Exercice 1 : problème des mini quiches
{Correction :}
a. Complète le tableau.
Pour réaliser des mini quiches pour \( n \) personnes, les proportions des ingrédients peuvent être ajustées proportionnellement.
Pour 6 personnes :
– 120 g de farine
– 150 g de jambon
– 3 œufs
– 60 cL de lait
Les quantités nécessaires pour d’autres nombres de personnes peuvent être calculées en utilisant la règle de trois.
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
& \text{Pour 6} & \text{Pour 18} & \text{Pour 2} & \text{Pour 8} \\
\hline
\text{Farine (en g)} & 120 & (\frac{120 \times 18}{6} = 360) &(\frac{120 \times 2}{6} = 40) & (\frac{120 \times 8}{6} = 160) \\
\hline
\text{Jambon (en g)} & 150 & (\frac{150 \times 18}{6} = 450) &(\frac{150 \times 2}{6} = 50) & (\frac{150 \times 8}{6} = 200) \\
\hline
\text{Œuf} & 3 & (\frac{3 \times 18}{6} = 9) & (\frac{3 \times 2}{6} = 1) & (\frac{3 \times 8}{6} = 4) \\
\hline
\text{Lait (en cL)} & 60 & (\frac{60 \times 18}{6} = 180) & (\frac{60 \times 2}{6} = 20) & (\frac{60 \times 8}{6} = 80) \\
\hline
\end{array}
\]
b. Laurine a tous les ingrédients nécessaires mais ne dispose que de 10 œufs. Pour combien de personnes au maximum peut-elle faire la recette ?
Pour 6 personnes, il lui faut 3 œufs. Donnons \( x \) le nombre de personnes qu’elle pourra servir avec 10 œufs. En utilisant la proportion,
\[
3 \text{ œufs} \longrightarrow 6 \text{ personnes}
\]
\[
10 \text{ œufs} \longrightarrow x \text{ personnes}
\]
On a donc :
\[
x = \frac{10 \text{ œufs} \times 6 \text{ personnes}}{3 \text{ œufs}} = 20 \text{ personnes}
\]
Laurine peut donc faire la recette pour un maximum de 20 personnes.
Exercice 2 : tarifs au cinéma
a.
– Avec le Tarif A :
\[ 3 \times 9{,}70 = 29{,}10 € \]
– Avec le Tarif B :
\[ 20{,}50 € \]
– Avec le Tarif C :
\[ 10{,}20 + 3 \times 5{,}80 = 10{,}20 + 17{,}40 = 27{,}60 € \]
b.
Le tarif proportionnel au nombre de séances est le Tarif A, car le coût total dépend directement du nombre de séances (\( 9{,}70 \) par séance).
Exercice 3 : carré et proportionnalité
a. Pour déterminer le périmètre du carré en fonction de la longueur de son côté, on utilise la formule du périmètre \( P = 4 \times \text{côté} \). En appliquant cette formule, nous complétons le tableau comme suit :
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Côté en cm} & 1 & 1.5 & 2 & 2.5 & 3 & 3.5 \\
\hline
\text{Périmètre en cm} & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 & 14 \\
\hline
\end{array}
\]
Pour vérifier si le périmètre du carré est proportionnel à la longueur de son côté, on calcule le rapport \(\frac{P}{\text{côté}}\) pour chaque valeur :
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Côté en cm} & 1 & 1.5 & 2 & 2.5 & 3 & 3.5 \\
\hline
\frac{P}{\text{côté}} & 4 & 4 & 4 & 4 & 4 & 4 \\
\hline
\end{array}
\]
Le rapport \(\frac{P}{\text{côté}}\) est constant et égal à 4 pour toutes les valeurs. Cela signifie que le périmètre du carré est proportionnel à la longueur de son côté.
b. Pour déterminer l’aire du carré en fonction de la longueur de son côté, on utilise la formule de l’aire \( A = \text{côté}^2 \). En appliquant cette formule, nous complétons le tableau comme suit :
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Côté en cm} & 1 & 1.5 & 2 & 2.5 & 3 & 3.5 \\
\hline
\text{Aire en cm}^2 & 1 & 2.25 & 4 & 6.25 & 9 & 12.25 \\
\hline
\end{array}
\]
Pour vérifier si l’aire du carré est proportionnelle à la longueur de son côté, on calcule le rapport \(\frac{A}{\text{côté}}\) pour chaque valeur :
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Côté en cm} & 1 & 1.5 & 2 & 2.5 & 3 & 3.5 \\
\hline
\frac{A}{\text{côté}} & 1 & 1.5 & 2 & 2.5 & 3 & 3.5 \\
\hline
\end{array}
\]
Le rapport \(\frac{A}{\text{côté}}\) n’est pas constant. Cela signifie que l’aire du carré n’est pas proportionnelle à la longueur de son côté.
Exercice 4 : compléter les tableaux de proportionnalité
\[\]Correction de l’exercice:\[\]
a. Étant donné qu’un gallon est égal à environ 8 pintes, la première table est complétée comme suit:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Gallons} & 1 & 3 & 5 & 10 \\
\hline
\text{Pintes} & 8 & 24 & 40 & 80 \\
\hline
\end{array}
\]
b. Étant donné qu’un tour de manège coûte 4,50 €, la deuxième table est complétée comme suit:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Nombre de tours} & 1 & 3 & 5 & 10 \\
\hline
\text{Prix en €} & 4,50 & 13,50 & 22,50 & 45,00 \\
\hline
\end{array}
\]
c. Étant donné qu’un litre de farine pèse 500 g (0,5 kg), la troisième table est complétée comme suit:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Capacité (L)} & 1 & 2 & 4 & 10 \\
\hline
\text{Masse (kg)} & 0,5 & 1 & 2 & 5 \\
\hline
\end{array}
\]
Exercice 5 : jeux et proportionnalité
{Correction :}
1. \[\]17 jeux coûtent 204 €. Tous les jeux sont au même prix. Quel est le prix de 13 jeux ?\[\]
– Le prix d’un jeu est :
\[
\frac{204 \, \text{€}}{17} = 12 \, \text{€}
\]
– Le prix de 13 jeux est :
\[
13 \times 12 \, \text{€} = 156 \, \text{€}
\]
2. \[\]Armel met 34 heures pour tapisser 4 fauteuils.\[\]
a. \[\]Combien d’heures lui sont nécessaires pour tapisser 10 fauteuils ?\[\]
– Le temps nécessaire pour tapisser un fauteuil est :
\[
\frac{34 \, \text{heures}}{4} = 8,5 \, \text{heures}
\]
– Pour tapisser 10 fauteuils, le temps nécessaire est :
\[
10 \times 8,5 \, \text{heures} = 85 \, \text{heures}
\]
b. \[\]Combien de fauteuils peut-il tapisser en 153 heures ?\[\]
– Le nombre de fauteuils qu’il peut tapisser en 153 heures est :
\[
\frac{153 \, \text{heures}}{8,5 \, \text{heures}} = 18 \, \text{fauteuils}
\]
{Fin de la correction.}
Exercice 6 : problème de la salle de bains
\subsection*{Correction de l’exercice}
\subsubsection*{a.}
Un sac de colle de 5 kg permet de poser \(8 \, \text{m}^2\) de carrelage. Nous devons déterminer la quantité de colle nécessaire pour poser \(10 \, \text{m}^2\) de carrelage.
Tout d’abord, calculons la quantité de colle nécessaire pour \(1 \, \text{m}^2\) de carrelage :
\[
\text{Quantité de colle pour } 1 \, \text{m}^2 = \frac{5 \, \text{kg}}{8 \, \text{m}^2} = 0,625 \, \text{kg/m}^2
\]
Ensuite, multiplions cette quantité par \(10 \, \text{m}^2\) :
\[
\text{Quantité de colle pour } 10 \, \text{m}^2 = 0,625 \, \text{kg/m}^2 \times 10 \, \text{m}^2 = 6,25 \, \text{kg}
\]
Arthur a donc besoin de \(6,25 \, \text{kg}\) de colle pour carreler \(10 \, \text{m}^2\).
\subsubsection*{b.}
Un pot de \(2,5 \, \text{L}\) de peinture couvre une surface de \(30 \, \text{m}^2\). Nous devons déterminer la quantité de peinture nécessaire pour couvrir \(21 \, \text{m}^2\).
Calculons la quantité de peinture nécessaire pour \(1 \, \text{m}^2\) de surface :
\[
\text{Quantité de peinture pour } 1 \, \text{m}^2 = \frac{2,5 \, \text{L}}{30 \, \text{m}^2} = \frac{2,5}{30} \, \text{L/m}^2 = \frac{1}{12} \, \text{L/m}^2
\]
Ensuite, multiplions cette quantité par \(21 \, \text{m}^2\) :
\[
\text{Quantité de peinture pour } 21 \, \text{m}^2 = \frac{1}{12} \, \text{L/m}^2 \times 21 \, \text{m}^2 = \frac{21}{12} \, \text{L} = 1,75 \, \text{L}
\]
Arthur a donc besoin de \(1,75 \, \text{L}\) de peinture pour repeindre \(21 \, \text{m}^2\).
Exercice 7 : problème de consommation d’esence
a. Pour calculer la consommation d’essence aux 100 km, on utilise la formule suivante :
\[
\text{Consommation aux 100 km} = \frac{\text{Essence consommée (L)}}{\text{Distance parcourue (km)}} \times 100
\]
Pour Martin :
\[
\text{Consommation de Martin} = \frac{63,6 \text{ L}}{1200 \text{ km}} \times 100 = \frac{63,6}{1200} \times 100 = 5,3 \text{ L/100 km}
\]
Pour Amina :
\[
\text{Consommation d’Amina} = \frac{59,4 \text{ L}}{1100 \text{ km}} \times 100 = \frac{59,4}{1100} \times 100 = 5,4 \text{ L/100 km}
\]
En comparant les deux consommations, on en déduit que la voiture d’Amina consomme plus d’essence que celle de Martin, car 5,4 L/100 km est supérieur à 5,3 L/100 km.
b. Pour trouver la consommation d’essence d’Amina pour parcourir 1200 km, on utilise sa consommation aux 100 km :
\[
\text{Consommation pour 1200 km} = \frac{5,4 \text{ L}}{100 \text{ km}} \times 1200 \text{ km} = 5,4 \times 12 = 64,8 \text{ L}
\]
En vérifiant le résultat obtenu à la question a, nous observons que la consommation de 64,8 L pour 1200 km confirme que la voiture d’Amina consomme plus, car Martin consomme 63,6 L pour la même distance.
Exercice 8 : conversions d’unités de longueur
{a.} Un mile correspond à \( 1\,609,36 \) mètres. Pour déterminer combien de mètres correspondent à \( 26 \) miles, nous effectuons la multiplication suivante :
\[ 26 \text{ miles} \times 1\,609,36 \text{ mètres par mile} = 26 \times 1\,609,36 \]
Calculons cette valeur :
\[ 26 \times 1\,609,36 = 41\,843,36 \]
Donc, \( 26 \) miles correspondent à \( 41\,843,36 \) mètres.
{b.} \[100\] yards correspondent à \[91,44\] mètres. Pour déterminer combien de mètres correspondent à \[385\] yards, nous effectuons la conversion suivante:
\[ 385 \text{ yards} \times \frac{91,44 \text{ mètres}}{100 \text{ yards}} \]
\[ 385 \times 0,9144 \]
Calculons cette valeur :
\[ 385 \times 0,9144 = 352,044 \]
Donc, \[385\] yards correspondent à \[352,044\] mètres.
Exercice 9 : confitures et proportionnalité
a. On sait que Tata Maria utilise 1,8 kg de sucre pour 2 kg d’airelles. On peut écrire le rapport suivant :
\[
\frac{1,8 \text{ kg de sucre}}{2 \text{ kg d’airelles}} = \frac{x \text{ kg de sucre}}{10,8 \text{ kg d’airelles}}
\]
Pour trouver \( x \), il suffit de résoudre cette proportion :
\[
x = \frac{1,8 \times 10,8}{2}
\]
\[
x = \frac{19,44}{2}
\]
\[
x = 9,72 \text{ kg de sucre}
\]
Donc, Tata Maria a besoin de 9,72 kg de sucre si elle utilise 10,8 kg d’airelles.
b. On sait que Tata Maria utilise 1,8 kg de sucre pour 2 kg d’airelles. On peut écrire le rapport suivant :
\[
\frac{1,8 \text{ kg de sucre}}{2 \text{ kg d’airelles}} = \frac{10,8 \text{ kg de sucre}}{y \text{ kg d’airelles}}
\]
Pour trouver \( y \), il suffit de résoudre cette proportion :
\[
y = \frac{2 \times 10,8}{1,8}
\]
\[
y = \frac{21,6}{1,8}
\]
\[
y = 12 \text{ kg d’airelles}
\]
Donc, Tata Maria a besoin de 12 kg d’airelles si elle utilise 10,8 kg de sucre.
Exercice 10 : placement et proportionnalité
a. À partir du taux d’intérêt annuel, nous avons :
\[
\text{Taux d’intérêt} = \frac{27 \, €}{1200 \, €} = 0{,}0225
\]
Pour un placement de 12 700 € :
\[
\text{Intérêts} = 12 700 \, € \times 0{,}0225 = 285{,}75 \, €
\]
b. Pour trouver le montant initial \( P \) d’un placement qui rapporte 427,50 € d’intérêts en un an :
\[
427{,}50 \, € = P \times 0{,}0225
\]
En résolvant cette équation pour \( P \) :
\[
P = \frac{427{,}50 \, €}{0{,}0225} = 19 000 \, €
\]
Exercice 11 : pourcentages et proportionnalité
{Exercice 1 : Calcule 10 \% de chaque nombre.}
a. \( 100 \times 0,1 = 10 \)
b. \( 30 \times 0,1 = 3 \)
c. \( 50 \times 0,1 = 5 \)
d. \( 72 \times 0,1 = 7,2 \)
e. \( 15,2 \times 0,1 = 1,52 \)
f. \( 3,9 \times 0,1 = 0,39 \)
{Exercice 2 : Calcule le pourcentage de chaque nombre.}
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Nombre} & 25\% & 50\% & 75\% & 100\% & 200\% \\
\hline
36 & 36 \times 0,25 = 9 & 36 \times 0,5 = 18 & 36 \times 0,75 = 27 & 36 \times 1 = 36 & 36 \times 2 = 72 \\
\hline
4 & 4 \times 0,25 = 1 & 4 \times 0,5 = 2 & 4 \times 0,75 = 3 & 4 \times 1 = 4 & 4 \times 2 = 8 \\
\hline
12,8 & 12,8 \times 0,25 = 3,2 & 12,8 \times 0,5 = 6,4 & 12,8 \times 0,75 = 9,6 & 12,8 \times 1 = 12,8 & 12,8 \times 2 = 25,6 \\
\hline
\end{array}
Exercice 12 : calculer le pourcentage d’un valeur
1. \(200 \times \frac{18}{100} = 36\)
2. \(40 \times \frac{18}{100} = 7,2\)
3. \(60 \times \frac{18}{100} = 10,8\)
4. \(82 \times \frac{18}{100} = 14,76\)
5. \(12,3 \times \frac{18}{100} = 2,214\)
6. \(4,5 \times \frac{18}{100} = 0,81\)
Exercice 13 : chips et proportionnalité
a. La masse de lipides contenue dans un paquet de 30 g de chips est calculée comme suit :
\[ \text{Masse de lipides} = 30 \, \text{g} \times \frac{35}{100} = 10.5 \, \text{g} \]
b. La masse de lipides contenue dans un paquet de 130 g de chips est calculée de la même manière :
\[ \text{Masse de lipides} = 130 \, \text{g} \times \frac{35}{100} = 45.5 \, \text{g} \]
Exercice 14 : village et élection du maire
a. Qui est élu ?
Mme N’Dobam est élue avec 33,6 % des suffrages exprimés, puisqu’elle a le plus haut pourcentage.
b. Quel pourcentage obtient M. Van Borel ?
M. Van Borel obtient 22,7 % des suffrages exprimés.
c. Combien de voix obtient chaque candidat ?
– Nombre de voix obtenues par Mme Amélic :
\[
\frac{29,8}{100} \times 3000 = 0,298 \times 3000 = 894
\]
– Nombre de voix obtenues par Mme N’Dobam :
\[
\frac{33,6}{100} \times 3000 = 0,336 \times 3000 = 1008
\]
– Nombre de voix obtenues par M. Richoul :
\[
\frac{22,7}{100} \times 3000 = 0,227 \times 3000 = 681
\]
– Nombre de voix obtenues par M. Van Borel :
\[
\frac{14,9}{100} \times 3000 = 0,149 \times 3000 = 447
\]
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Mme Amélic} & \text{Mme N’Dobam} & \text{M. Richoul} & \text{M. Van Borel} \\
\hline
894 & 1008 & 681 & 447 \\
\hline
\end{array}
Exercice 15 : magasin de multimédia et proportionnalité
a. Calculons le nouveau prix de chaque article.
1. \[\]Appareil photo :\[\]
Ancien prix = 120 €
Réduction = 15 %
La réduction en euros est donnée par :
\[ 120 \times 0,15 = 18 \, \text{€} \]
Le nouveau prix est donc :
\[ 120 – 18 = 102 \, \text{€} \]
2. \[\]Lecteur MP3 :\[\]
Ancien prix = 65 €
Réduction = 15 %
La réduction en euros est donnée par :
\[ 65 \times 0,15 = 9,75 \, \text{€} \]
Le nouveau prix est donc :
\[ 65 – 9,75 = 55,25 \, \text{€} \]
3. \[\]Smartphone :\[\]
Ancien prix = 189 €
Réduction = 15 %
La réduction en euros est donnée par :
\[ 189 \times 0,15 = 28,35 \, \text{€} \]
Le nouveau prix est donc :
\[ 189 – 28,35 = 160,65 \, \text{€} \]
4. \[\]Téléviseur :\[\]
Ancien prix = 256 €
Réduction = 15 %
La réduction en euros est donnée par :
\[ 256 \times 0,15 = 38,4 \, \text{€} \]
Le nouveau prix est donc :
\[ 256 – 38,4 = 217,6 \, \text{€} \]
b. Deux semaines plus tard, l’appareil photo subit une nouvelle réduction de 15 %.
Nouveau prix de l’appareil photo après la première réduction = 102 €
La nouvelle réduction est donc :
\[ 102 \times 0,15 = 15,3 \, \text{€} \]
Le nouveau prix après la deuxième réduction est alors :
\[ 102 – 15,3 = 86,7 \, \text{€} \]
Le prix final de l’appareil photo après deux réductions successives de 15 % est donc :
\[ 86,7 \, \text{€} \]
Exercice 16 : problème du billet d’entrée
a. Prix du billet pour les 4-11 ans :
Soit \( P \) le prix du billet pour les 12-24 ans. On a \( P = 12{,}50 \, \text{€} \).
Le prix du billet pour les 4-11 ans est réduit de 24 %. On peut calculer ce prix comme suit :
\[
P_{4-11} = P \times (1 – 0{,}24)
\]
\[
P_{4-11} = 12{,}50 \times 0{,}76
\]
\[
P_{4-11} = 9{,}50 \, \text{€}
\]
b. Prix du billet pour les plus de 25 ans :
Le prix du billet pour les plus de 25 ans est majoré de 12 %. On peut calculer ce prix comme suit :
\[
P_{+25} = P \times (1 + 0{,}12)
\]
\[
P_{+25} = 12{,}50 \times 1{,}12
\]
\[
P_{+25} = 14{,}00 \, \text{€}
\]
Exercice 17 : randonnée et proportionnalité
a. La mention « à l’échelle 1/25 000 » signifie que 1 centimètre sur la carte représente 25 000 centimètres dans la réalité. En d’autres termes, chaque unité de mesure sur la carte est 25 000 fois plus petite que dans la réalité.
b. La distance réelle parcourue par Alain est de 20 km. Pour convertir cette distance en centimètres :
\[
20 \text{ km} = 20 \times 1000 \text{ m} = 20 \times 1000 \times 100 \text{ cm} = 2\,000\,000 \text{ cm}
\]
À l’échelle 1/25 000, la distance sur la carte est donc :
\[
\frac{2\,000\,000 \text{ cm}}{25\,000} = 80 \text{ cm}
\]
La distance de 20 km dans la réalité est représentée par 80 cm sur la carte.
Exercice 18 : plan à l’échelle et proportionnalité
\[
\text{\underline{Un plan est à l’échelle 1/15 000.}}
\]
\[
\begin{array}{ll}
\text{Sur le plan} & \text{Dans la réalité} \\
a. \ 1 \, \text{cm} & 1 \, \text{cm} \times 15\,000 = 15\,000 \, \text{cm} \quad \Rightarrow \quad 150 \, \text{m} \\
b. \ 12 \, \text{cm} & 12 \, \text{cm} \times 15\,000 = 180\,000 \, \text{cm} \quad \Rightarrow \quad 1\,800 \, \text{m} \\
c. \ 4,8 \, \text{cm} & 4,8 \, \text{cm} \times 15\,000 = 72\,000 \, \text{cm} \quad \Rightarrow \quad 720 \, \text{m} \\
\end{array}
\]
\[
\text{\underline{Un plan est à l’échelle 1/50 000.}}
\]
\[
\begin{array}{ll}
\text{Sur le plan} & \text{Dans la réalité} \\
d. \ 1 \, \text{cm} & 1 \, \text{cm} \times 50\,000 = 50\,000 \, \text{cm} \quad \Rightarrow \quad 0{,}5 \, \text{km} \\
e. \ 16 \, \text{cm} & 16 \, \text{cm} \times 50\,000 = 800\,000 \, \text{cm} \quad \Rightarrow \quad 8 \, \text{km} \\
f. \ 6,4 \, \text{cm} & 6,4 \, \text{cm} \times 50\,000 = 320\,000 \, \text{cm} \quad \Rightarrow \quad 3{,}2 \, \text{km} \\
\end{array}
\]
Exercice 19 : maquette à l’échelle et proportionnalité
a. À l’échelle 1/150 signifie que toutes les dimensions de l’objet réel sont réduites de 150 fois pour obtenir les dimensions de la maquette. En d’autres termes, 1 cm sur la maquette correspond à 150 cm sur le bateau réel.
b. On veut déterminer les dimensions réelles du bateau. Si la maquette a une échelle de 1/150, les dimensions réelles sont 150 fois plus grandes que celles de la maquette.
Pour la longueur :
\[ \text{Longueur réelle en centimètres} = 35 \, \text{cm} \times 150 = 5250 \, \text{cm} \]
\[ \text{Longueur réelle en mètres} = \frac{5250 \, \text{cm}}{100} = 52{,}5 \, \text{m} \]
Pour la largeur :
\[ \text{Largeur réelle en centimètres} = 6 \, \text{cm} \times 150 = 900 \, \text{cm} \]
\[ \text{Largeur réelle en mètres} = \frac{900 \, \text{cm}}{100} = 9 \, \text{m} \]
Ainsi, le tableau complété est :
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Dimensions réelles} & \text{en centimètres} & \text{en mètres} \\
\hline
\text{Longueur} & 5250 \, \text{cm} & 52{,}5 \, \text{m} \\
\hline
\text{Largeur} & 900 \, \text{cm} & 9 \, \text{m} \\
\hline
\end{array}
Réviser les cours et exercices de maths avec nos Q.C.M :
D'autres outils pour progresser en autonomie :
