Théorème de Thalès et calculs de longueurs : corrigé du contrôle de maths en 3ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 3ème sur le thème « théorème de Thalès et calculs de longueurs », question par question.
Cette correction reprend chaque exercice avec la rédaction attendue au brevet : les points alignés, les droites parallèles, puis l’égalité des rapports et le calcul. Compare ta copie ligne par ligne, et vérifie surtout que tu as placé les côtés du même triangle au numérateur. Le barème détaillé montre qu’une bonne méthode rapporte des points même si le résultat final est faux, alors ne néglige jamais les hypothèses.
Les encadrés « piège » signalent les erreurs les plus fréquentes, comme confondre une longueur NC avec AC. Pour le papillon, une figure colorée met en évidence les deux triangles associés et les longueurs trouvées. Refais ensuite seul les exercices ratés, sans regarder la solution.
L’énoncé complet se trouve ici : Théorème de Thalès et calculs de longueurs : contrôle de maths en 3ème.
Barème du contrôle corrigé : théorème de Thalès et calculs de longueurs
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Deux configurations à reconnaître | 3 points |
| 2. Le triangle ABC coupé par (MN) | 4 points |
| 3. Le papillon de centre O | 4 points |
| 4. Deux droites perpendiculaires à (AB) | 4 points |
| 5. La passerelle de l’étang | 5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : théorème de Thalès et calculs de longueurs
Exercice 1 – Deux configurations à reconnaître (3 points)
- Figure 1 (configuration emboîtée) : les triangles RUV et RST ont le sommet R en commun, U appartient à [RS], V appartient à [RT] et (UV) est parallèle à (ST). D’après le théorème de Thalès : \(\dfrac{RU}{RS} = \dfrac{RV}{RT} = \dfrac{UV}{ST}\).
- Figure 2 (configuration papillon) : les droites (EH) et (FG) sont sécantes en K et (EF) est parallèle à (GH). Les triangles KEF et KHG sont associés : E correspond à H, F correspond à G. D’après le théorème de Thalès : \(\dfrac{KE}{KH} = \dfrac{KF}{KG} = \dfrac{EF}{HG}\).
Piège classique : dans le papillon, écrire \(\dfrac{KE}{KG}\). E et G ne sont pas sur la même droite passant par K : on associe toujours deux points alignés avec le sommet commun.
Exercice 2 – Le triangle ABC coupé par (MN) (4 points)
- Les points A, M, B sont alignés, les points A, N, C sont alignés et les droites (MN) et (BC) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès : \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\).
- On remplace par les valeurs connues : \(\dfrac{3{,}6}{6} = \dfrac{4{,}2}{AC}\).
Produit en croix : \(AC = \dfrac{6 \times 4{,}2}{3{,}6} = \dfrac{25{,}2}{3{,}6} = 7\).
AC mesure 7 cm. - \(\dfrac{3{,}6}{6} = \dfrac{MN}{7{,}5}\), donc \(MN = \dfrac{3{,}6 \times 7{,}5}{6} = \dfrac{27}{6} = 4{,}5\).
MN mesure \(4{,}5\) cm. - N appartient au segment [AC], donc \(NC = AC – AN = 7 – 4{,}2 = 2{,}8\).
NC mesure \(2{,}8\) cm.
Piège classique : donner 7 cm comme réponse à la question 4. Le théorème donne AC, le côté entier ; NC n’en est qu’une partie.
Exercice 3 – Le papillon de centre O (4 points)
- Les droites (DF) et (EG) sont sécantes en O et les droites (DE) et (FG) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès, dans les triangles ODE et OFG : \(\dfrac{OD}{OF} = \dfrac{OE}{OG} = \dfrac{DE}{FG}\).
- \(\dfrac{5}{7{,}5} = \dfrac{4}{OG}\), donc \(OG = \dfrac{7{,}5 \times 4}{5} = \dfrac{30}{5} = 6\).
OG mesure 6 cm. - \(\dfrac{5}{7{,}5} = \dfrac{6}{FG}\), donc \(FG = \dfrac{7{,}5 \times 6}{5} = \dfrac{45}{5} = 9\).
FG mesure 9 cm.
Vérification : le triangle OFG est un agrandissement du triangle ODE de coefficient \(\dfrac{7{,}5}{5} = 1{,}5\), et on a bien \(4 \times 1{,}5 = 6\) et \(6 \times 1{,}5 = 9\).
Piège classique : écrire \(\dfrac{OD}{OG}\) parce que D et G sont « en haut » sur le dessin. D est sur la droite (DF) : il faut l’associer à F.
Exercice 4 – Deux droites perpendiculaires à (AB) (4 points)
- Le triangle ABC est rectangle en B, donc la droite (BC) est perpendiculaire à la droite (AB). La droite (MN) est aussi perpendiculaire à (AB). Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. Les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
- Les points A, M, B sont alignés, les points A, N, C sont alignés et (MN) est parallèle à (BC). D’après le théorème de Thalès : \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\).
\(\dfrac{5}{8} = \dfrac{MN}{6}\), donc \(MN = \dfrac{5 \times 6}{8} = \dfrac{30}{8} = 3{,}75\).
MN mesure \(3{,}75\) cm. - Le triangle ABC est rectangle en B. D’après le théorème de Pythagore :
\(AC^2 = AB^2 + BC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100\).
\(AC = \sqrt{100} = 10\). AC mesure 10 cm. - \(\dfrac{5}{8} = \dfrac{AN}{10}\), donc \(AN = \dfrac{5 \times 10}{8} = \dfrac{50}{8} = 6{,}25\).
AN mesure \(6{,}25\) cm.
Piège classique : affirmer que (MN) et (BC) sont parallèles « parce que ça se voit ». Le parallélisme est une hypothèse du théorème : il doit être démontré ou donné par l’énoncé.
Exercice 5 – La passerelle de l’étang (5 points)
- Les droites (AE) et (BD) sont sécantes en C et les droites (AB) et (DE) sont parallèles. On peut donc appliquer le théorème de Thalès dans les triangles CED et CAB : \(\dfrac{CE}{CA} = \dfrac{CD}{CB} = \dfrac{DE}{AB}\).
- \(\dfrac{18}{45} = \dfrac{14}{AB}\), donc \(AB = \dfrac{45 \times 14}{18} = \dfrac{630}{18} = 35\).
La distance AB est de 35 m. - \(\dfrac{18}{45} = \dfrac{CD}{40}\), donc \(CD = \dfrac{18 \times 40}{45} = \dfrac{720}{45} = 16\).
La distance CD est de 16 m. - Longueur de la passerelle : \(35 + 2 \times 1{,}5 = 35 + 3 = 38\) m.
Coût : \(38 \times 780 = 29\,640\) €.
\(29\,640 < 30\,000\) : il reste \(30\,000 – 29\,640 = 360\) €.
Le budget de 30 000 € est suffisant : la passerelle coûte 29 640 €.
Piège classique : oublier l’un des deux dépassements et compter \(35 + 1{,}5 = 36{,}5\) m. La passerelle déborde sur les deux rives, soit 3 m en tout.
À retenir de ce contrôle
- Pour appliquer Thalès, il faut deux droites sécantes en un point et deux droites parallèles qui les coupent : on le rédige toujours avant tout calcul.
- Les trois rapports partent du point commun aux deux triangles, avec les côtés du même triangle au numérateur et ceux de l’autre au dénominateur.
- Une longueur inconnue se calcule par un produit en croix entre deux rapports seulement, en choisissant celui dont les deux termes sont connus.
- Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles : c’est une façon courante d’obtenir l’hypothèse de parallélisme.
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