\,y)i$
Pour que soit réel, il faut que la partie imaginaire soit nulle:
$2xy\,%2B\,x\,-\,y\,=\,0$
$x(2y\,%2B\,1)\,=\,y$

Soit d’ affixe $3\,-\,\frac{1}{2}\,i$ . Donc $x\,=\,3$ et $y\,=\,-\frac{1}{2}$ :
$3\,(\,2\,(\,-\frac{1}{2}\,)\,%2B\,1\,)\,=\,-\frac{1}{2}$
$3\,\cdot\,0\,=\,-\frac{1}{2}$
C’est faux.

Donc, n’appartient pas à l’ensemble $\mathcal{F}$ .

Soit d’ affixe $-5\,%2B\,i$ . Donc $x\,=\,-5$ et $y\,=\,1$ :
$-5(2\,\cdot\,1\,%2B\,1)\,=\,1$
$-5\,\cdot\,3\,=\,1$
C’est faux.

Donc, n’appartient pas à l’ensemble $\mathcal{F}$ .

Soit d’ affixe $-\frac{3}{2}i$ . Donc $x\,=\,0$ et $y\,=\,-\frac{3}{2}$ :
$0(2\,(\,-\frac{3}{2}\,)\,%2B\,1)\,=\,-\frac{3}{2}$
$0\,=\,-\frac{3}{2}$
C’est faux.

Donc, n’appartient pas à l’ensemble $\mathcal{F}$ .

[b)]
Pour déterminer l’ensemble $\mathcal{F}$ , nous résolvons:

$x(2y\,%2B\,1)\,=\,y$

S’il y a une solution, soit $x\,=\,0$ . Alors l’équation devient $0\,=\,y$ , donc la seule solution est $x\,=\,0$ et $y\,=\,0$ . Si $x\,\neq\,0$ , nous pouvons diviser par :

$2y\,%2B\,1\,=\,\frac{y}{x}$
$2xy\,%2B\,x\,=\,y$
Par conséquent, nous trouvons
$z\,=\,x(x\,%2B\,2y)\,-\,y(x\,%2B\,y)$
Il s’agit d’une équation (x = 1 ou x = 0)
L’ensemble $\mathcal{F}$ est donné alors par $\{0\}$

Exercice 18 : déterminer le module et l’argument
1. a) Pour déterminer le module et l’argument $\arg(z_1)$ du nombre complexe $z_1\,=\,-\sqrt{3}\,%2B\,i$ :

Le module de z_1 est donné par :
$%7Cz_1%7C\,=\,\sqrt{(-\sqrt{3})^2\,%2B\,1^2}\,=\,\sqrt{3\,%2B\,1}\,=\,\sqrt{4}\,=\,2.$

Pour l’argument $\theta$ , sachant que z_1 est dans le deuxième quadrant, nous avons :
$\theta\,=\,\pi\,-\,\tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})\,=\,\pi\,-\,\frac{\pi}{6}\,=\,\frac{5\pi}{6}.$

Donc,
$%7Cz_1%7C\,=\,2\,\quad\,et\,\quad\,\arg(z_1)\,=\,\frac{5\pi}{6}.$

b) La forme trigonométrique de z_1 est :
$z_1\,=\,%7Cz_1%7C\,(\,\cos(\arg(z_1))\,%2B\,i\,\sin(\arg(z_1))\,).$
Ainsi,
$z_1\,=\,2\,(\,\cos(\frac{5\pi}{6})\,%2B\,i\,\sin(\frac{5\pi}{6})\,).$

2. a) Pour écrire une forme trigonométrique du nombre complexe z_2 de module 6 et d’argument $\frac{3\pi}{4}$ , on utilise :
$z_2\,=\,6\,(\,\cos(\frac{3\pi}{4})\,%2B\,i\,\sin(\frac{3\pi}{4})\,).$

b) Pour déterminer la forme algébrique de z_2 , on calcule les parties réelle et imaginaire. Sachant que :
$\cos(\frac{3\pi}{4})\,=\,-\frac{\sqrt{2}}{2}\,\quad\,et\,\quad\,\sin(\frac{3\pi}{4})\,=\,\frac{\sqrt{2}}{2}%2C$
nous avons :
$z_2\,=\,6\,(\,-\frac{\sqrt{2}}{2}\,%2B\,i\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,)\,=\,6\,(\,-\frac{\sqrt{2}}{2}\,)\,%2B\,6i\,(\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,).$
Alors,
$z_2\,=\,-3\sqrt{2}\,%2B\,3i\sqrt{2}.$

Exercice 19 : forme trigonométrique et forme algébrique
a) Trouvons une forme trigonométrique du nombre complexe $2\sqrt{3}\,-\,2i$ .

Le module est donné par :
$r\,=\,\sqrt{(2\sqrt{3})^2\,%2B\,(-2)^2}\,=\,\sqrt{4\,\cdot\,3\,%2B\,4}\,=\,\sqrt{12\,%2B\,4}\,=\,\sqrt{16}\,=\,4$

L’argument $\theta$ est donné par :
$\theta\,=\,atan2(-2%2C\,2\sqrt{3})$

Cependant, pour simplifier ceci, nous notons que :
$\tan(\theta)\,=\,\frac{-2}{2\sqrt{3}}\,=\,-\frac{1}{\sqrt{3}}\,=\,-\tan(\frac{\pi}{6})$

Ainsi, nous déduisons que :
$\theta\,=\,-\frac{\pi}{6}$

Cependant, puisque notre nombre complexe se situe dans le quatrième quadrant, $\theta\,=\,-\frac{\pi}{6}$ .

D’où, la forme trigonométrique est :
$2\sqrt{3}\,-\,2i\,=\,4\,(\cos(-\frac{\pi}{6})\,%2B\,i\,\sin(-\frac{\pi}{6}))$

b) La forme algébrique du nombre complexe de module 4 et d’argument $\frac{2\pi}{3}$ est donnée par :
$z\,=\,r\,(\,\cos\,\theta\,%2B\,i\,\sin\,\theta\,)$

Alors, $r\,=\,4$ et $\theta\,=\,\frac{2\pi}{3}$ :

$z\,=\,4\,(\,\cos\,\frac{2\pi}{3}\,%2B\,i\,\sin\,\frac{2\pi}{3}\,)$

Or, $\cos\,\frac{2\pi}{3}\,=\,-\frac{1}{2}$ et $\sin\,\frac{2\pi}{3}\,=\,\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Ainsi :
$z\,=\,4\,(\,-\frac{1}{2}\,%2B\,i\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,)\,=\,4\,\times \,-\frac{1}{2}\,%2B\,4\,\times \,i\,\frac{\sqrt{3}}{2}$
$z\,=\,-2\,%2B\,2i\,\sqrt{3}$

Exercice 20 : déterminer par lecture graphique le module et l’argument
$a)\,\,z_A\,=\,3$
Le module de z_A est : $\%7C\,z_A\,\%7C\,=\,3$

Un argument possible de z_A est : $\theta_A\,=\,0$

La forme trigonométrique de z_A est :
$z_A\,=\,3\,(\,\cos\,0\,%2B\,i\,\sin\,0\,)$

$b)\,\,z_B\,=\,-2$
Le module de z_B est : $\%7C\,z_B\,\%7C\,=\,2$

Un argument possible de z_B est : $\theta_B\,=\,\pi$

La forme trigonométrique de z_B est :
$z_B\,=\,2\,(\,\cos\,\pi\,%2B\,i\,\sin\,\pi\,)$

$c)\,\,z_C\,=\,2i$
Le module de z_C est : $\%7C\,z_C\,\%7C\,=\,2$

Un argument possible de z_C est : $\theta_C\,=\,\frac{\pi}{2}$

La forme trigonométrique de z_C est :
$z_C\,=\,2\,(\,\cos\,\frac{\pi}{2}\,%2B\,i\,\sin\,\frac{\pi}{2}\,)$

$d)\,\,z_D\,=\,1\,%2B\,i$
Le module de z_D est : $\%7C\,z_D\,\%7C\,=\,\sqrt{1^2\,%2B\,1^2}\,=\,\sqrt{2}$

Un argument possible de z_D est : $\theta_D\,=\,\frac{\pi}{4}$

La forme trigonométrique de z_D est :
$z_D\,=\,\sqrt{2}\,(\,\cos\,\frac{\pi}{4}\,%2B\,i\,\sin\,\frac{\pi}{4}\,)$

$e)\,\,z_E\,=\,-1\,-\,i$
Le module de z_E est : $\%7C\,z_E\,\%7C\,=\,\sqrt{(-1)^2\,%2B\,(-1)^2}\,=\,\sqrt{2}$

Un argument possible de z_E est : $\theta_E\,=\,-\frac{3\pi}{4}$

La forme trigonométrique de z_E est :
$z_E\,=\,\sqrt{2}\,(\,\cos\,(-\frac{3\pi}{4})\,%2B\,i\,\sin\,(-\frac{3\pi}{4})\,)$

$f)\,\,z_F\,=\,-2\,%2B\,2i$
Le module de z_F est : $\%7C\,z_F\,\%7C\,=\,\sqrt{(-2)^2\,%2B\,2^2}\,=\,\sqrt{8}\,=\,2\sqrt{2}$

Un argument possible de z_F est : $\theta_F\,=\,\frac{3\pi}{4}$

La forme trigonométrique de z_F est :
$z_F\,=\,2\sqrt{2}\,(\,\cos\,\frac{3\pi}{4}\,%2B\,i\,\sin\,\frac{3\pi}{4}\,)$

Voir Corrigés 11 à 20 ...

Exercice 21 : déterminer la forme algébrique et trigonométrique
1. $a)\,Determiner\,la\,forme\,algebrique\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fzz%2527%22\,alt=%22zz'$ . » align= »absmiddle » />

$z\,=\,\sqrt{3}\,-\,i$ et $z'\,=\,-2\,%2B\,2i$

$zz'\,=\,(\sqrt{3}\,-\,i)(-2\,%2B\,2i)\,=\,\sqrt{3}\,\cdot\,(-2)\,%2B\,\sqrt{3}\,\cdot\,2i\,-\,i\,\cdot\,(-2)\,-\,i\,\cdot\,2i$
$zz'\,=\,-2\sqrt{3}\,%2B\,2\sqrt{3}i\,%2B\,2\,-\,2i^2$
$zz'\,=\,-2\sqrt{3}\,%2B\,2\sqrt{3}i\,%2B\,2\,%2B\,2$
$zz'\,=\,-2\sqrt{3}\,%2B\,2\sqrt{3}i\,%2B\,4$
$zz'\,=\,(-2\sqrt{3}\,%2B\,4)\,%2B\,2\sqrt{3}i$

Donc, la forme algébrique de zz' est $-2\sqrt{3}\,%2B\,4\,%2B\,2\sqrt{3}i$ .

1. $b)\,Determiner\,une\,forme\,trigonometrique\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fzz%2527%22\,alt=%22zz'$ . » align= »absmiddle » />

$zz'\,=\,-2\sqrt{3}\,%2B\,4\,%2B\,2\sqrt{3}i$

Modulons zz' :

$%7Czz'%7C\,=\,\sqrt{(-2\sqrt{3}\,%2B\,4)^2\,%2B\,(2\sqrt{3})^2}$
$%7Czz'%7C\,=\,\sqrt{(4\,-\,4\sqrt{3})^2\,%2B\,(4\cdot3)}$
$%7Czz'%7C\,=\sqrt{(4\sqrt{3})^2\,%2B\,(4\,-\,4\sqrt{3})^2}$
$%7Czz'%7C\,=\,\sqrt{48}$
$%7Czz'%7C\,=\,4\sqrt{3}$

Pour l’argument, on calcule $\arg(zz')$ :

$\theta\,=\,\tan^{-1}(\,\frac{2\sqrt{3}}{-2\sqrt{3}\,%2B\,4}\,)$
$=\,\tan^{-1}(\,\frac{\sqrt{3}}{4\,-\,\sqrt{3}}\,)$

Finalement, la forme trigonométrique est :

$zz'\,=\,4\sqrt{3}(\,\cos(\theta)\,%2B\,i\,\sin(\theta)\,)$

1. $c)\,En\,deduire\,les\,valeurs\,exactes\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%255Ccos%2520%255Cfrac%257B7%255Cpi%257D%257B12%257D%22\,alt=%22\cos\,\frac{7\pi}{12}$ et $\sin\,\frac{7\pi}{12}$ . » align= »absmiddle » />

On a :
$\cos\,z\,=\,\cos\,(2\theta)\,=\,4\pi%2F3$

$\cos\,7\pi%2F24$

2. $a)\,Demontrer\,que\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%2528zz%2527%2529%255E6%22\,alt=%22(zz')^6$ est un nombre imaginaire pur. » align= »absmiddle » />

$(zz')^6\,=\,(4\sqrt{3})^6\,(\cos(6\theta)\,%2B\,i\sin(6\theta)\,)$
$=\,48\,(\cos(2\,\pi)\,%2B\,\sin(2\,\pi))$
$=\,48(0\,%2B\,i\,\times \,0\,)$

Donc (zz')^6 est bien un nombre imaginaire pur.

2. $b)\,Demontrer\,que\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3F%2528zz%2527%2529%255E%257B36%257D%22\,alt=%22(zz')^{36}$ est un nombre reel. » align= »absmiddle » />

$(zz')^{36}\,=\,(r\,cis\,\theta)^{36}$
$=\,r^{36}\,\cdot\,(\cos\,(36\,\theta)%2Bi\sin\,(36\theta))$

sachnat que,
$36\theta^{6}=\,2k\theta^{s}$

Donc $(zz')^{36\,}re\,%2B\,z\,z=2k\theta^{2}\,\\,est\,un\,nombre\,reel.%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-22%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,22\,%3A\,determiner\,les\,affixes\,et\,demontrer\,l'alignement%3C%2Fspan>%0D%0Aa)\,Les\,points\,A%2C\,B\,et\,C\,d'affixes\,\(\,z_A\,=\,3\,%2B\,2i$ Exercice 22 : determiner les affixes et demontrer l’alignement
a) Les points A, B et C d’affixes \( z_A = 3 + 2i » align= »absmiddle » />, $z_B\,=\,-5\,%2B\,2i$ et $z_C\,=\,-3i$ peuvent être placés sur le plan complexe aux coordonnées correspondantes.

b) Les affixes des points A’ et B’, milieux respectifs des segments [BC] et [AC], sont données par les formules des milieux de segments.

Pour A’, milieu de [BC] :
$z_{A'}\,=\,\frac{z_B\,%2B\,z_C}{2}\,=\,\frac{-5\,%2B\,2i\,%2B\,(-3i)}{2}\,=\,\frac{-5\,-\,i}{2}\,=\,-\frac{5}{2}\,-\,\frac{i}{2}$

Pour B’, milieu de [AC] :
$z_{B'}\,=\,\frac{z_A\,%2B\,z_C}{2}\,=\,\frac{3\,%2B\,2i\,%2B\,(-3i)}{2}\,=\,\frac{3\,-\,i}{2}\,=\,\frac{3}{2}\,-\,\frac{i}{2}$

c) L’affixe du point G défini par $\vec{AG}\,=\,\frac{2}{3}\,\vec{AA'}$ est déterminée comme suit :

Tout d’abord, calculons $\vec{AA'}$ :
$\vec{AA'}\,=\,z_{A'}\,-\,z_A\,=\,(\,-\frac{5}{2}\,-\,\frac{i}{2}\,)\,-\,(3\,%2B\,2i)\,=\,-\frac{5}{2}\,-\,\frac{i}{2}\,-\,3\,-\,2i\,=\,-\frac{11}{2}\,-\,\frac{5i}{2}$

Ensuite, $\vec{AG}\,=\,\frac{2}{3}\,\vec{AA'}$ :
$\vec{AG}\,=\,\frac{2}{3}\,(\,-\frac{11}{2}\,-\,\frac{5i}{2}\,)\,=\,-\frac{11}{3}\,-\,\frac{5i}{3}$

Ainsi, l’affixe du point G est :
$z_G\,=\,z_A\,%2B\,\vec{AG}\,=\,3\,%2B\,2i\,-\,\frac{11}{3}\,-\,\frac{5i}{3}\,=\,\frac{9}{3}\,%2B\,2i\,-\,\frac{11}{3}\,-\,\frac{5i}{3}\,=\,-\frac{2}{3}\,%2B\,(2\,-\,\frac{5}{3})i\,=\,-\frac{2}{3}\,%2B\,\frac{6i}{3}\,-\,\frac{5i}{3}\,=\,-\frac{2}{3}\,%2B\,\frac{i}{3}$

d) Pour démontrer que les points B’, G et B sont alignés, nous devons montrer que les affixes sont proportionnelles. Vérifions la colinéarité des vecteurs $\vec{B'B}$ et $\vec{B'G}$ .

Calculons $\vec{B'B}$ et $\vec{B'G}$ :
$\vec{B'B}\,=\,z_B\,-\,z_{B'}\,=\,(-5\,%2B\,2i)\,-\,(\frac{3}{2}\,-\,\frac{i}{2})\,=\,-\frac{10}{2}\,%2B\,\frac{3}{2}\,%2B\,2i\,%2B\,\frac{i}{2}\,=\,-\frac{7}{2}\,%2B\,\frac{5i}{2}$
$\vec{B'G}\,=\,z_G\,-\,z_{B'}\,=\,(-\frac{2}{3}\,%2B\,\frac{i}{3})\,-\,(\frac{3}{2}\,-\,\frac{i}{2})\,=\,-\frac{2}{3}\,-\,\frac{3}{2}\,%2B\,\frac{i}{3}\,%2B\,\frac{i}{2}\,=\,-\frac{4}{6}\,-\,\frac{9}{6}\,%2B\,\frac{2i}{6}\,%2B\,\frac{3i}{6}\,=\,-\frac{13}{6}\,%2B\,\frac{5i}{6}$

Pour que les points soient alignés, il doit exister un réel $\lambda$ tel que :
$\vec{B'G}\,=\,\lambda\,\vec{B'B}$

Comparons les vecteurs :
$-\frac{13}{6}\,%2B\,\frac{5i}{6}\,=\,\lambda\,(\,-\frac{7}{2}\,%2B\,\frac{5i}{2}\,)\,=\,\lambda\,(\,-\frac{21}{6}\,%2B\,\frac{15i}{6}\,)$

En séparant les parties réelle et imaginaire, nous obtenons :
$-\frac{13}{6}\,=\,-\frac{21}{6}\,\lambda$
$\frac{5}{6}\,=\,\frac{15}{6}\,\lambda$

Ainsi :
$\lambda\,=\,\frac{13}{21}\,=\,\frac{1}{3}$

Puisque les égalités sont satisfaites, les points B’, G et B sont alignés.

Exercice 23 : affixe d’un sommet du parallélogramme
Placer les points , et .

\textit{Correction :} Voici la représentation des points , et sur le plan complexe.

$A\,(\,-4%2C\,2\,)%2C\,\quad\,B\,(\,-1%2C\,-1\,)%2C\,\quad\,C\,(\,4%2C\,1\,)$

2. a) Déterminer l’affixe du point , quatrième sommet du parallélogramme ABCM .

\textit{Correction:} Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu. L’affixe de est donc donnée par :

$z_M\,=\,z_A\,%2B\,z_C\,-\,z_B$

avec $z_A\,=\,-4\,%2B\,2i$ , $z_B\,=\,-1\,-\,i$ , et $z_C\,=\,4\,%2B\,i$ .

$z_M\,=\,(-4\,%2B\,2i)\,%2B\,(4\,%2B\,i)\,-\,(-1\,-\,i)%0D%0A=\,-4\,%2B\,2i\,%2B\,4\,%2B\,i\,%2B\,1\,%2B\,i%0D%0A=\,1\,%2B\,4i$

Donc, l’affixe de est $1\,%2B\,4i$ .

b) Placer le point .

\textit{Correction :} Le point a pour coordonnées $(1%2C\,4)$ dans le plan complexe.

3. a) est le quatrième sommet du parallélogramme ABNC . Démontrer que $\vec{MC}\,=\,\vec{CN}$ .

\textit{Correction :} Pour démontrer que $\vec{MC}\,=\,\vec{CN}$ , nous savons que les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu. Soit le point d’intersection des diagonales de MCN . On a donc :

$\vec{K}\,=\,\frac{\vec{A}\,%2B\,\vec{C}}{2}\,=\,\frac{\vec{B}\,%2B\,\vec{N}}{2}$

Ainsi,

$2\,\vec{K}\,=\,\vec{A}\,%2B\,\vec{C}\,=\,\vec{B}\,%2B\,\vec{N}$

$\vec{N}\,=\,\vec{A}\,%2B\,\vec{C}\,-\,\vec{B}$

En coordonnant, nous obtenons :

$z_N\,=\,z_A\,%2B\,z_C\,-\,z_B\,=\,(-4\,%2B\,2i)\,%2B\,(4\,%2B\,i)\,-\,(-1\,-\,i)\,=\,1\,%2B\,4i$

On remarque que :

$z_M\,=\,z_N\,=\,1\,%2B\,4i$

Donc $M\,=\,N$ , ce qui n’est pas possible sauf si $\vec{MC}\,=\,\vec{CN}$ .

b) En déduire l’affixe du point et placer ce point.

\textit{Correction :} L’affixe de est $1\,%2B\,4i$ .

\textit{Conclusion :} Pour les deux questions, nous avons trouvé que le point et le point ont les mêmes coordonnées complexes $1\,%2B\,4i$ .

Exercice 24 : donner la forme algébrique du nombre complexe
a) $z = 2 ( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} )$

On sait que $\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Donc,
$z\,=\,2\,(\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,%2B\,i\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,)$
$z\,=\,2\,\times \,\frac{\sqrt{2}}{2}\,%2B\,2\,\times \,i\,\times \,\frac{\sqrt{2}}{2}$
$z\,=\,\sqrt{2}\,%2B\,i\,\sqrt{2}$

b) $z = \sqrt{3} ( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} )$

On sait que $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ et $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Donc,
$z\,=\,\sqrt{3}\,(\,\frac{1}{2}\,%2B\,i\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,)$
$z\,=\,\sqrt{3}\,\times \,\frac{1}{2}\,%2B\,\sqrt{3}\,\times \,i\,\times \,\frac{\sqrt{3}}{2}$
$z\,=\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,%2B\,i\,\cdot\,\frac{3}{2}$
$z\,=\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,%2B\,i\,\cdot\,\frac{3}{2}$

c) $z = \sqrt{3} ( \cos ( -\frac{\pi}{6} ) + i \sin ( -\frac{\pi}{6} ) )$

On sait que $\cos ( -\frac{\pi}{6} ) = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin ( -\frac{\pi}{6} ) = -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$. Donc,
$z\,=\,\sqrt{3}\,(\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,%2B\,i\,(\,-\frac{1}{2}\,)\,)$
$z\,=\,\sqrt{3}\,\times \,\frac{\sqrt{3}}{2}\,%2B\,\sqrt{3}\,\times \,i\,\times \,(\,-\frac{1}{2}\,)$
$z\,=\,\frac{3}{2}\,-\,i\,\cdot\,\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ainsi, les formes algébriques obtenues sont :
a) $z = \sqrt{2} + i\sqrt{2}$
b) $z = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}i$
c) $z = \frac{3}{2} – \frac{\sqrt{3}}{2}i$

Exercice 25 : déterminer graphiquement l’ensemble des points
a) $%7Cz%7C\,=\,5$

L’ensemble des points du plan complexe dont l’affixe vérifie $%7Cz%7C\,=\,5$ est le cercle de centre et de rayon .

$\{z\,\in\,\mathbb{C}\,\mid\,%7Cz%7C\,=\,5\}$

b) $\arg(z)\,=\,\frac{\pi}{6}\,\mod\,2\pi$

L’ensemble des points du plan complexe dont l’affixe vérifie $\arg(z)\,=\,\frac{\pi}{6}\,\mod\,2\pi$ est la demi-droite de l’origine avec un angle de $\frac{\pi}{6}$ par rapport à l’axe des réels positifs (axe des abscisses).

$\{z\,\in\,\mathbb{C}\,\mid\,\arg(z)\,=\,\frac{\pi}{6}\,%2B\,2k\pi%2C\,k\,\in\,\mathbb{Z}\}$

c) $%7Cz%7C\,\leq\,\,4$ et $\arg(z)\,=\,-\frac{\pi}{3}\,\mod\,2\pi$

L’ensemble des points du plan complexe dont l’affixe vérifie $%7Cz%7C\,\leq\,\,4$ et $\arg(z)\,=\,-\frac{\pi}{3}\,\mod\,2\pi$ est le segment de droite compris entre l’origine et le point de module 4 sur la demi-droite ayant un angle de $-\frac{\pi}{3}$ par rapport à l’axe des réels positifs.

$\{z\,\in\,\mathbb{C}\,\mid\,%7Cz%7C\,\leq\,\,4\,\,et\,\,\arg(z)\,=\,-\frac{\pi}{3}\,%2B\,2k\pi%2C\,k\,\in\,\mathbb{Z}\}$

Exercice 26 : déterminer la partie réelle
Correction de l’exercice :

1. $a\,=\,3\,%2B\,2i$
$Partie\,reelle\,%3A\,\,\Re(a)\,=\,3%2C\,\quad\,Partie\,imaginaire\,%3A\,\,\Im(a)\,=\,2$

2. $b\,=\,-2i\,%2B\,4$
$Partie\,reelle\,%3A\,\,\Re(b)\,=\,4%2C\,\quad\,Partie\,imaginaire\,%3A\,\,\Im(b)\,=\,-2$

3. $c\,=\,\frac{3\,%2B\,5i}{2}$
$c\,=\,\frac{3}{2}\,%2B\,\frac{5}{2}i$
$Partie\,reelle\,%3A\,\,\Re(c)\,=\,\frac{3}{2}%2C\,\quad\,Partie\,imaginaire\,%3A\,\,\Im(c)\,=\,\frac{5}{2}$

4. $d\,=\,\frac{2i\,-\,1}{\sqrt{2}}$
$d\,=\,\frac{2i}{\sqrt{2}}\,-\,\frac{1}{\sqrt{2}}\,=\,\sqrt{2}i\,-\,\frac{\sqrt{2}}{2}$
$Partie\,reelle\,%3A\,\,\Re(d)\,=\,-\frac{\sqrt{2}}{2}%2C\,\quad\,Partie\,imaginaire\,%3A\,\,\Im(d)\,=\,\sqrt{2}$

5. $e\,=\,4i$
$Partie\,reelle\,%3A\,\,\Re(e)\,=\,0%2C\,\quad\,Partie\,imaginaire\,%3A\,\,\Im(e)\,=\,4$

6. $f\,=\,0$
$Partie\,reelle\,%3A\,\,\Re(f)\,=\,0%2C\,\quad\,Partie\,imaginaire\,%3A\,\,\Im(f)\,=\,0$

7. $g\,=\,i^2$
$i^2\,=\,-1$
$Partie\,reelle\,%3A\,\,\Re(g)\,=\,-1%2C\,\quad\,Partie\,imaginaire\,%3A\,\,\Im(g)\,=\,0$

8. $h\,=\,i^7$
$i^7\,=\,i^{4%2B2%2B1}\,=\,(i^4)(i^2)i\,=\,1\,\cdot\,(-1)\,\cdot\,i\,=\,-i$
$Partie\,reelle\,%3A\,\,\Re(h)\,=\,0%2C\,\quad\,Partie\,imaginaire\,%3A\,\,\Im(h)\,=\,-1$

Exercice 27 : valeurs de a pour être un réel ou un imaginaire
1. Pour que soit un réel, il faut que la partie imaginaire soit nulle. Soit $z\,=\,a^2\,%2B\,1\,%2B\,2i(a^2\,-\,3)$ . On doit avoir :
$2(a^2\,-\,3)\,=\,0$
$a^2\,-\,3\,=\,0$
$a^2\,=\,3$
$a\,=\,\pm\,\sqrt{3}$

Donc, les valeurs de pour lesquelles est un réel sont $a\,=\,\sqrt{3}$ et $a\,=\,-\sqrt{3}$ .

2. Pour que soit un imaginaire pur, il faut que la partie réelle soit nulle. Soit $z\,=\,a^2\,%2B\,1\,%2B\,2i(a^2\,-\,3)$ . On doit avoir :
$a^2\,%2B\,1\,=\,0$
$a^2\,=\,-1$

Comme est un réel, il n’existe aucune valeur de pour laquelle est un imaginaire pur.

Exercice 28 : déterminer mentalement les formes algébriques
1. Pour Z_1 :
$Z_1\,=\,(2\,%2B\,4i)^2$
Utilisons l’identité :
$(a\,%2B\,b)^2\,=\,a^2\,%2B\,2ab\,%2B\,b^2$
où $a\,=\,2$ et $b\,=\,4i$ . Calculons chaque terme :
$a^2\,=\,2^2\,=\,4$
$2ab\,=\,2\,\cdot\,2\,\cdot\,4i\,=\,16i$
$b^2\,=\,(4i)^2\,=\,16i^2\,=\,16(-1)\,=\,-16$
En combinant ces résultats :
$Z_1\,=\,4\,%2B\,16i\,-\,16\,=\,-12\,%2B\,16i$

2. Pour Z_2 :
$Z_2\,=\,(3\,-\,2i)^2$
Utilisons l’identité :
$(a\,-\,b)^2\,=\,a^2\,-\,2ab\,%2B\,b^2$
où $a\,=\,3$ et $b\,=\,2i$ . Calculons chaque terme :
$a^2\,=\,3^2\,=\,9$
$-2ab\,=\,-2\,\cdot\,3\,\cdot\,2i\,=\,-12i$
$b^2\,=\,(2i)^2\,=\,4i^2\,=\,4(-1)\,=\,-4$
En combinant ces résultats :
$Z_2\,=\,9\,-\,12i\,-\,4\,=\,5\,-\,12i$

3. Pour Z_3 :
$Z_3\,=\,(1\,%2B\,i)^3$
Utilisons l’identité du cube :
$(a\,%2B\,b)^3\,=\,a^3\,%2B\,3a^2b\,%2B\,3ab^2\,%2B\,b^3$
où $a\,=\,1$ et $b\,=\,i$ . Calculons chaque terme :
$a^3\,=\,1^3\,=\,1$
$3a^2b\,=\,3\,\cdot\,1\,\cdot\,i\,=\,3i$
$3ab^2\,=\,3\,\cdot\,1\,\cdot\,(i^2)\,=\,3\,\cdot\,(-1)\,=\,-3$
$b^3\,=\,i^3\,=\,i\,\cdot\,i^2\,=\,i\,\cdot\,(-1)\,=\,-i$
En combinant ces résultats :
$Z_3\,=\,1\,%2B\,3i\,-\,3\,-\,i\,=\,-2\,%2B\,2i$

Exercice 29 : déterminer les conjugués
1. $A\,=\,3\,%2B\,2i$

Le conjugué de est :
$\overline{A}\,=\,3\,-\,2i$

2. $B\,=\,i$

Le conjugué de est :
$\overline{B}\,=\,-i$

3. $C\,=\,3i\,-\,4$

Le conjugué de est :
$\overline{C}\,=\,-3i\,-\,4\,=\,-4\,-\,3i$

4. $D\,=\,-5\,-\,6i$

Le conjugué de est :
$\overline{D}\,=\,-5\,%2B\,6i$

Exercice 30 : somme de deux nombres complexes
Les nombres complexes z_1 et z_2 sont définis par :
$z_1\,=\,\frac{1\,%2B\,i}{1\,-\,i}\,\quad\,et\,\quad\,z_2\,=\,\frac{1\,-\,i}{1\,%2B\,i}.$

Nous allons montrer que $z_1\,%2B\,z_2$ est réel sans effectuer le calcul direct.

Considérons les conjugués de z_1 et z_2 :

$\overline{z_1}\,=\,\overline{(\,\frac{1%2Bi}{1-i}\,)}\,=\,\frac{\overline{1%2Bi}}{\overline{1-i}}\,=\,\frac{1-i}{1%2Bi}\,=\,z_2.$

De même,

$\overline{z_2}\,=\,\overline{(\,\frac{1-i}{1%2Bi}\,)}\,=\,\frac{\overline{1-i}}{\overline{1%2Bi}}\,=\,\frac{1%2Bi}{1-i}\,=\,z_1.$

Nous avons donc montré que $\overline{z_1}\,=\,z_2$ et $\overline{z_2}\,=\,z_1$ .

Par conséquent,

$z_1\,%2B\,z_2\,=\,z_1\,%2B\,\overline{z_1}.$

Nous savons que pour tout nombre complexe , $z\,%2B\,\overline{z}$ est toujours un nombre réel car il équivaut à $2\,\Re(z)$ , où $\Re(z)$ représente la partie réelle de .

Ainsi,

$z_1\,%2B\,z_2$
est un nombre réel.

Voir Corrigés 21 à 30 ...

Exercice 31 : formes algébriques de nombres complexes
1. $a\,=\,2\,%2B\,2i\,-\,3i\,-\,3$

$\begin{align%2A}%0D%0Aa\,%26=\,2\,-\,3\,%2B\,2i\,-\,3i\,\\%0D%0A%26=\,-1\,-\,i%0D%0A\end{align%2A}$

2. $b\,=\,1\,%2B\,i\,-\,(\,\frac{1}{3}\,%2B\,\frac{2}{3}\,i\,)$

$\begin{align%2A}%0D%0Ab\,%26=\,1\,%2B\,i\,-\,\frac{1}{3}\,-\,\frac{2}{3}\,i\,\\%0D%0A%26=\,(1\,-\,\frac{1}{3})\,%2B\,(i\,-\,\frac{2}{3}\,i)\,\\%0D%0A%26=\,\frac{2}{3}\,%2B\,\frac{1}{3}\,i%0D%0A\end{align%2A}$

3. $c\,=\,-2\,%2B\,3i\,-\,(3\,-\,3i)$

$\begin{align%2A}%0D%0Ac\,%26=\,-2\,%2B\,3i\,-\,3\,%2B\,3i\,\\%0D%0A%26=\,-5\,%2B\,6i%0D%0A\end{align%2A}$

4. $d\,=\,\frac{5}{2}\,%2B\,\frac{3}{2}\,i\,-\,(\,\frac{5}{2}\,-\,\frac{3}{2}\,i\,)$

$\begin{align%2A}%0D%0Ad\,%26=\,\frac{5}{2}\,%2B\,\frac{3}{2}\,i\,-\,\frac{5}{2}\,%2B\,\frac{3}{2}\,i\,\\%0D%0A%26=\,3i%0D%0A\end{align%2A}$

1. $a\,=\,-(1%2Bi)\,%2B\,2i(\,\frac{1}{2}\,%2B\,i\,)$

$\begin{align%2A}%0D%0Aa\,%26=\,-(1%2Bi)\,%2B\,2i\,\cdot\,\frac{1}{2}\,%2B\,2i^2\,\cdot\,i\,\\%0D%0A%26=\,-(1%2Bi)\,%2B\,i\,-\,2\,\\%0D%0A%26=\,-1\,-\,i\,%2B\,i\,-\,2\,\\%0D%0A%26=\,-3%0D%0A\end{align%2A}$

2. $b\,=\,2i\,(1-i)\,-\,3i(1%2Bi)$

$\begin{align%2A}%0D%0Ab\,%26=\,2i\,-\,2i^2\,-\,3i\,-\,3i^2\,\\%0D%0A%26=\,2i\,%2B\,2\,-\,3i\,%2B\,3\,\\%0D%0A%26=\,2\,-\,i\,%2B\,3\,\\%0D%0A%26=\,5\,-\,i%0D%0A\end{align%2A}$

3. $c\,=\,-\sqrt{2}(\,\sqrt{2}\,-\,2i\,\sqrt{2})\,-\,\sqrt{3}\,(\,i\,\sqrt{3}\,-\,2\,\sqrt{3}\,)$

$\begin{align%2A}%0D%0Ac\,%26=\,-\,(2\,-\,2i\,\sqrt{2}\,)\,-\,(-3\,-\,2i\,\sqrt{3}\,)\,\\%0D%0A%26=\,-2\,%2B\,2i\,\sqrt{2}\,%2B\,3\,%2B\,2i\,\sqrt{3}\,\\%0D%0A%26=\,1\,%2B\,2i\,\sqrt{2}\,%2B\,2i\,\sqrt{3}%0D%0A\end{align%2A}$

4. $d\,=\,i\,\sqrt{2}\,(\,2\,\sqrt{2}\,-\,i\,)\,%2B\,2i\,\sqrt{3}\,(\,i\,-\,\sqrt{3}\,)$

$\begin{align%2A}%0D%0Ad\,%26=\,2\,\cdot\,2\,-\,i\,i\,\sqrt{2}\,%2B\,2\,\sqrt{3}\,-\,3\,i\,\\%0D%0A%26=\,4\,%2B\,\sqrt{2}\,-\,3i\,\\%0D%0A%26=\,4\,%2B\,\sqrt{2}%0D%0A\end{align%2A}$

1. $a\,=\,(2%2Bi)(1%2B3i)$

$\begin{align%2A}%0D%0Aa\,%26=\,2\,%2B\,3i\,%2B\,6i\,i\,%2B\,2i\,\\%0D%0A%26=\,5\,-\,3i\,\\%0D%0A\end{align%2A}$

2. $b\,=\,(\,\frac{3}{2}\,-\,2i\,)\,(\,2\,%2B\,\frac{3}{2}\,i\,)$

$\begin{align%2A}%0D%0Ab\,%26=\,3\,-\,2i\,%2B\,\frac{3}{2}\,%2B\,(\,\frac{3}{2}\,-\,2i\,)i\,\\%0D%0A%26=\,6\,-\,\frac{6\,i\,i}{2}\,\\%0D%0A%26=\,3%0D%0A\end{align%2A}$

3. $c\,=\,(\,-\frac{1}{2}\,-\,\frac{1}{2}\,i\,)\,(1\,%2B\,2i)$

$\begin{align%2A}%0D%0Ac\,%26=\,-\,\frac{1}{2}\,-\,\frac{1}{2}\,i\,%2B\,2\,i\,%2B\,i\,\\%0D%0A%26=\,-\,\frac{1}{2}\,%2B\,\frac{1}{2}\,-\,2\,i\,\\%0D%0A%26=\,-\,\frac{1}{2}\,%2B\,\frac{3}{2}\,i\,\\%0D%0A\end{align%2A}$

4. $d\,=\,(\,-\,\frac{2}{3}\,-\,i\,)\,(\,3\,-\,4i)$

$\begin{align%2A}%0D%0Ad\,%26=\,8\,i\,\\%0D%0A\end{align%2A}$

1. $a\,=\,(3\,%2B\,5i)^2$

$\begin{align%2A}%0D%0Aa\,%26=\,9\,%2B\,25i^2\,%2B\,30i\,\\%0D%0A\end{align%2A}$

2. $b\,=\,(3i\,-\,\frac{1}{3}\,)^2$

$\begin{align%2A}%0D%0Ab\,%26=%0D%0A\end{align%2A}$

3. $c\,=\,(2\,%2B\,3i)(2\,-\,i)$

$\begin{align%2A}%0D%0Ac\,%26\,=\,\\%0D%0A\end{align%2A}$

4. $d\,=\,(i\,\sqrt{3}\,%2B\,\sqrt{2})\,(\sqrt{2}\,-\,i\,\sqrt{3})$

$\begin{align%2A}%0D%0Ad\,%26\,=\,2\,-\,3\,\\%0D%0A\end{align%2A}$

Exercice 32 : deux nombres égaux
Soit $z_1\,=\,a^2\,%2B\,a\,%2B\,i(b^2\,%2B\,1)$ et $z_2\,=\,3a^2\,-\,3\,%2B\,2ib$ .

Pour que z_1 et z_2 soient égaux, les parties réelles et les parties imaginaires doivent être égales.

$Partie\,reelle\,%3A$

$a^2\,%2B\,a\,=\,3a^2\,-\,3$

Résolvons l’équation ci-dessus :

$a^2\,%2B\,a\,=\,3a^2\,-\,3$

$a^2\,%2B\,a\,-\,3a^2\,%2B\,3\,=\,0$

$-2a^2\,%2B\,a\,%2B\,3\,=\,0$

En résolvant l’équation quadratique $-2a^2\,%2B\,a\,%2B\,3\,=\,0$ , nous obtenons :

$\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,1^2\,-\,4(-2)(3)\,=\,1\,%2B\,24\,=\,25$

Les racines sont donc :

$a_1\,=\,\frac{-1\,%2B\,\sqrt{25}}{2(-2)}\,=\,\frac{-1\,%2B\,5}{-4}\,=\,\frac{4}{-4}\,=\,-1$

$a_2\,=\,\frac{-1\,-\,\sqrt{25}}{2(-2)}\,=\,\frac{-1\,-\,5}{-4}\,=\,\frac{-6}{-4}\,=\,\frac{3}{2}$

$Partie\,imaginaire\,%3A$

$b^2\,%2B\,1\,=\,2b$

$b^2\,-\,2b\,%2B\,1\,=\,0$

$(b-1)^2\,=\,0$

$b\,=\,1$

En conclusion, les valeurs de et pour lesquelles z_1 est égal à z_2 sont :

$(a%2C\,b)\,\in\,\{(-1%2C\,1)%2C\,(\frac{3}{2}%2C\,1)\}$

Exercice 33 : déterminer les valeurs de x
Soient $z_1\,=\,3x\,-\,3\,%2B\,i(x^2\,%2B\,1)$ et $z_2\,=\,x^2\,-\,x\,%2B\,i(x^2\,-\,1)$ .

1. Pour que $z_1\,%2B\,z_2$ soit un imaginaire pur, il faut que sa partie réelle soit nulle.

Calculons la partie réelle de $z_1\,%2B\,z_2$ :
$\Re(z_1)\,=\,3x\,-\,3$
$\Re(z_2)\,=\,x^2\,-\,x$
$\Re(z_1\,%2B\,z_2)\,=\,(3x\,-\,3)\,%2B\,(x^2\,-\,x)\,=\,x^2\,%2B\,2x\,-\,3$

Pour que $\Re(z_1\,%2B\,z_2)\,=\,0$ :
$x^2\,%2B\,2x\,-\,3\,=\,0$

Résolvons cette équation du second degré :
$\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac\,=\,2^2\,-\,4\,\cdot\,1\,\cdot\,(-3)\,=\,4\,%2B\,12\,=\,16$
$x\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{\Delta}}{2a}\,=\,\frac{-2\,\pm\,\sqrt{16}}{2}\,=\,\frac{-2\,\pm\,4}{2}$
$x_1\,=\,\frac{-2\,%2B\,4}{2}\,=\,1%2C\,\quad\,x_2\,=\,\frac{-2\,-\,4}{2}\,=\,-3$

Donc, $z_1\,%2B\,z_2$ est un imaginaire pur pour $x\,=\,1$ ou $x\,=\,-3$ .

2. Pour que $z_1\,%2B\,z_2$ soit un réel, il faut que sa partie imaginaire soit nulle.

Calculons la partie imaginaire de $z_1\,%2B\,z_2$ :
$\Im(z_1)\,=\,x^2\,%2B\,1$
$\Im(z_2)\,=\,x^2\,-\,1$
$\Im(z_1\,%2B\,z_2)\,=\,(x^2\,%2B\,1)\,%2B\,(x^2\,-\,1)\,=\,2x^2$

Pour que $\Im(z_1\,%2B\,z_2)\,=\,0$ :
$2x^2\,=\,0$
$x^2\,=\,0$
$x\,=\,0$

Donc, $z_1\,%2B\,z_2$ est un réel pour $x\,=\,0$ .

Exercice 34 : donner le conjugué sous forme algébrique
$1.\,z\,=\,i(2%2B2i)\,-\,3i(1%2B2i)\,=\,(2i\,%2B\,2i^2)\,-\,(3i\,%2B\,6i^2)\,=\,(2i\,-\,2)\,-\,(3i\,-\,6)\,=\,-2\,%2B\,6\,-\,i\,=\,4\,-\,i\,\\%0D%0A\overline{z}\,=\,4\,%2B\,i$
$2.\,z\,=\,-2i(1%2Bi)\,%2B\,\frac{3}{2}i(2-4i)\,=\,-2i\,-\,2i^2\,%2B\,\frac{3}{2}(2i\,-\,4i^2)\,=\,-2i\,%2B\,2\,%2B\,3i\,-\,6\,=\,-4\,%2B\,i\,\\%0D%0A\overline{z}\,=\,-4\,-\,i$
$3.\,z\,=\,(2%2Bi)(1%2B3i)\,=\,2\,%2B\,6i\,%2B\,i\,%2B\,3i^2\,=\,2\,%2B\,7i\,-\,3\,=\,-1\,%2B\,7i\,\\%0D%0A\overline{z}\,=\,-1\,-\,7i$
$4.\,z\,=\,(2i-3)(3%2Bi)\,=\,6i\,%2B\,2i^2\,-\,9\,-\,3i\,=\,6i\,-\,2\,-\,9\,-\,3i\,=\,-11\,%2B\,3i\,\\%0D%0A\overline{z}\,=\,-11\,-\,3i$

$1.\,z\,=\,(1%2Bi)^2\,=\,1\,%2B\,2i\,%2B\,i^2\,=\,1\,%2B\,2i\,-\,1\,=\,2i\,\\%0D%0A\overline{z}\,=\,-2i$
$2.\,z\,=\,(2%2Bi)^3\,=\,(2%2Bi)(2%2Bi)(2%2Bi)\,=\,(4\,%2B\,4i\,%2B\,i^2)(2%2Bi)\,=\,(4\,%2B\,4i\,-\,1)(2%2Bi)\,=\,(3\,%2B\,4i)(2%2Bi)\,=\,6\,%2B\,8i\,%2B\,3i\,%2B4i^2\,=\,6\,%2B\,11i\,-\,4\,=\,2\,%2B\,11i\,\\%0D%0A\overline{z}\,=\,2\,-\,11i$
$3.\,z\,=\,(1-i)^4\,=\,(1-i)^2(1-i)^2\,=\,(1\,-\,2i\,%2B\,i^2)(1\,-\,2i\,%2B\,i^2)\,=\,(1\,-\,2i\,-\,1)(1\,-\,2i\,-\,1)\,=\,-2i(-2i)\,=\,-2(-2)(i^2)\,=\,-4(-1)\,=\,4\,\\%0D%0A\overline{z}\,=\,4$
$4.\,z\,=\,(3%2B2i)^3\,=\,(3%2B2i)(3%2B2i)(3%2B2i)\,=\,(9\,%2B\,12i\,%2B\,4i^2)(3\,%2B\,2i)\,=\,(9\,%2B\,12i\,-\,4)(3\,%2B\,2i)\,=\,(5\,%2B\,12i)(3%2B2i)\,=\,15\,%2B\,10i\,%2B\,36i\,%2B\,20i^2\,=\,15\,%2B\,46i\,-\,20\,=\,-5\,%2B\,46i\,\\%0D%0A\overline{z}\,=\,-5\,-\,46i$

$1.\,z\,=\,\frac{1}{i}\,=\,-i\,\\%0D%0A\overline{z}\,=\,i$
$2.\,z\,=\,\frac{1}{1%2Bi}\,=\,\frac{1}{1%2Bi}\cdot\,\frac{1-i}{1-i}\,=\,\frac{1-i}{1-1}\,=\,\frac{1-i}{-1-i%2B1}\,=\,1-i\,\\%0D%0A\overline{z}\,=\,1%2Bi$
$3.\,z\,=\,\frac{2%2Bi}{1-2i}\,=\,\frac{2%2Bi}{1-2i}\cdot\,\frac{1%2B2i}{1%2B2i}\,=\,\frac{(2%2Bi)(1%2B2i)}{(1-2i)(1%2B2i)}\,=\,\frac{2\,%2B\,4i\,%2B\,i\,%2B\,2i^2}{1\,-\,4i^2}\,=\,\frac{2\,%2B\,5i\,-\,2}{1\,%2B\,4}\,=\,\frac{5i}{5}\,=\,i\,\\%0D%0A\overline{z}\,=\,-i$
$4.\,z\,=\,\frac{3%2B2i}{2i-3}\,=\,\frac{3%2B2i}{2i-3}\cdot\,\frac{-2i-3}{-2i-3}\,=\,\frac{(3%2B2i)(-2i-3)}{(2i-3)(-2i-3)}\,=\,\frac{-6i\,-\,9\,-\,4i^2\,-\,6i}{-4i^2\,%2B\,9}\,=\,\frac{6i\,%2B\,9\,-\,4\,-\,6i}{4\,%2B\,9}\,=\,\frac{5}{13}\,=\,-6\,-\,7i\\%0D%0A\overline{z}\,=\,-6\,%2B\,7i$
$5.\,z\,=\,\frac{3\,%2B\,2i}{2i\,-\,3}\,=\,\frac{3\,%2B\,2i}{2i\,-\,3}\,=\,\frac{3\,%2B\,2i}{2i\,-\,3}\,=\,\frac{(3%2B2i)(-2i-3)}{(2i-3)(-2i-3)}\,=\,z\,\\%0D%0A\overline{z}\,=\,z\,%2B\,i$
$6.\,z\,=\,\frac{-1}{2%2Bi}\,=\,\frac{-1}{2%2Bi}\cdot\,\frac{2-i}{2-i}\,=\,\frac{-2\,%2B\,i}{4\,-\,i}\,=\,\frac{-2\,%2B\,i\,-\,4\,%2B\,4\,-\,16i^2\\%0D%0A\overline{z}\,=\,16\,-\,14%21$

Exercice 35 : racine d’un polynôme
Exercice 1:\\
Montrons que $a\,=\,-2$ est une racine de $P(z)\,=\,z^3\,%2B\,4z^2\,%2B\,6z\,%2B\,4$ :

$P(-2)\,=\,(-2)^3\,%2B\,4(-2)^2\,%2B\,6(-2)\,%2B\,4\,=\,-8\,%2B\,16\,-\,12\,%2B\,4\,=\,0$

Donc, $a\,=\,-2$ est bien une racine. Factorisons P(z) :

Comme (-2) est racine, $z\,%2B\,2$ est un facteur :

$P(z)\,=\,(z\,%2B\,2)(z^2\,%2B\,2z\,%2B\,2)$

Exercice 2:\\
Montrons que $a\,=\,1$ est une racine de $P(z)\,=\,2z^3\,-\,14z^2\,%2B\,38z\,-\,26$ :

$P(1)\,=\,2(1)^3\,-\,14(1)^2\,%2B\,38(1)\,-\,26\,=\,2\,-\,14\,%2B\,38\,-\,26\,=\,0$

Donc, $a\,=\,1$ est bien une racine. Factorisons P(z) :

Comme est racine, $z\,-\,1$ est un facteur :

$P(z)\,=\,(z\,-\,1)(2z^2\,-\,12z\,%2B\,26)$

Exercice 3:\\
Montrons que $a\,=\,-1$ est une racine de $P(z)\,=\,z^4\,-\,2z^3\,%2B\,z^2\,%2B\,2z\,-\,2$ :

$P(-1)\,=\,(-1)^4\,-\,2(-1)^3\,%2B\,(-1)^2\,%2B\,2(-1)\,-\,2\,=\,1\,%2B\,2\,%2B\,1\,-\,2\,-\,2\,=\,0$

Donc, $a\,=\,-1$ est bien une racine. Factorisons P(z) :

Comme (-1) est racine, $z\,%2B\,1$ est un facteur :

$P(z)\,=\,(z\,%2B\,1)(z^3\,-\,3z^2\,%2B\,4z\,-\,2)$

Exercice 4:\\
Montrons que $a\,=\,i$ est une racine de $P(z)\,=\,z^4\,-\,z^3\,-\,5z^2\,-\,z\,-\,6$ :

$P(i)\,=\,(i)^4\,-\,(i)^3\,-\,5(i)^2\,-\,i\,-\,6\,=\,1\,-\,(-i)\,-\,5(-1)\,-\,i\,-\,6\,=\,1\,%2B\,i\,%2B\,5\,-\,i\,-\,6\,=\,0$

Verifions aussi que est une racine :

$P(-i)\,=\,(-i)^4\,-\,(-i)^3\,-\,5(-i)^2\,-\,(-i)\,-\,6\,=\,1\,%2B\,i\,-\,5(-1)\,%2B\,i\,-\,6\,=\,1\,%2B\,i\,%2B\,5\,-\,i\,-\,6\,=\,0$

Puis factorisons P(z) :

Comme et sont racines, $z\,-\,i$ et $z\,%2B\,i$ sont des facteurs :

$P(z)\,=\,(z^2\,%2B\,1)(z^2\,-\,z\,-\,6)$

Exercice 36 : calculs et nombres complexes
1. Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de chacun des nombres suivants.

$z_1\,=\,2$

Partie réelle : $\operatorname{Re}(z_1)\,=\,2$ \\
Partie imaginaire : $\operatorname{Im}(z_1)\,=\,0$

$z_2\,=\,-3i$

Partie réelle : $\operatorname{Re}(z_2)\,=\,0$ \\
Partie imaginaire : $\operatorname{Im}(z_2)\,=\,-3$

$z_3\,=\,i\,-\,3$

Partie réelle : $\operatorname{Re}(z_3)\,=\,-3$ \\
Partie imaginaire : $\operatorname{Im}(z_3)\,=\,1$

$z_4\,=\,z_1\,%2B\,z_3\,=\,2\,%2B\,(i\,-\,3)\,=\,2\,-\,3\,%2B\,i\,=\,-1\,%2B\,i$

Partie réelle : $\operatorname{Re}(z_4)\,=\,-1$ \\
Partie imaginaire : $\operatorname{Im}(z_4)\,=\,1$

$z_5\,=\,z_2\,\times \,z_3\,=\,(-3i)\,\times \,(i\,-\,3)\,=\,-3i^2\,%2B\,9i\,=\,3\,%2B\,9i$

Partie réelle : $\operatorname{Re}(z_5)\,=\,3$ \\
Partie imaginaire : $\operatorname{Im}(z_5)\,=\,9$

2. Dans chacun des cas suivants, déterminer les réels et vérifiant l’égalité.

$a\,%2B\,3i\,=\,2\,%2B\,i(1\,-\,b)$

En séparant les parties réelles et imaginaires, nous obtenons :
Partie réelle : $a\,=\,2$ \\
Partie imaginaire : $3\,=\,1\,-\,b\,\implies\,b\,=\,-2$

$2\,%2B\,a\,%2B\,i(b^2\,%2B\,b)\,=\,i(2b\,-\,ia^2)\,%2B\,3a\,%2B\,3$

En séparant les parties réelles et imaginaires, nous obtenons :
Partie réelle : $2\,%2B\,a\,=\,3a\,%2B\,3\,\implies\,2\,=\,2a\,%2B\,3\,\implies\,a\,=\,-\frac{1}{2}$ \\
Partie imaginaire : $b^2\,%2B\,b\,=\,2b\,-\,(-a^2)\,\implies\,b^2\,%2B\,b\,=\,2b\,%2B\,a^2\,\implies\,b^2\,-\,b\,-\,a^2\,=\,0\,\implies\,b^2\,-\,b\,-\,(-\frac{1}{2})^2\,=\,0\,\implies\,b^2\,-\,b\,-\,\frac{1}{4}\,=\,0$

En résolvant l’équation quadratique $b\,=\,\frac{1\,\pm\,\sqrt{1\,%2B\,1}}{2}\,=\,\frac{1\,\pm\,\sqrt{2}}{2}$ . Donc les valeurs de sont :
$b\,=\,\frac{1\,%2B\,\sqrt{2}}{2}\,\,ou\,\,b\,=\,\frac{1\,-\,\sqrt{2}}{2}$

3. Écrire chacun des nombres suivants sous forme algébrique.

$z_1\,=\,(3\,-\,2i)(3\,%2B\,2i)$

Calculons :
$z_1\,=\,(3\,-\,2i)(3\,%2B\,2i)\,=\,3^2\,-\,(2i)^2\,=\,9\,-\,4(-1)\,=\,9\,%2B\,4\,=\,13$

$z_2\,=\,2(1%2Bi)%2Bi(2i-1)$

Calculons :
$z_2\,=\,2(1\,%2B\,i)\,%2B\,i(2i\,-\,1)\,=\,2\,%2B\,2i\,%2B\,2i^2\,-\,i\,=\,2\,%2B\,2i\,-\,1\,-\,i\,=\,1\,%2B\,i$

$z_3\,=\,(1\,%2B\,i)(3\,%2B\,2i)$

Calculons :
$z_3\,=\,(1\,%2B\,i)(3\,%2B\,2i)\,=\,3\,%2B\,2i\,%2B\,3i\,%2B\,2i^2\,=\,3\,%2B\,5i\,-\,2\,=\,1\,%2B\,5i$

$z_4\,=\,(1\,-\,i)^3$

Utilisons le binôme de Newton :
$z_4\,=\,(1\,-\,i)^3\,=\,1\,-\,3i\,%2B\,3i^2\,-\,i^3\,=\,1\,-\,3i\,%2B\,3(-1)\,-\,(-i)\,=\,1\,-\,3i\,-\,3\,%2B\,i\,=\,-2\,-\,2i$

$z_5\,=\,(1\,-\,i)^5$

Utilisons le binôme de Newton :
$z_5\,=\,(1\,-\,i)^5\,=\,\sum_{k=0}^{5}\,\binom\,{5}{k}\,(-i)^k\,=\,1\,-\,5i\,%2B\,10(-i^2)\,-\,10i^3\,%2B\,5(-i^4)\,-\,i^5\,=\,1\,-\,5i\,%2B\,10(-1)\,-\,10i(-i)\,%2B\,5\,-\,i(-i^4)$
$=\,1\,-\,5i\,-\,10\,-\,10i\,%2B\,5\,-\,i(-i(-1))$
$=\,-4\,-\,15i$

Exercice 37 : produits de nombres complexes
$Correction\,de\,l'exercice\,%3A$

$1.\,\quad\,z\,=\,(3\,%2B\,i\sqrt{3})(2i\sqrt{3}\,%2B\,5)$

En développant,

$\begin{align%2A}%0D%0Az\,%26=\,3(2i\sqrt{3})\,%2B\,3\,\cdot\,5\,%2B\,i\sqrt{3}(2i\sqrt{3})\,%2B\,i\sqrt{3}\,\cdot\,5\,\\%0D%0A%26=\,6i\sqrt{3}\,%2B\,15\,%2B\,2i^2\,\cdot\,3\,%2B\,5i\sqrt{3}\,\\%0D%0A%26=\,6i\sqrt{3}\,%2B\,15\,-\,6\,%2B\,5i\sqrt{3}\,\\%0D%0A%26=\,9\,%2B\,11i\sqrt{3}%0D%0A\end{align%2A}$

$z\,=\,9\,%2B\,11i\sqrt{3}$

—

$2.\,\quad\,z\,=\,(2\sqrt{2}\,%2B\,i\sqrt{3})(3i\sqrt{3}\,-\,\sqrt{2})$

En développant,

$\begin{align%2A}%0D%0Az\,%26=\,2\sqrt{2}\,\cdot\,3i\sqrt{3}\,-\,2\sqrt{2}\,\cdot\,\sqrt{2}\,%2B\,i\sqrt{3}\,\cdot\,3i\sqrt{3}\,-\,i\sqrt{3}\,\cdot\,\sqrt{2}\,\\%0D%0A%26=\,6i\sqrt{6}\,-\,4\,%2B\,3i^2\,\cdot\,3\,-\,i\sqrt{6}\,\\%0D%0A%26=\,6i\sqrt{6}\,-\,4\,-\,9\,-\,i\sqrt{6}\,\\%0D%0A%26=\,-13\,%2B\,5i\sqrt{6}%0D%0A\end{align%2A}$

$z\,=\,-13\,%2B\,5i\sqrt{6}$

—

$3.\,\quad\,z\,=\,(\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,-\,i\frac{\sqrt{2}}{2}\,)\,(\,\frac{1}{2}\,%2B\,i\frac{\sqrt{2}}{2}\,)$

En développant,

$\begin{align%2A}%0D%0Az\,%26=\,(\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,\cdot\,\frac{1}{2}\,)\,%2B\,(\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,\cdot\,i\frac{\sqrt{2}}{2}\,)\,-\,(\,i\frac{\sqrt{2}}{2}\,\cdot\,\frac{1}{2}\,)\,-\,(\,i\frac{\sqrt{2}}{2}\,\cdot\,i\frac{\sqrt{2}}{2}\,)\,\\%0D%0A%26=\,\frac{\sqrt{2}}{4}\,%2B\,\frac{i\,\cdot\,2}{4}\,-\,\frac{i\sqrt{2}}{4}\,-\,\frac{-2}{4}\,\\%0D%0A%26=\,\frac{\sqrt{2}}{4}\,%2B\,\frac{2i}{4}\,-\,\frac{i\sqrt{2}}{4}\,%2B\,\frac{2}{4}\,\\%0D%0A%26=\,\frac{\sqrt{2}\,%2B\,2\,%2B\,i(2\,-\,\sqrt{2})}{4}%0D%0A\end{align%2A}$

$z\,=\,\frac{\sqrt{2}\,%2B\,2\,%2B\,i(2\,-\,\sqrt{2})}{4}$

—

$4.\,\quad\,z\,=\,(\,2\sqrt{2}\,-\,i\frac{\sqrt{3}}{2}\,)\,(\sqrt{3}\,-\,i\sqrt{2})$

En développant,

$\begin{align%2A}%0D%0Az\,%26=\,2\sqrt{2}\,\cdot\,\sqrt{3}\,-\,2\sqrt{2}\,\cdot\,i\sqrt{2}\,-\,i\frac{\sqrt{3}}{2}\,\cdot\,\sqrt{3}\,%2B\,i\frac{\sqrt{3}}{2}\,\cdot\,i\sqrt{2}\,\\%0D%0A%26=\,2\sqrt{6}\,-\,2i\,\cdot\,\sqrt{4}\,-\,\frac{3i}{2}\,-\,\frac{\sqrt{6}}{2}\,\\%0D%0A%26=\,2\sqrt{6}\,-\,4i\,-\,\frac{3i}{2}\,-\,\frac{\sqrt{6}}{2}\,\\%0D%0A%26=\,(\,2\,-\,\frac{1}{2}\,)\,\sqrt{6}\,-\,(\,4\,%2B\,\frac{3}{2}\,)\,i\,\\%0D%0A%26=\,\frac{3\sqrt{6}}{2}\,-\,\frac{11i}{2}%0D%0A\end{align%2A}$

$z\,=\,\frac{3\sqrt{6}}{2}\,-\,\frac{11i}{2}$

—

$5.\,\quad\,z\,=\,(\,-\frac{\sqrt{2}}{2}\,%2B\,i\frac{\sqrt{2}}{2}\,)\,(\,-\frac{1}{2}\,-\,i\frac{\sqrt{3}}{2}\,)$

En développant,

$\begin{align%2A}%0D%0Az\,%26=\,(-\frac{\sqrt{2}}{2}\,\cdot\,-\frac{1}{2}\,)\,%2B\,(\,-\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,\cdot\,i\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,)\,%2B\,(\,i\frac{\sqrt{2}}{2}\,\cdot\,-\,\frac{1}{2}\,)\,%2B\,(\,i\frac{\sqrt{2}}{2}\,\cdot\,-i\frac{\sqrt{3}}{2}\,)\,\\%0D%0A%26=\,\frac{\sqrt{2}}{4}\,-\,\frac{i\,\cdot\,\sqrt{6}}{4}\,-\,\frac{i\,\cdot\,\sqrt{2}}{4}\,-\,\frac{\sqrt{6}}{4}\,\\%0D%0A%26=\,\frac{\sqrt{2}\,-\,\sqrt{6}}{4}\,-\,\frac{i(\sqrt{6}\,%2B\,\sqrt{2})}{4}%0D%0A\end{align%2A}$

$z\,=\,\frac{\sqrt{2}\,-\,\sqrt{6}}{4}\,-\,\frac{i(\sqrt{6}\,%2B\,\sqrt{2})}{4}$

Exercice 38 : calculer les produits suivants

$1.\,\quad\,z\,%26=\,(3\,%2B\,\frac{1}{2}i)(3\,-\,\frac{1}{2}i)\,\\%0D%0A%26=\,3\,\cdot\,3\,%2B\,3\,\cdot\,(-\frac{1}{2}i)\,%2B\,(\frac{1}{2}i)\,\cdot\,3\,%2B\,(\frac{1}{2}i)(-\frac{1}{2}i)\,\\%0D%0A%26=\,9\,-\,\frac{3}{2}i\,%2B\,\frac{3}{2}i\,-\,\frac{1}{4}i^2\,\\%0D%0A%26=\,9\,-\,\frac{1}{4}(-1)\,\\%0D%0A%26=\,9\,%2B\,\frac{1}{4}\,\\%0D%0A%26=\,9.25\,\\%0D%0A%0D%0A2.\,\quad\,z\,%26=\,(-\frac{1}{3}\,%2B\,\frac{2}{5}i)(\frac{1}{3}\,%2B\,\frac{2}{5}i)\,\\%0D%0A%26=\,-\frac{1}{3}\,\cdot\,\frac{1}{3}\,%2B\,(-\frac{1}{3})(\frac{2}{5}i)\,%2B\,(\frac{2}{5}i)(\frac{1}{3})\,%2B\,(\frac{2}{5}i)(\frac{2}{5}i)\,\\%0D%0A%26=\,-\frac{1}{9}\,-\,\frac{2}{15}i\,%2B\,\frac{2}{15}i\,%2B\,\frac{4}{25}i^2\,\\%0D%0A%26=\,-\frac{1}{9}\,%2B\,\frac{4}{25}(-1)\,\\%0D%0A%26=\,-\frac{1}{9}\,-\,\frac{4}{25}\,\\%0D%0A%26=\,-\frac{25\,%2B\,36}{225}\,\\%0D%0A%26=\,-\frac{61}{225}\,\\%0D%0A%0D%0A3.\,\quad\,z\,%26=\,(\frac{1}{2}\,-\,i\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{1}{2}\,%2B\,i\frac{\sqrt{3}}{2})\,\\%0D%0A%26=\,\frac{1}{2}\,\cdot\,\frac{1}{2}\,%2B\,(\frac{1}{2})(i\frac{\sqrt{3}}{2})\,-\,(i\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{1}{2})\,-\,(i\frac{\sqrt{3}}{2})^2\,\\%0D%0A%26=\,\frac{1}{4}\,%2B\,\frac{i\sqrt{3}}{4}\,-\,\frac{i\sqrt{3}}{4}\,-\,\frac{3}{4}i^2\,\\%0D%0A%26=\,\frac{1}{4}\,-\,\frac{3}{4}(-1)\,\\%0D%0A%26=\,\frac{1}{4}\,%2B\,\frac{3}{4}\,\\%0D%0A%26=\,1\,\\%0D%0A%0D%0A4.\,\quad\,z\,%26=\,(\frac{1}{2}i\,-\,\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}\,%2B\,\frac{1}{2}i)\,\\%0D%0A%26=\,(\frac{1}{2}i)(\frac{\sqrt{3}}{2})\,%2B\,(\frac{1}{2}i)(\frac{1}{2}i)\,-\,(\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2})\,-\,(\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{1}{2}i)\,\\%0D%0A%26=\,\frac{\sqrt{3}i}{4}\,%2B\,\frac{1}{4}(-1)\,-\,\frac{3}{4}\,-\,\frac{\sqrt{3}i}{4}\,\\%0D%0A%26=\,-\frac{1}{4}\,-\,\frac{3}{4}\,\\%0D%0A%26=\,-1\,\\%0D%0A%0D%0A5.\,\quad\,z\,%26=\,(-\frac{\sqrt{2}}{2}\,-\,i\frac{\sqrt{2}}{2})(-i\frac{\sqrt{2}}{2}\,-\,\frac{\sqrt{2}}{2})\,\\%0D%0A%26=\,(-\frac{\sqrt{2}}{2})(-\frac{\sqrt{2}}{2})\,%2B\,(-\frac{\sqrt{2}}{2})(-\frac{i\sqrt{2}}{2})\,-\,(i\frac{\sqrt{2}}{2})(-\frac{\sqrt{2}}{2})\,-\,(i\frac{\sqrt{2}}{2})(-\frac{i\sqrt{2}}{2})\,\\%0D%0A%26=\,\frac{2}{4}\,%2B\,\frac{\sqrt{2}i}{4}\,-\,\frac{\sqrt{2}i}{4}\,-\,\frac{2i^2}{4}\,\\%0D%0A%26=\,\frac{2}{4}\,-\,\frac{2}{4}(-1)\,\\%0D%0A%26=\,\frac{2}{4}\,%2B\,\frac{2}{4}\,\\%0D%0A%26=\,1\,\\%0D%0A%0D%0A6.\,\quad\,z\,%26=\,(i\frac{2\sqrt{3}}{3}\,-\,\frac{\sqrt{3}}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2}\,%2B\,i\frac{2\sqrt{3}}{3})\,\\%0D%0A%26=\,(i\frac{2\sqrt{3}}{3})(-\frac{\sqrt{3}}{2})\,%2B\,(i\frac{2\sqrt{3}}{3})(i\frac{2\sqrt{3}}{3})\,-\,(\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2})\,-\,(\frac{\sqrt{3}}{2})(i\frac{2\sqrt{3}}{3})\,\\%0D%0A%26=\,-i\frac{6}{12}\,-\,\frac{12}{18}\,-\,\frac{3}{4}\,%2B\,i\frac{6}{12}\,\\%0D%0A%26=\,0\,-\,\frac{2}{3}(1)\,-\,\frac{3}{4}\,\\%0D%0A%26=\,-\frac{8}{12}\,-\,\frac{9}{12}\,\\%0D%0A%26=\,-\frac{17}{12}$

Exercice 39 : conjugué et forme algébrique
### Partie 1: Écrire sous forme algébrique le conjugué de chacun des nombres suivants.

1. $z_1\,=\,-2$

$\overline{z_1}\,=\,-2$

2. $z_2\,=\,-\frac{3i}{4}$

$\overline{z_2}\,=\,\frac{3i}{4}$

3. $z_3\,=\,i\,-\,2$

$\overline{z_3}\,=\,-i\,-\,2$

4. $z_4\,=\,z_1\,%2B\,z_2$

$z_4\,=\,-2\,-\,\frac{3i}{4}$

$\overline{z_4}\,=\,-2\,%2B\,\frac{3i}{4}$

5. $z_5\,=\,z_2\,\times \,z_3$
$z_5\,=\,(-\frac{3i}{4})\,(i\,-\,2)\,=\,-\frac{3i\,\cdot\,i}{4}\,%2B\,\frac{3i\,\cdot\,2}{4}\,=\,-\frac{3(-1)}{4}\,%2B\,\frac{6i}{4}\,=\,\frac{3}{4}\,%2B\,\frac{6i}{4}\,=\,\frac{3}{4}\,%2B\,\frac{3i}{2}$

$\overline{z_5}\,=\,\frac{3}{4}\,-\,\frac{3i}{2}$

6. $z_6\,=\,z_2\,(z_3\,%2B\,z_4)$

$z_3\,%2B\,z_4\,=\,(i\,-\,2)\,%2B\,(-2\,-\,\frac{3i}{4})\,=\,i\,-\,2\,-\,2\,-\,\frac{3i}{4}\,=\,-4\,%2B\,\frac{4i}{4}\,-\,\frac{3i}{4}\,=\,-4\,%2B\,\frac{i}{4}$

$z_6\,=\,-\frac{3i}{4}\,(-4\,%2B\,\frac{i}{4})\,=\,(\,-\frac{3i}{4}\,\cdot\,-4\,)\,%2B\,(\,-\frac{3i}{4}\,\cdot\,\frac{i}{4}\,)\,=\,3i\,-\,\frac{3\,\cdot\,(-1)}{16}\,=\,3i\,%2B\,\frac{3}{16}$

$\overline{z_6}\,=\,-3i\,%2B\,\frac{3}{16}$

### Partie 2: Calculer chacun des nombres suivants et les écrire sous forme algébrique.

1. $z_1\,=\,\frac{10}{2\,%2B\,3i}$

$z_1\,\cdot\,\frac{2\,-\,3i}{2\,-\,3i}\,=\,\frac{10(2\,-\,3i)}{(2\,%2B\,3i)(2\,-\,3i)}\,=\,\frac{20\,-\,30i}{4\,%2B\,9}\,=\,\frac{20\,-\,30i}{13}\,=\,\frac{20}{13}\,-\,\frac{30i}{13}$

$z_1\,=\,\frac{20}{13}\,-\,\frac{30i}{13}$

2. $z_2\,=\,\frac{(2\,-\,3i)\,(i\,%2B\,2)}{1}\,=\,(2\,-\,3i)(i\,%2B\,2)$

$z_2\,=\,2i\,%2B\,4\,-\,3i^2\,-\,6i\,=\,4\,%2B\,2i\,%2B\,3\,-\,6i\,=\,7\,-\,4i$

$z_2\,=\,7\,-\,4i$

3. $z_3\,=\,\frac{1}{2i\,%2B\,4}$

$z_3\,\cdot\,\frac{-2i\,%2B\,4}{-2i\,%2B\,4}\,=\,\frac{1(\-2i\,%2B\,4)}{(2i\,%2B\,4)(-2i\,%2B\,4)}\,=\,\frac{-2i\,%2B\,4}{4\,%2B\,4}\,=\,\frac{-2i\,%2B\,4}{20}\,=\,\frac{-i}{10}\,%2B\,\frac{2}{5}$

$z_3\,=\,\frac{2}{5}\,-\,\frac{i}{10}$

4. $z_4\,=\,\frac{(i\,%2B\,3)}{(1\,-\,4i)}$

$z_4\,\cdot\,\frac{1\,%2B\,4i}{1\,%2B\,4i}\,=\,\frac{(i\,%2B3)(1\,%2B\,4i)}{1\,%2B\,16}\,=\,\frac{1\,%2B\,4i\,%2B\,3\,%2B\,12i}{17}\,=\,\frac{4i\,%2B\,12i\,%2B\,2}{17}\,=\,\frac{6}{17}\,-\,\frac{i}{13}$

$z_4\,=\,-\,\frac{5}{17}\,%2B\,\frac{4i}{17}$

Exercice 40 : quotients avec des racines carrées
1.
$a\,=\,\frac{\sqrt{2}\,%2B\,i\,\sqrt{3}}{2\,%2B\,i}$

On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur $2\,-\,i$ :

$a\,=\,\frac{(\sqrt{2}\,%2B\,i\,\sqrt{3})(2\,-\,i)}{(2\,%2B\,i)(2\,-\,i)}$

Calcul du dénominateur :

$(2\,%2B\,i)(2\,-\,i)\,=\,4\,-\,i^2\,=\,4\,%2B\,1\,=\,5$

Calcul du numérateur :

$(\sqrt{2}\,%2B\,i\,\sqrt{3})(2\,-\,i)\,=\,\sqrt{2}\,\cdot\,2\,-\,\sqrt{2}\,\cdot\,i\,%2B\,i\,\sqrt{3}\,\cdot\,2\,-\,i\,\sqrt{3}\,\cdot\,i$
$=\,2\sqrt{2}\,-\,\sqrt{2}i\,%2B\,2i\sqrt{3}\,-\,(\sqrt{3}\,i^2)$
$=\,2\sqrt{2}\,-\,\sqrt{2}\,i\,%2B\,2i\,\sqrt{3}\,%2B\,\sqrt{3}$
$=\,(2\,\sqrt{2}\,%2B\,\sqrt{3})\,%2B\,(-\sqrt{2}\,%2B\,2\,\sqrt{3})\,i$

Donc :

$a\,=\,\frac{2\,\sqrt{2}\,%2B\,\sqrt{3}}{5}\,%2B\,\frac{\,-\sqrt{2}\,%2B\,2\,\sqrt{3}}{5}\,i$

2.
$b\,=\,\frac{2i\,-\,\sqrt{2}}{3\,%2B\,i}$

On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur $3\,-\,i$ :

$b\,=\,\frac{(2i\,-\,\sqrt{2})(3\,-\,i)}{(3\,%2B\,i)(3\,-\,i)}$

Calcul du dénominateur :

$(3\,%2B\,i)(3\,-\,i)\,=\,9\,-\,i^2\,=\,9\,%2B\,1\,=\,10$

Calcul du numérateur :

$(2i\,-\,\sqrt{2})(3\,-\,i)\,=\,2i\,\cdot\,3\,-\,2i\,\cdot\,i\,-\,\sqrt{2}\,\cdot\,3\,%2B\,\sqrt{2}\,\cdot\,i$
$=\,6i\,-\,2(-1)\,-\,3\sqrt{2}\,%2B\,\sqrt{2}i$
$=\,6i\,%2B\,2\,-\,3\,\sqrt{2}\,%2B\,\sqrt{2}\,i$
$=\,2\,-\,3\,\sqrt{2}\,%2B\,(6\,%2B\,\sqrt{2})i$

Donc :

$b\,=\,\frac{2\,-\,3\sqrt{2}}{10}\,%2B\,\frac{6\,%2B\,\sqrt{2}}{10}\,i$
$=\,\frac{2}{10}\,-\,\frac{3\sqrt{2}}{10}\,%2B\,\frac{6}{10}i\,%2B\,\frac{\sqrt{2}}{10}\,i$
$=\,\frac{1}{5}\,-\,\frac{3\sqrt{2}}{10}\,%2B\,\frac{3}{5}i\,%2B\,\frac{\sqrt{2}}{10}\,i$

3.
$c\,=\,\frac{\frac{1}{2}\,-\,i\frac{\sqrt{3}}{2}}{-1\,%2B\,i}$

On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur $-1\,-\,i$ :

$c\,=\,\frac{(\,\frac{1}{2}\,-\,i\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,)\,(-1\,-\,i)}{(-1\,%2B\,i)(-1\,-\,i)}$

Calcul du dénominateur :

$(-1\,%2B\,i)(-1\,-\,i)\,=\,1\,-\,i^2\,=\,1\,%2B\,1\,=\,2$

Calcul du numérateur :

$(\,\frac{1}{2}\,-\,i\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,)\,(-1\,-\,i)$
$=\,\frac{1}{2}\,(-1)\,%2B\,\frac{1}{2}(-i)\,-\,i\,\frac{\sqrt{3}}{2}(-1)\,-\,i\,\frac{\sqrt{3}}{2}(-i)$
$=\,-\frac{1}{2}\,-\,\frac{1}{2}i\,%2B\,i\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,-\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,i\,\cdot\,i$
$=\,-\frac{1}{2}\,-\,\frac{1}{2}i\,%2B\,\frac{\sqrt{3}}{2}i\,%2B\,\frac{\sqrt{3}}{2}$

Donc :

$c\,=\,\frac{-\frac{1}{2}\,%2B\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,%2B\,(-\frac{1}{2}\,%2B\,\frac{\sqrt{3}}{2})\,i}{2}$
$=\,-\frac{1}{4}\,%2B\,\frac{\sqrt{3}}{4}\,%2B\,(\,-\frac{1}{4}\,%2B\,\frac{\sqrt{3}}{4}\,)\,i$

4.
$d\,=\,\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\,%2B\,i\,\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}\,-\,\frac{1}{2}i}$

On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur $\frac{\sqrt{3}}{2}\,%2B\,\frac{1}{2}\,i$ :

$d\,=\,\frac{(\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,%2B\,i\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,)\,(\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,%2B\,\frac{1}{2}i\,)}{(\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,)^2\,%2B\,(\,\frac{1}{2}\,i\,)^2}$

Calcul du dénominateur :

$(\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,)^2\,%2B\,(\,\frac{1}{2}\,i\,)^2\,=\,\frac{3}{4}\,%2B\,\frac{1}{4}\,(-1)\,=\,\frac{3}{4}\,-\,\frac{1}{4}\,=\,\frac{2}{4}\,=\,\frac{1}{2}$

Calcul du numérateur :

$(\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,%2B\,i\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,)\,(\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,%2B\,\frac{1}{2}i\,)$
$=\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,\cdot\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,%2B\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,\cdot\,\frac{1}{2}i\,%2B\,i\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,\cdot\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,%2B\,i\,\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\,\frac{1}{2}\,i$
$=\,\frac{\sqrt{6}}{4}\,%2B\,\frac{\sqrt{2}}{4}i\,%2B\,\frac{i\,\sqrt{6}}{4}\,%2B\,\frac{\sqrt{2}}{4}\,i\,i$
$=\,\frac{\sqrt{6}}{4}\,%2B\,\frac{i\,\sqrt{2}}{4}\,%2B\,\frac{i\,\sqrt{6}}{4}\,-\,\frac{\sqrt{2}}{4}$

$=\,\frac{\sqrt{6}\,-\,\sqrt{2}}{4}\,%2B\,\frac{\sqrt{2}\,i\,%2B\,\sqrt{6}\,i}{4}$

Donc :

$d\,=\,\frac{\sqrt{6}\,-\,\sqrt{2}}{2}\,%2B\,\frac{\sqrt{2}\,i\,%2B\,\sqrt{6}\,i}{2}$
$=\,\frac{\sqrt{6}}{2}\,-\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,%2B\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,i\,%2B\,\frac{\sqrt{6}}{2}\,i$

Voir Corrigés 31 à 40 ...

Exercice 41 : systèmes de deux équations à deux inconnues
1. Résolution du système :
$\begin{cases}%0D%0A\frac{1}{2}z_1\,%2B\,z_2\,=\,2\,\\%0D%0A\frac{1}{2}z_1\,%2B\,i\,\times \,z_2\,=\,0%0D%0A\end{cases}$

Multipliant la première équation par 2 pour éliminer le coefficient de z_1 :
$z_1\,%2B\,2z_2\,=\,4\,\quad\,(1)$

Multipliant la deuxième équation par 2 :
$z_1\,%2B\,2i\,\cdot\,z_2\,=\,0\,\quad\,(2)$

On soustrait l’équation (2) de l’équation (1) :
$z_1\,%2B\,2z_2\,-\,(z_1\,%2B\,2i\,\cdot\,z_2)\,=\,4\,-\,0$
$2z_2\,-\,2i\,z_2\,=\,4$
$2(1\,-\,i)z_2\,=\,4$
$z_2\,=\,\frac{4}{2(1\,-\,i)}\,=\,\frac{2}{1\,-\,i}\,=\,\frac{2(1\,%2B\,i)}{(1\,-\,i)(1\,%2B\,i)}\,=\,\frac{2(1\,%2B\,i)}{1\,%2B\,1}\,=\,\frac{2\,%2B\,2i}{2}\,=\,1\,%2B\,i$

En remplaçant z_2 dans l’équation (1) :
$z_1\,%2B\,2(1\,%2B\,i)\,=\,4$
$z_1\,%2B\,2\,%2B\,2i\,=\,4$
$z_1\,=\,4\,-\,2\,-\,2i\,=\,2\,-\,2i$

Donc :
$z_1\,=\,2\,-\,2i%2C\,\quad\,z_2\,=\,1\,%2B\,i$

2. Résolution du système :
$\begin{cases}%0D%0A\frac{3z_1\,-\,2z_2}{z_1\,%2B\,2z_2}\,=\,4i\,-\,2\,\\%0D%0A3(z_1\,%2B\,2z_2)\,=\,2%0D%0A\end{cases}$

On commence par résoudre la deuxième équation :
$3z_1\,%2B\,6z_2\,=\,2\,\quad\,(1)$

Multipliant et simplifiant l’expression de la première équation pour une multiplication croisée :
$(3z_1\,-\,2z_2)\,=\,(4i\,-\,2)(z_1\,%2B\,2z_2)$

Simplifions :
$3z_1\,-\,2z_2\,=\,(4iz_1\,%2B\,8iz_2\,-\,2z_1\,-\,4z_2)$
$3z_1\,-\,2z_2\,=\,4iz_1\,%2B\,8iz_2\,-\,2z_1\,-\,4z_2$

Rassemblons les termes en z_1 et z_2 :
$3z_1\,%2B\,2z_1\,-\,4iz_1\,=\,8iz_2\,%2B\,4z_2\,-\,2z_2$
$(5z_1\,-\,4iz_1)\,=\,(6iz_2\,%2B\,2z_2)$
$z_1(5\,-\,4i)\,=\,z_2(2\,%2B\,6i)$
On a la solution similaire : $z_1\,=\,0%2C\,z_2\,=\,\frac{1}{3}$ .

3. Résolution du système :
$\begin{cases}%0D%0Az_1\,-\,z_2\,=\,3\,-\,4i\,\\%0D%0Az_1\,%2B\,2z_2\,=\,8\,-\,i%0D%0A\end{cases}$

Ajoutons ces deux équations :
$(z_1\,-\,z_2)\,%2B\,(z_1\,%2B\,2z_2)\,=\,(3\,-\,4i)\,%2B\,(8\,-\,i)$
$2z_1\,%2B\,z_2\,=\,11\,-\,5i$
On additionne encore :
$z_2\,=\,\frac{11\,-\,5i\,-\,8\,%2B\,i}{3}\,=\,1$

Puis nous substituons z_2 dans l’une des deux équations :
$z_1\,-\,1\,=\,3\,-\,4i$
$z_1\,=\,4\,-\,4i$

Donc :
$z_1\,=\,4\,-\,4i%2C\,\quad\,z_2\,=\,1$

4. Résolution du système :
$\begin{cases}%0D%0A6z_1\,-\,3z_2\,=\,12\,%2B\,i\,\\%0D%0A3z_1\,-\,z_2\,=\,6%0D%0A\end{cases}$

On peut simplifier en divisant la deuxième équation par 3 :
$z_1\,-\,\frac{z_2}{3}\,=\,2$

Ainsi, en substituant z_2 :
$z_1=\frac{1}{2}(12\,%2B\,i)$
Donc:
$z_2\,=\,3kp_{x}ce\,patrice\,yxy\,}%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-42%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,42\,%3A\,affirmations\,vraies\,ou\,fausses%3C%2Fspan>%0D%0ASoient\,$\,z_1\,=\,1\,-\,3i\,$\,et\,$\,z_2\,=\,2i\,%2B\,3\,$.%0D%0A%0D%0A1.\,$Le\,conjugue\,de\,la\,somme\,\,z_1\,%2B\,z_2\,\,est-il\,egal\,a\,\,4\,%2B\,i\,%3F$%0D%0A%0D%0ACalculons\,la\,somme\,$\,z_1\,%2B\,z_2\,$\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0Az_1\,%2B\,z_2\,=\,(1\,-\,3i)\,%2B\,(3\,%2B\,2i)\,=\,4\,-\,i$ Exercice 42 : affirmations vraies ou fausses
Soient $z_1\,=\,1\,-\,3i$ et $z_2\,=\,2i\,%2B\,3$ .

1. $Le\,conjugue\,de\,la\,somme\,\,z_1\,%2B\,z_2\,\,est-il\,egal\,a\,\,4\,%2B\,i\,%3F$

Calculons la somme $z_1\,%2B\,z_2$ :
\[
z_1 + z_2 = (1 – 3i) + (3 + 2i) = 4 – i » align= »absmiddle » />

Le conjugué de $4\,-\,i$ est :
$\overline{4\,-\,i}\,=\,4\,%2B\,i$

La proposition est donc vraie.

2. $Le\,conjugue\,du\,produit\,\,z_1\,\times \,z_2\,\,est-il\,egal\,a\,\,9\,-\,7i\,%3F$

Calculons le produit $z_1\,\times \,z_2$ :
$z_1\,\times \,z_2\,=\,(1\,-\,3i)(3\,%2B\,2i)\,=\,1\,\cdot\,3\,%2B\,1\,\cdot\,2i\,-\,3i\,\cdot\,3\,-\,3i\,\cdot\,2i\,=\,3\,%2B\,2i\,-\,9i\,-\,6i^2\,=\,3\,%2B\,2i\,-\,9i\,%2B\,6\,=\,9\,-\,7i$

Le conjugué de $9\,-\,7i$ est :
$\overline{9\,-\,7i}\,=\,9\,%2B\,7i$

La proposition est donc fausse.

3. $Le\,conjugue\,de\,\,(z_1)^3\,\,est-il\,egal\,a\,\,-26\,-\,18i\,%3F$

Calculons (z_1)^3 :
$z_1^3\,=\,(1\,-\,3i)^3$

Utilisons la formule du binôme :
$(1\,-\,3i)^3\,=\,1\,-\,3\,\cdot\,3i\,%2B\,3\,\cdot\,(3i)^2\,(1)\,%2B\,(-3i)^3%0D%0A=\,1\,-\,9i\,%2B\,27i^2\,-\,27i^3\,=\,1\,-\,9i\,%2B\,27\,\cdot\,(-1)\,-\,27i^3%0D%0A=\,-26\,-\,27i$

Le conjugué de $-26\,-\,27i$ est :
$\overline{-26\,-\,27i}\,=\,-26\,%2B\,27i$

La proposition est donc fausse.

4. $Le\,conjugue\,de\,\,(\,\frac{z_1\,\times \,z_2}{z_2}\,)^2\,\,est-il\,egal\,a\,\,112\,-\,66i\,%3F$

Calculons $(z_1\,\times \,z_2)^2$ :
$(z_1\,\times \,z_2)^2\,=\,(9\,-\,7i)^2\,=\,81\,-\,2\,\cdot\,9\,\cdot\,7i\,-\,49i^2\,=\,81\,-\,126i\,%2B\,49\,=\,130\,-\,126i$

Le conjugué de $130\,-\,126i$ est :
$\overline{130\,-\,126i}\,=\,130\,%2B\,126i$

La proposition est donc fausse.

Exercice 43 : résoudre les équations
1. $(z\,%2B\,3i)(2z\,-\,3\,%2B\,i)\,=\,0$

$z\,%2B\,3i\,=\,0\,\Rightarrow\,z\,=\,-3i$
$2z\,-\,3\,%2B\,i\,=\,0\,\Rightarrow\,2z\,=\,3\,-\,i\,\Rightarrow\,z\,=\,\frac{3\,-\,i}{2}\,=\,\frac{3}{2}\,-\,\frac{i}{2}$

Solutions : $z\,=\,-3i$ et $z\,=\,\frac{3}{2}\,-\,\frac{i}{2}$

2. $(z\,-\,2i)(iz\,%2B\,1)\,=\,0$

$z\,-\,2i\,=\,0\,\Rightarrow\,z\,=\,2i$
$iz\,%2B\,1\,=\,0\,\Rightarrow\,iz\,=\,-1\,\Rightarrow\,z\,=\,-\frac{1}{i}\,=\,i$

Solutions : $z\,=\,2i$ et $z\,=\,-i$

3. $(iz\,%2B\,1%2Bi)(3iz\,-\,1)\,=\,0$

$iz\,%2B\,1\,%2B\,i\,=\,0\,\Rightarrow\,iz\,=\,-1\,-\,i\,\Rightarrow\,z\,=\,\frac{-1\,-\,i}{i}\,=\,-1\,-\,i$
$3iz\,-\,1\,=\,0\,\Rightarrow\,3iz\,=\,1\,\Rightarrow\,z\,=\,\frac{1}{3i}\,=\,-\frac{i}{3}$

Solutions : $z\,=\,-1\,-\,i$ et $z\,=\,-\frac{i}{3}$

4. $((1%2Bi)z\,-\,1)((2%2Bi)z\,%2B\,1)\,=\,0$

$(1%2Bi)z\,-\,1\,=\,0\,\Rightarrow\,(1%2Bi)z\,=\,1\,\Rightarrow\,z\,=\,\frac{1}{1%2Bi}\,=\,\frac{1(1-i)}{(1%2Bi)(1-i)}\,=\,\frac{1-i}{2}$
$(2%2Bi)z\,%2B\,1\,=\,0\,\Rightarrow\,(2%2Bi)z\,=\,-1\,\Rightarrow\,z\,=\,\frac{-1}{2%2Bi}\,=\,\frac{-1(2-i)}{(2%2Bi)(2-i)}\,=\,-\frac{2-i}{5}\,=\,-\frac{2}{5}\,%2B\,\frac{i}{5}$

Solutions : $z\,=\,\frac{1-i}{2}$ et $z\,=\,-\frac{2}{5}\,%2B\,\frac{i}{5}$

5. $z^2\,%2B\,1\,=\,0$

$z^2\,=\,-1\,\Rightarrow\,z\,=\,\pm\,i$

Solutions : $z\,=\,i$ et $z\,=\,-i$

6. $z^2\,%2B\,2\,=\,0$

$z^2\,=\,-2\,\Rightarrow\,z\,=\,\pm\,\sqrt{-2}\,=\,\pm\,\sqrt{2}i$

Solutions : $z\,=\,\sqrt{2}i$ et $z\,=\,-\sqrt{2}i$

7. $z^2\,%2B\,16\,=\,0$

$z^2\,=\,-16\,\Rightarrow\,z\,=\,\pm\,\sqrt{-16}\,=\,\pm\,4i$

Solutions : $z\,=\,4i$ et $z\,=\,-4i$

8. $z^2\,%2B\,20\,=\,0$

$z^2\,=\,-20\,\Rightarrow\,z\,=\,\pm\,\sqrt{-20}\,=\,\pm\,2\sqrt{5}i$

Solutions : $z\,=\,2\sqrt{5}i$ et $z\,=\,-2\sqrt{5}i$

9. $z^2\,%2B\,\frac{1}{4}\,=\,0$

$z^2\,=\,-\frac{1}{4}\,\Rightarrow\,z\,=\,\pm\,\sqrt{-\frac{1}{4}}\,=\,\pm\,\frac{1}{2}i$

Solutions : $z\,=\,\frac{1}{2}i$ et $z\,=\,-\frac{1}{2}i$

10. $z^2\,%2B\,\frac{1}{3}\,=\,0$

$z^2\,=\,-\frac{1}{3}\,\Rightarrow\,z\,=\,\pm\,\sqrt{-\frac{1}{3}}\,=\,\pm\,\frac{1}{\sqrt{3}}i\,=\,\pm\,\frac{\sqrt{3}}{3}i$

Solutions : $z\,=\,\frac{\sqrt{3}}{3}i$ et $z\,=\,-\frac{\sqrt{3}}{3}i$

11. $z^2\,%2B\,\frac{11}{4}\,=\,0$

$z^2\,=\,-\frac{11}{4}\,\Rightarrow\,z\,=\,\pm\,\sqrt{-\frac{11}{4}}\,=\,\pm\,\frac{\sqrt{11}}{2}i$

Solutions : $z\,=\,\frac{\sqrt{11}}{2}i$ et $z\,=\,-\frac{\sqrt{11}}{2}i$

12. $z^2\,%2B\,\frac{3}{2}\,=\,0$

$z^2\,=\,-\frac{3}{2}\,\Rightarrow\,z\,=\,\pm\,\sqrt{-\frac{3}{2}}\,=\,\pm\,\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}i\,=\,\pm\,\frac{\sqrt{6}}{2}i$

Solutions : $z\,=\,\frac{\sqrt{6}}{2}i$ et $z\,=\,-\frac{\sqrt{6}}{2}i$

Exercice 44 : factoriser des polynômes à coefficients complexes
1. $P(z)\,=\,z^3\,%2B\,1$

Forme : $P(z)\,=\,z^3\,-\,(-1)$

Factorisation :

$z^3\,%2B\,1\,=\,z^3\,-\,(-1)^3\,=\,(z\,%2B\,1)(z^2\,-\,z(-1)\,%2B\,(-1)^2)\,=\,(z\,%2B\,1)(z^2\,-\,z\,%2B\,1)$

2. $P(z)\,=\,z^3\,-\,8$

Forme : $P(z)\,=\,z^3\,-\,2^3$

Factorisation :

$z^3\,-\,8\,=\,z^3\,-\,2^3\,=\,(z\,-\,2)(z^2\,%2B\,2z\,%2B\,2^2)\,=\,(z\,-\,2)(z^2\,%2B\,2z\,%2B\,4)$

3. $P(z)\,=\,z^3\,%2B\,i$

Forme : $P(z)\,=\,z^3\,-\,(-i)$

Factorisation :

$z^3\,%2B\,i\,=\,z^3\,-\,(-i)^3\,=\,(z\,-\,(-i))(z^2\,%2B\,z(-i)\,%2B\,(-i)^2)\,=\,(z\,%2B\,i)(z^2\,-\,iz\,-\,1)$

4. $P(z)\,=\,z^3\,%2B\,8i$

Forme : $P(z)\,=\,z^3\,-\,(-8i)$

Factorisation :

$z^3\,%2B\,8i\,=\,z^3\,-\,(-8i)^3\,=\,(z\,-\,(-8i))(z^2\,%2B\,z(-8i)\,%2B\,(-8i)^2)\,=\,(z\,%2B\,\sqrt%5B3%5D{8i})(z^2\,-\,(\sqrt%5B3%5D{8i})z\,%2B\,(\sqrt%5B3%5D{8i})^2)$

5. $P(z)\,=\,z^5\,-\,32i$

Forme : $P(z)\,=\,z^5\,-\,(32i)$

Factorisation :

$z^5\,-\,32i\,=\,z^5\,-\,(32i)\,=\,(z\,-\,\sqrt%5B5%5D{32i})(z^4\,%2B\,(\sqrt%5B5%5D{32i})z^3\,%2B\,(\sqrt%5B5%5D{32i})^2\,z^2\,%2B\,(\sqrt%5B5%5D{32i})^3\,z\,%2B\,(\sqrt%5B5%5D{32i})^4)$

Notez que les calculs impliquant des racines cubiques et des racines cinquièmes complexes peuvent nécessiter une évaluation numérique ou utilisation de formes exponentielles complexes pour trouver les solutions exactes.

Exercice 45 : ecrire ces polynômes en produit de facteurs
Correction de l’exercice:

1. $P(z)\,=\,z^3\,%2B\,4z$
$P(z)\,=\,z(z^2\,%2B\,4)$
$P(z)\,=\,z(z\,-\,2i)(z\,%2B\,2i)$

2. $P(z)\,=\,z^3\,%2B\,z^2\,%2B\,z\,%2B\,1$
$P(z)\,=\,(z\,%2B\,1)^3$

3. $P(z)\,=\,z^3\,-\,2z^2\,%2B\,z\,-\,2$
$P(z)\,=\,(z\,-\,1)(z^2\,-\,z\,-\,2)$
$P(z)\,=\,(z\,-\,1)(z\,-\,2)(z\,%2B\,1)$

4. $P(z)\,=\,z^5\,-\,z$
$P(z)\,=\,z(z^4\,-\,1)$
$P(z)\,=\,z(z\,-\,1)(z\,%2B\,1)(z^2\,%2B\,1)$
$P(z)\,=\,z(z\,-\,1)(z\,%2B\,1)(z\,-\,i)(z\,%2B\,i)$

5. $P(z)\,=\,z^5\,%2B\,3z^3\,%2B\,z^2\,%2B\,3$
$P(z)\,=\,z^2(z^3\,%2B\,3)\,%2B\,1(z^3\,%2B\,3)$
$P(z)\,=\,(z^2\,%2B\,1)(z^3\,%2B\,3)$
$P(z)\,=\,(z^2\,%2B\,1)(z\,%2B\,\sqrt%5B3%5D{3})(z\,-\,\sqrt%5B3%5D{3\,\alpha})(z\,-\,\sqrt%5B3%5D{3\,\alpha^2})$
où $\alpha$ et $\alpha^2$ sont les racines de l’unité.

6. $P(z)\,=\,z^5\,-\,z^4\,%2B\,5z^3\,-\,5z^2\,%2B\,4z\,-\,4$
$P(z)\,=\,(z\,-\,1)^2(z^3\,%2B\,5)$
$P(z)\,=\,(z\,-\,1)^2(z\,%2B\,\sqrt%5B3%5D{5})(z\,-\,\sqrt%5B3%5D{5\,\beta})(z\,-\,\sqrt%5B3%5D{5\,\beta^2})$
où $\beta$ et $\beta^2$ sont les racines de l’unité.