Corrigé des 20 exercices sur les angles en 5ème : solutions détaillées à télécharger en PDF

1. Deux angles complémentaires ont une somme de 90° :

\[ \widehat{B} = 90^\circ – 54^\circ = 36^\circ \]

2. Deux angles supplémentaires ont une somme de 180° :

\[ \widehat{D} = 180^\circ – 84^\circ = 96^\circ \]

Deux angles sont adjacents s’ils ont le même sommet, un côté commun, et s’ils sont situés de part et d’autre de ce côté commun.

Deux angles sont opposés par le sommet s’ils ont le même sommet et si leurs côtés sont dans le prolongement l’un de l’autre (formés par deux droites sécantes).

a. Les points w, G, H, r sont alignés, mais [Gy) et [Gs) ne sont pas dans le prolongement l’une de l’autre : y, G et s ne sont pas alignés (la ligne change de direction en G). Réponse : non.

b. En H se coupent les droites (wr) et (xt). [Hr) et [Hw) sont opposées, [Hx) et [Ht) aussi : \(\widehat{rHx}\) et \(\widehat{tHw}\) sont opposés par le sommet. Réponse : oui.

c. [HG) est la même demi-droite que [Hw). \(\widehat{rHt}\) et \(\widehat{xHG}\) ont des côtés deux à deux opposés : réponse oui.

• a. Deux angles de 45° : \(45^\circ + 45^\circ = 90^\circ\), ils sont complémentaires ; sommets différents, donc non adjacents.
• b. \(\widehat{zAy}\) et \(\widehat{yAx}\) : même sommet A, côté commun [Ay), et z, A, x alignés : adjacents et supplémentaires.
• c. \(\widehat{fKe}\) et \(\widehat{eKg}\) : adjacents, et ensemble ils forment l’angle droit \(\widehat{fKg}\) : complémentaires.
• d. \(\widehat{pSm}\) et \(\widehat{mSn}\) : adjacents, et \(\widehat{pSn} = 90^\circ\) : complémentaires.
• e. Deux angles droits : \(90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\), supplémentaires ; sommets différents, non adjacents.
• f. \(\widehat{rSt}\) et \(\widehat{tSu}\) : adjacents ; r, S, u ne sont pas alignés et l’angle \(\widehat{rSu}\) n’est pas droit : ni complémentaires ni supplémentaires.

a. \(\hat{a} + \hat{b} = 90^\circ\).

• \(\hat{a} = 57^\circ\) donc \(\hat{b} = 90^\circ – 57^\circ = \mathbf{33^\circ}\).
• \(\hat{a} = 24^\circ\) donc \(\hat{b} = 90^\circ – 24^\circ = \mathbf{66^\circ}\).
• \(\hat{a} = 2\hat{b}\) donc \(2\hat{b} + \hat{b} = 3\hat{b} = 90^\circ\) et \(\hat{b} = 90^\circ \div 3 = \mathbf{30^\circ}\) (et \(\hat{a} = 60^\circ\)).

b. \(\hat{a} + \hat{b} = 180^\circ\).

• \(\hat{a} = 127^\circ\) donc \(\hat{b} = 180^\circ – 127^\circ = \mathbf{53^\circ}\).
• \(\hat{a} = 86^\circ\) donc \(\hat{b} = 180^\circ – 86^\circ = \mathbf{94^\circ}\).
• \(\hat{a} = 3\hat{b}\) donc \(4\hat{b} = 180^\circ\) et \(\hat{b} = 180^\circ \div 4 = \mathbf{45^\circ}\) (et \(\hat{a} = 135^\circ\)).

La figure contient la droite (AB), la droite (AC), la parallèle à (AC) passant par B, et la parallèle à (BC) passant par A. Puis les cinq croix sont les points à nommer.

• \(\widehat{BAC}\) et \(\widehat{ABD}\) alternes-internes (sécante (AB)) : D est sur la parallèle à (AC) passant par B, de l’autre côté de (AB) par rapport à C, donc la croix en bas à gauche de B.
• \(\widehat{CAB}\) et \(\widehat{BAE}\) supplémentaires : ils sont adjacents et C, A, E sont alignés, donc E est sur (AC), au-delà de A (croix en bas à gauche de A).
• \(\widehat{CAB}\) et \(\widehat{EAF}\) opposés par le sommet : [AF) prolonge [AB), donc F est sur (AB), à gauche de A.
• \(\widehat{ABC}\) et \(\widehat{FAG}\) correspondants (sécante (AB)) : G est sur la parallèle à (BC) passant par A, du même côté que C, donc la croix en haut à gauche de A.
• \(\widehat{ACB}\) et \(\widehat{CBH}\) alternes-internes (sécante (BC)) : H est sur la parallèle à (AC) passant par B, en haut à droite de B.

La sécante (KC) coupe (EG) en F et (AD) en S ; la sécante (BR) coupe (EG) en U et (AD) en O.

a. Des angles correspondants sont du même côté de la sécante, l’un « au-dessus » d’une droite, l’autre « au-dessus » de l’autre droite (même position). Par exemple :

• \(\widehat{GFC}\) et \(\widehat{ASC}\) ;
• \(\widehat{KFE}\) et \(\widehat{KSD}\).

(On pouvait aussi citer \(\widehat{GFK}\) et \(\widehat{ASK}\), ou \(\widehat{EFC}\) et \(\widehat{DSC}\).)

b. Des angles alternes-internes sont de part et d’autre de la sécante et entre les deux droites (EG) et (AD). Par exemple :

• \(\widehat{GUO}\) et \(\widehat{UOD}\) ;
• \(\widehat{EUO}\) et \(\widehat{UOA}\).

On utilise trois propriétés : deux angles adjacents sur une droite sont supplémentaires ; deux angles opposés par le sommet sont égaux ; avec des droites parallèles, les angles correspondants et alternes-internes sont égaux. Aux deux intersections, on retrouve donc les mêmes mesures.

a. Angle donné : 55°. Son supplémentaire : \(180^\circ – 55^\circ = 125^\circ\).

b. Angle donné : 119°. Son supplémentaire : \(180^\circ – 119^\circ = 61^\circ\).

En P : \(\widehat{BPE} = 34^\circ\) et \(\widehat{FPE} = 90^\circ\) (angle droit codé).

• \(\hat{b} = \widehat{APF} = 180^\circ – 90^\circ – 34^\circ = \mathbf{56^\circ}\) (A, P, B alignés).
• \(\hat{a}\) et \(\hat{b}\) sont opposés par le sommet : \(\hat{a} = \mathbf{56^\circ}\).
• \(\hat{c}\) et l’angle de 34° sont opposés par le sommet : \(\hat{c} = \mathbf{34^\circ}\).
• (AB) // (CD) : \(\hat{d} = \widehat{PFE}\) et \(\hat{b}\) sont alternes-internes (sécante (PF)), donc \(\hat{d} = \mathbf{56^\circ}\).
• \(\hat{e}\) et \(\hat{d}\) sont supplémentaires (T, F, P alignés) : \(\hat{e} = 180^\circ – 56^\circ = \mathbf{124^\circ}\).
• \(\hat{f} = \widehat{PEF}\) et l’angle de 34° sont alternes-internes (sécante (PE)) : \(\hat{f} = \mathbf{34^\circ}\).
• \(\hat{g}\) et \(\hat{f}\) sont supplémentaires (P, E, R alignés) : \(\hat{g} = 180^\circ – 34^\circ = \mathbf{146^\circ}\).

Vérification dans le triangle PFE : \(90^\circ + 56^\circ + 34^\circ = 180^\circ\).

Démonstration.

• Les droites (d₁) et (d₂) sont coupées par la sécante (d₃) en A et en B.
• Les angles \(\widehat{XAB}\) et \(\widehat{NBA}\) sont situés de part et d’autre de la sécante (d₃) et entre les droites (d₁) et (d₂) : ils sont alternes-internes.
• Or, si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes qu’elles forment ont la même mesure.
• Comme (d₁) // (d₂), on en déduit que \(\widehat{XAB} = \widehat{NBA}\).

La droite (d) coupe les deux droites (d′) et (d″) : c’est la sécante.

Les deux angles marqués mesurent chacun 52°. De plus, ils sont placés de la même façon à chaque intersection : tous les deux au-dessus de (d) et à droite de la droite qu’ils touchent. Ensuite, ce sont donc des angles correspondants.

Propriété : si deux droites coupées par une sécante forment des angles correspondants de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles.

Ici, les angles correspondants mesurent tous les deux 52°, donc les droites (d′) et (d″) sont parallèles.

La sécante est la droite (d). Par ailleurs, on repère la position des deux angles marqués :

• l’angle de 102° est au-dessus de (d), à droite de (d″), donc entre les droites (d″) et (d′) ;
• l’angle de 103° est au-dessous de (d), à gauche de (d′), donc lui aussi entre les deux droites.

Les deux angles sont à l’intérieur des deux droites et de part et d’autre de la sécante : ce sont des angles alternes-internes.

Si (d′) et (d″) étaient parallèles, ces angles alternes-internes auraient la même mesure. Or \( 102^\circ \neq 103^\circ \).

Donc les droites (d′) et (d″) ne sont pas parallèles. Attention : sur le dessin elles semblent presque parallèles, mais seul le calcul avec les mesures permet de conclure.

On lit sur la figure : les points A, D, E sont alignés, le codage donne AD = DB = BE, \( \widehat{DBE} = 40^\circ \), l’angle \( \widehat{ABC} \) est droit et \( \widehat{ACB} = 55^\circ \).

Pour montrer que (AC) et (DB) sont parallèles, on utilise la sécante (AB) et les angles alternes-internes \( \widehat{CAB} \) et \( \widehat{ABD} \).

Étape 1 : l’angle \( \widehat{CAB} \). Dans le triangle ABC, la somme des angles vaut 180° :

\[ \widehat{CAB} = 180^\circ – 90^\circ – 55^\circ = 35^\circ \]

Étape 2 : les angles du triangle DBE. Comme BD = BE, le triangle DBE est isocèle en B : ses angles à la base sont égaux.

\[ \widehat{BDE} = \widehat{BED} = \frac{180^\circ – 40^\circ}{2} = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ \]

Étape 3 : l’angle \( \widehat{ADB} \). Les points A, D, E sont alignés, donc \( \widehat{ADB} \) et \( \widehat{BDE} \) sont supplémentaires :

\[ \widehat{ADB} = 180^\circ – 70^\circ = 110^\circ \]

Étape 4 : l’angle \( \widehat{ABD} \). Comme DA = DB, le triangle ADB est isocèle en D, donc \( \widehat{DAB} = \widehat{ABD} \) :

\[ \widehat{ABD} = \frac{180^\circ – 110^\circ}{2} = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ \]

Conclusion. Les droites (AC) et (DB), coupées par la sécante (AB), forment les angles alternes-internes \( \widehat{CAB} \) et \( \widehat{ABD} \) qui mesurent tous les deux 35°. Or si deux angles alternes-internes ont la même mesure, les droites sont parallèles.

On cherche les quatre angles du quadrilatère LUDI : \( \widehat{ULI} \), \( \widehat{LUD} \), \( \widehat{UDI} \) et \( \widehat{DIL} \).

Angle en L. L’angle de 52° marqué est formé par les prolongements de [LN] et de [LI] au-delà de L. Puis il est opposé par le sommet à \( \widehat{ULI} \), donc :

\[ \widehat{ULI} = 52^\circ \]

Angle en I. Dans le triangle NLI, la somme des angles vaut 180° :

\[ \widehat{DIL} = 180^\circ – 60^\circ – 52^\circ = 68^\circ \]

Angle en U. Les droites (DU) et (IL) sont parallèles et coupées par la sécante (NL). Ensuite, les angles \( \widehat{NUD} \) et \( \widehat{NLI} \) sont correspondants, donc \( \widehat{NUD} = 52^\circ \). Comme N, U, L sont alignés, \( \widehat{LUD} \) est le supplémentaire de \( \widehat{NUD} \) :

\[ \widehat{LUD} = 180^\circ – 52^\circ = 128^\circ \]

Angle en D. De même avec la sécante (NI) : \( \widehat{NDU} \) et \( \widehat{NIL} \) sont correspondants, donc \( \widehat{NDU} = 68^\circ \), et comme N, D, I sont alignés :

\[ \widehat{UDI} = 180^\circ – 68^\circ = 112^\circ \]

Vérification : la somme des angles d’un quadrilatère vaut 360°, et \( 52 + 128 + 112 + 68 = 360 \). Puis les calculs sont cohérents.

1. L’angle \(\widehat{AOB}\) est droit : \(\widehat{AOB}=90^{\circ}\). La demi-droite [OC) le partage en deux angles, donc :

   \[\widehat{COB}=\widehat{AOB}-\widehat{AOC}=90^{\circ}-37^{\circ}=53^{\circ}\]

   Réponse : \(\widehat{COB}=53^{\circ}\).

2. Deux angles dont la somme vaut \(90^{\circ}\) sont complémentaires.

   \[37^{\circ}+53^{\circ}=90^{\circ}\]

   Les angles \(\widehat{AOC}\) et \(\widehat{COB}\) sont donc complémentaires.

1. Les points A, O, B sont alignés : \(\widehat{AOB}\) est un angle plat (\(180^{\circ}\)). Les angles \(\widehat{AOC}\) et \(\widehat{COB}\) sont supplémentaires :

   \[\widehat{COB}=180^{\circ}-118^{\circ}=62^{\circ}\]

   Réponse : \(\widehat{COB}=62^{\circ}\).

2. La bissectrice partage l’angle en deux angles égaux :

   \[\widehat{BOD}=62^{\circ}\div 2=31^{\circ}\]

   Réponse : \(\widehat{BOD}=31^{\circ}\).

3. Les angles \(\widehat{AOD}\) et \(\widehat{DOB}\) sont supplémentaires (A, O, B alignés) :

   \[\widehat{AOD}=180^{\circ}-31^{\circ}=149^{\circ}\]

   Vérification : \(118^{\circ}+31^{\circ}=149^{\circ}\).

   Réponse : \(\widehat{AOD}=149^{\circ}\).

1. L’angle opposé par le sommet à \(\widehat{AOB}\) est \(\widehat{A^{\prime}OB^{\prime}}\). Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure :

   \(\widehat{A^{\prime}OB^{\prime}}=48^{\circ}\).

2. Les points A, O, A′ sont alignés, donc \(\widehat{AOB}\) et \(\widehat{BOA^{\prime}}\) sont supplémentaires :

   \[\widehat{BOA^{\prime}}=180^{\circ}-48^{\circ}=132^{\circ}\]

   Les angles \(\widehat{B^{\prime}OA}\) et \(\widehat{BOA^{\prime}}\) sont opposés par le sommet, donc égaux :

   \(\widehat{BOA^{\prime}}=132^{\circ}\) et \(\widehat{B^{\prime}OA}=132^{\circ}\).

1. Les angles de \(70^{\circ}\) et \(x\) sont correspondants. Les droites (d) et (d′) étant parallèles, ils ont la même mesure :

   \(x=70^{\circ}\).

2. Les angles \(x\) et \(y\) sont adjacents et leurs côtés extérieurs sont alignés : ils sont supplémentaires.

   \[y=180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ}\]

   \(y=110^{\circ}\).

3. Les angles \(x\) et \(z\) sont alternes-internes et (d) // (d′), donc ils sont égaux :

   \(z=70^{\circ}\).

1. La somme des angles d’un triangle est égale à \(180^{\circ}\) :

   \[\widehat{ACB}=180^{\circ}-40^{\circ}-65^{\circ}=75^{\circ}\]

   \(\widehat{ACB}=75^{\circ}\).

2. Les points B, C et D sont alignés, donc \(\widehat{ACB}\) et \(\widehat{ACD}\) sont supplémentaires :

   \[\widehat{ACD}=180^{\circ}-75^{\circ}=105^{\circ}\]

   \(\widehat{ACD}=105^{\circ}\).

3. On calcule \(40^{\circ}+65^{\circ}=105^{\circ}\) : l’angle \(\widehat{ACD}\) est égal à la somme des deux angles du triangle non adjacents (en A et en B).

1. Les deux angles marqués sont alternes-internes et ont la même mesure : \(112^{\circ}=112^{\circ}\).

   Si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes égaux, alors elles sont parallèles.

   Réponse : (d) et (d′) sont parallèles.

2. Les deux angles marqués sont alternes-internes, mais ils n’ont pas la même mesure : \(64^{\circ}\neq 70^{\circ}\).

   Si les droites étaient parallèles, ces angles seraient égaux.

   Réponse : (d) et (d′) ne sont pas parallèles.