Équations produit et quotient : contrôle de maths en seconde
Voici un contrôle de maths en seconde sur le thème « équations produit et quotient », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce sujet évalue la résolution d’équations sans calculatrice. Tu commences par des équations du premier degré, puis tu passes aux équations produit nul : il faut alors factoriser, soit avec un facteur commun, soit avec une identité remarquable. Ensuite viennent les équations quotient, où la valeur interdite doit être repérée avant tout calcul.
Les deux derniers exercices sont des problèmes de géométrie, une plaque découpée et le cadre d’une photo, qui se ramènent à une équation produit. Fais ce contrôle après le chapitre sur les équations, quand le développement et la factorisation sont devenus des réflexes. Chaque réponse se termine par l’ensemble des solutions écrit avec des accolades.
Ce qu’évalue le contrôle : équations produit et quotient
L’essentiel du sujet
- Niveauseconde
- Durée1 heure
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Équations et inéquations (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Résoudre une équation du premier degré, y compris avec des parenthèses ou des fractions
- Factoriser une expression par un facteur commun ou une identité remarquable pour obtenir une équation produit nul
- Déterminer la valeur interdite d’une équation quotient et en déduire l’ensemble des solutions
- Mettre un problème de géométrie en équation et vérifier la cohérence de la solution trouvée
Avant de commencer le devoir
Face à une équation qui contient un carré, ne développe pas au hasard : cherche d’abord à tout passer du même côté, puis à factoriser. Ensuite, applique la règle du produit nul à chaque facteur. Pour une équation quotient, écris la valeur interdite dès la première ligne, car une solution qui l’annule doit être rejetée. Enfin, dans les problèmes, vérifie que la solution a un sens : une longueur est toujours positive.
Le sujet du contrôle : équations produit et quotient
Exercice 1 – Premier degré pour s’échauffer (3 points)
Résous dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes, puis donne à chaque fois l’ensemble des solutions.
- \(5x – 7 = 2x + 8\)
- \(3(x – 2) = 7 – 2x\)
- \(\dfrac{x}{4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{x}{3}\)
Exercice 2 – Équations produit nul (4 points)
Résous dans \(\mathbb{R}\) chaque équation. Quand c’est nécessaire, factorise d’abord le membre de gauche, car la règle du produit nul ne s’applique qu’à un produit.
- \((2x – 3)(x + 5) = 0\)
- \(x^2 – 7x = 0\)
- \((x + 1)^2 – 16 = 0\)
- \((3x – 1)(x + 2) = (3x – 1)(2x – 5)\)
Exercice 3 – Équations quotient (4 points)
Pour chaque équation, indique d’abord la valeur interdite, puis résous l’équation dans \(\mathbb{R}\).
- \(\dfrac{2x + 6}{x – 1} = 0\)
- \(\dfrac{x^2 – 9}{x + 3} = 0\)
- \(\dfrac{x + 4}{x – 2} = 3\)
Exercice 4 – La plaque découpée (4 points)
Un artisan dispose d’une plaque de métal carrée de côté \(x + 1\), en centimètres, avec \(x > 2\). Dans un coin, il découpe ensuite un carré de côté \(3\text{ cm}\).
La figure n’est pas à l’échelle.
- Montre d’abord que l’aire de la partie restante, en \(\text{cm}^2\), est égale à \((x + 1)^2 – 9\).
- L’artisan veut que la partie restante ait une aire de \(40\text{ cm}^2\). Montre alors que le problème revient à résoudre \((x + 1)^2 – 49 = 0\), puis factorise le membre de gauche.
- Résous cette équation et déduis-en la longueur du côté de la plaque.
Exercice 5 – Le cadre de la photo (5 points)
Maëlys encadre une photo rectangulaire de \(20\text{ cm}\) sur \(30\text{ cm}\). Elle l’entoure d’une bordure de même largeur \(x\) sur les quatre côtés, avec \(x > 0\) en centimètres. Elle souhaite que l’aire de la bordure soit égale à l’aire de la photo.
La figure n’est pas à l’échelle.
- Exprime d’abord en fonction de \(x\) la largeur et la longueur du cadre extérieur.
- Montre alors que l’aire de la bordure est \(A(x) = 4x^2 + 100x\).
- Montre ensuite que l’égalité \(A(x) = 600\) équivaut à \(x^2 + 25x – 150 = 0\).
- Développe \((x + 30)(x – 5)\), puis résous le problème : quelle largeur de bordure Maëlys doit-elle choisir ?
Réviser équations produit et quotient avant le contrôle
Si un exercice t’a bloqué, relis la leçon résoudre des équations et inéquations ; entraîne-toi sur la fiche les équations et inéquations et inéquations avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en seconde regroupe les 25 sujets de l’année, et la rubrique contrôles corrigés du CP à la terminale permet de changer de niveau.
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