Proportionnalité : corrigés des exercices de maths en CM2.

Exercice 1 : problème des mini quiches
Correction :

a. Complète le tableau.

Pour réaliser des mini quiches pour personnes, les proportions des ingrédients peuvent être ajustées proportionnellement.

Pour 6 personnes :
– 120 g de farine
– 150 g de jambon
– 3 œufs
– 60 cL de lait

Les quantités nécessaires pour d’autres nombres de personnes peuvent être calculées en utilisant la règle de trois.

$%0D%0A\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0A\,%26\,Pour\,6\,%26\,Pour\,18\,%26\,Pour\,2\,%26\,Pour\,8\,\\%0D%0A\hline%0D%0AFarine\,(en\,g)\,%26\,120\,%26\,(\frac{120\,\times \,18}{6}\,=\,360)\,%26(\frac{120\,\times \,2}{6}\,=\,40)\,\,%26\,(\frac{120\,\times \,8}{6}\,=\,160)\,\\%0D%0A\hline%0D%0AJambon\,(en\,g)\,%26\,150\,%26\,(\frac{150\,\times \,18}{6}\,=\,450)\,%26(\frac{150\,\times \,2}{6}\,=\,50)\,\,%26\,(\frac{150\,\times \,8}{6}\,=\,200)\,\\%0D%0A\hline%0D%0A%C5%92uf\,%26\,3\,%26\,(\frac{3\,\times \,18}{6}\,=\,9)\,%26\,(\frac{3\,\times \,2}{6}\,=\,1)\,\,%26\,(\frac{3\,\times \,8}{6}\,=\,4)\,\\%0D%0A\hline%0D%0ALait\,(en\,cL)\,%26\,60\,%26\,(\frac{60\,\times \,18}{6}\,=\,180)\,%26\,(\frac{60\,\times \,2}{6}\,=\,20)\,%26\,(\frac{60\,\times \,8}{6}\,=\,80)\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

b. Laurine a tous les ingrédients nécessaires mais ne dispose que de 10 œufs. Pour combien de personnes au maximum peut-elle faire la recette ?

Pour 6 personnes, il lui faut 3 œufs. Donnons le nombre de personnes qu’elle pourra servir avec 10 œufs. En utilisant la proportion,

$%0D%0A3\,\,%C5%93ufs\,\longrightarrow\,6\,\,personnes$
$%0D%0A10\,\,%C5%93ufs\,\longrightarrow\,x\,\,personnes$

On a donc :

$%0D%0Ax\,=\,\frac{10\,\,%C5%93ufs\,\times \,6\,\,personnes}{3\,\,%C5%93ufs}\,=\,20\,\,personnes$

Laurine peut donc faire la recette pour un maximum de 20 personnes.

Exercice 2 : tarifs au cinéma
a.
– Avec le Tarif A :
$3\,\times \,9{%2C}70\,=\,29{%2C}10\,%E2%82%AC$

– Avec le Tarif B :
$20{%2C}50\,%E2%82%AC$

– Avec le Tarif C :
$10{%2C}20\,%2B\,3\,\times \,5{%2C}80\,=\,10{%2C}20\,%2B\,17{%2C}40\,=\,27{%2C}60\,%E2%82%AC$

b.
Le tarif proportionnel au nombre de séances est le Tarif A, car le coût total dépend directement du nombre de séances ( par séance).

Exercice 3 : carré et proportionnalité
a. Pour déterminer le périmètre du carré en fonction de la longueur de son côté, on utilise la formule du périmètre $P\,=\,4\,\times \,cote$ . En appliquant cette formule, nous complétons le tableau comme suit :

$%0D%0A\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0ACote\,en\,cm\,%26\,1\,%26\,1.5\,%26\,2\,%26\,2.5\,%26\,3\,%26\,3.5\,\\%0D%0A\hline%0D%0APerimetre\,en\,cm\,%26\,4\,%26\,6\,%26\,8\,%26\,10\,%26\,12\,%26\,14\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Pour vérifier si le périmètre du carré est proportionnel à la longueur de son côté, on calcule le rapport $\frac{P}{cote}$ pour chaque valeur :

$%0D%0A\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0ACote\,en\,cm\,%26\,1\,%26\,1.5\,%26\,2\,%26\,2.5\,%26\,3\,%26\,3.5\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\frac{P}{cote}\,%26\,4\,%26\,4\,%26\,4\,%26\,4\,%26\,4\,%26\,4\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Le rapport $\frac{P}{cote}$ est constant et égal à 4 pour toutes les valeurs. Cela signifie que le périmètre du carré est proportionnel à la longueur de son côté.

b. Pour déterminer l’aire du carré en fonction de la longueur de son côté, on utilise la formule de l’aire $A\,=\,cote^2$ . En appliquant cette formule, nous complétons le tableau comme suit :

$%0D%0A\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0ACote\,en\,cm\,%26\,1\,%26\,1.5\,%26\,2\,%26\,2.5\,%26\,3\,%26\,3.5\,\\%0D%0A\hline%0D%0AAire\,en\,cm^2\,%26\,1\,%26\,2.25\,%26\,4\,%26\,6.25\,%26\,9\,%26\,12.25\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Pour vérifier si l’aire du carré est proportionnelle à la longueur de son côté, on calcule le rapport $\frac{A}{cote}$ pour chaque valeur :

$%0D%0A\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0ACote\,en\,cm\,%26\,1\,%26\,1.5\,%26\,2\,%26\,2.5\,%26\,3\,%26\,3.5\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\frac{A}{cote}\,%26\,1\,%26\,1.5\,%26\,2\,%26\,2.5\,%26\,3\,%26\,3.5\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Le rapport $\frac{A}{cote}$ n’est pas constant. Cela signifie que l’aire du carré n’est pas proportionnelle à la longueur de son côté.

Exercice 4 : compléter les tableaux de proportionnalité
$Correction\,de\,l'exercice%3A$

a. Étant donné qu’un gallon est égal à environ 8 pintes, la première table est complétée comme suit:

$%0D%0A\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0AGallons\,%26\,1\,%26\,3\,%26\,5\,%26\,10\,\\%0D%0A\hline%0D%0APintes\,\,%26\,8\,%26\,24\,%26\,40\,%26\,80\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

b. Étant donné qu’un tour de manège coûte 4,50 €, la deuxième table est complétée comme suit:

$%0D%0A\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0ANombre\,de\,tours\,%26\,1\,%26\,3\,%26\,5\,%26\,10\,\\%0D%0A\hline%0D%0APrix\,en\,%E2%82%AC\,\,\,\,\,\,\,%26\,4%2C50\,%26\,13%2C50\,%26\,22%2C50\,%26\,45%2C00\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

c. Étant donné qu’un litre de farine pèse 500 g (0,5 kg), la troisième table est complétée comme suit:

$%0D%0A\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0ACapacite\,(L)\,%26\,1\,%26\,2\,%26\,4\,%26\,10\,\\%0D%0A\hline%0D%0AMasse\,(kg)\,\,\,%26\,0%2C5\,%26\,1\,%26\,2\,%26\,5\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Exercice 5 : jeux et proportionnalité
Correction :

1. $17\,jeux\,coutent\,204\,%E2%82%AC.\,Tous\,les\,jeux\,sont\,au\,meme\,prix.\,Quel\,est\,le\,prix\,de\,13\,jeux\,%3F$

– Le prix d’un jeu est :
$%0D%0A\,\,\,\frac{204\,\%2C\,%E2%82%AC}{17}\,=\,12\,\%2C\,%E2%82%AC$

– Le prix de 13 jeux est :
$%0D%0A\,\,\,13\,\times \,12\,\%2C\,%E2%82%AC\,=\,156\,\%2C\,%E2%82%AC$

2. $Armel\,met\,34\,heures\,pour\,tapisser\,4\,fauteuils.$

a. $Combien\,d'heures\,lui\,sont\,necessaires\,pour\,tapisser\,10\,fauteuils\,%3F$

– Le temps nécessaire pour tapisser un fauteuil est :
$%0D%0A\,\,\,\frac{34\,\%2C\,heures}{4}\,=\,8%2C5\,\%2C\,heures$

– Pour tapisser 10 fauteuils, le temps nécessaire est :
$%0D%0A\,\,\,10\,\times \,8%2C5\,\%2C\,heures\,=\,85\,\%2C\,heures$

b. $Combien\,de\,fauteuils\,peut-il\,tapisser\,en\,153\,heures\,%3F$

– Le nombre de fauteuils qu’il peut tapisser en 153 heures est :
$%0D%0A\,\,\,\frac{153\,\%2C\,heures}{8%2C5\,\%2C\,heures}\,=\,18\,\%2C\,fauteuils$

Fin de la correction.

Exercice 6 : problème de la salle de bains
\subsection*{Correction de l’exercice}

\subsubsection*{a.}

Un sac de colle de 5 kg permet de poser $8\,\%2C\,m^2$ de carrelage. Nous devons déterminer la quantité de colle nécessaire pour poser $10\,\%2C\,m^2$ de carrelage.

Tout d’abord, calculons la quantité de colle nécessaire pour $1\,\%2C\,m^2$ de carrelage :

$%0D%0AQuantite\,de\,colle\,pour\,\,1\,\%2C\,m^2\,=\,\frac{5\,\%2C\,kg}{8\,\%2C\,m^2}\,=\,0%2C625\,\%2C\,kg%2Fm^2$

Ensuite, multiplions cette quantité par $10\,\%2C\,m^2$ :

$%0D%0AQuantite\,de\,colle\,pour\,\,10\,\%2C\,m^2\,=\,0%2C625\,\%2C\,kg%2Fm^2\,\times \,10\,\%2C\,m^2\,=\,6%2C25\,\%2C\,kg$

Arthur a donc besoin de $6%2C25\,\%2C\,kg$ de colle pour carreler $10\,\%2C\,m^2$ .

\subsubsection*{b.}

Un pot de $2%2C5\,\%2C\,L$ de peinture couvre une surface de $30\,\%2C\,m^2$ . Nous devons déterminer la quantité de peinture nécessaire pour couvrir $21\,\%2C\,m^2$ .

Calculons la quantité de peinture nécessaire pour $1\,\%2C\,m^2$ de surface :

$%0D%0AQuantite\,de\,peinture\,pour\,\,1\,\%2C\,m^2\,=\,\frac{2%2C5\,\%2C\,L}{30\,\%2C\,m^2}\,=\,\frac{2%2C5}{30}\,\%2C\,L%2Fm^2\,=\,\frac{1}{12}\,\%2C\,L%2Fm^2$

Ensuite, multiplions cette quantité par $21\,\%2C\,m^2$ :

$%0D%0AQuantite\,de\,peinture\,pour\,\,21\,\%2C\,m^2\,=\,\frac{1}{12}\,\%2C\,L%2Fm^2\,\times \,21\,\%2C\,m^2\,=\,\frac{21}{12}\,\%2C\,L\,=\,1%2C75\,\%2C\,L$

Arthur a donc besoin de $1%2C75\,\%2C\,L$ de peinture pour repeindre $21\,\%2C\,m^2$ .

Exercice 7 : problème de consommation d’esence
a. Pour calculer la consommation d’essence aux 100 km, on utilise la formule suivante :
$%0D%0AConsommation\,aux\,100\,km\,=\,\frac{Essence\,consommee\,(L)}{Distance\,parcourue\,(km)}\,\times \,100\,$

Pour Martin :
$%0D%0AConsommation\,de\,Martin\,=\,\frac{63%2C6\,\,L}{1200\,\,km}\,\times \,100\,=\,\frac{63%2C6}{1200}\,\times \,100\,=\,5%2C3\,\,L%2F100\,km\,$

Pour Amina :
$%0D%0AConsommation\,d'Amina\,=\,\frac{59%2C4\,\,L}{1100\,\,km}\,\times \,100\,=\,\frac{59%2C4}{1100}\,\times \,100\,=\,5%2C4\,\,L%2F100\,km\,$

En comparant les deux consommations, on en déduit que la voiture d’Amina consomme plus d’essence que celle de Martin, car 5,4 L/100 km est supérieur à 5,3 L/100 km.

b. Pour trouver la consommation d’essence d’Amina pour parcourir 1200 km, on utilise sa consommation aux 100 km :

$%0D%0AConsommation\,pour\,1200\,km\,=\,\frac{5%2C4\,\,L}{100\,\,km}\,\times \,1200\,\,km\,=\,5%2C4\,\times \,12\,=\,64%2C8\,\,L\,$

En vérifiant le résultat obtenu à la question a, nous observons que la consommation de 64,8 L pour 1200 km confirme que la voiture d’Amina consomme plus, car Martin consomme 63,6 L pour la même distance.

Exercice 8 : conversions d’unités de longueur
a. Un mile correspond à $1\%2C609%2C36$ mètres. Pour déterminer combien de mètres correspondent à miles, nous effectuons la multiplication suivante :

$26\,\,miles\,\times \,1\%2C609%2C36\,\,metres\,par\,mile\,=\,26\,\times \,1\%2C609%2C36$

Calculons cette valeur :

$26\,\times \,1\%2C609%2C36\,=\,41\%2C843%2C36$

Donc, miles correspondent à $41\%2C843%2C36$ mètres.

b. $100$ yards correspondent à $91,44$ mètres. Pour déterminer combien de mètres correspondent à $385$ yards, nous effectuons la conversion suivante:

$385\,\,yards\,\times \,\frac{91%2C44\,\,metres}{100\,\,yards}$

$385\,\times \,0%2C9144$

Calculons cette valeur :

$385\,\times \,0%2C9144\,=\,352%2C044$

Donc, $385$ yards correspondent à $352,044$ mètres.

Exercice 9 : confitures et proportionnalité
a. On sait que Tata Maria utilise 1,8 kg de sucre pour 2 kg d’airelles. On peut écrire le rapport suivant :

$%0D%0A\frac{1%2C8\,\,kg\,de\,sucre}{2\,\,kg\,d'airelles}\,=\,\frac{x\,\,kg\,de\,sucre}{10%2C8\,\,kg\,d'airelles}$

Pour trouver , il suffit de résoudre cette proportion :

$%0D%0Ax\,=\,\frac{1%2C8\,\times \,10%2C8}{2}$

$%0D%0Ax\,=\,\frac{19%2C44}{2}$

$%0D%0Ax\,=\,9%2C72\,\,kg\,de\,sucre$

Donc, Tata Maria a besoin de 9,72 kg de sucre si elle utilise 10,8 kg d’airelles.

b. On sait que Tata Maria utilise 1,8 kg de sucre pour 2 kg d’airelles. On peut écrire le rapport suivant :

$%0D%0A\frac{1%2C8\,\,kg\,de\,sucre}{2\,\,kg\,d'airelles}\,=\,\frac{10%2C8\,\,kg\,de\,sucre}{y\,\,kg\,d'airelles}$

Pour trouver , il suffit de résoudre cette proportion :

$%0D%0Ay\,=\,\frac{2\,\times \,10%2C8}{1%2C8}$

$%0D%0Ay\,=\,\frac{21%2C6}{1%2C8}$

$%0D%0Ay\,=\,12\,\,kg\,d'airelles$

Donc, Tata Maria a besoin de 12 kg d’airelles si elle utilise 10,8 kg de sucre.

Exercice 10 : placement et proportionnalité
a. À partir du taux d’intérêt annuel, nous avons :

$%0D%0ATaux\,d'interet\,=\,\frac{27\,\%2C\,%E2%82%AC}{1200\,\%2C\,%E2%82%AC}\,=\,0{%2C}0225$

Pour un placement de 12 700 € :

$%0D%0AInterets\,=\,12\,700\,\%2C\,%E2%82%AC\,\times \,0{%2C}0225\,=\,285{%2C}75\,\%2C\,%E2%82%AC$

b. Pour trouver le montant initial d’un placement qui rapporte 427,50 € d’intérêts en un an :

$%0D%0A427{%2C}50\,\%2C\,%E2%82%AC\,=\,P\,\times \,0{%2C}0225$

En résolvant cette équation pour :

$%0D%0AP\,=\,\frac{427{%2C}50\,\%2C\,%E2%82%AC}{0{%2C}0225}\,=\,19\,000\,\%2C\,%E2%82%AC$

Exercice 11 : pourcentages et proportionnalité
Exercice 1 : Calcule 10 \% de chaque nombre.

a. $100\,\times \,0%2C1\,=\,10$

b. $30\,\times \,0%2C1\,=\,3$

c. $50\,\times \,0%2C1\,=\,5$

d. $72\,\times \,0%2C1\,=\,7%2C2$

e. $15%2C2\,\times \,0%2C1\,=\,1%2C52$

f. $3%2C9\,\times \,0%2C1\,=\,0%2C39$

Exercice 2 : Calcule le pourcentage de chaque nombre.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Nombre} & 25\% & 50\% & 75\% & 100\% & 200\% \\
\hline
36 & 36 \times 0,25 = 9 & 36 \times 0,5 = 18 & 36 \times 0,75 = 27 & 36 \times 1 = 36 & 36 \times 2 = 72 \\
\hline
4 & 4 \times 0,25 = 1 & 4 \times 0,5 = 2 & 4 \times 0,75 = 3 & 4 \times 1 = 4 & 4 \times 2 = 8 \\
\hline
12,8 & 12,8 \times 0,25 = 3,2 & 12,8 \times 0,5 = 6,4 & 12,8 \times 0,75 = 9,6 & 12,8 \times 1 = 12,8 & 12,8 \times 2 = 25,6 \\
\hline
\end{array}

Exercice 12 : calculer le pourcentage d’un valeur
1. $200\,\times \,\frac{18}{100}\,=\,36$

2. $40\,\times \,\frac{18}{100}\,=\,7%2C2$

3. $60\,\times \,\frac{18}{100}\,=\,10%2C8$

4. $82\,\times \,\frac{18}{100}\,=\,14%2C76$

5. $12%2C3\,\times \,\frac{18}{100}\,=\,2%2C214$

6. $4%2C5\,\times \,\frac{18}{100}\,=\,0%2C81$

Exercice 13 : chips et proportionnalité
a. La masse de lipides contenue dans un paquet de 30 g de chips est calculée comme suit :

$Masse\,de\,lipides\,=\,30\,\%2C\,g\,\times \,\frac{35}{100}\,=\,10.5\,\%2C\,g$

b. La masse de lipides contenue dans un paquet de 130 g de chips est calculée de la même manière :

$Masse\,de\,lipides\,=\,130\,\%2C\,g\,\times \,\frac{35}{100}\,=\,45.5\,\%2C\,g$

Exercice 14 : village et élection du maire
a. Qui est élu ?

Mme N’Dobam est élue avec 33,6 % des suffrages exprimés, puisqu’elle a le plus haut pourcentage.

b. Quel pourcentage obtient M. Van Borel ?

M. Van Borel obtient 22,7 % des suffrages exprimés.

c. Combien de voix obtient chaque candidat ?

– Nombre de voix obtenues par Mme Amélic :
$%0D%0A\frac{29%2C8}{100}\,\times \,3000\,=\,0%2C298\,\times \,3000\,=\,894\,$

– Nombre de voix obtenues par Mme N’Dobam :
$%0D%0A\frac{33%2C6}{100}\,\times \,3000\,=\,0%2C336\,\times \,3000\,=\,1008\,$

– Nombre de voix obtenues par M. Richoul :
$%0D%0A\frac{22%2C7}{100}\,\times \,3000\,=\,0%2C227\,\times \,3000\,=\,681\,$

– Nombre de voix obtenues par M. Van Borel :
$%0D%0A\frac{14%2C9}{100}\,\times \,3000\,=\,0%2C149\,\times \,3000\,=\,447\,$

\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Mme Amélic} & \text{Mme N’Dobam} & \text{M. Richoul} & \text{M. Van Borel} \\
\hline
894 & 1008 & 681 & 447 \\
\hline
\end{array}

Exercice 15 : magasin de multimédia et proportionnalité
a. Calculons le nouveau prix de chaque article.

1. $Appareil\,photo\,%3A$

Ancien prix = 120 €
Réduction = 15 %

La réduction en euros est donnée par :
$120\,\times \,0%2C15\,=\,18\,\%2C\,%E2%82%AC$

Le nouveau prix est donc :
$120\,-\,18\,=\,102\,\%2C\,%E2%82%AC$

2. $Lecteur\,MP3\,%3A$

Ancien prix = 65 €
Réduction = 15 %

La réduction en euros est donnée par :
$65\,\times \,0%2C15\,=\,9%2C75\,\%2C\,%E2%82%AC$

Le nouveau prix est donc :
$65\,-\,9%2C75\,=\,55%2C25\,\%2C\,%E2%82%AC$

3. $Smartphone\,%3A$

Ancien prix = 189 €
Réduction = 15 %

La réduction en euros est donnée par :
$189\,\times \,0%2C15\,=\,28%2C35\,\%2C\,%E2%82%AC$

Le nouveau prix est donc :
$189\,-\,28%2C35\,=\,160%2C65\,\%2C\,%E2%82%AC$

4. $Televiseur\,%3A$

Ancien prix = 256 €
Réduction = 15 %

La réduction en euros est donnée par :
$256\,\times \,0%2C15\,=\,38%2C4\,\%2C\,%E2%82%AC$

Le nouveau prix est donc :
$256\,-\,38%2C4\,=\,217%2C6\,\%2C\,%E2%82%AC$

b. Deux semaines plus tard, l’appareil photo subit une nouvelle réduction de 15 %.

Nouveau prix de l’appareil photo après la première réduction = 102 €

La nouvelle réduction est donc :
$102\,\times \,0%2C15\,=\,15%2C3\,\%2C\,%E2%82%AC$

Le nouveau prix après la deuxième réduction est alors :
$102\,-\,15%2C3\,=\,86%2C7\,\%2C\,%E2%82%AC$

Le prix final de l’appareil photo après deux réductions successives de 15 % est donc :
$86%2C7\,\%2C\,%E2%82%AC$

Exercice 16 : problème du billet d’entrée
a. Prix du billet pour les 4-11 ans :

Soit le prix du billet pour les 12-24 ans. On a $P\,=\,12{%2C}50\,\%2C\,%E2%82%AC$ .

Le prix du billet pour les 4-11 ans est réduit de 24 %. On peut calculer ce prix comme suit :

$%0D%0AP_{4-11}\,=\,P\,\times \,(1\,-\,0{%2C}24)$

$%0D%0AP_{4-11}\,=\,12{%2C}50\,\times \,0{%2C}76$

$%0D%0AP_{4-11}\,=\,9{%2C}50\,\%2C\,%E2%82%AC$

b. Prix du billet pour les plus de 25 ans :

Le prix du billet pour les plus de 25 ans est majoré de 12 %. On peut calculer ce prix comme suit :

$%0D%0AP_{%2B25}\,=\,P\,\times \,(1\,%2B\,0{%2C}12)$

$%0D%0AP_{%2B25}\,=\,12{%2C}50\,\times \,1{%2C}12$

$%0D%0AP_{%2B25}\,=\,14{%2C}00\,\%2C\,%E2%82%AC$

Exercice 17 : randonnée et proportionnalité
a. La mention « à l’échelle 1/25 000 » signifie que 1 centimètre sur la carte représente 25 000 centimètres dans la réalité. En d’autres termes, chaque unité de mesure sur la carte est 25 000 fois plus petite que dans la réalité.

b. La distance réelle parcourue par Alain est de 20 km. Pour convertir cette distance en centimètres :

$%0D%0A20\,\,km\,=\,20\,\times \,1000\,\,m\,=\,20\,\times \,1000\,\times \,100\,\,cm\,=\,2\%2C000\%2C000\,\,cm$

À l’échelle 1/25 000, la distance sur la carte est donc :

$%0D%0A\frac{2\%2C000\%2C000\,\,cm}{25\%2C000}\,=\,80\,\,cm$

La distance de 20 km dans la réalité est représentée par 80 cm sur la carte.

Exercice 18 : plan à l’échelle et proportionnalité
$%0D%0A\underline{Un\,plan\,est\,a\,l'echelle\,1%2F15\,000.}$

$%0D%0A\begin{array}{ll}%0D%0ASur\,le\,plan\,%26\,Dans\,la\,realite\,\\%0D%0Aa.\,\\,1\,\%2C\,cm\,%26\,1\,\%2C\,cm\,\times \,15\%2C000\,=\,15\%2C000\,\%2C\,cm\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,150\,\%2C\,m\,\\%0D%0Ab.\,\\,12\,\%2C\,cm\,%26\,12\,\%2C\,cm\,\times \,15\%2C000\,=\,180\%2C000\,\%2C\,cm\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,1\%2C800\,\%2C\,m\,\\%0D%0Ac.\,\\,4%2C8\,\%2C\,cm\,%26\,4%2C8\,\%2C\,cm\,\times \,15\%2C000\,=\,72\%2C000\,\%2C\,cm\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,720\,\%2C\,m\,\\%0D%0A\end{array}$

$%0D%0A\underline{Un\,plan\,est\,a\,l'echelle\,1%2F50\,000.}$

$%0D%0A\begin{array}{ll}%0D%0ASur\,le\,plan\,%26\,Dans\,la\,realite\,\\%0D%0Ad.\,\\,1\,\%2C\,cm\,%26\,1\,\%2C\,cm\,\times \,50\%2C000\,=\,50\%2C000\,\%2C\,cm\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,0{%2C}5\,\%2C\,km\,\\%0D%0Ae.\,\\,16\,\%2C\,cm\,%26\,16\,\%2C\,cm\,\times \,50\%2C000\,=\,800\%2C000\,\%2C\,cm\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,8\,\%2C\,km\,\\%0D%0Af.\,\\,6%2C4\,\%2C\,cm\,%26\,6%2C4\,\%2C\,cm\,\times \,50\%2C000\,=\,320\%2C000\,\%2C\,cm\,\quad\,\Rightarrow\,\quad\,3{%2C}2\,\%2C\,km\,\\%0D%0A\end{array}$

Exercice 19 : maquette à l’échelle et proportionnalité
a. À l’échelle 1/150 signifie que toutes les dimensions de l’objet réel sont réduites de 150 fois pour obtenir les dimensions de la maquette. En d’autres termes, 1 cm sur la maquette correspond à 150 cm sur le bateau réel.

b. On veut déterminer les dimensions réelles du bateau. Si la maquette a une échelle de 1/150, les dimensions réelles sont 150 fois plus grandes que celles de la maquette.

Pour la longueur :
$Longueur\,reelle\,en\,centimetres\,=\,35\,\%2C\,cm\,\times \,150\,=\,5250\,\%2C\,cm$
$Longueur\,reelle\,en\,metres\,=\,\frac{5250\,\%2C\,cm}{100}\,=\,52{%2C}5\,\%2C\,m$

Pour la largeur :
$Largeur\,reelle\,en\,centimetres\,=\,6\,\%2C\,cm\,\times \,150\,=\,900\,\%2C\,cm$
$Largeur\,reelle\,en\,metres\,=\,\frac{900\,\%2C\,cm}{100}\,=\,9\,\%2C\,m$

Ainsi, le tableau complété est :

\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Dimensions réelles} & \text{en centimètres} & \text{en mètres} \\
\hline
\text{Longueur} & 5250 \, \text{cm} & 52{,}5 \, \text{m} \\
\hline
\text{Largeur} & 900 \, \text{cm} & 9 \, \text{m} \\
\hline
\end{array}