Patrons de prismes et cylindres : corrigé du contrôle de maths en 5ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 5ème sur le thème « patrons de prismes et cylindres », question par question.
Cette correction reprend chaque question avec la rédaction attendue en 5e : le vocabulaire exact (base, face latérale, arête), les propriétés utilisées et les calculs posés en ligne. Les trois constructions sont redessinées : la perspective cavalière complétée, le patron de la boîte de thé à l’échelle et le patron de la tente.
Compare d’abord tes réponses avec la correction, puis lis les remarques sur les erreurs fréquentes, notamment la confusion entre pyramide et prisme. Ensuite, vérifie tes tracés au double décimètre : un patron n’est juste que si les côtés qui se collent ont la même longueur. Le barème détaillé t’aide enfin à estimer ta note sur 20.
L’énoncé complet se trouve ici : Patrons de prismes et cylindres : contrôle de maths en 5ème.
Barème du contrôle corrigé : patrons de prismes et cylindres
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Quatre solides à identifier | 4 points |
| 2. Une perspective à terminer | 3 points |
| 3. Le bon patron | 3 points |
| 4. La boîte de thé | 5 points |
| 5. La tente de camping | 5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : patrons de prismes et cylindres
Exercice 1 – Quatre solides à identifier (4 points)
- A est un prisme droit à base triangulaire, B est un cylindre de révolution, C est une pyramide à base carrée et D est un prisme droit à base hexagonale.
- Le solide A a deux bases triangulaires. Il a donc 3 faces latérales, une par côté du triangle, et ce sont des rectangles. De plus, le solide D a deux bases hexagonales ; il a ainsi 6 faces latérales rectangulaires. A : bases triangulaires et 3 faces latérales ; D : bases hexagonales et 6 faces latérales.
- Pour A : \(2 + 3 = 5\) faces ; 3 arêtes sur chaque base et 3 arêtes latérales, soit \(3 + 3 + 3 = 9\) arêtes ; enfin 3 sommets par base, soit \(3 \times 2 = 6\) sommets.
De même, pour D : \(2 + 6 = 8\) faces ; \(6 + 6 + 6 = 18\) arêtes ; \(6 \times 2 = 12\) sommets.Solide Nombre de faces Nombre d’arêtes Nombre de sommets A 5 9 6 D 8 18 12 - Un prisme droit possède deux bases parallèles et des faces latérales rectangulaires. Or le solide C n’a qu’une base, et ses faces latérales sont des triangles qui se rejoignent en un même sommet. C n’est donc pas un prisme droit : c’est une pyramide.
Piège classique : compter seulement les arêtes visibles sur le dessin. Les arêtes cachées, tracées en pointillés, font aussi partie du solide.
Exercice 2 – Une perspective à terminer (3 points)
- Dans un prisme droit, les arêtes latérales sont parallèles et ont toutes la même longueur. Les arêtes \([AD]\) et \([CF]\) sont parallèles à \([BE]\) et de même longueur.
- Pour aller de \(B\) à \(E\), on avance de 2 carreaux vers la droite et de 2 carreaux vers le haut. On fait donc le même déplacement à partir de \(A\) pour placer \(D\). Ensuite, on trace \([AD]\), \([DE]\) et \([DF]\) en pointillés, car ces arêtes sont cachées par la face avant. La figure complétée est dessinée ci-dessus.
- En perspective cavalière, la face avant est une face frontale : elle est dessinée sans déformation. Oui, le triangle \(ABC\) est en vraie grandeur.
Piège classique : tracer \([AD]\) en trait plein. Pourtant, cette arête est derrière la face \(ABC\), donc elle est cachée.
Exercice 3 – Le bon patron (3 points)
- Dans P1, les trois rectangles mesurent 3 cm, 4 cm et 5 cm de large, comme les côtés du triangle, et ils ont tous 4 cm de haut. De plus, un triangle est placé de chaque côté de la bande de rectangles. Le dessin P1 est le patron du prisme.
- Dans P2, les deux triangles sont placés du même côté des rectangles. Quand on plie, ils viennent donc fermer la même base, alors que l’autre base reste ouverte. P2 ne convient pas, car les deux triangles se superposent au lieu de fermer les deux bases.
- Dans P3, le troisième rectangle mesure 3 cm de haut au lieu de 4 cm. Or toutes les faces latérales d’un prisme droit ont pour hauteur la hauteur du prisme. P3 n’est pas un patron, car ses rectangles n’ont pas tous la même hauteur.
Exercice 4 – La boîte de thé (5 points)
- Quand on découpe la surface latérale le long d’une génératrice et qu’on la déroule, on obtient une figure à quatre angles droits. La surface latérale déroulée est un rectangle.
- Pour refermer la boîte, le rectangle s’enroule exactement autour du disque de base. Sa longueur fait donc le tour complet de ce disque. La longueur « ? » est égale au périmètre du disque de base.
- Le périmètre d’un cercle de rayon \(r\) est \(2 \times \pi \times r\).
\(2 \times \pi \times 4 = 8 \times \pi\)
\(8 \times 3{,}14 = 25{,}12\)
La longueur du rectangle est d’environ 25,1 cm. - À l’échelle \(\frac{1}{2}\), on divise chaque longueur par 2 : le rayon devient \(4 \div 2 = 2\) cm, la hauteur \(10 \div 2 = 5\) cm et la longueur \(25{,}12 \div 2 = 12{,}56\), soit environ 12,6 cm. On trace alors un rectangle de 12,6 cm sur 5 cm, puis deux disques de rayon 2 cm qui touchent chacun un grand côté du rectangle.
Le patron à l’échelle \(\frac{1}{2}\) est dessiné ci-dessus.
Piège classique : prendre 4 cm comme diamètre et calculer \(\pi \times 4\). Ici, 4 cm est le rayon, donc le diamètre mesure 8 cm.
Exercice 5 – La tente de camping (5 points)
- Les bases sont l’entrée et le fond de la tente. Le prisme a donc 2 bases et 3 faces latérales, soit \(2 + 3 = 5\) faces. Les bases sont des triangles isocèles, et la tente a 5 faces.
- Toutes les faces latérales ont pour longueur celle de la tente, 4 m, et leur largeur est donc un côté du triangle. Le tapis de sol mesure 3 m sur 4 m, et les deux pans du toit mesurent chacun 2,5 m sur 4 m.
- On place le sol au centre, puis un pan de chaque côté. Ensuite, on accroche l’entrée et le fond sur les deux côtés de 3 m du sol.
Ce patron est un exemple possible ; d’autres dispositions sont justes.
- On additionne donc l’aire de chaque face.
Sol : \(3 \times 4 = 12\) m².
Pans : \(2 \times (2{,}5 \times 4) = 2 \times 10 = 20\) m².
Triangles : \(2 \times (3 \times 2 \div 2) = 2 \times 3 = 6\) m².
Total : \(12 + 20 + 6 = 38\) m².
Il faut 38 m² de toile, tapis de sol compris.
Piège classique : oublier de diviser par 2 dans l’aire du triangle, ce qui donne 12 m² de triangles au lieu de 6 m².
À retenir de ce contrôle
- Un prisme droit a deux bases polygonales superposables et parallèles ; ses faces latérales sont des rectangles qui ont tous la même hauteur.
- Un prisme droit dont la base a n côtés possède n + 2 faces, 3n arêtes et 2n sommets.
- En perspective cavalière, la face avant est en vraie grandeur, les arêtes cachées sont en pointillés et les arêtes parallèles restent parallèles.
- Le patron d’un cylindre est formé de deux disques et d’un rectangle dont la longueur est égale au périmètre du disque de base.
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