Corrigé des 21 exercices sur les lois à densité en terminale : solutions détaillées à télécharger en PDF

1) La trotteuse tourne de façon continue et uniforme : aucune position n’est privilégiée entre 0 et 60 secondes. De plus, la variable aléatoire \(X\) donnant la valeur lue suit donc la loi uniforme sur \([0\,;\,60]\), de densité \(f(x)=\dfrac{1}{60}\) sur cet intervalle.

2) Paul répond oui lorsque \(45 \leqslant X \leqslant 60\). Ensuite, pour une loi uniforme sur \([a\,;\,b]\), \(P(c \leqslant X \leqslant d)=\dfrac{d-c}{b-a}\) :

\[ P(45 \leqslant X \leqslant 60)=\frac{60-45}{60-0}=\frac{15}{60}=\frac{1}{4}. \]

La loi uniforme sur \([a\,;\,b]\) a pour densité la fonction constante \(f(x)=\dfrac{1}{b-a}\) sur \([a\,;\,b]\) (et \(f(x)=0\) en dehors), de sorte que l’aire totale sous la courbe vaut 1.

• 1) \(\mathcal{U}([-1\,;\,1])\) : \(f(x)=\dfrac{1}{1-(-1)}=\dfrac12\) sur \([-1\,;\,1]\).
• 2) \(\mathcal{U}([0\,;\,120])\) : \(f(x)=\dfrac{1}{120}\) sur \([0\,;\,120]\).
• 3) \(\mathcal{U}([-10\,;\,20])\) : \(f(x)=\dfrac{1}{20-(-10)}=\dfrac{1}{30}\) sur \([-10\,;\,20]\).
• 4) \(\mathcal{U}([-0{,}1\,;\,0{,}3])\) : \(f(x)=\dfrac{1}{0{,}3-(-0{,}1)}=\dfrac{1}{0{,}4}=\dfrac52\) sur \([-0{,}1\,;\,0{,}3]\).

Pour une loi exponentielle de paramètre \(\lambda\) : \(P(Y \leqslant t)=1-\mathrm{e}^{-\lambda t}\), \(P(Y \geqslant t)=\mathrm{e}^{-\lambda t}\) et \(P(a \leqslant Y \leqslant b)=\mathrm{e}^{-\lambda a}-\mathrm{e}^{-\lambda b}\). Ainsi, ici \(\lambda=0{,}001\).

1) \(P(Y \lt 1\,500)=1-\mathrm{e}^{-0{,}001\times 1\,500}=\mathbf{1-\mathrm{e}^{-1{,}5}}\approx 0{,}777\).

2) \(P(400 \leqslant Y \leqslant 2\,000)=\mathrm{e}^{-0{,}4}-\mathrm{e}^{-2}\approx 0{,}535\).

3) \(P(Y \geqslant 1\,000)=\mathrm{e}^{-0{,}001\times 1\,000}=\mathrm{e}^{-1}\approx 0{,}368\).

4) La loi exponentielle est sans vieillissement : \(P_{Y\gt t}(Y\gt t+h)=P(Y\gt h)\). De même, avec \(t=h=1\,000\) :

\[ P_{Y\gt 1\,000}(Y\gt 2\,000)=\frac{P(Y\gt 2\,000)}{P(Y\gt 1\,000)}=\frac{\mathrm{e}^{-2}}{\mathrm{e}^{-1}}=\mathrm{e}^{-1}. \]

1) La densité de la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\) est \(f(x)=\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}\) sur \([0\,;\,+\infty[\). Donc \(f(0)=\lambda\mathrm{e}^{0}=\lambda\). Ensuite, comme \(f(0)=0{,}5\), on obtient \(\lambda=0{,}5\).

2) L’espérance d’une loi exponentielle est \(E(X)=\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{1}{0{,}5}=2\).

1) \(P(D\gt 3)=\mathrm{e}^{-3\lambda}\). Puis l’égalité \(\mathrm{e}^{-3\lambda}=\mathrm{e}^{-0{,}9}\) donne, la fonction exponentielle étant strictement croissante, \(-3\lambda=-0{,}9\), soit \(\lambda=0{,}3\).

2) \(P(D\leqslant 2)=1-\mathrm{e}^{-0{,}3\times 2}=1-\mathrm{e}^{-0{,}6}\approx 0{,}451\).

La courbe en cloche est symétrique par rapport à la droite \(x=8\) : \(X\) suit une loi normale d’espérance \(\mu=8\). Par ailleurs, le graphique indique \(P(7\lt X\lt 9)=0{,}5\), et l’intervalle \([7\,;\,9]\) est centré en 8.

1) Par symétrie, \(P(8\lt X\lt 9)=\dfrac{0{,}5}{2}=0{,}25\).

2) \(P(X\geqslant 8)=0{,}5\), donc \(P(X\geqslant 9)=0{,}5-P(8\lt X\lt 9)=0{,}5-0{,}25=0{,}25\).

3) \(P(X\leqslant 9)=1-P(X\gt 9)=1-0{,}25=0{,}75\).

4) Par définition d’une probabilité conditionnelle :

\[ P_{X\gt 7}(X\leqslant 8)=\frac{P(7\lt X\leqslant 8)}{P(X\gt 7)}=\frac{0{,}25}{0{,}75}=\frac13, \]

car \(P(7\lt X\leqslant 8)=0{,}25\) et \(P(X\gt 7)=P(X\lt 9)=0{,}75\) par symétrie.

La courbe est symétrique autour de \(\mu=11\) et \(P(Y\geqslant 13)=0{,}09\). Puis les nombres 9 et 13 sont symétriques par rapport à 11.

1) Par symétrie, \(P(Y\leqslant 9)=P(Y\geqslant 13)=0{,}09\).

2) \(P(11\lt Y\leqslant 13)=P(Y\gt 11)-P(Y\gt 13)=0{,}5-0{,}09=0{,}41\).

3) \(P(Y\geqslant 9)=1-P(Y\lt 9)=1-0{,}09=0{,}91\).

4) \(P(9\lt Y\leqslant 13)=1-0{,}09-0{,}09=0{,}82\), donc

\[ P_{Y\gt 9}(Y\leqslant 13)=\frac{P(9\lt Y\leqslant 13)}{P(Y\gt 9)}=\frac{0{,}82}{0{,}91}=\frac{82}{91}\approx 0{,}901. \]

La courbe est symétrique par rapport à la droite \(x=20\), donc \(\mu=20\).

De plus, on sait que pour une loi normale \(\mathcal{N}(\mu\,;\,\sigma^2)\), \(P(\mu-2\sigma\leqslant X\leqslant \mu+2\sigma)\approx 0{,}954\). Ensuite, le graphique donne \(P(15\leqslant X\leqslant 25)\approx 0{,}954\) avec \(15=20-5\) et \(25=20+5\). Puis on en déduit \(2\sigma=5\), soit \(\sigma=2{,}5\).

1) On sait que \(P(\mu-3\sigma\leqslant X\leqslant \mu+3\sigma)\approx 0{,}997\). De plus, l’intervalle \([-7\,;\,17]\) est centré en \(\mu=5\) : \(-7=5-12\) et \(17=5+12\). Donc \(3\sigma=12\), soit \(\sigma=4\).

2) a) \([1\,;\,9]=[5-4\,;\,5+4]=[\mu-\sigma\,;\,\mu+\sigma]\). Ensuite, la loi étant continue, inclure ou non les bornes ne change rien :

\[ P(1\leqslant X\lt 9)=P(\mu-\sigma\leqslant X\leqslant \mu+\sigma)\approx 0{,}683. \]

b) \([5\,;\,9]\) est la moitié droite de cet intervalle ; par symétrie autour de \(\mu=5\) :

\[ P(5\lt X\lt 9)\approx\frac{0{,}683}{2}\approx 0{,}341. \]

\(X\) suit \(\mathcal{N}(3\,;\,\sigma^2)\) : sa courbe est symétrique autour de \(\mu=3\), et \(P(X\lt 3)=0{,}5\). Par ailleurs, les nombres 1 et 5 sont symétriques par rapport à 3.

1) \(P(1\leqslant X\lt 3)=P(X\lt 3)-P(X\lt 1)=0{,}5-0{,}4=0{,}1\).

2) Par symétrie, \(P(X\gt 5)=P(X\lt 1)=0{,}4\).

3) \(P(X\lt 5)=1-0{,}4=0{,}6\) et \(P(1\leqslant X\lt 5)=0{,}1+0{,}1=0{,}2\), donc

\[ P_{X\lt 5}(X\geqslant 1)=\frac{P(1\leqslant X\lt 5)}{P(X\lt 5)}=\frac{0{,}2}{0{,}6}=\frac13. \]

1) \(X\) suit la loi normale \(\mathcal{N}(\mu\,;\,2^2)\). Puis on sait que \(P(\mu-3\sigma\leqslant X\leqslant \mu+3\sigma)\approx 0{,}997\). Par ailleurs, par symétrie de la courbe autour de \(\mu\), chacune des deux « queues » a pour probabilité

\[ P(X\geqslant \mu+3\sigma)\approx \dfrac{1-0{,}997}{2}=0{,}0015. \]

Ainsi, c’est exactement la probabilité donnée pour \(P(X\geqslant 11)\). Ensuite, on en déduit \(\mu+3\sigma=11\), soit \(\mu+6=11\), donc \(\mu=5\).

2) La courbe de densité est symétrique par rapport à la droite \(x=\mu=5\), donc la moitié de l’aire totale se trouve à gauche de 5 :

\[ P(X\lt 5)=P(X\lt \mu)=0{,}5. \]

1) On vérifie les trois conditions d’une fonction de densité sur \([0\,;\,2]\) :

• \(f\) est continue sur \([0\,;\,2]\) (fonction linéaire) ;
• \(f\) est positive : pour \(x\in[0\,;\,2]\), \(f(x)=\dfrac{1}{2}x\geqslant 0\) ;
• son intégrale vaut 1 : une primitive de \(f\) est \(F(x)=\dfrac{x^2}{4}\), donc

\[ \int_0^2 \dfrac{1}{2}x\,\mathrm{d}x=\left[\dfrac{x^2}{4}\right]_0^2=\dfrac{4}{4}-0=1. \]

\(f\) est donc bien une fonction de densité sur \([0\,;\,2]\).

2) Pour \(0\leqslant c\leqslant d\leqslant 2\), \(P(c\leqslant X\leqslant d)=F(d)-F(c)=\dfrac{d^2-c^2}{4}\).

• a) \(P(0{,}5\leqslant X\leqslant 1{,}5)=\dfrac{1{,}5^2-0{,}5^2}{4}=\dfrac{2{,}25-0{,}25}{4}=\dfrac{2}{4}=\mathbf{0{,}5}\).
• b) \(P(X\leqslant 1)=P(0\leqslant X\leqslant 1)=\dfrac{1^2-0}{4}=\mathbf{0{,}25}\).
• c) \(P(X\gt 1)=1-P(X\leqslant 1)=1-0{,}25=\mathbf{0{,}75}\).
• d) \(P(0\leqslant X\leqslant 2)=\mathbf{1}\) : c’est l’intégrale calculée à la question 1 (événement certain).

On lit sur le graphique : sur \([0\,;\,2]\), la densité est la droite passant par l’origine et par \((2\,;\,0{,}25)\), donc \(f(x)=0{,}125\,x\) ; sur \([2\,;\,5]\), \(f(x)=0{,}25\). Puis une probabilité est l’aire sous la courbe : on calcule des aires de triangles, de trapèzes et de rectangles.

Vérification : aire totale \(=\dfrac{2\times 0{,}25}{2}+3\times 0{,}25=0{,}25+0{,}75=1\).

• 1) Triangle de base 1 et de hauteur \(f(1)=0{,}125\) : \(P(0\leqslant X\leqslant 1)=\dfrac{1\times 0{,}125}{2}=\mathbf{0{,}0625}\).
• 2) Rectangle de largeur 2 et de hauteur 0,25 : \(P(2\leqslant X\leqslant 4)=2\times 0{,}25=\mathbf{0{,}5}\).
• 3) Sur \([1\,;\,2]\), trapèze : \(\dfrac{(0{,}125+0{,}25)\times 1}{2}=0{,}1875\). Donc \(P(1\leqslant X\leqslant 4)=0{,}1875+0{,}5=\mathbf{0{,}6875}\).
• 4) \(P(X\lt 3)=P(0\leqslant X\leqslant 2)+P(2\leqslant X\lt 3)=0{,}25+1\times 0{,}25=\mathbf{0{,}5}\).

La courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées : l’aire totale vaut 1, et chaque moitié vaut 0,5, donc \(P(X\leqslant 0)=P(X\geqslant 0)=0{,}5\).

• 1) Par symétrie, l’aire entre \(-0{,}4\) et 0 est égale à l’aire entre 0 et 0,4 : \(P(-0{,}4\leqslant X\leqslant 0)=P(0\leqslant X\leqslant 0{,}4)=\mathbf{0{,}155}\).
• 2) \(P(X\gt 0{,}4)=P(X\geqslant 0)-P(0\leqslant X\leqslant 0{,}4)=0{,}5-0{,}155=\mathbf{0{,}345}\).
• 3) \(P(X\leqslant 0{,}4)=1-P(X\gt 0{,}4)=1-0{,}345=\mathbf{0{,}655}\).
• 4) \(P(-0{,}4\leqslant X\leqslant 0{,}4)=0{,}155+0{,}155=\mathbf{0{,}31}\).

La courbe est symétrique par rapport à la droite d’équation \(x=125\) : \(P(X\leqslant 125)=P(X\geqslant 125)=0{,}5\). De plus, les nombres 123 et 127 sont symétriques par rapport à 125 (\(125-2\) et \(125+2\)).

• 1) Par symétrie : \(P(123\leqslant X\leqslant 125)=P(125\leqslant X\leqslant 127)=\mathbf{0{,}341}\).
• 2) \(P(X\gt 125)=\mathbf{0{,}5}\) (la moitié de l’aire).
• 3) \(P(X\leqslant 123)=P(X\leqslant 125)-P(123\leqslant X\leqslant 125)=0{,}5-0{,}341=\mathbf{0{,}159}\).
• 4) Par symétrie, \(P(127\leqslant X)=P(X\leqslant 123)=\mathbf{0{,}159}\) (ou \(0{,}5-0{,}341\)).

1) L’algorithme demande deux nombres \(c\) et \(d\) de \([0\,;\,60]\) (avec \(c\leqslant d\)) et affiche \(P=\dfrac{d-c}{60-0}\). Or, si \(X\) suit la loi uniforme sur \([0\,;\,60]\), on a \(P(c\leqslant X\leqslant d)=\dfrac{d-c}{60-0}\). Ensuite, l’algorithme sert donc à calculer la probabilité \(P(c\leqslant X\leqslant d)\) pour une variable aléatoire \(X\) de loi uniforme sur \([0\,;\,60]\) (par exemple la position d’une trotteuse).

2) On ajoute les bornes \(a\) et \(b\) comme variables, on les demande à l’utilisateur, et on remplace 0 et 60 par \(a\) et \(b\) :

1. Liste des variables utilisées
2. a, b, P, c, d : réels
3. Traitement
4. Afficher « Donner les bornes a et b de l’intervalle [a ; b] »
5. Demander a
6. Demander b
7. Afficher « Donner les valeurs c et d d’un intervalle [c ; d], c et d sont deux nombres entre a et b »
8. Demander c
9. Demander d
10. Donner à P la valeur \(\dfrac{d-c}{b-a}\)
11. Sortie
12. Afficher la valeur de P

3) L’espérance d’une variable aléatoire de loi uniforme sur \([a\,;\,b]\) est \(E(X)=\dfrac{a+b}{2}\). Par ailleurs, il faut ajouter une variable réelle E, l’instruction « Donner à E la valeur \(\dfrac{a+b}{2}\) » dans le traitement, et « Afficher la valeur de E » dans la sortie.

1) La densité de la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\) est \(f(x)=\lambda\,\mathrm{e}^{-\lambda x}\) sur \([0\,;\,+\infty[\). De même, comme \(A(0\,;\,2)\) est sur la courbe, \(f(0)=\lambda\,\mathrm{e}^{0}=\lambda=2\). Donc \(\lambda=2\).

2) Pour \(t\geqslant 0\), \(P(X\lt t)=1-\mathrm{e}^{-2t}\) et \(P(X\geqslant t)=\mathrm{e}^{-2t}\).

\[ P(X\lt 0{,}5)=1-\mathrm{e}^{-1}\approx 0{,}632 \quad\text{et}\quad P(X\geqslant 0{,}5)=\mathrm{e}^{-1}\approx 0{,}368. \]

Ensuite, ces deux probabilités sont différentes : l’égalité est fausse.

3) Comme \(P(X\lt t)+P(X\geqslant t)=1\), l’égalité \(P(X\lt t)=P(X\geqslant t)\) équivaut à \(P(X\geqslant t)=\dfrac{1}{2}\) :

\[ \mathrm{e}^{-2t}=\dfrac{1}{2} \iff -2t=\ln\dfrac{1}{2}=-\ln 2 \iff t=\dfrac{\ln 2}{2}\approx 0{,}347. \]

Puis ce nombre est la médiane de \(X\). Puis on remarque que \(f(t)=2\,\mathrm{e}^{-\ln 2}=1\) : sur le graphique, c’est l’abscisse du point de la courbe d’ordonnée 1.

\(X\) suit la loi uniforme sur \([0\,;\,100]\), de densité \(f(x)=\dfrac{1}{100}\) sur cet intervalle.

1) La probabilité est la longueur de l’intervalle divisée par la longueur totale :

\[ P(X\lt 20)=P(0\leqslant X\lt 20)=\dfrac{20-0}{100-0}=0{,}2. \]

2) L’espérance d’une loi uniforme sur \([a\,;\,b]\) est le milieu de l’intervalle :

\[ E(X)=\dfrac{0+100}{2}=50. \]

On lit sur le quadrillage (un carreau vertical vaut 0,0625) : \(f(x)=0{,}0625=\dfrac{1}{16}\) sur \([2\,;\,6]\), puis \(f\) est affine de \((6\,;\,0{,}0625)\) à \((10\,;\,0{,}3125)\). De plus, sur \([6\,;\,10]\), le coefficient directeur est \(\dfrac{0{,}3125-0{,}0625}{4}=0{,}0625\), donc \(f(x)=\dfrac{x-5}{16}\).

1. \(f\) est continue sur \([2\,;\,10]\) (la courbe est tracée sans lever le crayon) et positive (la courbe est au-dessus de l’axe). Ensuite, l’aire sous la courbe est celle d’un rectangle et d’un trapèze :

\[ \int_2^{10} f(x)\,\mathrm{d}x = 4\times 0{,}0625+\dfrac{(0{,}0625+0{,}3125)\times 4}{2}=0{,}25+0{,}75=1. \]

\(f\) est donc bien une densité de probabilité sur \([2\,;\,10]\).

2. a) \(f(8)=\dfrac{3}{16}=0{,}1875\). Par ailleurs, aire du rectangle sur \([2\,;\,6]\) plus aire du trapèze sur \([6\,;\,8]\) :

\[ P(2\leqslant X\leqslant 8)=0{,}25+\dfrac{(0{,}0625+0{,}1875)\times 2}{2}=0{,}25+0{,}25=0{,}5. \]

2. b) \(P(2\leqslant X\leqslant 4)=2\times 0{,}0625=0{,}125\), donc \(P(X\gt 4)=1-0{,}125=0{,}875\).

3. \(P(X\gt 8)=1-P(X\leqslant 8)=1-0{,}5=0{,}5\). Donc oui, \(P(X\leqslant 8)=P(X\gt 8)=0{,}5\) : la droite \(x=8\) partage l’aire sous la courbe en deux parties égales (8 est la médiane de \(X\)).

Une primitive de \(f(x)=4x^3\) est \(F(x)=x^4\). Puis pour \(0\leqslant c\leqslant d\leqslant 1\) : \(P(c\leqslant T\leqslant d)=d^4-c^4\).

1. a) \(P(T\leqslant 0{,}2)=0{,}2^4-0^4=\mathbf{0{,}0016}\).

Après cela, 1. b) \(P(0{,}1\leqslant T\leqslant 0{,}8)=0{,}8^4-0{,}1^4=0{,}4096-0{,}0001=\mathbf{0{,}4095}\).

1. c) \(P(T\gt 0{,}6)=1^4-0{,}6^4=1-0{,}1296=\mathbf{0{,}8704}\).

2. Pour \(a\in[0\,;\,1]\), \(P(T\lt a)=a^4\). De plus, on résout \(a^4=0{,}25\) avec \(a\geqslant 0\) :

\[ a^2=\sqrt{0{,}25}=0{,}5 \quad\text{puis}\quad a=\sqrt{0{,}5}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}707. \]

\(f(x)=2\,\mathrm{e}^{-2x}\) est la densité de la loi exponentielle de paramètre \(\lambda=2\). Ensuite, une primitive de \(f\) est \(F(x)=-\mathrm{e}^{-2x}\).

Ainsi, pour tout entier naturel \(n\) :

\[ \begin{aligned} P(n\leqslant X\leqslant n+1) &= \int_n^{n+1} 2\,\mathrm{e}^{-2x}\,\mathrm{d}x = \left[-\mathrm{e}^{-2x}\right]_n^{n+1} \\ &= -\mathrm{e}^{-2(n+1)}+\mathrm{e}^{-2n} \\ &= \mathrm{e}^{-2n}\left(1-\mathrm{e}^{-2}\right). \end{aligned} \]

De même, par exemple, pour \(n=0\) : \(P(0\leqslant X\leqslant 1)=1-\mathrm{e}^{-2}\approx 0{,}865\). Par ailleurs, ces probabilités forment une suite géométrique de raison \(\mathrm{e}^{-2}\).