Angles et polygones en 6ème : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

Un angle est formé par deux demi-droites de même origine : cette origine est le sommet, les demi-droites sont les côtés. Pour nommer l’angle, on écrit trois lettres avec la lettre du sommet au milieu, surmontées d’un chapeau.

• Angle vert : son sommet est A, ses côtés sont les demi-droites [Ax) et [Ay). Il se nomme \( \widehat{xAy} \) (ou \( \widehat{yAx} \)).
• Angle orange : son sommet est O, ses côtés sont [OC) et [Oz). Il se nomme \( \widehat{COz} \) (ou \( \widehat{zOC} \)).
• Angle bleu : son sommet est P, sommet du triangle LPT ; ses côtés sont [PL) et [PT). Il se nomme \( \widehat{LPT} \) (ou \( \widehat{TPL} \)).

On compare chaque angle à l’angle droit (le coin d’une équerre ou d’une feuille) :

• un angle aigu est plus petit qu’un angle droit (mesure comprise entre 0° et 90°) ;
• un angle droit mesure exactement 90° ;
• un angle obtus est plus grand qu’un angle droit mais plus petit qu’un angle plat (entre 90° et 180°).

En posant le coin de l’équerre sur le sommet de chaque angle, on obtient :

• Angles aigus : ①, ⑤, ⑦ et ⑧ (l’angle ⑧ est le plus fermé).
• Angle droit : ⑥ (ses deux côtés coïncident avec ceux de l’équerre).
• Angles obtus : ②, ③, ④ et ⑨ (l’angle ⑨ ne dépasse l’angle droit que d’une dizaine de degrés : l’équerre le montre bien).

Méthode : le centre du rapporteur est sur le sommet, la ligne du 0 est sur un côté. On lit alors sur la graduation qui commence à 0 sur ce côté.

a. Le sommet est A et le côté [AB) part vers la droite. On utilise donc la graduation dont le 0 est à droite (la graduation extérieure). La demi-droite [AC) passe à deux petites graduations avant 50. On lit :

\[ \widehat{BAC} = 48^{\circ} \]

C’est bien un angle aigu, ce qui confirme qu’on n’a pas lu 132° sur l’autre graduation.

b. Le sommet est O et le côté [ON) part vers la gauche. On utilise la graduation dont le 0 est à gauche (la graduation intérieure). La demi-droite [OM) passe juste avant 100, à deux petites graduations. On lit :

\[ \widehat{MON} = 98^{\circ} \]

L’angle est obtus (un peu plus grand qu’un angle droit), la lecture est donc cohérente (82° serait un angle aigu).

On décide d’abord à l’œil si l’angle est aigu ou obtus, puis on lit la mesure en partant du 0 situé sur le côté posé contre la ligne du rapporteur (graduations de 10° en 10°). L’ordre de grandeur évite de lire sur la mauvaise graduation.

• a. L’angle bleu est plus petit que l’angle droit : il est aigu. On compte les graduations depuis le côté horizontal gauche : 50°.
• b. L’angle vert dépasse la graduation 90° : il est obtus. Il mesure 110°.
• c. L’angle orange est nettement plus petit que l’angle droit : il est aigu. Il mesure 40°.
• d. L’angle rose dépasse légèrement le 90° : il est obtus. Il mesure 100°.

a. Triangle RVE avec \( RV = 7{,}3\text{ cm} \), \( VE = 5{,}5\text{ cm} \) et \( \widehat{RVE} = 130^{\circ} \).

1. À la règle, tracer le segment [VR] de 7,3 cm.
2. Placer le centre du rapporteur en V, le 0 sur [VR), et marquer un repère à 130° (angle obtus : il doit être plus ouvert que l’angle droit).
3. Tracer la demi-droite issue de V passant par ce repère et y placer E à 5,5 cm de V.
4. Tracer le segment [RE].

Contrôle : en mesurant, on trouve \( RE \approx 11{,}6\text{ cm} \) : c’est le plus grand côté, car il est en face de l’angle obtus.

b. Les droites (AD) et (IP) se coupent en S.

1. Tracer le segment [AI] de 9,4 cm.
2. En A, avec le rapporteur, tracer une demi-droite faisant un angle de 35° avec [AI), vers le bas.
3. En I, tracer une demi-droite faisant un angle de 22° avec [IA), du même côté.
4. Les deux demi-droites se coupent en S.
5. Prolonger [IS) au-delà de S et placer P tel que \( SP = 4{,}1\text{ cm} \).
6. Prolonger [AS) au-delà de S et placer D tel que \( SD = 5{,}5\text{ cm} \).

Contrôle : on doit mesurer environ \( AS \approx 4{,}2\text{ cm} \) et \( IS \approx 6{,}4\text{ cm} \).

a. Quadrilatère EFGH. On commence par le triangle EFH, dont on connaît un côté et les deux angles adjacents.

1. Tracer [EH] de 4,2 cm.
2. En E, tracer une demi-droite formant un angle de 58° avec [EH) ; en H, une demi-droite formant un angle de 53° avec [HE), du même côté. Elles se coupent en F.
3. En F, placer le rapporteur sur [FE) et tracer la demi-droite qui fait 126° avec [FE), en passant au-delà de [FH). Placer G sur cette demi-droite à 4,8 cm de F.
4. Tracer [GH].

Contrôle : l’angle \( \widehat{EFH} \) mesure \( 180^{\circ} – 58^{\circ} – 53^{\circ} = 69^{\circ} \), donc \( \widehat{HFG} = 126^{\circ} – 69^{\circ} = 57^{\circ} \).

b. Quadrilatère IJKL. Les codages indiquent \( KJ = LK = 5{,}3\text{ cm} \) et un angle droit en K.

1. Tracer [LK] de 5,3 cm.
2. En K, tracer à l’équerre la perpendiculaire à (LK) et placer J à 5,3 cm de K.
3. En L, tracer une demi-droite faisant un angle de 64° avec [LK).
4. En J, tracer une demi-droite faisant un angle de 93° avec [JK). Elle coupe la précédente en I.

Contrôle : la somme des angles d’un quadrilatère vaut 360°, donc \( \widehat{LIJ} = 360^{\circ} – 64^{\circ} – 90^{\circ} – 93^{\circ} = 113^{\circ} \) ; on doit le retrouver au rapporteur.

a. Le codage indique que l’angle \( \widehat{OGL} \) est droit. La demi-droite [GA) le partage en deux angles : \( \widehat{OGA} \) et \( \widehat{AGL} = 23^{\circ} \). Donc :

\[ \widehat{OGA} = 90^{\circ} – 23^{\circ} = 67^{\circ} \]

Comme \( 67^{\circ} \lt 90^{\circ} \), l’angle \( \widehat{OGA} \) est aigu.

b. Les points O, A et L sont alignés, donc \( \widehat{OAL} \) est un angle plat : il mesure 180°. La demi-droite [AG) le partage en \( \widehat{OAG} = 45^{\circ} \) et \( \widehat{GAL} \). Donc :

\[ \widehat{GAL} = 180^{\circ} – 45^{\circ} = 135^{\circ} \]

Comme \( 90^{\circ} \lt 135^{\circ} \lt 180^{\circ} \), l’angle \( \widehat{GAL} \) est obtus.

B, A et C sont alignés, donc \( \widehat{BAC} \) est un angle plat de 180°. Les demi-droites [Au) et [Av) le partagent en trois angles : \( \widehat{BAu} = 87^{\circ} \), \( \widehat{uAv} \) et \( \widehat{vAC} = 42^{\circ} \).

a. Les trois angles se complètent pour former l’angle plat :

\[ \begin{aligned} \widehat{uAv} &= 180^{\circ} – 87^{\circ} – 42^{\circ} \\ &= 180^{\circ} – 129^{\circ} \\ &= 51^{\circ} \end{aligned} \]

b. \( \widehat{BAv} \) et \( \widehat{vAC} \) forment l’angle plat :

\[ \widehat{BAv} = 180^{\circ} – 42^{\circ} = 138^{\circ} \]

(On vérifie : \( 87^{\circ} + 51^{\circ} = 138^{\circ} \).)

c. \( \widehat{BAu} \) et \( \widehat{uAC} \) forment l’angle plat :

\[ \widehat{uAC} = 180^{\circ} – 87^{\circ} = 93^{\circ} \]

(On vérifie : \( 51^{\circ} + 42^{\circ} = 93^{\circ} \).)

a. On trace [BC), puis au rapporteur (centre en B, 0 sur [BC)) la demi-droite [BA) à 104° : l’angle est obtus.

b. La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui le partage en deux angles de même mesure. Au compas : on trace un arc de centre B qui coupe les deux côtés, puis deux arcs de même rayon centrés sur ces points ; ils se croisent sur la bissectrice. On y place D :

\[ \widehat{ABD} = \widehat{DBC} = 104^{\circ} \div 2 = 52^{\circ} \]

c. On recommence avec l’angle \( \widehat{DBC} \) de 52° ; sa bissectrice porte N :

\[ \widehat{DBN} = \widehat{NBC} = 52^{\circ} \div 2 = 26^{\circ} \]

d. L’angle \( \widehat{ABN} \) est formé de \( \widehat{ABD} \) et de \( \widehat{DBN} \) :

\[ \widehat{ABN} = 52^{\circ} + 26^{\circ} = 78^{\circ} \]

e. Oui, on pouvait le prévoir par le calcul, sans mesurer. L’angle \( \widehat{NBC} \) représente le quart de \( \widehat{ABC} \) : \( 104^{\circ} \div 4 = 26^{\circ} \). Donc \( \widehat{ABN} = 104^{\circ} – 26^{\circ} = 78^{\circ} \) : c’est les trois quarts de l’angle de départ. La mesure au rapporteur sur la figure doit confirmer ce résultat.

a. Reproduction en vraie grandeur.

1. Tracer le cercle de centre R et de rayon 5 cm, puis le rayon [RT].
2. Au rapporteur (centre en R, 0 sur [RT)), tracer [RA) avec \( \widehat{TRA} = 66^{\circ} \) ; A est sur le cercle.
3. En A, tracer une demi-droite faisant 73° avec [AR) ; elle recoupe le cercle en M.
4. En T, tracer une demi-droite faisant 54° avec [TR) vers le bas ; elle recoupe le cercle en I.
5. En I, tracer une demi-droite faisant 109° avec [IT) ; elle recoupe le cercle en N.
6. Tracer le segment [MN].

b. Au rapporteur, sur une figure soignée, on mesure :

• \( \widehat{AMN} \approx 104^{\circ} \) : plus grand qu’un angle droit, c’est un angle obtus ;
• \( \widehat{INM} \approx 86^{\circ} \) : un peu plus petit qu’un angle droit, c’est un angle aigu (on vérifie à l’équerre qu’il n’est pas droit).

Une petite erreur de tracé peut donner un ou deux degrés d’écart, mais la nature des angles ne change pas.