Résolution graphique d’équations : corrigé du contrôle de maths en seconde

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Barème du contrôle corrigé : résolution graphique d’équations

Le corrigé détaillé : résolution graphique d’équations

Exercice 1 – Lire des solutions sur une courbe (4 points)

1. On cherche les points de \(C_f\) situés sur l’axe des abscisses. La courbe le coupe en \(x = -1\) et en \(x = 3\). \(S = \{-1 \,;\, 3\}\)
2. On trace la droite horizontale d’ordonnée \(-3\). Elle coupe \(C_f\) aux points d’abscisses 0 et 2. \(S = \{0 \,;\, 2\}\)
3. La droite d’ordonnée 5 rencontre la courbe à ses deux extrémités, donc en \(x = -2\) et \(x = 4\). \(S = \{-2 \,;\, 4\}\)
4. Le point le plus bas de la courbe a pour coordonnées \((1 \,;\, -4)\). Ainsi, la droite d’ordonnée \(-4\) ne touche \(C_f\) qu’en ce point : l’équation \(f(x) = -4\) a une seule solution, \(x = 1\). En revanche, la droite d’ordonnée \(-5\) passe sous la courbe : l’équation \(f(x) = -5\) n’a aucune solution.

Piège classique : donner l’ordonnée au lieu des abscisses. Les solutions d’une équation en \(x\) se lisent toujours sur l’axe horizontal.

Barème : Q1 : 1 point (0,5 par solution) ; Q2 : 1 point ; Q3 : 1 point ; Q4 : 1 point (0,5 par équation).

Exercice 2 – Deux courbes dans un même repère (4 points)

1. On lit sur le quadrillage : \(A(0 \,;\, -3)\) et \(B(3 \,;\, 0)\).
2. Les solutions de \(f(x) = g(x)\) sont les abscisses des points d’intersection. \(S = \{0 \,;\, 3\}\)
3. On cherche où \(C_f\) est au-dessus de \(C_g\) ou la rencontre. C’est le cas de \(-2\) à 0, puis de 3 à 4. L’inégalité est large, donc les crochets sont fermés en 0 et en 3. \(S = [-2 \,;\, 0] \cup [3 \,;\, 4]\)

4. On cherche où \(C_f\) est strictement sous l’axe des abscisses, c’est-à-dire entre \(-1\) et 3. L’inégalité est stricte, alors les crochets sont ouverts. \(S = ]-1 \,;\, 3[\)

Barème : Q1 : 1 point (0,5 par point) ; Q2 : 0,5 point ; Q3 : 1,5 point (1 pour les deux intervalles, 0,5 pour les crochets) ; Q4 : 1 point.

Exercice 3 – Confirmer par le calcul (4 points)

1. On développe :
   \((x + 1)(x – 3) = x^2 – 3x + x – 3 = x^2 – 2x – 3\).
   On retrouve bien \(f(x) = (x + 1)(x – 3)\).
2. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul. Donc \(x + 1 = 0\) ou \(x – 3 = 0\), soit \(x = -1\) ou \(x = 3\). Ces deux valeurs sont dans \([-2 \,;\, 4]\). \(S = \{-1 \,;\, 3\}\), ce qui confirme la lecture de l’exercice 1.
3. On calcule :
   \(f(x) – g(x) = x^2 – 2x – 3 – x + 3\)
   \(f(x) – g(x) = x^2 – 3x\)
   Puis on factorise par \(x\). On obtient \(f(x) – g(x) = x(x – 3)\).
4. On a \(f(x) = g(x)\) si et seulement si \(x(x – 3) = 0\), c’est-à-dire \(x = 0\) ou \(x = 3\). \(S = \{0 \,;\, 3\}\) : le calcul confirme la lecture graphique.

Piège classique : oublier de changer le signe de \(-3\) en soustrayant \(g(x)\). En effet, \(-(x – 3) = -x + 3\).

Barème : Q1 : 1 point ; Q2 : 1 point (0,5 pour la règle du produit nul, 0,5 pour les solutions) ; Q3 : 1 point ; Q4 : 1 point.

Exercice 4 – La parabole et la droite (3 points)

1. La droite \(y = 4\) coupe la parabole aux points d’abscisses \(-2\) et 2. \(S = \{-2 \,;\, 2\}\)
2. La parabole est au-dessous de la droite, ou la touche, entre \(-2\) et 2. L’inégalité est large, donc \(S = [-2 \,;\, 2]\).
3. La parabole est strictement au-dessus de la droite de \(-3\) à \(-2\), puis de 2 à 3. Les bornes \(-3\) et 3 appartiennent à l’intervalle d’étude, alors que \(-2\) et 2 sont exclues. \(S = [-3 \,;\, -2[ \cup ]2 \,;\, 3]\)

Piège classique : écrire \(x \leq 2\) comme seule réponse à la question b. On inclut alors à tort des nombres comme \(-3\), dont le carré 9 dépasse pourtant 4.

Barème : Q1 : 1 point ; Q2 : 1 point ; Q3 : 1 point (0,5 par intervalle).

Exercice 5 – La hauteur d’un ballon (5 points)

1. Le sommet de la courbe a pour coordonnées \((2 \,;\, 20)\). Le ballon atteint 20 m au bout de 2 secondes. On vérifie : \(h(2) = -5 \times 4 + 40 = 20\).
2. La droite horizontale à 15 m coupe la courbe en \(t = 1\) et \(t = 3\). \(S = \{1 \,;\, 3\}\)
3. On résout \(h(t) \geq 15\). La courbe est au-dessus de la droite, ou la touche, entre 1 et 3, donc \(S = [1 \,;\, 3]\). Or \(3 – 1 = 2\). Le ballon reste à 15 m ou plus pendant 2 secondes.

4. On développe :
   \(-5(t – 1)(t – 3) = -5(t^2 – 3t – t + 3)\)
   \(-5(t – 1)(t – 3) = -5(t^2 – 4t + 3) = -5t^2 + 20t – 15\)
   C’est bien \(h(t) – 15\). Ensuite, \(h(t) = 15\) équivaut à \(-5(t – 1)(t – 3) = 0\), donc \(t = 1\) ou \(t = 3\). Le calcul confirme \(S = \{1 \,;\, 3\}\).
5. On résout \(h(t) = 0\), soit \(-5t(t – 4) = 0\) : donc \(t = 0\) (le départ) ou \(t = 4\). Le ballon retombe au sol au bout de 4 secondes.

Barème : Q1 : 1 point (0,5 pour la hauteur, 0,5 pour l’instant) ; Q2 : 1 point ; Q3 : 1,5 point (1 pour l’intervalle, 0,5 pour la durée) ; Q4 : 1 point (0,5 pour le développement, 0,5 pour la conclusion) ; Q5 : 0,5 point.

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