Corrigé des 37 exercices sur la proportionnalité en 6ème : solutions détaillées à télécharger en PDF

a. Par ailleurs, les deux grandeurs sont la masse de pommes achetées (en kg) et le prix à payer (en €).

b. De même, oui, elles sont proportionnelles : chaque kilogramme coûte le même prix, 2,85 €. Ensuite, pour obtenir le prix, on multiplie toujours la masse par 2,85 : 1 kg coûte 2,85 €, 2 kg coûtent 5,70 €, 3 kg coûtent 8,55 €… Le nombre 2,85 est le coefficient de proportionnalité.

a. Ensuite, les deux grandeurs sont l’âge de Nassim (en années) et sa pointure.

b. Par ailleurs, non, elles ne sont pas proportionnelles. Si c’était le cas, en doublant l’âge on doublerait la pointure : à 24 ans, Nassim chausserait du 78, ce qui est absurde. D’ailleurs, un adulte ne grandit plus alors que son âge continue d’augmenter.

Enfin, pour savoir si un tableau est de proportionnalité, on calcule le quotient « deuxième ligne ÷ première ligne » pour chaque colonne : il doit être toujours le même.

a. De même, on a donc \(12 \div 3 = 4\) ; \(20 \div 5 = 4\) ; \(28 \div 7 = 4\). Toujours 4 : le prix est proportionnel au nombre de stylos (un stylo coûte 4 €).

b. Ensuite, on a \(16 \div 2 = 8\) ; \(40 \div 5 = 8\) ; mais \(60 \div 10 = 6\). Puis les quotients ne sont pas tous égaux : pas proportionnel (10 photos devraient coûter 80 €, il y a un tarif dégressif).

c. Ainsi, on trouve \(350 \div 1 = 350\) ; \(1\,400 \div 4 = 350\) ; \(2\,100 \div 6 = 350\). Toujours 350 : la masse de ciment est proportionnelle au volume de béton (350 kg par m³).

Ensuite, même méthode : on cherche par quel nombre on multiplie la première ligne pour obtenir la seconde, colonne par colonne.

• a. \(2 \times 4 = 8\), \(3 \times 4 = 12\), \(7 \times 4 = 28\) : oui, coefficient 4.
• b. \(15 \div 2 = 7{,}5\) mais \(21 \div 3 = 7\) : non.
• c. \(102 \div 2 = 51\) mais \(104 \div 4 = 26\) : non (la seconde ligne est « la première plus 100 », ce n’est pas une multiplication).
• d. \(3{,}2 \div 2 = 1{,}6\) et \(8 \div 5 = 1{,}6\), mais \(7 \times 1{,}6 = 11{,}2 \neq 11\) : non.

Ainsi, on compare les colonnes sans passer par le prix d’un yaourt :

• de 4 à 8 yaourts, on double la quantité : \(1{,}70 \times 2 = 3{,}40\) €, le prix double aussi ;
• de 8 à 16 yaourts, on double encore la quantité : s’il y avait proportionnalité, on paierait \(3{,}40 \times 2 = 6{,}80\) €. Or on paie 6,20 €.

Par conséquent, les kiwis sont vendus à l’unité, donc le prix est proportionnel au nombre de kiwis.

a. De plus, passage à l’unité : \(1{,}80 \div 3 = 0{,}60\). De plus, un kiwi coûte 0,60 €.

b. Ensuite, on a \(7 \times 0{,}60 = 4{,}20\). Sept kiwis coûtent 4,20 €.

Par conséquent, la masse de framboises est proportionnelle à la masse de confiture : 2,5 kg de framboises pour 4 kg de confiture.

a. De plus, pour 1 kg de confiture, il faut 4 fois moins de framboises :

\[ 2{,}5 \div 4 = 0{,}625 \text{ kg} \]

b. Ainsi, on trouve 5 kg de confiture, c’est 4 kg + 1 kg :

\[ 2{,}5 + 0{,}625 = 3{,}125 \text{ kg} \]

Par conséquent, on obtient (ou \(5 \times 0{,}625 = 3{,}125\) kg).

De plus, dans un tableau de proportionnalité, on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre (le coefficient) ; pour remonter, on divise par ce nombre.

a. Ainsi, coefficient ×6 : \(4 \times 6 = 24\) ; \(7{,}5 \times 6 = 45\) ; \(54 \div 6 = 9\).

b. Enfin, la colonne complète donne le coefficient : \(35 \div 7 = 5\), donc ×5. Puis \(6 \times 5 = 30\) et \(45 \div 5 = 9\).

c. De même, on a donc \(6{,}6 \div 6 = 1{,}1\), donc ×1,1. Puis \(11 \div 1{,}1 = 10\) et \(5 \times 1{,}1 = 5{,}5\).

Ainsi, on n’utilise pas le coefficient mais les liens entre les colonnes : si on multiplie (ou divise) une quantité, le prix est multiplié (ou divisé) par le même nombre ; si on additionne deux colonnes, on additionne les prix.

a.

• 0,2 kg = 0,4 kg ÷ 2 → \(13 \div 2 = 6{,}5\) €
• 0,8 kg = 0,4 kg × 2 → \(13 \times 2 = 26\) €
• 6 kg = 0,4 kg × 15 → \(13 \times 15 = 195\) €
• 14 kg = 6 kg + 6 kg + 0,8 kg + 0,8 kg + 0,4 kg → \(195 + 195 + 26 + 26 + 13 = 455\) € (ou 0,4 × 35 → 13 × 35)

b.

• 1,5 = 3 ÷ 2 → \(4 \div 2 = 2\) €
• 4,5 = 3 + 1,5 → \(4 + 2 = 6\) €
• 18 = 3 × 6 → \(4 \times 6 = 24\) €
• 22,5 = 18 + 4,5 → \(24 + 6 = 30\) €

De plus, le temps de cuisson est proportionnel à la masse du rôti : 15 min pour 500 g.

a. Enfin, on a donc 750 g = 500 g + 250 g, et 250 g est la moitié de 500 g, donc il faut \(15 \div 2 = 7{,}5\) min pour 250 g.

\[ 15 + 7{,}5 = 22{,}5 \text{ min} \]

Enfin, soit 22 min 30 s.

b. Ainsi, on trouve 100 g, c’est 500 g ÷ 5 : \(15 \div 5 = 3\) min. Ensuite, pour 600 g = 500 g + 100 g :

\[ 15 + 3 = 18 \text{ min} \]

Ainsi, le carré mesure \( 5 + 6 = 11 \) cm de côté (et aussi \( 4 + 7 = 11 \) cm, \( 5 + 3 + 3 = 11 \) cm). Par ailleurs, pour obtenir un puzzle de même forme, toutes les longueurs doivent être proportionnelles à celles de départ.

Enfin, le piège : on pourrait penser « 5 cm devient 7 cm, donc on ajoute 2 cm partout ». C’est faux : 4 cm deviendrait 6 cm et 7 cm deviendrait 9 cm, le côté gauche mesurerait 15 cm alors que le haut mesurerait \( 7 + 8 = 15 \) cm, mais le bas mesurerait \( 7 + 5 + 5 = 17 \) cm : les pièces ne s’emboîtent plus. Puis il faut multiplier, pas ajouter.

a. Ensuite, le coefficient d’agrandissement est \( 7 \div 5 = 1{,}4 \). Ensuite, on multiplie chaque longueur par 1,4 :

Par ailleurs, vérification pour le puzzle agrandi : \( 7 + 8{,}4 = 15{,}4 \) ; \( 5{,}6 + 9{,}8 = 15{,}4 \) ; \( 7 + 4{,}2 + 4{,}2 = 15{,}4 \) ; \( 11{,}2 + 4{,}2 = 15{,}4 \). Tous les côtés mesurent 15,4 cm : on reconstitue bien un carré de 15,4 cm de côté.

b. De même, pour transformer 5 cm en 4 cm, le coefficient est \( 4 \div 5 = 0{,}8 \) : on multiplie toutes les longueurs par 0,8 (dernière ligne du tableau). Vérification : \( 4 + 4{,}8 = 8{,}8 \), \( 3{,}2 + 5{,}6 = 8{,}8 \) et \( 4 + 2{,}4 + 2{,}4 = 8{,}8 \) : on obtient un carré de 8,8 cm de côté.

a. Ensuite, pour payer le moins possible, on compare à chaque fois les différentes façons d’acheter. Puis une demi-douzaine (6 crêpes) coûte 2,20 € alors que 6 crêpes à l’unité coûteraient \( 6 \times 0{,}50 = 3 \) €.

• Deux crêpes : \( 2 \times 0{,}50 = 1 \) €, soit 1,00 €.
• Quatre crêpes : \( 4 \times 0{,}50 = 2 \) €, moins cher qu’une demi-douzaine : 2,00 €.
• Cinq crêpes : à l’unité, \( 5 \times 0{,}50 = 2{,}50 \) € ; il est moins cher d’acheter une demi-douzaine à 2,20 € (on a une crêpe en plus) : 2,20 €.
• Six crêpes : une demi-douzaine : 2,20 €.
• Huit crêpes : une demi-douzaine + 2 crêpes : \( 2{,}20 + 1{,}00 = 3{,}20 \) € (moins cher que deux demi-douzaines, 4,40 €, ou qu’une douzaine, 4,10 €) : 3,20 €.
• Vingt crêpes : \( 20 = 12 + 6 + 2 \), donc une douzaine + une demi-douzaine + 2 crêpes : \( 4{,}10 + 2{,}20 + 1{,}00 = 7{,}30 \) € (deux douzaines coûteraient 8,20 €) : 7,30 €.

b. Par ailleurs, si le prix était proportionnel, 6 crêpes coûteraient 3 fois le prix de 2 crêpes, soit \( 3 \times 1 = 3 \) €. Or on paie seulement 2,20 €. De plus, le prix n’est pas proportionnel au nombre de crêpes : plus on en achète, moins chaque crêpe revient cher.

a. Enfin, on compte les parts égales et les parts coloriées, puis on écrit la fraction avec un dénominateur 100 : \( \frac{1}{2} = \frac{50}{100} \), \( \frac{1}{4} = \frac{25}{100} \), \( \frac{1}{10} = \frac{10}{100} \), \( \frac{1}{5} = \frac{20}{100} \).

• Première ligne : \( \frac{1}{2} \) → 50 % ; \( \frac{1}{4} \) → 25 % ; \( \frac{1}{10} \) → 10 % ; \( \frac{1}{5} \) → 20 %.
• Deuxième ligne : disque entier → 100 % ; \( \frac{3}{4} \) → 75 % ; \( \frac{3}{10} \) → 30 % ; \( \frac{4}{5} \) → 80 %.

b. Ensuite, on utilise ces pourcentages simples : 25 % = le quart, 10 % = le dixième, 50 % = la moitié, 20 % = le cinquième, 75 % = les trois quarts, 80 % = 8 fois 10 %, 100 % = le tout.

• 25 % de 12 € = \( 12 \div 4 \) = 3 €
• 10 % de 160 g = \( 160 \div 10 \) = 16 g
• 50 % de 438 m = \( 438 \div 2 \) = 219 m
• 80 % de 50 € : 10 % de 50 € = 5 €, donc 80 % = \( 8 \times 5 \) = 40 €
• 20 % de 45 L = \( 45 \div 5 \) = 9 L
• 75 % de 28 min : le quart de 28 est 7, donc \( 3 \times 7 \) = 21 min
• 10 % de 48 km = \( 48 \div 10 \) = 4,8 km
• 100 % de 33 cL = 33 cL

a. De plus, on obtient 80 % des 115 membres sont des filles. 10 % de 115 = 11,5, donc 80 % = \( 8 \times 11{,}5 \) :

Par ailleurs, on a donc \[ \frac{80}{100} \times 115 = 92 \]

Ensuite, il y a 92 filles dans ce club.

b. Par ailleurs, les autres membres sont des garçons : \( 115 – 92 = 23 \). Ensuite, il y a 23 garçons (on peut aussi calculer 20 % de 115).

c. Par conséquent, on obtient 25 % des 92 filles, c’est le quart de 92 :

De plus, on obtient \[ 92 \div 4 = 23 \]

De plus, il y a 23 filles de plus de 16 ans.

De même, une remise de 40 % signifie qu’on retire 40 € pour 100 € : la remise est proportionnelle au prix initial, avec le coefficient \( 40 \div 100 = 0{,}4 \).

• Pour 20 € : \( 20 \times 0{,}4 = 8 \) €.
• Pour 39 € : \( 39 \times 0{,}4 = 15{,}60 \) €.

a. Par conséquent, sur un pull à 20 €, la remise est de 8 €. Son nouveau prix est \( 20 – 8 = 12 \) € : le pull coûte maintenant 12 €.

b. De plus, sur le pantalon à 39 €, la remise est de 15,60 €. Son nouveau prix est \( 39 – 15{,}60 = 23{,}40 \) € : le pantalon coûte maintenant 23,40 €.

De même, un tableau est un tableau de proportionnalité si l’on passe de la première ligne à la deuxième en multipliant toujours par le même nombre. Par ailleurs, on calcule le quotient de chaque colonne.

a. Ensuite, on a \( 12 \div 3 = 4 \) ; \( 20 \div 5 = 4 \) ; \( 32 \div 8 = 4 \). Puis on multiplie toujours par 4 : c’est un tableau de proportionnalité, de coefficient 4.

b. Ainsi, on trouve \( 4{,}5 \div 1{,}5 = 3 \) mais \( 7{,}5 \div 4{,}5 \) ne fait pas 3, car \( 4{,}5 \times 3 = 13{,}5 \) et non 7,5. Ensuite, le coefficient n’est pas le même : ce n’est pas un tableau de proportionnalité.

De même, on passe de la première ligne à la deuxième en multipliant par le coefficient, et de la deuxième à la première en divisant par ce coefficient.

a. Par conséquent, coefficient 7 : \( 5 \times 7 = 35 \) ; \( 8 \times 7 = 56 \) ; \( 9 \times 7 = 63 \) ; \( 70 \div 7 = 10 \).

b. De plus, coefficient 1,5 : \( 4 \times 1{,}5 = 6 \) ; \( 7 \times 1{,}5 = 10{,}5 \) ; \( 15 \div 1{,}5 = 10 \) ; \( 12 \times 1{,}5 = 18 \).

c. Ainsi, la colonne complète 8 → 32 donne le coefficient : \( 32 \div 8 = 4 \). Puis \( 18 \div 4 = 4{,}5 \) ; \( 6 \times 4 = 24 \) ; \( 10{,}5 \times 4 = 42 \).

d. Enfin, la colonne complète 4 → 2,4 donne le coefficient : \( 2{,}4 \div 4 = 0{,}6 \). Puis \( 5{,}5 \times 0{,}6 = 3{,}3 \) ; \( 3{,}9 \div 0{,}6 = 6{,}5 \) ; \( 7{,}2 \times 0{,}6 = 4{,}32 \).

De plus, le nombre d’images est proportionnel à la durée : 48 images par seconde.

a. De même, on a donc 1 minute = 60 secondes :

Ensuite, on a \[ 60 \times 48 = 2\,880 \]

Ensuite, une minute de film compte 2 880 images.

b. Par conséquent, on obtient 1 heure = 60 minutes :

De plus, on obtient \[ 60 \times 2\,880 = 172\,800 \]

Par conséquent, une heure de film compte 172 800 images.

c. Ensuite, on a 2 h 49 min = \( 2 \times 60 + 49 = 169 \) minutes :

Ainsi, on trouve \[ 169 \times 2\,880 = 486\,720 \]

a. Par conséquent, les tirages ont la même forme que la photo, donc la longueur est proportionnelle à la largeur. Puis pour T₀ : \( 15 \div 10 = 1{,}5 \). De plus, on passe de la largeur à la longueur en multipliant par 1,5, et de la longueur à la largeur en divisant par 1,5.

• T₁ : \( 6 \times 1{,}5 = 9 \) cm
• T₂ : \( 30 \div 1{,}5 = 20 \) cm
• T₃ : \( 30 \times 1{,}5 = 45 \) cm
• T₄ : \( 13{,}5 \div 1{,}5 = 9 \) cm
• T₅ : \( 24 \times 1{,}5 = 36 \) cm

b. De plus, on compare chaque tirage à la photo de départ (10 cm de largeur) :

• T₂ (20 × 30), T₃ (30 × 45) et T₅ (24 × 36) sont plus grands : ce sont des agrandissements.
• T₁ (6 × 9) et T₄ (9 × 13,5) sont plus petits : ce sont des réductions.

c. Ainsi, pour respecter les proportions, une largeur de 3,5 cm devrait donner une longueur de \( 3{,}5 \times 1{,}5 = 5{,}25 \) cm, et non 5 cm. Ensuite, le format 3,5 × 5 ne respecte pas les proportions de départ (la photo serait un peu déformée ou recadrée).

Par conséquent, la moto roule toujours à la même vitesse : la distance parcourue est proportionnelle à la durée.

1. Par conséquent, on obtient 30 min, c’est 5 fois 6 min (\( 30 \div 6 = 5 \)). Par ailleurs, la moto parcourt donc 5 fois plus :

De plus, on obtient \[ 5 \times 9 = 45 \text{ km} \]

2. Ensuite, on a donc 54 km, c’est 6 fois 9 km (\( 54 \div 9 = 6 \)). Puis il faut donc 6 fois plus de temps :

Ensuite, on a \[ 6 \times 6 = 36 \text{ min} \]

a. Ainsi, janvier compte 31 jours et février 28 jours (année non bissextile). Ensuite, on calcule le salaire pour un jour :

• janvier : \( 1\,937{,}50 \div 31 = 62{,}50 \) € par jour ;
• février : \( 1\,750 \div 28 = 62{,}50 \) € par jour.

Enfin, on trouve le même montant par jour : le salaire mensuel est bien proportionnel au nombre de jours du mois, avec un coefficient de 62,50 € par jour.

b. Ensuite, une année compte 365 jours :

Par conséquent, on obtient \[ 365 \times 62{,}50 = 22\,812{,}50 \text{ €} \]

De plus, on obtient (Pour une année bissextile de 366 jours, on trouverait 22 875 €.)

Ensuite, pour garder le même béton, les quantités doivent rester proportionnelles. Puis on passe de 2 sacs à 6 sacs de ciment : c’est 3 fois plus (\( 6 \div 2 = 3 \)).

• Sable : \( 12 \times 3 = 36 \) seaux.
• Eau : \( 30 \times 3 = 90 \) L.

Ainsi, huit seaux de dix litres, cela fait \( 8 \times 10 = 80 \) L en 2 minutes, soit \( 80 \div 2 = 40 \) L par minute. De plus, le robinet coule toujours de la même façon : la quantité d’eau est proportionnelle au temps.

Enfin, réservoir de 400 L :

De plus, on obtient \[ 400 \div 40 = 10 \text{ min} \]

Par ailleurs, en une heure (60 minutes) :

Ensuite, on a \[ 60 \times 40 = 2\,400 \text{ L} \]

Ensuite, on passe par le gâteau pour 2 personnes, qui est 3 fois plus petit que celui pour 6 personnes :

• farine : \( 240 \div 3 = 80 \) g ; œufs : \( 3 \div 3 = 1 \) œuf pour 2 personnes ;
• pour 4 personnes, on double : \( 80 \times 2 = 160 \) g de farine et \( 1 \times 2 = 2 \) œufs.

Ainsi, le cycliste roule à vitesse constante : la distance parcourue est proportionnelle à la durée du trajet. Ensuite, on range les données dans un tableau de proportionnalité : 4 km en 10 min, puis les valeurs demandées (14 km, 45 min, 1 h = 60 min).

Enfin, une donnée pratique : en 5 min (la moitié de 10 min), il parcourt 2 km (la moitié de 4 km). Autrement dit, il faut 2,5 min pour 1 km : c’est le coefficient qui permet de passer de la distance à la durée.

a. Ensuite, on a 14 km, c’est 7 fois 2 km, donc il faut 7 fois 5 min : \( 7 \times 5 = 35 \text{ min} \). Par ailleurs, on le vérifie avec le coefficient : \( 14 \times 2{,}5 = 35 \).

Par ailleurs, À cette même vitesse, il lui faut 35 minutes pour parcourir 14 km.

b. Par conséquent, on obtient 45 min, c’est 9 fois 5 min, donc il parcourt 9 fois 2 km : \( 9 \times 2 = 18 \text{ km} \).

Par conséquent, une heure, c’est 60 min, soit 6 fois 10 min : il parcourt \( 6 \times 4 = 24 \text{ km} \).

De plus, en 45 minutes, il parcourt 18 km et en une heure, il parcourt 24 km.

De même, la première colonne est complète : 6 donne 1,8. Puis le coefficient de proportionnalité (le nombre par lequel on multiplie la première ligne pour obtenir la deuxième) est donc :

De plus, on a donc \[ 1{,}8 \div 6 = 0{,}3 \]

De plus, on vérifie : \( 6 \times 0{,}3 = 1{,}8 \). Ensuite, on complète ensuite chaque colonne :

• sous 5 : \( 5 \times 0{,}3 = 1{,}5 \), donc 1,5 ;
• au-dessus de 1,2 : on fait l’opération inverse, \( 1{,}2 \div 0{,}3 = 4 \), donc 4 (vérification : \( 4 \times 0{,}3 = 1{,}2 \)) ;
• sous 8,5 : \( 8{,}5 \times 0{,}3 = 2{,}55 \), donc 2,55.

De même, L’énoncé dit que 20 repas demandent 4 kg de viande : on écrit donc 4 sous 20.

Par conséquent, coefficient : \( 4 \div 20 = 0{,}2 \). Puis il faut 0,2 kg de viande par repas (soit 200 g).

• Pour 150 repas : \( 150 \times 0{,}2 = 30 \), soit 30 kg. On peut aussi raisonner sans coefficient : 150 repas, c’est 7,5 fois 20 repas, et \( 7{,}5 \times 4 = 30 \).
• Avec 10 kg : \( 10 \div 0{,}2 = 50 \), soit 50 repas. Autre raisonnement : 10 kg, c’est 2,5 fois 4 kg, et \( 2{,}5 \times 20 = 50 \).

Par ailleurs, D’après l’énoncé, 10 kg de pommes donnent 6 L de jus : on écrit 6 sous 10.

De même, coefficient : \( 6 \div 10 = 0{,}6 \). Chaque kilogramme de pommes donne 0,6 L de jus.

• Avec 7 kg : \( 7 \times 0{,}6 = 4{,}2 \), soit 4,2 L de jus.
• Pour 1 L de jus : on fait l’opération inverse, \( 1 \div 0{,}6 \). Il est plus simple de dire : 6 L demandent 10 kg, donc 1 L demande 6 fois moins, \( \dfrac{10}{6} = \dfrac{5}{3} \text{ kg} \). Cette division ne tombe pas juste : \( \dfrac{5}{3} \approx 1{,}67 \text{ kg} \) (environ 1 kg et 670 g).

Ensuite, on n’a pas le droit de calculer le prix d’un yaourt : on utilise la propriété « si on multiplie le nombre de yaourts par un nombre, le prix doit être multiplié par le même nombre ».

• 8 yaourts, c’est 2 fois 4 yaourts, et \( 2 \times 1{,}70 = 3{,}40 \) : ces deux colonnes sont cohérentes.
• 16 yaourts, c’est 2 fois 8 yaourts. Si le prix était proportionnel, on paierait \( 2 \times 3{,}40 = 6{,}80 \) €. Or on paie 6,20 €, et \( 6{,}20 \neq 6{,}80 \).

Par ailleurs, le lot de 16 est moins cher que prévu (c’est une promotion pour les gros lots) : le prix payé n’est pas proportionnel au nombre de yaourts achetés.

Enfin, avant de calculer, on se demande à chaque fois si les deux grandeurs sont proportionnelles.

1. Ensuite, le nombre d’œufs est proportionnel au nombre de gâteaux. Deux gâteaux demandent deux fois plus d’œufs : \( 2 \times 4 = 8 \). De plus, il faut 8 œufs.

2. Par ailleurs, le prix est proportionnel à la masse de pommes : \( 2 \times 2{,}50 = 5 \). Deux kilogrammes coûtent 5 €.

3. De même, en roulant à la même vitesse, la durée est proportionnelle à la distance. 3 km demandent 10 min, donc 1,5 km (la moitié) demande 5 min. Comme \( 4{,}5 = 3 + 1{,}5 \), il faut \( 10 + 5 = 15 \) min. Julie met 15 minutes.

4. Par conséquent, le prix est proportionnel au nombre d’objets identiques. 10 objets coûtent 22 €, donc 5 objets coûtent la moitié, 11 €. Comme \( 15 = 10 + 5 \), 15 objets coûtent \( 22 + 11 = 33 \) €. Ensuite, ils coûtent 33 €.

5. De plus, C’est un piège : le nombre de buts marqués n’est pas proportionnel au temps de jeu. Mathieu peut marquer 0, 1, 2 buts ou plus en seconde mi-temps, personne ne peut le prévoir. Par ailleurs, on ne peut pas répondre par un calcul (répondre « 4 buts » serait une erreur de raisonnement).

De même, le prix est proportionnel au nombre de baguettes : 5 baguettes coûtent 4,25 € et 7 baguettes coûtent 5,95 €. Sans passer par le prix d’une baguette, on combine ces deux informations en additionnant, soustrayant ou multipliant les colonnes.

a. De plus, on a donc 12 baguettes = 5 baguettes + 7 baguettes, donc le prix est \( 4{,}25 + 5{,}95 = 10{,}20 \). Douze baguettes coûtent 10,20 €.

b. Ensuite, on a 2 baguettes = 7 baguettes − 5 baguettes, donc le prix est \( 5{,}95 – 4{,}25 = 1{,}70 \). Deux baguettes coûtent 1,70 €.

c. Ainsi, on trouve 3 baguettes = 5 baguettes − 2 baguettes, donc le prix est \( 4{,}25 – 1{,}70 = 2{,}55 \). Trois baguettes coûtent 2,55 €.

d. Par conséquent, on obtient 15 baguettes = 3 fois 5 baguettes, donc le prix est \( 3 \times 4{,}25 = 12{,}75 \). Quinze baguettes coûtent 12,75 €.

Ensuite, contrôle (une fois le travail fini) : une baguette coûte \( 4{,}25 \div 5 = 0{,}85 \) €, et \( 12 \times 0{,}85 = 10{,}20 \), \( 15 \times 0{,}85 = 12{,}75 \) : tout concorde.

Ainsi, dans chaque tableau, on cherche la colonne complète pour trouver le coefficient qui fait passer de la ligne du haut à celle du bas.

Enfin, premier tableau. La colonne complète est 13 et 52 : \( 52 \div 13 = 4 \). Puis on multiplie par 4 pour descendre.

• sous 19 : \( 19 \times 4 = 76 \) ;
• au-dessus de 12 : \( 12 \div 4 = 3 \).

Ensuite, second tableau. La colonne complète est 2 et 1 : \( 1 \div 2 = 0{,}5 \). Ensuite, on multiplie par 0,5 (on prend la moitié) pour descendre.

• sous 34 : \( 34 \times 0{,}5 = 17 \) ;
• au-dessus de 6 : \( 6 \div 0{,}5 = 12 \) (le double de 6).

1. Ainsi, un tableau est de proportionnalité si, dans chaque colonne, on passe du haut au bas en multipliant par le même nombre. Puis on calcule le quotient « bas ÷ haut » de chaque colonne.

• Premier tableau : \( 100 \div 2 = 50 \) ; \( 400 \div 8 = 50 \) ; \( 1200 \div 24 = 50 \). Les quotients sont tous égaux : c’est un tableau de proportionnalité.
• Second tableau : \( 6 \div 2 = 3 \) ; \( 9 \div 3 = 3 \) ; \( 15 \div 5 = 3 \). Les quotients sont tous égaux : c’est un tableau de proportionnalité.

2. Par conséquent, le coefficient de proportionnalité est ce quotient commun : 50 pour le premier tableau et 3 pour le second.

a. Ensuite, par ailleurs, le coefficient est donné : × 6.

• \( 3 \times 6 = 18 \) ; \( 4 \times 6 = 24 \) ; \( 7{,}5 \times 6 = 45 \) ;
• au-dessus de 54 : \( 54 \div 6 = 9 \).

b. De même, la colonne complète est 7 et 35 : \( 35 \div 7 = 5 \). De plus, le coefficient est × 5.

• au-dessus de 45 : \( 45 \div 5 = 9 \) ;
• sous 6 : \( 6 \times 5 = 30 \) ;
• sous 12,5 : \( 12{,}5 \times 5 = 62{,}5 \).

c. Par conséquent, la colonne complète est 6 et 1,8 : \( 1{,}8 \div 6 = 0{,}3 \). Ensuite, le coefficient est × 0,3 (c’est le même tableau qu’à l’exercice 26).

• sous 5 : \( 5 \times 0{,}3 = 1{,}5 \) ;
• au-dessus de 1,2 : \( 1{,}2 \div 0{,}3 = 4 \) ;
• sous 8,5 : \( 8{,}5 \times 0{,}3 = 2{,}55 \).

1. Par ailleurs, la colonne complète est 2 et 3,4. Puis, par ailleurs, le coefficient de proportionnalité est :

Par conséquent, on obtient \[ 3{,}4 \div 2 = 1{,}7 \]

Ensuite, par conséquent, on passe de la première ligne à la deuxième en multipliant par 1,7.

2.

• sous 0,25 : \( 0{,}25 \times 1{,}7 = 0{,}425 \) ;
• au-dessus de 51 : \( 51 \div 1{,}7 = 30 \) (vérification : \( 30 \times 1{,}7 = 51 \)) ;
• sous \( \dfrac{3}{4} \) : on écrit \( \dfrac{3}{4} = 0{,}75 \), puis \( 0{,}75 \times 1{,}7 = 1{,}275 \).

Ainsi, dans chaque tableau, trois nombres sont connus : on cherche la quatrième proportionnelle. Puis on repère par quel nombre on multiplie (ou divise) sur la ligne complète, et on fait la même chose sur l’autre ligne.

• Tableau 1. En bas, on passe de 12 à 6 en divisant par 2. En haut : \( 10 \div 2 = 5 \). La case vaut 5.
• Tableau 2. En bas, on passe de 1 à 4 en multipliant par 4. En haut : \( 4 \times 4 = 16 \). La case vaut 16.
• Tableau 3. En bas, on passe de 8 à 2 en divisant par 4. En haut : \( 6 \div 4 = 1{,}5 \). La case vaut 1,5.
• Tableau 4. En bas, on passe de 4 à 8 en multipliant par 2. En haut : \( 1 \times 2 = 2 \). La case vaut 2.

Par conséquent, ramener une note sur 20, c’est garder la même proportion de points : la note est proportionnelle au total. Ensuite, le tableau est donc un tableau de proportionnalité.

De plus, on passe par la note sur 5, car 5 divise à la fois 15 et 20 : 15, c’est 3 fois 5, donc sur 5 points Youssef aurait \( 9 \div 3 = 3 \) points. Et 20, c’est 4 fois 5, donc :

Ainsi, on trouve \[ N = 3 \times 4 = 12 \]

Enfin, vérification avec le coefficient : \( 9 \div 15 = 0{,}6 \) et \( 20 \times 0{,}6 = 12 \).

Ensuite, youssef a 12 sur 20.