Identités remarquables et factorisation : contrôle de maths en seconde
Voici un contrôle de maths en seconde sur le thème « identités remarquables et factorisation », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce devoir porte sur le calcul littéral de seconde. Tu vas d’abord développer des carrés et des produits grâce aux identités remarquables, puis faire le chemin inverse en factorisant, avec un facteur commun ou avec la différence de deux carrés. Ensuite, ces formules servent à calculer de tête de grands nombres et à simplifier des quotients.
Les deux derniers exercices demandent de choisir la forme la plus adaptée d’une même expression, puis de l’utiliser dans un problème d’aire. Fais ce contrôle vers la fin du premier trimestre, juste après le chapitre sur les expressions algébriques, car les équations produit s’appuieront ensuite sur ces techniques.
Ce qu’évalue le contrôle : identités remarquables et factorisation
L’essentiel du sujet
- Niveauseconde
- Durée1 heure
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Calcul littéral, puissances et racines carrées (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Développer et réduire une expression avec les trois identités remarquables
- Factoriser par un facteur commun, puis avec l’identité a² − b²
- Choisir la forme développée ou factorisée la plus adaptée pour calculer une valeur
- Simplifier une fraction rationnelle simple en factorisant son numérateur
- Modéliser une aire par une expression littérale et l’exploiter
Avant de commencer le devoir
Avant de développer, repère la forme exacte de l’expression : somme au carré, différence au carré ou produit d’une somme par une différence. Écris toujours le double produit, car c’est l’oubli le plus fréquent. Pour factoriser, cherche d’abord un facteur commun, puis une différence de deux carrés. Enfin, contrôle chaque résultat en redéveloppant de tête ou en remplaçant \(x\) par une valeur simple comme 1.
Le sujet du contrôle : identités remarquables et factorisation
Exercice 1 – Développer avec les identités (4 points)
Développe puis réduis chaque expression. Précise d’abord l’identité remarquable utilisée, car elle guide tout le calcul.
- \(A = (x + 5)^2\)
- \(B = (3x – 2)^2\)
- \(C = (2x + 7)(2x – 7)\)
- \(D = (x + 4)^2 – (x – 1)(x + 1)\)
La figure ci-dessous représente un carré de côté \(a + b\), avec \(a\) et \(b\) deux longueurs positives. Ce carré est donc découpé en quatre rectangles numérotés de 1 à 4.
Exprime d’abord l’aire de chacune des quatre parties, puis déduis-en le développement de \((a + b)^2\).
Exercice 2 – Factoriser des expressions (4 points)
Factorise chaque expression le plus possible. Quand un facteur commun apparaît, souligne-le d’abord, puis écris-le devant. Sinon, cherche une identité remarquable.
- \(E = 6x^2 – 15x\)
- \(F = (x + 1)(2x – 3) + (x + 1)(x + 4)\)
- \(G = x^2 – 81\)
- \(H = (2x + 1)^2 – 16\)
- \(K = x^2 – 14x + 49\)
- \(L = 9x^2 – (x + 2)^2\)
Exercice 3 – Calculs astucieux et fractions (4 points)
La calculatrice est interdite : utilise donc une identité remarquable pour chaque calcul, et écris-la.
- Calcule \(101^2\).
- Calcule ensuite \(49 \times 51\).
- Déduis la valeur de \(1\,003^2 – 997^2\) sans calculer aucun des deux carrés.
- Pour \(x \neq -3\), simplifie le quotient \(\dfrac{x^2 – 9}{x + 3}\).
- Enfin, pour \(x \neq -\dfrac{1}{2}\), simplifie le quotient \(\dfrac{4x^2 + 4x + 1}{2x + 1}\).
Exercice 4 – Choisir la bonne forme (4 points)
Dans cet exercice, on considère l’expression \(f(x) = (x – 3)^2 – 25\), où \(x\) est un nombre réel.
- Montre tout d’abord que \(f(x) = x^2 – 6x – 16\).
- Prouve aussi que \(f(x) = (x – 8)(x + 2)\).
- En choisissant à chaque fois la forme la plus adaptée, calcule \(f(0)\), \(f(3)\), \(f(-2)\) et \(f\left(\sqrt{2}\right)\). Indique aussi la forme choisie.
Exercice 5 – La terrasse et le bassin (4 points)
Lorsqu’il aménage son jardin, Malik construit une terrasse carrée de côté \(x + 6\) mètres, avec \(x > 0\). Dans un coin, il réserve ainsi un bassin carré de 4 mètres de côté ; le reste de la terrasse est dallé.
La figure n’est pas à l’échelle.
- Justifie d’abord que l’aire dallée, en mètres carrés, vaut \(A(x) = (x + 6)^2 – 16\).
- Ensuite, développe et réduis \(A(x)\).
- Factorise ensuite \(A(x)\), puis contrôle ton résultat.
- Lorsque \(x = 4\), calcule l’aire dallée avec la forme la plus rapide.
- Malik dispose de dalles pour couvrir exactement 105 mètres carrés. Quelle valeur de \(x\) doit-il alors choisir ?
Réviser identités remarquables et factorisation avant le contrôle
Si un exercice t’a bloqué, relis la leçon calcul littéral, fractions, puissances, racines carrées avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en seconde regroupe les 25 sujets de l’année, et la rubrique contrôles corrigés du CP à la terminale permet de changer de niveau.
Sujets proches à faire ensuite
Télécharger ou imprimer cette fiche «identités remarquables et factorisation : contrôle de maths en seconde» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.
Ressources de maths en Seconde
Cours
Tout voir
Exercices corrigés
Tout voir
Contrôles
Tout voir
QCM
Tout voir
